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00:00:12,400 --> 00:00:17,440
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,440 --> 00:00:21,899
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,899 --> 00:00:25,820
de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones.

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00:00:26,780 --> 00:00:34,899
En la videoclase de hoy estudiaremos las ecuaciones cuadráticas.

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00:00:35,840 --> 00:00:53,159
En esta videoclase vamos a estudiar las ecuaciones cuadráticas, que como veis son ecuaciones

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00:00:53,159 --> 00:00:58,079
polinómicas de segundo grado en X, donde lo que voy a encontrar va a ser con carácter

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00:00:58,079 --> 00:01:03,340
general un polinomio de segundo grado igualado a cero, o bien voy a poder reducirlo a esa expresión.

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00:01:03,979 --> 00:01:10,379
Nos encontraremos siempre, o buscaremos reducirnos a expresiones que sean del tipo a por x al cuadrado

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00:01:10,379 --> 00:01:16,640
más b por x más c igual a cero. Llamaremos a al coeficiente principal, al coeficiente del término

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00:01:16,640 --> 00:01:21,920
cuadrático de grado 2, que tiene que ser distinto de cero para que la ecuación sea realmente de

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00:01:21,920 --> 00:01:25,500
segundo grado. Si a fuera igual a cero nos encontraríamos posiblemente con una ecuación

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00:01:25,500 --> 00:01:31,140
de primer grado. Vamos a llamar b al coeficiente del término lineal, al término en x, y c al término

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00:01:31,140 --> 00:01:35,659
independiente, b y c, números reales cualesquiera. Pues bien, cuando nos encontremos con una ecuación

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00:01:35,659 --> 00:01:41,219
de segundo grado así expresada, buscaremos las soluciones, las soluciones o las soluciones con

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00:01:41,219 --> 00:01:47,540
carácter general utilizando esta fórmula que vemos aquí. Todo este desarrollo no es más que a partir

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00:01:47,540 --> 00:01:52,500
de esta ecuación, cómo puedo efectuar transformaciones, todos los cambios aparecen en rojo,

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00:01:52,500 --> 00:01:56,480
para encontrar esta fórmula. En el fondo es la demostración de la fórmula.

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00:01:57,140 --> 00:02:05,120
Nosotros utilizaremos la fórmula que veis que es x igual a menos b más menos la red cuadrada de b cuadrado menos 4 por a por c,

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00:02:05,640 --> 00:02:08,039
todo ello dividido entre 2 por a.

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00:02:08,900 --> 00:02:12,439
Cuando aquí tengo menos b no quiere decir que esta cantidad deba ser negativa,

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00:02:12,639 --> 00:02:14,800
quiere decir que a b le debo cambiar el signo.

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00:02:14,800 --> 00:02:19,439
Así pues, si b es negativo, menos por menos más, aquí tendré una cantidad positiva,

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00:02:19,439 --> 00:02:23,259
solo si b es positivo, con el signo menos, aquí lo que tendría que ser una cantidad negativa.

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00:02:24,460 --> 00:02:28,979
Más menos delante de la raíz cuadrada me recuerda que los radicales de grado par,

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00:02:29,060 --> 00:02:34,860
y en este caso el radical con grado 2, tienen dos raíces que van a ser iguales en valor absoluto,

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00:02:34,979 --> 00:02:36,439
una con signo más y otra con signo menos.

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00:02:36,580 --> 00:02:38,460
Y aquí este más menos me recuerda eso.

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00:02:38,960 --> 00:02:44,180
Voy a tener en general dos soluciones, una con el signo más, la raíz con signo positivo,

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00:02:44,400 --> 00:02:46,840
otra con el signo menos, la raíz con signo negativo.

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00:02:46,840 --> 00:02:53,560
el radicando b cuadrado menos 4 por a por c en este contexto se denomina discriminante y lo vamos

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00:02:53,560 --> 00:02:58,939
a representar con la letra delta mayúscula el discriminante va a ser relevante puesto que en

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00:02:58,939 --> 00:03:03,620
función de su valor nos vamos a encontrar con que la ecuación puede tener dos soluciones va a ser

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00:03:03,620 --> 00:03:10,139
lo más general o más habitual puede tener una única solución o puede ser que la ecuación no

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00:03:10,139 --> 00:03:15,159
tenga solución esto es que la solución sea el conjunto vacío si el discriminante fuera negativo

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00:03:15,159 --> 00:03:19,080
puesto que no existen las redes cuadradas de los números negativos, directamente nos encontramos

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00:03:19,080 --> 00:03:23,840
con esa última situación. Decimos, coloquialmente, la ecuación no tiene solución, la solución es el

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00:03:23,840 --> 00:03:29,199
conjunto vacío. En el caso en el que el discriminante sea idénticamente nulo, la red cuadrada de 0 es

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00:03:29,199 --> 00:03:34,680
solamente el valor 0, nos encontraremos con una única solución, x igual a menos b partido por 2a.

39
00:03:35,240 --> 00:03:39,340
Y únicamente en el caso, el más general, por cierto, en el que el discriminante sea positivo,

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00:03:39,939 --> 00:03:45,039
nos encontraremos con que tenemos dos soluciones. En una de ellas nos quedaremos con la

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00:03:45,039 --> 00:03:50,879
raíz negativa y aquí lo indico con este sino menos delante del radicando. En el segundo caso nos

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00:03:50,879 --> 00:03:55,520
quedaremos con la raíz positiva del radical y eso lo indico con este sino positivo delante del

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00:03:55,520 --> 00:04:00,680
radicando. En este caso tenemos dos soluciones y x pertenece a este conjunto donde tenemos un

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00:04:00,680 --> 00:04:08,159
posible valor numérico y un segundo valor numérico. En el caso en el que la ecuación decimos tiene una

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00:04:08,159 --> 00:04:14,819
única solución, en ciertos contextos diremos que lo que ocurre es que las dos soluciones que yo

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00:04:14,819 --> 00:04:19,879
estoy esperando son iguales. Más adelante cuando hablemos de ecuaciones de grado superior a 2 y

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00:04:19,879 --> 00:04:25,819
discutamos cómo estamos resolviendo las ecuaciones polinómicas buscando las raíces o bien buscando

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00:04:25,819 --> 00:04:31,560
la factorización del polinomio, veremos que en este caso lo que va a pasar es que tenemos una

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00:04:31,560 --> 00:04:37,639
factorización con dos factores iguales, lo que tenemos son dos raíces iguales. Así que según

50
00:04:37,639 --> 00:04:42,019
cómo estemos contando soluciones tenemos dos soluciones iguales o bien diremos que tenemos

51
00:04:42,019 --> 00:04:46,980
únicamente una. Nosotros cuando estemos en el contexto de resolver ecuaciones diremos que tiene

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00:04:46,980 --> 00:04:52,500
una única solución y será esta. Si estamos pensando en factorizar polinomios o buscar raíces de

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00:04:52,500 --> 00:04:58,439
polinomios podemos pensar que tenemos dos raíces iguales, pero una única solución en este contexto.

54
00:05:00,819 --> 00:05:04,680
Lo que he mencionado anteriormente se corresponde a las ecuaciones que se denominan completas,

55
00:05:04,680 --> 00:05:10,759
cuando tanto a como b como c son distintos de cero. A, por supuesto, pero en el caso en el que b y c

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00:05:10,759 --> 00:05:16,060
son distintos de cero. Esta fórmula es universal, ¿vale? Siempre, siempre que se den estas circunstancias,

57
00:05:16,279 --> 00:05:21,180
siempre que a sea distinto de cero, puesto que si a fuera cero, fijaos que no podría dividir y la división entre cero

58
00:05:21,180 --> 00:05:27,540
no estaría definida. En el caso en el que tanto b como c o una de las dos fuera igual a cero, podría no utilizar

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00:05:27,540 --> 00:05:33,300
esta fórmula, sino que considerar que lo que tengo es una ecuación incompleta, puesto que faltaría uno de estos términos

60
00:05:33,300 --> 00:05:39,879
o los dos, y utilizar métodos alternativos. En el caso en el que b fuera igual a cero, me puedo dar cuenta con que

61
00:05:39,879 --> 00:05:44,120
la ecuación que tengo es ax cuadrado más t igual a 0, me encuentro con que tengo la

62
00:05:44,120 --> 00:05:50,259
x en un único término y puedo sencillamente despejar la x. Puedo pasar, insisto, pasar

63
00:05:50,259 --> 00:05:54,060
esta c restando al miembro de la derecha, a continuación esta a que está multiplicando

64
00:05:54,060 --> 00:05:58,579
pasarla dividiendo y después extraer la raíz cuadrada para eliminar el cuadrado, teniendo

65
00:05:58,579 --> 00:06:03,800
en mente siempre de que la raíz cuadrada son dos, una con signo positivo, otra con

66
00:06:03,800 --> 00:06:08,639
signo negativo. Y fijaos, oh, tengo en la raíz cuadrada un número negativo, eso no

67
00:06:08,639 --> 00:06:12,560
existe. Cuidado, esto no es correcto. Este signo menos lo que me dice es que debo

68
00:06:12,560 --> 00:06:17,319
cambiarle el signo a c antes de dividir entre a. En el caso en el que c y a tengan

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00:06:17,319 --> 00:06:22,500
el mismo signo, evidentemente en este caso sí, el radicando sería negativo y me

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00:06:22,500 --> 00:06:25,459
encontraría en una de esas situaciones en las que la solución es el conjunto vacío,

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00:06:25,980 --> 00:06:30,540
pero únicamente en ese caso. En el caso en el que c fuera igual a 0, bien, pues en el

72
00:06:30,540 --> 00:06:33,339
caso en el que c fuera igual a 0 me encontraría con una ecuación como esta, en

73
00:06:33,339 --> 00:06:36,939
la que me encuentro que todos los términos contienen a la x y puedo sacarla de

74
00:06:36,939 --> 00:06:43,759
factor común x, factor común de a por x más b. Y en este caso me puedo encontrar con que ya tengo

75
00:06:43,759 --> 00:06:48,899
el polinomio factorizado, puedo buscar las dos raíces que van a ser las dos soluciones o bien

76
00:06:48,899 --> 00:06:53,860
puedo plantearme que el producto de dos cantidades es igual a cero si sólo si al menos una de ellas

77
00:06:53,860 --> 00:06:58,579
es igual a cero. Así que o bien este término es igual a cero y aquí tengo la primera solución

78
00:06:58,579 --> 00:07:04,379
para la ecuación del segundo grado o bien a por x más b tiene que ser igual a cero y entonces tengo

79
00:07:04,379 --> 00:07:08,680
la solución de esta ecuación de primer grado, que va a ser la segunda solución

80
00:07:08,680 --> 00:07:11,060
de la ecuación de segundo grado que yo tengo entre manos.

81
00:07:11,740 --> 00:07:16,319
Menos b partido por a. En el caso en el que tanto b como c fueran igual a cero,

82
00:07:16,699 --> 00:07:20,040
lo que tendría es sencillamente a por x al cuadrado es igual a cero

83
00:07:20,040 --> 00:07:24,240
y esto cuando a es distinto de cero únicamente se cumple cuando x es igual a cero.

84
00:07:24,339 --> 00:07:28,139
Es el caso más sencillo posible y ni siquiera me ha parecido relevante

85
00:07:28,139 --> 00:07:32,300
reflejarlo en estos apuntes. Con esto que acabamos de ver

86
00:07:32,300 --> 00:07:37,439
ya se pueden resolver todos estos ejercicios, en este caso resolver directamente las ecuaciones.

87
00:07:38,439 --> 00:07:44,459
Nosotros sabemos resolver ecuaciones de segundo grado únicamente cuando toman la forma polinomio de segundo grado igual a cero,

88
00:07:44,680 --> 00:07:52,199
así que tendríamos que desarrollar estos cuadrados, por ejemplo, tendríamos que multiplicar, en este caso, menos uno,

89
00:07:52,339 --> 00:07:59,240
cambiar el signo, al polinomio resultante de elevar al cuadrado, en este caso tengo identidades notables,

90
00:07:59,720 --> 00:08:02,240
debería llevarlo todo un miembro para tenerlo igual a cero.

91
00:08:02,560 --> 00:08:07,639
En este caso, además de lo que he mencionado, me tengo que plantear qué hacer con los denominadores.

92
00:08:07,800 --> 00:08:12,600
Una posibilidad, poner denominador común en ambos miembros y multiplicar por él para eliminarlo.

93
00:08:12,600 --> 00:08:17,740
O poner denominador común únicamente en el mismo de la izquierda, en el mismo de la izquierda y operar con ellos.

94
00:08:18,100 --> 00:08:19,819
Lo que consideremos relevante en cada momento.

95
00:08:20,639 --> 00:08:29,019
En estos dos ejercicios, 4 y 5, con lo que nos encontramos es no directamente una ecuación de segundo grado,

96
00:08:29,240 --> 00:08:35,519
Aquí en el ejercicio 5 sí que tengo por lo menos una fórmula que incluye un polinomio de segundo grado, en este ejercicio 4 no.

97
00:08:36,220 --> 00:08:45,220
Así que en este ejercicio 4 tengo que decidir quién va a ser la incógnita, va a haber alguna magnitud por la cual tenga interés que va a ser la incógnita,

98
00:08:45,220 --> 00:08:52,340
en este caso está muy claro, la longitud de los lados de un cuadrado, y de alguna manera con la información que está ahí contenida

99
00:08:52,340 --> 00:08:59,100
debo ser capaz de encontrar un polinomio de segundo grado cuya igualación a cero sea la condición que tengo

100
00:08:59,100 --> 00:09:03,299
para poder resolver lo que me están preguntando. Tendré que verlo con cuidado.

101
00:09:04,000 --> 00:09:09,600
En este caso directamente tengo una fórmula y de t, un polinomio que se llama y, en función del tiempo,

102
00:09:09,700 --> 00:09:13,080
que va a ser la incógnita, 100t menos 4,905t al cuadrado.

103
00:09:13,419 --> 00:09:18,500
Tiene un nombre peculiar, letra minúscula en lugar de letra mayúscula, porque en este caso lo tengo contextualizado

104
00:09:18,500 --> 00:09:25,000
y es una magnitud, es relevante, que se llama y. En cuanto a la variable que en este caso sería la

105
00:09:25,000 --> 00:09:30,120
variable independiente, no es x sino que es t porque va a ser relevante que sea t. Lo veréis en cuanto

106
00:09:30,120 --> 00:09:35,799
leamos el enunciado. Y en este caso se nos indican ciertas condiciones que nosotros tendremos que

107
00:09:35,799 --> 00:09:40,399
imponer en esta fórmula que tenemos aquí, que se van a traducir en polinomios de segundo grado

108
00:09:40,399 --> 00:09:45,019
igualados a cero, en ecuaciones de segundo grado, cuya solución va a estar en relación con aquello

109
00:09:45,019 --> 00:09:49,460
que se me pide resolver. Lo veremos en clase, posiblemente lo veremos en alguna videoclase

110
00:09:49,460 --> 00:09:49,879
posterior.

111
00:09:52,899 --> 00:09:58,519
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

112
00:09:59,259 --> 00:10:04,740
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis

113
00:10:04,740 --> 00:10:09,700
en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un

114
00:10:09,700 --> 00:10:10,899
saludo y hasta pronto.