1
00:00:00,190 --> 00:00:06,589
Chicos, hola chicas, vamos a ver cómo aplicar el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones.

2
00:00:06,769 --> 00:00:11,009
En este caso, un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.

3
00:00:11,289 --> 00:00:15,769
Y recordamos que las operaciones permitidas en los sistemas,

4
00:00:16,089 --> 00:00:19,230
permitidas quiere decir que obtenemos un sistema equivalente,

5
00:00:19,390 --> 00:00:23,329
es decir, que tienen las mismas soluciones que la anterior, son tres.

6
00:00:23,510 --> 00:00:26,410
Lo que puedo hacer es cambiar el orden de las ecuaciones.

7
00:00:26,410 --> 00:00:33,429
si cambio el orden de las ecuaciones el sistema tiene la misma solución, multiplicar una ecuación

8
00:00:33,429 --> 00:00:37,689
por un número, cuando digo multiplicar una ecuación quiere decir multiplicar los dos miembros de la

9
00:00:37,689 --> 00:00:44,630
ecuación por el mismo número, o bien sustituir una de las ecuaciones por su suma con otra. Puedo

10
00:00:44,630 --> 00:00:52,420
cambiar, quitar una de las ecuaciones sumándola con otra y sustituyéndola. ¿Cuál es el objetivo?

11
00:00:52,719 --> 00:00:58,000
Conseguir escribir un sistema escalonado, que hemos visto que son mucho más fáciles de resolver,

12
00:00:58,000 --> 00:01:03,280
un sistema en el que en la segunda ecuación haya quitado una incógnita y que en la tercera

13
00:01:03,280 --> 00:01:08,640
ecuación haya quitado una más, de tal forma que sólo me quede una. Bueno, entonces podemos

14
00:01:08,640 --> 00:01:13,620
empezar escribiendo la matriz del sistema. Para que nos sea más fácil vamos a prescindir

15
00:01:13,620 --> 00:01:18,340
de escribir las incógnitas y vamos a escribir sólo los números en forma de matriz que

16
00:01:18,340 --> 00:01:22,500
son con los que vamos a hacer operaciones. Entonces empezamos haciendo eso. Escribimos

17
00:01:22,500 --> 00:01:29,200
2, 3, 5, 11 que son los coeficientes de la primera ecuación

18
00:01:29,200 --> 00:01:35,640
menos 3, menos 3, menos 3, menos 6 que son los de la segunda

19
00:01:35,640 --> 00:01:40,719
y 1, menos 5, 6, 29 que son los de la tercera

20
00:01:40,719 --> 00:01:44,079
en caso de que faltara alguno pues en su lugar ponemos un 0

21
00:01:44,079 --> 00:01:49,560
vale, lo primero que podemos observar fácilmente fijaros es que en la segunda ecuación

22
00:01:49,560 --> 00:01:52,980
todos los coeficientes se pueden dividir por 3, ¿vale?

23
00:01:53,019 --> 00:01:54,680
Y eso nos simplifica la ecuación.

24
00:01:55,420 --> 00:02:00,359
Entonces, el primer paso que tenemos que hacer antes de empezar a resolver el sistema por el método de Gauss

25
00:02:00,359 --> 00:02:03,060
es observar si alguna de las ecuaciones se puede simplificar,

26
00:02:03,260 --> 00:02:06,680
porque eso probablemente nos va a facilitar el proceso, ¿vale?

27
00:02:06,760 --> 00:02:11,680
Entonces, antes de empezar, lo que vamos a hacer es simplificar.

28
00:02:11,680 --> 00:02:17,680
Y para eso vamos a coger esa fila y la vamos a dividir por 3 o por menos 3.

29
00:02:17,680 --> 00:02:23,479
Podría ser, en mi caso, lo voy a dividir por menos 3 para que me quede positivo, pero lo podéis hacer por 3, ¿vale?

30
00:02:23,560 --> 00:02:30,080
Es decir, la segunda fila lo voy a dividir, perdón, dividir por menos 3.

31
00:02:30,800 --> 00:02:40,900
Entonces, la primera fila la dejo como está, 2, 3, 5, 11, y aquí divido por menos 3 y me queda 1, 1, 1, 2.

32
00:02:41,879 --> 00:02:44,979
Y la tercera fila la dejo como está.

33
00:02:44,979 --> 00:02:51,379
bien y ahora vamos a transformar el sistema en forma escalonada

34
00:02:51,379 --> 00:02:55,819
para conseguir que el sistema esté en forma escalonada

35
00:02:55,819 --> 00:02:57,599
lo que tengo que hacer es que en la segunda ecuación

36
00:02:57,599 --> 00:03:00,800
uno de los tres primeros coeficientes que son los de las incógnitas

37
00:03:00,800 --> 00:03:02,120
tiene que ser un 0

38
00:03:02,120 --> 00:03:06,520
y en la tercera ecuación tiene que existir en esa misma incógnita un 0

39
00:03:06,520 --> 00:03:11,020
y tenemos que hacer 0 otra más para que sólo haya una de las tres incógnitas

40
00:03:11,020 --> 00:03:16,280
para eso nos vamos a valer de los coeficientes de la primera fila

41
00:03:16,280 --> 00:03:21,219
Entonces, conviene que la primera ecuación sea una ecuación que tenga coeficientes sencillos, ¿vale?

42
00:03:21,400 --> 00:03:26,879
Por ejemplo, en este caso, la segunda ecuación hemos conseguido que los tres coeficientes sean un 1, ¿vale?

43
00:03:26,879 --> 00:03:30,840
Cuanto más sencillos sean los coeficientes, probablemente más fácil va a ser aplicar el método.

44
00:03:31,419 --> 00:03:34,400
Entonces, lo primero que vamos a hacer es que vamos a cambiar las ecuaciones de orden.

45
00:03:34,620 --> 00:03:41,120
Voy a poner la segunda ecuación como primera para que todo me resulte más fácil, más resulte más fácil hacer ceros.

46
00:03:41,120 --> 00:04:05,409
Entonces, hago ese cambio, que lo voy a indicar así, que cambio la primera fila por la segunda, ¿vale? Y hago 1, 1, perdón, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 11 y la tercera la dejo como está, 1, menos 5, 6, 29.

47
00:04:05,409 --> 00:04:27,910
Vale, hay gente, y me parece bien, que para distinguir los coeficientes de las incógnitas de los términos independientes, aquí pone una rayita, ¿vale? Si queréis lo podéis hacer, si no, no, no es obligatorio, pero para distinguir los coeficientes que pertenecen a la x, y, y, la z y los términos independientes.

48
00:04:28,610 --> 00:04:34,810
Yo no lo voy a hacer todo el rato, porque me parece una lata estar escribiéndolo, pero si os aclaro las ideas, pues fenomenal.

49
00:04:35,649 --> 00:04:37,129
Bueno, entonces, ¿qué tengo que conseguir ahora?

50
00:04:37,129 --> 00:04:49,370
Fijaros, tengo que conseguir que multiplicando las filas por números, las filas que son las ecuaciones, multiplicándolas por números y sumándolas en, me parezcan ceros, o bien, lo voy a dibujar con otro color,

51
00:04:49,910 --> 00:04:57,750
se me hagan ceros o bien estos dos números, o bien esos dos números, o bien esos dos números, cualquiera me vale, ¿vale?

52
00:04:57,910 --> 00:05:05,569
tengo que poner ahí dos ceros. En este caso, como arriba tengo tres unos, pues casi que es igual de fácil en cada columna.

53
00:05:05,629 --> 00:05:14,370
Lo voy a hacer con la primera, pero lo podría hacer cualquiera, ¿vale? Entonces, lo que voy a hacer es poner ceros en esos dos números.

54
00:05:14,509 --> 00:05:21,389
¿Y eso cómo lo hago? ¿Cómo pongo un cero aquí? Pues lo que puedo hacer es multiplicar toda la primera fila por menos dos, ¿vale?

55
00:05:21,389 --> 00:05:26,910
Con lo cual, aquí en el primer elemento me quedaría un menos 2, y al sumarlos, pues, se iría.

56
00:05:27,709 --> 00:05:33,149
Entonces, lo que hago es, voy a volver al blanco otra vez, lo que hago es, fijaros, siempre,

57
00:05:33,569 --> 00:05:38,430
la primera fila la dejo como está, porque en la primera ecuación se van a quedar las tres incógnitas,

58
00:05:38,569 --> 00:05:39,490
ahí no voy a hacer nada.

59
00:05:40,850 --> 00:05:47,449
Vale, y ahora, la segunda fila la voy a sustituir por su suma, o sea,

60
00:05:47,449 --> 00:05:58,009
Ahora, lo que le voy a hacer es que a esta fila le voy a restar la primera por 2, ¿vale? Es decir, voy a multiplicar la primera por menos 2 y se lo sumo a la segunda.

61
00:05:59,490 --> 00:06:08,769
Eso lo podéis hacer de memoria o lo podéis escribir aparte. Yo al principio os recomiendo que lo escribáis aparte porque aquí como hay muchos numeritos es muy fácil equivocarse

62
00:06:08,769 --> 00:06:13,589
y en cuanto os equivoquéis en cualquier cosa, en cualquier signo, en cualquier multiplicación, todo está mal.

63
00:06:13,589 --> 00:06:18,670
Entonces, mirad, lo podemos escribir aparte de la siguiente manera, luego lo borraré, ¿vale?

64
00:06:19,209 --> 00:06:31,470
Fijaros, primero escribo la primera fila multiplicada por menos 2, que me quedaría, si multiplico esta fila por menos 2, me quedaría menos 2, menos 2, menos 2, menos 4, ¿vale?

65
00:06:31,470 --> 00:06:37,810
Y a continuación escribo la segunda fila, 2, 3, 5, 11.

66
00:06:38,069 --> 00:06:39,470
Y ahora lo que voy a hacer es sumarlas.

67
00:06:39,470 --> 00:06:46,509
sumarlas y veis que aquí me queda un 0 que es lo que quería aquí queda un 1 aquí un 3 y aquí un 7

68
00:06:46,509 --> 00:06:55,949
vale y eso es lo que voy a poner como segunda fila 0 1 3 7 vale y ahora voy a borrar esta operación

69
00:06:55,949 --> 00:07:01,009
para que no me ocupe sitio bien vamos con la tercera fila ahora tenemos que poner un 0 en

70
00:07:01,009 --> 00:07:05,750
este elemento de aquí vale entonces fijaros que con eso es suficiente es suficiente con restar

71
00:07:05,750 --> 00:07:12,589
las dos filas, porque aquí tengo un 1, aquí tengo un 1, al restarlos se me van a ir, ¿vale? Entonces, lo que voy a hacer es que voy a sustituir

72
00:07:12,589 --> 00:07:21,629
la tercera fila con la resta de la primera menos la tercera, por ejemplo, también lo podríais hacer al revés, no pasaría nada, podéis restar la tercera

73
00:07:21,629 --> 00:07:28,389
menos la primera, es igual, ¿vale? Mirad, esto no lo voy a escribir, lo voy a hacer aquí, bueno, venga, lo voy a escribir, ¿qué me quedaría?

74
00:07:28,389 --> 00:07:40,490
La primera fila sería 1, 1, 1, 2 y ahora cambio de signo la tercera fila y me queda menos 1, 5, menos 6, menos 29.

75
00:07:41,509 --> 00:07:47,449
Y si la sumo, pues me queda 0, 6, menos 5, menos 27.

76
00:07:47,689 --> 00:07:55,290
Y esto es lo que coloco en esta tercera fila, 0, 6, menos 5, menos 27.

77
00:07:58,009 --> 00:07:59,350
Borra la operación que he hecho antes.

78
00:08:00,209 --> 00:08:06,230
¿Qué hemos hecho hasta ahora? Fijaros, de la segunda ecuación hemos quitado la x y de la tercera ecuación hemos quitado la x.

79
00:08:06,370 --> 00:08:11,370
Para que el sistema esté escalonado, de la tercera ecuación tengo que quitar una incógnita más.

80
00:08:11,949 --> 00:08:19,009
Para eso ahora me voy a ayudar de la segunda, porque si hago operaciones con la primera y la tercera, voy a conseguir quitar este 0.

81
00:08:19,089 --> 00:08:21,529
Aquí me va a volver a aparecer un número y no quiero que ocurra eso.

82
00:08:22,009 --> 00:08:27,750
Como en estas dos hay un 0, pues ahora me voy a utilizar la segunda ecuación para poner un 0 en la tercera.

83
00:08:27,750 --> 00:08:35,149
entonces igual que antes mirar el 0 lo puedo poner o bien aquí o bien aquí

84
00:08:35,149 --> 00:08:37,750
en cualquiera de los dos sitios lo que os resulte más fácil

85
00:08:37,750 --> 00:08:43,269
vale por ejemplo podría poner un 0 aquí multiplicando la segunda por menos 6

86
00:08:43,269 --> 00:08:48,929
y sumándole la tercera o podría poner un 0 aquí aquí es un poquito más complicado

87
00:08:48,929 --> 00:08:54,230
tendría que multiplicar la primera por 5 la segunda por 5 perdón la tercera por 3

88
00:08:54,230 --> 00:08:59,190
y así me quedaría aquí 15 y menos 15, ¿vale? Y ya al sumarlo se iría, ¿vale?

89
00:08:59,210 --> 00:09:04,210
Siempre se puede hacer multiplicando la de arriba por el número de abajo y la de abajo por el número de arriba

90
00:09:04,210 --> 00:09:10,690
y consiguiendo, si que tengan distintos signos, si es necesario multiplicar toda una fila por menos uno.

91
00:09:12,090 --> 00:09:17,590
Vale, entonces lo que voy a hacer es, voy a poner, voy a hacer 0s6 que me parece un poquito más fácil.

92
00:09:18,389 --> 00:09:21,529
Bueno, entonces fijaros, lo que hago es, vamos a cambiar el color otra vez,

93
00:09:21,529 --> 00:09:27,049
la primera fila la dejo como está, esa nunca la toco porque ahí voy a dejar las tres incógnitas

94
00:09:27,049 --> 00:09:31,149
la segunda fila ya está como quiero, ya he quitado una incógnita, la dejo como está

95
00:09:31,149 --> 00:09:35,690
¿vale? y ahora aquí voy a hacer lo que hemos dicho antes

96
00:09:35,690 --> 00:09:40,990
por ejemplo, voy a hacer menos, o al revés, lo voy a hacer al revés

97
00:09:40,990 --> 00:09:45,809
voy a hacer seis veces la segunda fila menos la tercera

98
00:09:45,809 --> 00:09:50,509
¿vale? también podréis hacer menos seis veces la segunda fila más la tercera, es igual

99
00:09:50,509 --> 00:10:13,049
Lo importante es que os quede un 0. Entonces, como he hecho antes, voy a poner aquí la operación aparte. Fijaros, 6 veces la segunda fila me queda 0, 6, 18, 42. Y menos la tercera fila me queda 0, menos 6, 5 y 27.

100
00:10:13,049 --> 00:10:30,009
Y ahora la sumo. Me queda 0, aquí me vuelve a quedar un 0, aquí me queda 23 y aquí me queda 69. Con lo cual, el resultado de la tercera fila es 0, 0, 23, 69.

101
00:10:30,009 --> 00:10:44,850
Y fijaros, ya tengo el sistema como quería, ¿vale? Lo tengo en forma escalonada. Aquí lo veis, ¿de acuerdo? He hecho un 0 en la primera fila y en la segunda fila, perdón, y en la tercera fila he hecho el mismo 0 con la misma columna y otro más.

102
00:10:44,850 --> 00:10:48,350
entonces el sistema ya está preparado para resolverse

103
00:10:48,350 --> 00:10:51,629
lo que hacemos ahora es que volvemos a escribir el sistema

104
00:10:51,629 --> 00:10:54,649
vamos a escribir ahora este sistema con sus sincronistas

105
00:10:54,649 --> 00:11:01,049
la primera ecuación me quedaría x más y más z igual a 2

106
00:11:01,049 --> 00:11:06,129
la segunda ecuación la x no está 0 por x 0

107
00:11:06,129 --> 00:11:09,990
me queda y más 3z igual a 7

108
00:11:09,990 --> 00:11:14,470
y la tercera ecuación me queda 0 por x 0 más 0 por y 0

109
00:11:14,470 --> 00:11:23,250
Me queda 23z igual a 69. Y fijaros que ya está el sistema escrito en forma escalonada y ahora es muy fácil de resolver.

110
00:11:24,789 --> 00:11:29,509
Como hemos hecho ya otras veces, empezamos resolviendo esta ecuación.

111
00:11:29,710 --> 00:11:38,009
Aquí me queda que z es igual a 69 entre 23, que eso es 3. Me queda z igual a 3.

112
00:11:38,009 --> 00:11:45,029
con este resultado vamos a la ecuación anterior y lo sustituimos

113
00:11:45,029 --> 00:11:49,649
en lugar de poner z ponemos el valor que hemos encontrado que tiene que es 3

114
00:11:49,649 --> 00:11:54,950
entonces pondríamos y más 3 por 3, 9 igual a 7

115
00:11:54,950 --> 00:12:00,990
si queréis lo pongo con todo detalle para que esté claro, 3 por 3 igual a 7

116
00:12:00,990 --> 00:12:07,549
y si despejamos de ahí nos queda que y es igual a 7 menos 9 que es menos 2

117
00:12:07,549 --> 00:12:34,850
¿Vale? Esa sería la solución para la Y. Y por último, vamos con la primera ecuación, ¿vale? Y sustituimos la X y la Z que hemos averiguado, ¿de acuerdo? Y nos quedaría X más menos 2 más menos 2 es menos 2Y más 3 igual a 2, ¿vale? Con lo cual lo pasamos todo al otro miembro, nos queda 2 más 2 menos 3 que es 1, ¿vale?

118
00:12:34,850 --> 00:12:37,190
Con lo cual, ¿cuál es la solución del sistema?

119
00:12:37,830 --> 00:12:43,750
x igual a 1, y igual a menos 2, y z igual a 3.

120
00:12:44,730 --> 00:12:46,950
Y ya habríamos acabado el problema.

121
00:12:48,409 --> 00:12:51,350
Bueno, espero que os haya servido para entender cómo aplicar este método.

122
00:12:51,950 --> 00:12:52,830
Un saludo.