1
00:00:00,370 --> 00:00:04,589
Hola a todos, soy Enar Casas y os voy a explicar el problema de optimización que he elegido.

2
00:00:05,730 --> 00:00:06,830
El enunciado dice así.

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00:00:07,349 --> 00:00:11,250
Un agricultor desea vallar un huerto rectangular de zanahorias adyacente a un río.

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00:00:11,630 --> 00:00:18,429
El huerto tiene 180.000 m2 para poder producir el suficiente número de vegetales para el año siguiente.

5
00:00:18,989 --> 00:00:25,510
¿Qué dimensiones tendrá que tener la valla de forma que utilice la mínima cantidad si el lado que al río no necesita ser vallado?

6
00:00:25,510 --> 00:00:42,350
Lo primero y lo más importante es entender el enunciado y lo que nos pide es el menor perímetro posible, es decir, la menor cantidad de valla posible para esta finca que es rectangular, teniendo en cuenta que este lado no lo necesitamos.

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00:00:42,909 --> 00:00:46,549
Es decir, solamente necesitaríamos este lado, este lado y este lado.

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00:00:47,429 --> 00:00:50,070
Entonces, una vez hemos entendido esto, podemos pasar al primer paso.

9
00:00:51,270 --> 00:00:53,429
El primer paso es definir las variables.

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00:00:54,170 --> 00:01:02,170
En este caso, yo lo que he definido a las variables como x, los lados anchos del rectángulo, e y, el lado largo.

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00:01:02,990 --> 00:01:06,849
Entonces, esto podría ser b, podría ser cualquier letra.

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00:01:07,530 --> 00:01:11,989
Como es un rectángulo, se suele poner base o altura, pero bueno, en este caso yo lo voy a llamar x e y.

13
00:01:12,269 --> 00:01:16,989
Y también hay que tener en cuenta que no hay dos y, porque este lado está vallado.

14
00:01:17,790 --> 00:01:19,769
O sea, no está vallado y no lo vamos a vallar.

15
00:01:19,769 --> 00:01:27,489
Una vez hemos entendido las variables, pasamos al siguiente paso, que es el más difícil, que es construir la función y la relación.

16
00:01:28,090 --> 00:01:34,430
Para construir una función, lo primero que tenemos que hacer es pensar en la función objetivo, es decir, la función que necesitamos.

17
00:01:34,969 --> 00:01:44,109
Y en este caso necesitamos que el perímetro sea el mínimo teniendo en cuenta el río, es decir, utilizar la menor cantidad de valla teniendo en cuenta el lado que no está vallado.

18
00:01:44,109 --> 00:01:59,829
Entonces para eso vuelvo a dibujar otra vez la finca y los lados y esto sería x, x, esto sería y y esto sería x.

19
00:02:00,390 --> 00:02:09,229
Entonces para construir el perímetro se suman los lados solamente, entonces sería x más x más y que es igual a 2x más y.

20
00:02:09,229 --> 00:02:11,469
entonces la función ya la tendríamos hecha

21
00:02:11,469 --> 00:02:14,050
después la condición que tiene que seguir

22
00:02:14,050 --> 00:02:16,229
nos dan otro dato en el problema

23
00:02:16,229 --> 00:02:20,189
que es que el área de esta finca es 180.000 m2

24
00:02:20,189 --> 00:02:23,229
entonces a partir de la fórmula

25
00:02:23,229 --> 00:02:25,250
el área del rectángulo que es base por altura

26
00:02:25,250 --> 00:02:28,710
lo que hago es construir la condición

27
00:02:28,710 --> 00:02:30,830
que es que 180.000 es igual al área

28
00:02:30,830 --> 00:02:33,949
por lo que es igual a x por y que es base por altura

29
00:02:33,949 --> 00:02:37,129
y luego relacionamos la función con la condición

30
00:02:37,129 --> 00:02:44,590
de manera que separamos una de las incógnitas a un lado del igual y el resto de la ecuación al otro lado

31
00:02:44,590 --> 00:02:53,189
y así podemos sustituir en la función y quitarnos una incógnita, que en este caso yo me voy a quitar la y porque me lía con el f de x.

32
00:02:54,870 --> 00:03:00,229
Una vez hemos llegado a este paso, que es bastante más fácil porque es derivar y es algo más mecánico.

33
00:03:00,229 --> 00:03:08,150
entonces tenemos esta, bueno esta es una imagen, es una representación de la función que habíamos construido antes

34
00:03:08,150 --> 00:03:14,169
que es esta, pero ahora vamos a hacer la derivada, para hacer la derivada de un polinomio como es 2x

35
00:03:14,169 --> 00:03:23,050
lo que hay que hacer es, el exponente de x lo bajamos al coeficiente que está por delante, en este caso el 2

36
00:03:23,050 --> 00:03:28,469
y lo multiplicamos, en este caso sería 2 por 1 y luego a ese mismo exponente se le resta 1

37
00:03:28,469 --> 00:03:36,669
por lo que x se quedaría con 1 menos 1, que sería 0, entonces la x desaparece y solamente se quedaría el 2.

38
00:03:37,610 --> 00:03:43,810
Y mientras que las racionales es un poco más complicado, ya que hay que hacer la derivada del de arriba por el de abajo sin derivar,

39
00:03:43,930 --> 00:03:48,990
menos el de arriba sin derivar por la derivada del de abajo, partido de el de abajo al cuadrado.

40
00:03:49,930 --> 00:03:55,330
Esto, en este caso, me lo ha hecho GeoGebra y queda esta función y esta es su representación.

41
00:03:55,330 --> 00:03:59,610
entonces una vez tenemos la derivada lo que hay que hacer es igualar a 0

42
00:03:59,610 --> 00:04:06,990
en este caso nos quedará una ecuación de segundo grado simple pero que nos da una raíz cuadrada

43
00:04:06,990 --> 00:04:11,509
lo que nos da una oportunidad de que sea positiva o negativa

44
00:04:11,509 --> 00:04:16,230
pero no podemos descartar directamente la negativa porque no existen las distancias negativas

45
00:04:16,230 --> 00:04:20,129
entonces solo nos quedamos con el x sub 2 igual a 300

46
00:04:20,129 --> 00:04:28,350
Este paso podría ser innecesario pero yo he decidido ponerlo ya que así me aseguro de que el ejercicio está bien

47
00:04:28,350 --> 00:04:33,509
Para la comprobación lo que hay que hacer es la segunda derivada, es decir, la derivada de la derivada

48
00:04:33,509 --> 00:04:38,209
En este caso, vamos, hacemos la derivada como antes pero a mí me la ha hecho GeoGebra

49
00:04:38,209 --> 00:04:49,649
Y lo que hacemos ahora es sustituir por el resultado obtenido antes para saber si estamos ante el extremo de un máximo o de un mínimo

50
00:04:50,189 --> 00:04:55,790
Entonces, si sale una cifra mayor que 0, estamos ante un mínimo y si no, es un máximo.

51
00:04:56,610 --> 00:05:03,269
Entonces, sustituyo, hago la cuenta y me sale una cifra mayor que 0, por lo que efectivamente estamos ante un mínimo

52
00:05:03,269 --> 00:05:14,550
y esto demuestra que en x igual a 300 hay un mínimo, que es lo que tenemos que usar de valla para ahorrar todo lo posible.

53
00:05:15,449 --> 00:05:22,449
Entonces, una vez sabemos que el ejercicio podría estar bien, lo que hago es sustituir en la relación que había dejado antes,

54
00:05:22,689 --> 00:05:29,990
que era y es igual a 180.000 partido de x, y nos da que y es igual a 600 metros y x es igual a 300 metros,

55
00:05:29,990 --> 00:05:31,750
por lo que el problema ya estaría terminado.

56
00:05:32,230 --> 00:05:36,790
Y por último, una imagen de la segunda derivada. Así que espero que lo hayáis entendido.