1
00:00:01,649 --> 00:00:08,189
Vamos a ver cómo estudiar los extremos de una función y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

2
00:00:08,730 --> 00:00:10,509
Lo haremos siguiendo varios pasos.

3
00:00:10,890 --> 00:00:12,009
Primero estudiar su dominio.

4
00:00:13,150 --> 00:00:17,129
Luego hallar sus puntos críticos, es decir, donde la primera derivada vale cero.

5
00:00:18,730 --> 00:00:25,870
Luego estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento que nos han salido a partir de los puntos críticos.

6
00:00:27,089 --> 00:00:31,370
Con esta información sabremos si esos puntos críticos son extremos de la función.

7
00:00:31,649 --> 00:00:36,009
es decir, si son máximos o mínimos, o tal vez sean puntos de inflexión.

8
00:00:37,289 --> 00:00:38,729
Vamos a verlo con un ejemplo.

9
00:00:40,740 --> 00:00:45,740
El ejemplo que vamos a usar es f de x igual a e elevado a x partido de x.

10
00:00:46,780 --> 00:00:52,000
Su dominio son todos los reales menos el cero, es decir, donde el denominador vale cero.

11
00:00:54,590 --> 00:00:55,850
Hallamos la derivada de la función.

12
00:00:58,079 --> 00:01:04,239
Para este tipo de funciones conviene sacar factor común a e elevado a x porque son más fáciles de manejar.

13
00:01:04,239 --> 00:01:10,859
Igualamos la derivada a 0, es decir, igualamos el numerador a 0

14
00:01:10,859 --> 00:01:16,230
He elevado a x es igual a 0 en ningún sitio

15
00:01:16,230 --> 00:01:21,609
Y x menos 1 es igual a 0 en x igual a 1

16
00:01:21,609 --> 00:01:26,329
Es decir, el único punto crítico es x igual a 1

17
00:01:26,329 --> 00:01:30,510
Que puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión

18
00:01:30,510 --> 00:01:35,489
Es decir, este es un punto donde la tangente es horizontal

19
00:01:35,489 --> 00:01:48,370
Nos hacemos una tabla donde indicamos primero la derivada y luego la función. Vamos a ver los signos de la derivada y con eso sabremos si la función crece o decrece.

20
00:01:49,129 --> 00:02:04,590
Nos indicamos el punto que no pertenece al dominio y el punto crítico que nos ha salido. Yo indicaría de alguna manera el punto que no pertenece al dominio para recordar que en ningún caso es ni un máximo, ni un mínimo, ni un punto de inflexión.

21
00:02:04,590 --> 00:02:12,629
Sustituimos un punto a la izquierda de 0, por ejemplo, menos 1, en la derivada

22
00:02:12,629 --> 00:02:18,009
Al sustituir en la derivada veremos que nos sale negativo, es decir, que la función es decreciente

23
00:02:18,009 --> 00:02:23,849
Sustituimos un valor entre 0 y 1, por ejemplo, 0,5 en la derivada

24
00:02:23,849 --> 00:02:29,330
También nos sale negativo y por tanto la función también es decreciente en ese tramo

25
00:02:29,330 --> 00:02:38,069
A la derecha de 1, por ejemplo, 2. Sustituimos en la derivada y veremos que nos sale positiva y por tanto la función es creciente.

26
00:02:38,949 --> 00:02:48,669
Con esto ya sabemos el comportamiento de la función. Crece desde 1 hasta más infinito. Ahí es creciente.

27
00:02:49,530 --> 00:02:57,250
Decrece desde menos infinito hasta 0 y luego vuelve a decrecer desde 0 hasta 1.

28
00:02:57,250 --> 00:03:04,289
no hay que equivocarse y la función no decrece desde menos infinito hasta 1

29
00:03:04,289 --> 00:03:07,210
sino decrece en dos tramos separados

30
00:03:07,210 --> 00:03:12,240
lo que le pasa en x igual a 0

31
00:03:12,240 --> 00:03:19,379
se estudiaría con más detalle haciendo el límite cuando x se aproxima a 0 de la función

32
00:03:19,379 --> 00:03:22,199
pero lo que le ocurre es que tiene una asíntota vertical

33
00:03:22,199 --> 00:03:28,139
con ese límite sabríamos el comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda

34
00:03:28,139 --> 00:03:35,879
de x igual a 0. Lo que sí que sabemos claramente con lo que acabamos de hacer es que en x igual

35
00:03:35,879 --> 00:03:43,719
a 1 tiene un mínimo, porque a la izquierda decrece y a la derecha vuelve a crecer. El

36
00:03:43,719 --> 00:03:50,060
valor de la función en ese punto sustituimos en x igual a 1 y nos sale e, es decir que

37
00:03:50,060 --> 00:03:55,860
En x igual a 1 la función vale e y ahí tiene un mínimo.

38
00:03:57,199 --> 00:04:07,520
Ahora tendríamos que estudiar los límites cuando x tiende a más infinito, cuando x tiende a menos infinito y cuando x tiende a cero para saber el comportamiento en esos sitios.

39
00:04:08,360 --> 00:04:10,259
Pero eso es otra cuestión.

40
00:04:10,659 --> 00:04:19,519
Con la información que tenemos vemos que la función desde menos infinito hasta cero decrece.

41
00:04:21,569 --> 00:04:30,889
Desde 0 hasta 1 sigue decreciendo y desde 1 hasta más infinito la función es creciente.