1
00:00:00,430 --> 00:00:05,429
En este ejercicio nos piden estudiar la continuidad y la derivabilidad de una función a trozos.

2
00:00:05,929 --> 00:00:09,890
Para estudiar la continuidad y la derivabilidad, primero empezamos por la continuidad.

3
00:00:10,689 --> 00:00:14,529
Entonces, tenemos que ver qué es lo que pasa en cada intervalo.

4
00:00:14,949 --> 00:00:16,769
Empezamos, por ejemplo, si x es menor que c.

5
00:00:17,410 --> 00:00:32,179
En este caso tenemos el producto de un polinomio, x al cubo, por una función exponencial.

6
00:00:32,179 --> 00:00:49,079
Y entonces, como las dos son continuas, el producto es continuo.

7
00:00:56,729 --> 00:01:09,319
Ahora vamos a ver qué pasa si la x es menor que cero, mayor, perdón, menor que cero no, mayor o igual que cero, mayor que cero.

8
00:01:10,359 --> 00:01:12,099
Entonces, en este caso tenemos una fracción algebraica.

9
00:01:12,099 --> 00:01:34,640
algebraica. El único punto que daría problemas es cuando x más 1 es x igual a menos 1, porque

10
00:01:34,640 --> 00:01:41,920
es cuando se hace cero el denominador, que es x más 1. Pero ¿qué pasa con x igual

11
00:01:41,920 --> 00:01:48,579
a menos 1? Que nosotros estamos en un intervalo, aquí nosotros tenemos el cero, nosotros estamos

12
00:01:48,579 --> 00:01:56,680
por aquí. Y el x menos 1 está aquí, está fuera del intervalo. Entonces, daría problema

13
00:01:56,680 --> 00:02:17,240
si es x menos 1, como está fuera del intervalo, la función es continua. Entonces, ya hemos

14
00:02:17,240 --> 00:02:21,539
visto lo que pasa cuando x es menor que 0, cuando x es mayor que 0. Ahora vamos a ver

15
00:02:21,539 --> 00:02:28,539
lo que pasa cuando la x es igual a 0. Si x es igual a 0, tenemos que calcular el límite

16
00:02:28,539 --> 00:02:34,740
cuando x tiende a 0 por la izquierda de la función, que era x cubo por e elevado a x menos 1,

17
00:02:35,680 --> 00:02:41,620
sustituyendo 0 al cubo por e elevado a 0 menos 1, 0 por algo, 0.

18
00:02:42,719 --> 00:02:47,919
Y el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, que también coincide con f de 0,

19
00:02:47,919 --> 00:03:01,520
y x era x partido por x menos 1, x más 1, perdón, esto es igual sustituyendo 0 partido por 0 más 1, también es 0.

20
00:03:02,199 --> 00:03:07,280
Como las tres cosas coinciden, el f de 0 con el límite por la izquierda y el límite por la derecha,

21
00:03:07,819 --> 00:03:18,900
la función f de x es continua en x igual a 0 y por tanto, juntando las tres cosas, es continua siempre.

22
00:03:19,680 --> 00:03:34,710
Veamos la derivada. Ya tenemos que la continuidad, la función es continua, luego, vamos a ponerlo, luego f de x es continua siempre.

23
00:03:37,240 --> 00:03:47,939
Veamos la derivada. Hacemos para la derivabilidad, vamos a hacer la derivada de cada uno de los intervalos.

24
00:03:47,939 --> 00:03:51,699
Arriba tenemos x cubo por el elevado

25
00:03:51,699 --> 00:03:52,620
Tenemos un producto

26
00:03:52,620 --> 00:03:54,500
Entonces hacemos la regla del producto

27
00:03:54,500 --> 00:03:58,840
Deriva del primero por el segundo sin derivar

28
00:03:58,840 --> 00:04:04,259
Más primero sin derivar por la derivada del primero

29
00:04:04,259 --> 00:04:07,599
Elevado de x menos uno por la derivada de lo de arriba

30
00:04:07,599 --> 00:04:09,319
Que es uno, no hace falta ponerlo

31
00:04:09,319 --> 00:04:11,560
Esto es si x es menor que cero

32
00:04:11,560 --> 00:04:14,039
Abajo tenemos cociente

33
00:04:14,039 --> 00:04:15,419
Derivado del cociente

34
00:04:15,419 --> 00:04:19,399
x más 1 al cuadrado

35
00:04:19,399 --> 00:04:23,360
derivada de la de arriba, 1, por lo de abajo sin derivar

36
00:04:23,360 --> 00:04:26,759
menos lo de arriba sin derivar, x

37
00:04:26,759 --> 00:04:29,860
por lo de abajo, la derivada de lo de abajo, 1

38
00:04:29,860 --> 00:04:35,060
simplificamos esto y nos queda 1, porque la x menos x se nos va

39
00:04:35,060 --> 00:04:38,899
partido por x más 1 al cuadrado, si x

40
00:04:38,899 --> 00:04:43,019
es mayor que 0, ahora lo que nos falta

41
00:04:43,019 --> 00:04:52,860
ver si la función es derivable en el 0. Entonces, si la x es igual a 0, calculamos el límite

42
00:04:52,860 --> 00:05:00,439
cuando x tiende a 0 por la izquierda de 3x cuadrado por e elevado a x menos 1 más x

43
00:05:00,439 --> 00:05:07,600
cubo por e elevado a x menos 1, que es igual a 3 por 0 al cuadrado por e elevado a 0 menos

44
00:05:07,600 --> 00:05:17,379
1 más 0 al cubo por e elevado a 0 menos 1. 0 por algo, 0 más 0 por algo, 0. Límite cuando

45
00:05:17,379 --> 00:05:26,519
x tiende a 0 por la derecha de 1 partido por x más 1 al cuadrado, 1 partido por 0 más

46
00:05:26,519 --> 00:05:39,889
1 al cuadrado, esto es igual a 1. Como no coinciden, significa, como no coinciden, la

47
00:05:39,889 --> 00:05:56,509
función no es derivable en x igual a cero y ya estaría hecho. Entonces el resultado final es f

48
00:05:56,509 --> 00:06:17,660
de x es continua siempre y derivable excepto en x igual a cero. Ya tendríamos el ejercicio 2.