1
00:00:00,370 --> 00:00:04,509
Vamos con el ejercicio 4 de la ficha, con el último, ¿vale?

2
00:00:04,750 --> 00:00:07,429
Me piden estudiar la continuidad y la derivabilidad.

3
00:00:07,969 --> 00:00:10,990
Vale, pues lo primero que tenemos que hacer, vamos a empezar con la continuidad.

4
00:00:11,550 --> 00:00:15,550
Fijaos, me están diciendo los puntos en los que lo tengo que calcular, en el 2 y en el 6.

5
00:00:16,329 --> 00:00:17,789
¿Cuáles son justamente esos puntos?

6
00:00:17,929 --> 00:00:20,670
Los puntos en los que cambiamos los trozos de la función.

7
00:00:21,449 --> 00:00:25,390
Esta es una función definida en tres trozos, pero se hace exactamente como si fueran dos,

8
00:00:25,469 --> 00:00:27,649
es decir, me da igual tener 2, 3, 24.

9
00:00:27,649 --> 00:00:32,530
Lo que tenemos que hacer siempre es el estudio en esos puntos en los que cambia de función.

10
00:00:33,030 --> 00:00:41,149
Cada uno de los trozos de la función son polinomios, por lo tanto, fuera de esos puntos todo lo demás funciona perfectamente

11
00:00:41,149 --> 00:00:45,310
porque al ser función polinómica son continuas y también son derivables.

12
00:00:45,969 --> 00:00:47,490
Venga, vamos a empezar con la continuidad.

13
00:00:48,329 --> 00:00:55,710
Lo primero, ¿qué significa que f de x sea continua en x igual 2?

14
00:00:55,710 --> 00:01:04,250
Pues esto lo que quiere decir es que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de la función

15
00:01:04,250 --> 00:01:10,730
Tiene que coincidir con el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de la función

16
00:01:10,730 --> 00:01:14,870
Y tiene que coincidir con el valor de la función

17
00:01:14,870 --> 00:01:20,450
El igual está aquí, está por la derecha en este caso

18
00:01:20,450 --> 00:01:41,510
Por lo tanto, f de 2 es igual que el límite, cuando x tiende a 2 por la derecha, de x cuadrado menos 8x más 15, sustituimos en el 2, esto es 2 al cuadrado es 4, menos 16 más 15, es decir, 3.

19
00:01:41,510 --> 00:01:45,469
¿Vale? Calculamos ahora el límite por la izquierda

20
00:01:45,469 --> 00:01:50,049
Por 2 por la izquierda sería de menos 4x más 11

21
00:01:50,049 --> 00:01:55,549
Sustituimos la x por 2 y me queda menos 8 más 11

22
00:01:55,549 --> 00:01:57,230
Es decir, 3

23
00:01:57,230 --> 00:01:58,870
¿Y qué hemos obtenido?

24
00:01:59,430 --> 00:02:01,870
Hemos obtenido el mismo valor en el límite

25
00:02:01,870 --> 00:02:12,939
Pues esto lo que significa es que f de x es continua en x igual 2

26
00:02:12,939 --> 00:02:13,939
¿Vale?

27
00:02:14,520 --> 00:02:19,139
Que sea continua significa, o sea, si hubiera sido que no es continua hubiéramos dicho

28
00:02:19,139 --> 00:02:20,539
Por lo tanto no es derivable

29
00:02:20,539 --> 00:02:24,479
Pero que sea continua significa que puede ser derivable o puede no ser

30
00:02:24,479 --> 00:02:27,520
¿Vale? Vamos a estudiar la otra continuidad

31
00:02:27,520 --> 00:02:35,300
¿Qué significa que f de x sea continua en x igual 6?

32
00:02:35,300 --> 00:02:42,419
Pues que lo que tiene que ocurrir es que el límite por la izquierda en 6 de la función

33
00:02:42,419 --> 00:02:48,819
tiene que coincidir con el límite por la derecha en 6 de la función

34
00:02:48,819 --> 00:02:52,659
y coincidir con el valor de la función en 6.

35
00:02:53,680 --> 00:02:57,599
Aquí vuelve a estar el igual cuando me acerco por la derecha,

36
00:02:58,319 --> 00:03:02,819
por lo tanto aquí tenemos otra vez que f de 6 es igual al límite

37
00:03:02,819 --> 00:03:10,979
cuando x tiende a 6 por la derecha de 3 cuartos por menos x más 10.

38
00:03:12,960 --> 00:03:21,460
Sustituimos, esto es tres cuartos, por menos seis más diez es cuatro, es decir, tres cuartos por cuatro, esto es tres.

39
00:03:22,280 --> 00:03:32,180
Calculamos ahora el límite por la izquierda, cuando x tiende a seis por la izquierda, de x cuadrado menos ocho x más quince.

40
00:03:33,479 --> 00:03:40,280
Sustituimos y me queda seis al cuadrado es treinta y seis, menos ocho por seis, cuarenta y ocho, más quince.

41
00:03:40,280 --> 00:03:47,860
Luego esto es 51 menos 48, es decir, es 3

42
00:03:47,860 --> 00:03:50,680
Coinciden los valores

43
00:03:50,680 --> 00:03:55,099
Ojo, que me haya dado otra vez 3 como arriba es casualidad, ¿vale?

44
00:03:55,099 --> 00:03:57,219
No tiene que dar siempre el mismo valor

45
00:03:57,219 --> 00:04:01,780
Pero como en estos dos límites son iguales, pues volvemos a decir lo mismo

46
00:04:01,780 --> 00:04:10,349
Que f de x es continua en x igual 6, ¿vale?

47
00:04:10,349 --> 00:04:16,149
En ambos puntos es continua, por lo tanto, no sabemos si va a ser derivable o no.

48
00:04:16,310 --> 00:04:17,550
Lo tenemos también que verificar.

49
00:04:18,069 --> 00:04:20,410
Voy a borrar y ahora calculamos la derivabilidad.

50
00:04:21,629 --> 00:04:23,930
Vale, pues vamos para estudiar la derivabilidad.

51
00:04:24,129 --> 00:04:24,850
Ya he borrado todo.

52
00:04:25,589 --> 00:04:28,310
Lo primero que hacemos es calcular la función derivada.

53
00:04:29,129 --> 00:04:33,410
La derivada de una función definida a trozos es hacer la derivada de cada uno de los trozos.

54
00:04:34,069 --> 00:04:38,509
Como he dicho antes, en cada uno de los trozos son polinomios, por tanto es derivable.

55
00:04:38,509 --> 00:04:42,730
La derivada de menos 4x más 11 es menos 4

56
00:04:42,730 --> 00:04:47,029
Esto es si la x está entre 0 y 2

57
00:04:47,029 --> 00:04:48,490
Uy, que me he comido el menos

58
00:04:48,490 --> 00:04:51,110
Os recuerdo que en la derivada no se pone el igual, ¿vale?

59
00:04:51,889 --> 00:04:55,810
En la derivada de x cuadrado menos 8x más 15 es 2x menos 8

60
00:04:55,810 --> 00:04:59,589
Cuando la x está entre 2 y 6

61
00:04:59,589 --> 00:05:03,569
Y la última derivada, dejo fuera la constante

62
00:05:03,569 --> 00:05:07,029
Y ahora es la derivada de menos x más 10 que es menos 1

63
00:05:07,029 --> 00:05:13,110
Por lo tanto pongo el menos delante y aquí esto es cuando la c es 6 menor que x menor que 10.

64
00:05:14,709 --> 00:05:19,329
Ya tenemos la función derivada y ahora a ver, lo primero que tenemos que estudiar,

65
00:05:19,410 --> 00:05:27,980
¿qué significa que f de x sea derivable en x igual 2?

66
00:05:28,420 --> 00:05:34,800
Pues esto lo que quiere decir es que la derivada por la izquierda y por la derecha en 2 tienen que coincidir,

67
00:05:34,800 --> 00:05:48,259
Es decir, que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de f' de x tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 2 por la derecha de f' de x.

68
00:05:48,660 --> 00:05:56,100
Si estos límites coinciden, en ese caso el valor obtenido sería el valor de la derivada en 2, ¿vale?

69
00:05:56,100 --> 00:06:04,620
Pero esto no lo podemos calcular directamente, sino que es el valor que sí coinciden los dos límites.

70
00:06:04,800 --> 00:06:19,310
Pues vamos a ver, la derivada por la izquierda, esto es el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de menos 4, no tenemos x, luego esto es menos 4.

71
00:06:20,269 --> 00:06:34,670
La derivada por la derecha es el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de 2x menos 8, sustituimos y es 2 por 2, 4 menos 8 menos 4.

72
00:06:34,670 --> 00:06:56,959
Bueno, pues fijaos, los dos límites coinciden, luego eso significa que f de x sí es derivable en x igual 2 y en este caso el valor de la derivada en 2 es justamente ese valor que hemos obtenido, el menos 4.

73
00:06:56,959 --> 00:07:00,360
Vamos a hacer lo mismo pero en el 6

74
00:07:00,360 --> 00:07:09,310
f de x derivable en x igual 6

75
00:07:09,310 --> 00:07:13,050
Si, solo si, los límites laterales

76
00:07:13,050 --> 00:07:20,870
Si, el límite cuando x tiende a 6 por la izquierda

77
00:07:20,870 --> 00:07:27,569
Es decir, la derivada por la izquierda de la función en 6 coincide con la derivada por la derecha

78
00:07:27,569 --> 00:07:38,050
Y como hemos dicho antes, si este límite coincidiera, eso significaría que ese valor sería f' de 6

79
00:07:38,050 --> 00:07:43,449
Pero esto solo, pongo aquí el interrogante, esto solo sería si los límites coinciden

80
00:07:43,449 --> 00:07:48,189
Pues vamos a ver, ¿cuánto es el f' la derivada por la izquierda?

81
00:07:48,389 --> 00:07:56,009
Pues límite cuando x tiende a 6 por la izquierda, 6 por la izquierda es 2x menos 8

82
00:07:56,009 --> 00:08:01,189
Luego esto es 12, menos 8, 4

83
00:08:01,189 --> 00:08:08,649
La derivada por la derecha es el límite, cada vez escribo peor, lo sé

84
00:08:08,649 --> 00:08:12,050
6 por la derecha de menos 3 cuartos

85
00:08:12,050 --> 00:08:15,230
No tenemos x, luego esto es menos 3 cuartos

86
00:08:15,230 --> 00:08:16,750
¿Qué ocurre ahora?

87
00:08:17,310 --> 00:08:19,149
Que estos dos valores no coinciden

88
00:08:19,149 --> 00:08:20,689
Pues esto ¿qué significa?

89
00:08:20,689 --> 00:08:33,279
Pues que f de x no es derivable en x igual 6, ¿vale?

90
00:08:33,539 --> 00:08:37,340
Por lo tanto, esto de aquí no lo podríamos calcular.