1
00:00:11,400 --> 00:00:16,559
Vamos a hacer este ejemplo, estudiar la monotonía y extremos y la curvatura y puntos de inflexión de la función siguiente.

2
00:00:17,160 --> 00:00:22,480
Realmente, en el tema siguiente, añadiendo prácticamente el estudio de las asíntotas y las simetrías,

3
00:00:22,600 --> 00:00:26,820
y la periodicidad, en caso de que lo hubiera, es lo que vamos a hacer en el tema siguiente.

4
00:00:27,500 --> 00:00:29,960
Y ya completar el estudio y representar las funciones.

5
00:00:30,079 --> 00:00:33,299
Con lo cual, esta parte es muy importante para que luego el tema siguiente fluya.

6
00:00:34,439 --> 00:00:37,880
Bien, vamos a ir siguiendo los pasos que tenemos en los apuntes.

7
00:00:37,880 --> 00:00:59,579
El primer paso sería el dominio de la función, será el conjunto de números reales tales que el denominador es distinto de 0, que sería ese conjunto, todos los reales salvo el menos raíz de 3 y el raíz de 3 que son las raíces del denominador, x al cuadrado menos 3 se anula para menos raíz de 3 y más raíz de 3.

8
00:00:59,579 --> 00:01:03,140
siguiente paso, hacer la primera y la segunda derivada

9
00:01:03,140 --> 00:01:05,840
vale, ahí tenemos la primera derivada

10
00:01:05,840 --> 00:01:07,019
derivamos la función

11
00:01:07,019 --> 00:01:10,439
habrá que derivar el numerador por el denominador sin derivar

12
00:01:10,439 --> 00:01:14,340
menos el numerador por la derivada del denominador

13
00:01:14,340 --> 00:01:15,939
y dividido entre el denominador al cuadrado

14
00:01:15,939 --> 00:01:17,000
es una función racional

15
00:01:17,000 --> 00:01:19,079
derivamos de esta manera

16
00:01:19,079 --> 00:01:20,739
bien, desarrollando esto

17
00:01:20,739 --> 00:01:24,750
la primera derivada, la derivada esta

18
00:01:24,750 --> 00:01:28,769
será 3x al cuadrado más 2x menos 2 más 0

19
00:01:28,769 --> 00:01:32,250
y la derivada de esta otra será 2x más 0

20
00:01:32,250 --> 00:01:36,469
bien, esto ya nos queda una operación de polinomios que desarrollamos

21
00:01:36,469 --> 00:01:39,930
y aquí ahora podemos ir simplificando

22
00:01:39,930 --> 00:01:44,170
vale, ahí tenemos, pues nada, hemos ido agrupando por colores, por grado

23
00:01:44,170 --> 00:01:48,150
y tachando en rojo lo que se elimina

24
00:01:48,150 --> 00:01:51,409
y bueno, nos queda simplemente el numerador que es x a la cuarta

25
00:01:51,409 --> 00:01:56,049
menos 7x al cuadrado más 6 partido por x al cuadrado menos 3

26
00:01:56,049 --> 00:02:03,250
todo ello al cuadrado. Esta es la derivada de f de x. Ahí tenemos f'. Ahora, la segunda

27
00:02:03,250 --> 00:02:07,189
derivada, que la vamos a necesitar para el estudio de la curvatura. Con lo cual, lo que

28
00:02:07,189 --> 00:02:11,590
vamos a hacer ahora es derivar esta función. Ahí tenemos, igual que antes, una función

29
00:02:11,590 --> 00:02:18,150
racional, derivada del numerador, que está por el denominador sin derivar, menos denominador

30
00:02:18,150 --> 00:02:24,810
por derivada del numerador. Una cosa importante, fijaos que aquí, en la primera derivada,

31
00:02:24,810 --> 00:02:28,870
el denominador no lo he desarrollado, lo he dejado elevado al cuadrado, eso me va a facilitar

32
00:02:28,870 --> 00:02:32,469
hacer la segunda derivada y simplificar, otra cosa que

33
00:02:32,469 --> 00:02:37,090
es importante es que sepamos que cuando tengo una función racional en la que el denominador

34
00:02:37,090 --> 00:02:40,949
es una expresión, un polinomio, una expresión elevada al cuadrado

35
00:02:40,949 --> 00:02:44,669
al derivar esta función

36
00:02:44,669 --> 00:02:48,949
el siguiente denominador que me aparezca en la siguiente derivada tiene que ser elevado al cubo

37
00:02:48,949 --> 00:02:52,870
si fuera elevado al cubo, elevado a la cuarta, es decir, el grado del denominador aumenta

38
00:02:52,870 --> 00:02:59,849
en 1. Eso porque voy a poder simplificar. Entonces yo espero obtener un grado 3 y aquí

39
00:02:59,849 --> 00:03:07,949
lo tengo. Derivamos esto, 4x al cubo menos 14x y derivamos esto y al derivar esto, 2

40
00:03:07,949 --> 00:03:12,770
por x al cuadrado menos 3 por la derivada de x al cuadrado menos 3 que es 2x, pues vemos

41
00:03:12,770 --> 00:03:16,330
que me aparece aquí el x al cuadrado menos 3, aquí lo tenía al cuadrado y aquí lo

42
00:03:16,330 --> 00:03:21,469
tengo a la cuarta, con lo cual puedo simplificarlo ya que podría sacar el factor común y luego

43
00:03:21,469 --> 00:03:25,069
simplificar, lo puedo hacer directamente, de aquí se va una vez, de aquí también

44
00:03:25,069 --> 00:03:29,349
y de aquí también, bueno, desarrollando esto, obtenemos ahí

45
00:03:29,349 --> 00:03:33,330
esa expresión y ahora, pues igual que antes, podemos

46
00:03:33,330 --> 00:03:37,469
ir agrupando y simplificando lo que se anula, ahí tenemos

47
00:03:37,469 --> 00:03:41,069
el 4 que es la quinta que se va, y nos queda 2x al cubo

48
00:03:41,069 --> 00:03:45,129
más 18x partido por x al cuadrado menos 3

49
00:03:45,129 --> 00:03:48,729
al cubo, y esta es la expresión de la segunda derivada

50
00:03:48,729 --> 00:03:50,430
Muy bien, continuamos

51
00:03:50,430 --> 00:03:52,490
¿Y qué tenemos? Pues tenemos aquí

52
00:03:52,490 --> 00:03:54,289
Lo que tenemos hasta ahora, ¿no?

53
00:03:54,370 --> 00:03:57,389
Hemos calculado la función, tenemos aquí el dominio

54
00:03:57,389 --> 00:03:58,990
Tenemos la primera derivada y segunda derivada

55
00:03:58,990 --> 00:04:00,689
La tenemos aquí organizadito y vamos a continuar

56
00:04:00,689 --> 00:04:02,770
Siguiente paso es

57
00:04:02,770 --> 00:04:06,110
Estudiar la monotonía

58
00:04:06,110 --> 00:04:07,849
Para ello, primer punto

59
00:04:07,849 --> 00:04:09,030
Dentro del estudio de la monotonía

60
00:04:09,030 --> 00:04:11,509
Resolver la ecuación f'x igual a 0

61
00:04:11,509 --> 00:04:13,270
Esta derivada que tengo aquí

62
00:04:13,270 --> 00:04:15,129
Tengo que igualarla a 0 para calcular

63
00:04:15,129 --> 00:04:16,970
Los puntos críticos

64
00:04:16,970 --> 00:04:21,230
es una ecuación bicuadrada porque lo único que tenemos que igualar a 0 es el numerador

65
00:04:21,230 --> 00:04:24,129
hacemos el cambio de variable, t al cuadrado

66
00:04:24,129 --> 00:04:28,089
t al cuadrado igual a x a la cuarta, x al cuadrado igual a t

67
00:04:28,089 --> 00:04:33,230
y nos da la solución 1 y 6 para t y haciendo las raíces

68
00:04:33,230 --> 00:04:36,290
pues más 1 y menos 1 y más raíz de 6 y menos raíz de 6

69
00:04:36,290 --> 00:04:40,689
4 puntos críticos, ahí los tenemos, siguiente paso

70
00:04:40,689 --> 00:04:45,129
calcular el signo de la derivada, ahora lo que tenemos que hacer es

71
00:04:45,129 --> 00:04:49,230
partir el dominio con los puntos críticos

72
00:04:49,230 --> 00:04:52,449
recordad, os recuerdo que el dominio ya tenía dos puntos que no eran del

73
00:04:52,449 --> 00:04:57,129
dominio que eran raíz de 3 y menos raíz de 3 luego esto ya está partido en tres

74
00:04:57,129 --> 00:05:02,009
intervalos hay que partirlo además con todos estos puntos críticos con lo cual

75
00:05:02,009 --> 00:05:07,569
nos quedará lo siguiente la primera derivada vale la pongo factorizada

76
00:05:07,569 --> 00:05:11,350
también para que veamos luego para ver el signo es más fácil de tener factorizado

77
00:05:11,350 --> 00:05:15,089
Simplemente tengo estas cuatro raíces factorizadas de esta manera.

78
00:05:16,490 --> 00:05:18,970
Y ahora vamos a hacer lo siguiente.

79
00:05:20,709 --> 00:05:24,089
Vamos a colocar aquí, desde menos infinito hasta más infinito,

80
00:05:24,709 --> 00:05:28,910
por un lado los puntos que no son del dominio, que son menos raíz de 3 y raíz de 3,

81
00:05:29,029 --> 00:05:30,910
y por otro lado los puntos críticos en orden.

82
00:05:31,509 --> 00:05:36,310
Fijaos que me ha quedado dividido en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 intervalos.

83
00:05:36,910 --> 00:05:40,689
Y aquí colocamos los factores que son susceptibles de cambiar de signo,

84
00:05:40,689 --> 00:05:43,750
que son los del numerador y también los del denominador

85
00:05:43,750 --> 00:05:46,629
¿por qué en este caso no he puesto los del denominador aquí?

86
00:05:47,029 --> 00:05:49,430
porque al estar elevado al cuadrado esto siempre es positivo

87
00:05:49,430 --> 00:05:53,850
con lo cual no hace falta que lo ponga

88
00:05:53,850 --> 00:05:56,089
igual que si aquí arriba tuviera un factor elevado al cuadrado

89
00:05:56,089 --> 00:05:57,089
yo sé que eso siempre es positivo

90
00:05:57,089 --> 00:06:00,610
entonces para el estudio del signo no me aporta nada

91
00:06:00,610 --> 00:06:03,029
entonces son estos cuatro factores

92
00:06:03,029 --> 00:06:06,170
y vamos a ver el signo que tiene cada uno

93
00:06:06,170 --> 00:06:09,069
vale, bueno, hemos señalado

94
00:06:09,069 --> 00:06:11,050
en verde

95
00:06:11,050 --> 00:06:12,769
los que son puntos críticos y en rojo

96
00:06:12,769 --> 00:06:14,810
los que no son del dominio, esto es interesante

97
00:06:14,810 --> 00:06:16,689
también para a la hora de

98
00:06:16,689 --> 00:06:18,189
hacernos una idea de lo que pasa

99
00:06:18,189 --> 00:06:19,810
en cada uno de esos puntos

100
00:06:19,810 --> 00:06:23,370
por ejemplo, si me saliera

101
00:06:23,370 --> 00:06:24,290
que menos raíz de 3

102
00:06:24,290 --> 00:06:26,949
pasa de creciente a decreciente, no puedo concluir

103
00:06:26,949 --> 00:06:28,990
que es un máximo, ¿por qué? porque lo tengo aquí marcado en rojo

104
00:06:28,990 --> 00:06:30,529
porque es un punto en el que no está definida

105
00:06:30,529 --> 00:06:33,029
lo que va a ver en estos dos puntos rojos es una asíntota

106
00:06:33,029 --> 00:06:34,930
bien

107
00:06:34,930 --> 00:06:42,069
Bien, damos valores o simplemente observamos que como está la raíz asociada a x más raíz de 6 es menos raíz de 6,

108
00:06:42,670 --> 00:06:46,290
pues el cambio de signo está aquí, entonces de menos y todo lo demás es más.

109
00:06:46,949 --> 00:06:50,850
Para el x más 1 sería el menos 1, entonces a la izquierda menos, a la derecha más.

110
00:06:51,670 --> 00:06:55,029
Para el x menos 1 sería el 1, a la izquierda menos, a la derecha más.

111
00:06:55,529 --> 00:06:59,149
Para el x menos raíz de 6 sería raíz de 6, todo a la izquierda menos, a la derecha más.

112
00:06:59,149 --> 00:07:05,509
Bueno, ahora lo siguiente sería hacer esta multiplicación de signos o directamente contar

113
00:07:05,509 --> 00:07:11,129
Si el número de signos menos es par será positivo, si el número de signos menos es impar será negativo

114
00:07:11,129 --> 00:07:17,750
Realizamos esto y nos queda aquí más, aquí menos, aquí menos, más, menos, menos y más

115
00:07:17,750 --> 00:07:20,810
Y eso es el signo de la primera derivada

116
00:07:20,810 --> 00:07:24,149
Y ahora eso lo utilizamos para concluir el crecimiento

117
00:07:24,149 --> 00:07:26,110
entonces en la última fila

118
00:07:26,110 --> 00:07:28,750
rellenamos con una flechita indicando si es creciente

119
00:07:28,750 --> 00:07:30,889
cuando es positivo y si es decreciente cuando es negativo

120
00:07:30,889 --> 00:07:32,250
esto de las flechitas

121
00:07:32,250 --> 00:07:33,910
en realidad no haría falta ponerlo

122
00:07:33,910 --> 00:07:36,629
porque ahora ya podemos concluir directamente viendo el signo

123
00:07:36,629 --> 00:07:38,250
de la primera derivada, pero

124
00:07:38,250 --> 00:07:40,269
a mí esto me parece interesante porque

125
00:07:40,269 --> 00:07:42,589
aquí enseguida vemos la idea

126
00:07:42,589 --> 00:07:44,430
de cuando hay un máximo, cuando hay un mínimo

127
00:07:44,430 --> 00:07:46,050
me va a ayudar

128
00:07:46,050 --> 00:07:48,430
a visualizarlo, entonces yo recomiendo

129
00:07:48,430 --> 00:07:49,529
que hagamos esto de las flechitas

130
00:07:49,529 --> 00:07:52,750
por último ahora damos una conclusión

131
00:07:52,750 --> 00:07:54,089
al estudio de la monotonía

132
00:07:54,089 --> 00:07:59,250
entonces mirando simplemente aquí este cuadro pues ya concluimos

133
00:07:59,250 --> 00:08:03,009
creciente, pues donde la flecha apunta para arriba

134
00:08:03,009 --> 00:08:04,769
de menos infinito a menos raíz de 6

135
00:08:04,769 --> 00:08:08,589
de menos 1 a 1 y de raíz de 6 a infinito

136
00:08:08,589 --> 00:08:12,709
decreciente, de menos raíz de 6 a menos raíz de 3

137
00:08:12,709 --> 00:08:14,389
de menos raíz de 3 a menos 1

138
00:08:14,389 --> 00:08:16,529
cuidado que esto no lo podemos juntar en el mismo intervalo

139
00:08:16,529 --> 00:08:17,730
porque esto está en rojo

140
00:08:17,730 --> 00:08:22,990
y eso significa que este menos raíz de 3 no es del dominio

141
00:08:22,990 --> 00:08:28,689
Entonces no podemos decir que es decreciente entre menos raíz de 6 y menos 1 porque estaríamos cogiendo el menos raíz de 3.

142
00:08:29,149 --> 00:08:38,389
Por lo tanto, es de menos raíz de 6 a menos raíz de 3, unión de menos raíz de 3 a menos 1 y luego igual lo mismo aquí, de 1 a raíz de 3 y de raíz de 3 a raíz de 6.

143
00:08:38,750 --> 00:08:41,009
Lo siguiente serían los extremos.

144
00:08:41,750 --> 00:08:45,649
Vamos a ver los extremos y para eso nos ayuda mucho mirar aquí.

145
00:08:45,649 --> 00:08:53,169
Yo he señalado aquí en azul los que yo veo identificados como máximos y en morado los que identifico como mínimos.

146
00:08:53,509 --> 00:08:58,409
Pero cuidado, no basta solo con que yo vea aquí que se produce este efecto de cambio de crecimiento.

147
00:08:58,570 --> 00:09:02,649
Tengo que asegurarme que son valores que sí que son del dominio.

148
00:09:03,009 --> 00:09:06,850
Este sí que es del dominio, este también, este también y este también.

149
00:09:07,110 --> 00:09:10,429
Porque podría ocurrir que hay un cambio de crecimiento en uno de estos valores.

150
00:09:10,429 --> 00:09:15,429
Y entonces no serían un extremo, sería simplemente una asíntota de ramas convergentes.

151
00:09:15,649 --> 00:09:20,509
vale, es decir, aquí los máximos los tengo en el menos raíz de 6 y en el 1

152
00:09:20,509 --> 00:09:23,909
y hay que calcular sus imágenes, ahora las calculamos

153
00:09:23,909 --> 00:09:28,029
y los mínimos en el menos 1 y raíz de 6

154
00:09:28,029 --> 00:09:30,769
menos 1 y raíz de 6

155
00:09:30,769 --> 00:09:32,570
y hay que calcular sus imágenes

156
00:09:32,570 --> 00:09:34,889
vale, entonces calculamos sus imágenes

157
00:09:34,889 --> 00:09:38,549
que sería venir aquí arriba a donde está la función

158
00:09:38,549 --> 00:09:41,690
y sustituir la x por esos valores

159
00:09:41,690 --> 00:09:47,129
la raíz de 6 es 2,45 aproximadamente

160
00:09:47,129 --> 00:09:48,850
bueno, aquí lo que hacemos es aproximar

161
00:09:48,850 --> 00:09:50,409
y obtenemos estos puntos

162
00:09:50,409 --> 00:09:54,350
el menos 2,45 que sería menos raíz de 6

163
00:09:54,350 --> 00:09:56,490
y su imagen es menos 2,27

164
00:09:56,490 --> 00:09:57,470
eso es un máximo

165
00:09:57,470 --> 00:10:00,210
en el 1 la imagen me da 1,5

166
00:10:00,210 --> 00:10:01,269
y ese es otro máximo

167
00:10:01,269 --> 00:10:02,730
y mínimo tengo 2

168
00:10:02,730 --> 00:10:05,370
el menos 1 su imagen me da 0,5

169
00:10:05,370 --> 00:10:08,309
y en el raíz de 6 me da 2,45

170
00:10:08,309 --> 00:10:11,070
como digo, estos puntos yo los he obtenido

171
00:10:11,070 --> 00:10:19,190
y vosotros tenéis que hacer lo mismo, sustituyendo aquí en la función x por el valor donde me ha dado el máximo

172
00:10:19,190 --> 00:10:22,509
o donde me haya dado el mínimo, y calculo la y, que corresponde a cada punto.

173
00:10:23,570 --> 00:10:29,370
Bien, continuamos, ¿y qué tenemos ahora? Pues vamos a tener aquí lo que tenemos resumido hasta ahora.

174
00:10:29,509 --> 00:10:35,070
Tenemos el dominio, tenemos la derivada, la segunda derivada, tenemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento,

175
00:10:35,370 --> 00:10:39,950
los máximos, los mínimos, y vamos a estudiar ahora la curvatura.

176
00:10:39,950 --> 00:10:45,029
Para ello, el primer punto es calcular los candidatos a punto de inflexión

177
00:10:45,029 --> 00:10:51,909
Es decir, resolver la ecuación f' de x, que es esta función de aquí, igual a 0

178
00:10:51,909 --> 00:10:55,389
Entonces, resolvemos esa ecuación

179
00:10:55,389 --> 00:10:58,669
Igual que antes, solo tengo que igualar a 0 el numerador

180
00:10:58,669 --> 00:10:59,850
Y resuelvo

181
00:10:59,850 --> 00:11:02,129
En este caso se puede factorizar

182
00:11:02,129 --> 00:11:05,429
Sale 2x, un factor, y otro x al cuadrado más 9

183
00:11:05,429 --> 00:11:08,309
x al cuadrado más 9 no se anula, no tiene solución

184
00:11:08,309 --> 00:11:10,730
saldría la raíz cuadrada de menos 9 que no es real

185
00:11:10,730 --> 00:11:12,610
y x se anula en x igual a 0

186
00:11:12,610 --> 00:11:14,509
luego solo hay un candidato a punto de inflexión

187
00:11:14,509 --> 00:11:17,190
solo hay un punto que anula la segunda derivada

188
00:11:17,190 --> 00:11:21,769
con ese punto lo que hacemos ahora es analizar el signo de f segunda de x

189
00:11:21,769 --> 00:11:25,450
para ello lo escribimos factorizado al máximo

190
00:11:25,450 --> 00:11:29,590
el numerador ya está y el denominador se puede factorizar algo más

191
00:11:29,590 --> 00:11:32,330
¿por qué antes no lo factoricé con el crecimiento?

192
00:11:32,409 --> 00:11:34,309
porque estaba al cuadrado y me daba igual el signo

193
00:11:34,309 --> 00:11:38,289
pero ahora al estar al cubo esto sí que va a cambiar de signo

194
00:11:38,289 --> 00:11:43,990
Entonces, si lo factorizo, lo recuerdo que las raíces del denominador eran raíz de 3 y menos raíz de 3,

195
00:11:44,529 --> 00:11:49,029
pues este x al cuadrado menos 3 se factoriza como x menos raíz de 3 por x más raíz de 3.

196
00:11:49,669 --> 00:11:54,169
Y luego, como está el cubo, pues pongo al cubo, aunque para el signo realmente lo único que me importa es que sea impar.

197
00:11:54,509 --> 00:11:59,289
Con lo cual, ahí tengo el x al cuadrado más 9, es un factor que no necesito colocar,

198
00:11:59,649 --> 00:12:01,529
y tengo ahora la misma tablita que hice antes.

199
00:12:02,090 --> 00:12:07,009
El dominio era de menos infinito a menos raíz de 3, de menos raíz de 3 a raíz de 3 y de raíz de 3 a infinito,

200
00:12:07,009 --> 00:12:11,850
y le añado, aquí le corto además por un único valor, que es la única solución que he obtenido.

201
00:12:12,450 --> 00:12:18,769
Los factores que tengo que analizar su signo son 2x, x menos raíz de 3 y x más raíz de 3,

202
00:12:18,889 --> 00:12:21,909
porque este x al cuadrado más 9 es siempre positivo.

203
00:12:22,950 --> 00:12:29,289
Bien, pues ahora ya igual que antes, 2x va a ser negativo a la izquierda de 0 y positivo a la derecha de 0,

204
00:12:30,190 --> 00:12:34,429
x menos raíz de 3 va a ser negativo a la izquierda de raíz de 3 y positivo a la derecha,

205
00:12:34,429 --> 00:12:36,690
y x más raíz de 3 va a ser negativo

206
00:12:36,690 --> 00:12:38,409
a la izquierda de menos raíz de 3

207
00:12:38,409 --> 00:12:39,490
y positivo a la derecha

208
00:12:39,490 --> 00:12:41,649
esto si cogéis un valor cualquiera

209
00:12:41,649 --> 00:12:43,309
y con la calculadora calculáis

210
00:12:43,309 --> 00:12:45,049
lo vais a sacar, pero

211
00:12:45,049 --> 00:12:47,309
si lo hacemos así vamos a ser más rápidos

212
00:12:47,309 --> 00:12:49,049
y recordáis que en los exámenes siempre

213
00:12:49,049 --> 00:12:51,750
os gusta que el tiempo sobre

214
00:12:51,750 --> 00:12:52,409
y no que os falte

215
00:12:52,409 --> 00:12:55,350
bien, ahora lo siguiente sería

216
00:12:55,350 --> 00:12:57,330
contar esos signos

217
00:12:57,330 --> 00:12:59,710
si hay un número impar

218
00:12:59,710 --> 00:13:01,950
de signos menos será negativo, como en el primer caso

219
00:13:01,950 --> 00:13:03,490
si hay un número par, como aquí

220
00:13:03,490 --> 00:13:09,450
que hay dos es positivo, aquí hay uno negativo, aquí no hay ninguno positivo. Y ahora por último, igual que

221
00:13:09,450 --> 00:13:14,149
antes ponía las flechitas, ahora estoy analizando la curvatura, voy a poner pues como una curva

222
00:13:14,149 --> 00:13:18,590
abierta hacia arriba o abierta hacia abajo para indicar cada uno de los casos. Cuando es negativa,

223
00:13:18,710 --> 00:13:23,629
la segunda derivada, la función será abierta hacia abajo, positiva abierta hacia arriba. Me quedan

224
00:13:23,629 --> 00:13:30,370
esos intervalos. Pues nada, igual que antes, sacamos la conclusión. Conclusión ahora, pues, ¿dónde es

225
00:13:30,370 --> 00:13:34,909
abierta hacia arriba la función? Pues es abierta hacia arriba entre menos raíz de 3

226
00:13:34,909 --> 00:13:40,710
y 0 y entre raíz de 3 infinito. Lo tengo aquí. ¿Y dónde es abierta hacia abajo? Entre

227
00:13:40,710 --> 00:13:47,830
menos infinito y menos raíz de 3 y entre 0 y raíz de 3. Siguiente apartado, o siguiente

228
00:13:47,830 --> 00:13:54,129
parte. Ver si hay puntos de inflexión. Pues ahora nos fijamos que tengo aquí un cambio

229
00:13:54,129 --> 00:14:00,529
de curvatura, aquí tengo otro y aquí tengo otro, pero si me miro arriba, el único que

230
00:14:00,529 --> 00:14:04,549
sí que es del dominio es el 0, este menos raíz de 3 y este raíz de 3, hay un cambio

231
00:14:04,549 --> 00:14:08,370
de curvatura, pero lo que hay ahí es una asíntota, no es un punto de inflexión. Entonces

232
00:14:08,370 --> 00:14:13,889
yo señalo ahí que veo que hay un cambio de curvatura, ¿vale? Y no señalo los otros

233
00:14:13,889 --> 00:14:17,409
dos porque me fijo arriba que lo que hay ahí es una asíntota, va a haber una asíntota

234
00:14:17,409 --> 00:14:21,470
de ramas divergentes. Bueno, entonces ese punto de inflexión, la x es igual a 0, la

235
00:14:21,470 --> 00:14:23,549
y es f de 0 que vale 1

236
00:14:23,549 --> 00:14:25,909
si sustituimos la x aquí arriba

237
00:14:25,909 --> 00:14:27,409
la x por 0 me queda

238
00:14:27,409 --> 00:14:29,309
menos 3 partido por menos 3 que es 1

239
00:14:29,309 --> 00:14:31,529
entonces ya tengo el punto de inflexión

240
00:14:31,529 --> 00:14:32,649
que es el 0, 1

241
00:14:32,649 --> 00:14:35,950
bien, pues si resumimos

242
00:14:35,950 --> 00:14:37,529
todo, aquí lo tenemos

243
00:14:37,529 --> 00:14:39,710
ya todo el estudio que hemos

244
00:14:39,710 --> 00:14:41,769
hecho resumido y con esto ya prácticamente

245
00:14:41,769 --> 00:14:42,850
lo tendríamos

246
00:14:42,850 --> 00:14:45,450
para poder intentar esbozar un poquito

247
00:14:45,450 --> 00:14:47,850
la función, nos faltaría las asíntotas

248
00:14:47,850 --> 00:14:49,929
ya sabemos que en raíz de 3

249
00:14:49,929 --> 00:14:52,210
y en menos raíz de 3 va a tener asíntotas verticales

250
00:14:52,210 --> 00:14:53,529
y nos faltaría estudiar

251
00:14:53,529 --> 00:14:56,110
el caso de las asíntotas horizontales

252
00:14:56,110 --> 00:14:56,909
y oblicuas

253
00:14:56,909 --> 00:14:59,610
eso ya lo haremos

254
00:14:59,610 --> 00:15:01,330
en un tema a continuación

255
00:15:01,330 --> 00:15:03,629
pero bueno, para que nos hagamos una idea

256
00:15:03,629 --> 00:15:06,070
de cómo encaja todo lo que hemos obtenido

257
00:15:06,070 --> 00:15:07,590
ahí tenemos la gráfica de la función

258
00:15:07,590 --> 00:15:09,889
y ahí observamos los puntos

259
00:15:09,889 --> 00:15:10,710
que hemos calculado

260
00:15:10,710 --> 00:15:13,669
los máximos que eran en

261
00:15:13,669 --> 00:15:15,529
menos 2,45

262
00:15:15,529 --> 00:15:17,230
y en 1

263
00:15:17,230 --> 00:15:21,690
los mínimos que eran en menos 1 y en más 2,45

264
00:15:21,690 --> 00:15:25,629
el punto de inflexión que estaba en el 0

265
00:15:25,629 --> 00:15:28,990
y efectivamente en el menos raíz de 3 y en el más raíz de 3

266
00:15:28,990 --> 00:15:30,590
también hay un cambio de curvatura

267
00:15:30,590 --> 00:15:33,250
pero no es porque haya un punto de inflexión, es porque hay una asíntota

268
00:15:33,250 --> 00:15:36,250
y aquí en el 0 sí, viene abierta hacia arriba

269
00:15:36,250 --> 00:15:38,289
y a partir de ahí cambia abierta hacia abajo

270
00:15:38,289 --> 00:15:43,830
muy bien, pues espero que este estudio os sirva

271
00:15:43,830 --> 00:15:47,789
esta pizarra donde he estado desarrollando esto

272
00:15:47,789 --> 00:15:49,929
también os la voy a enlazar en el aula virtual

273
00:15:49,929 --> 00:15:54,389
en PDF para que podáis por lo menos verla también

274
00:15:54,389 --> 00:15:56,309
a la vez que visualicéis el vídeo