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00:00:12,339 --> 00:00:17,300
Hola a todos. Soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,300 --> 00:00:21,679
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,679 --> 00:00:33,009
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,009 --> 00:00:37,270
los diagramas de árbol y las tablas de doble entrada y resolveremos los ejercicios propuestos

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00:00:37,270 --> 00:00:50,770
4 y 5. Las consideraciones que hacíamos en la videoclase anterior son demasiado abstractas.

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00:00:50,770 --> 00:00:56,329
Desde el punto de vista formal es la forma más adecuada de calcular el cardinal de un conjunto,

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00:00:56,549 --> 00:01:02,810
pero para casos prácticos como los que nosotros vamos a tratar en esta asignatura, es demasiado árido.

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00:01:03,490 --> 00:01:07,650
Existen alternativas gráficas mucho más útiles y mucho más fáciles de entender

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00:01:07,650 --> 00:01:14,189
para la determinación de cardinales de conjuntos en lugar de la regla del producto o la regla de la suma.

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00:01:14,930 --> 00:01:17,870
En concreto vamos a ver aquí diagramas de árbol.

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00:01:17,870 --> 00:01:25,629
Lo que vamos a hacer es hacer una representación gráfica partiendo de un nodo y abriendo ramas,

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00:01:25,969 --> 00:01:32,989
teniendo en cuenta las distintas posibilidades, para contar las posibilidades en total que admite un cierto experimento.

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00:01:33,569 --> 00:01:39,909
Como ejemplo, lo que vamos a hacer es pasar atrás a ver qué es lo que se nos pedía en el ejercicio número 3

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00:01:39,909 --> 00:01:42,930
e intentar lo mismo, utilizando un diagrama de árbol.

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00:01:42,930 --> 00:02:05,489
En el ejercicio número 3 os recuerdo que se nos decía que consideráramos los elementos de un conjunto A, Clara, Isabel, María, Sara y Teresa, con 5 elementos, son personas que se identifican como chicas, y un conjunto O formado por Fernando, Luis y Pedro, el cardenal de este conjunto es 3, son personas que se identifican como chicos.

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00:02:05,489 --> 00:02:11,590
Y lo que queremos es elegir una persona de este conjunto A y una persona de este conjunto O

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00:02:11,590 --> 00:02:15,169
para formar la pareja protagonista de la obra de teatro.

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00:02:16,030 --> 00:02:18,490
Bien, lo que podemos hacer es bien sencillo.

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00:02:19,930 --> 00:02:23,370
Partiendo de este punto vacío en el que de momento no tenemos nada,

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00:02:23,990 --> 00:02:29,389
lo que vamos a hacer es trazar líneas que se llaman ramas

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00:02:29,389 --> 00:02:35,590
para poner a continuación los nombres de las personas que se encuentran dentro del conjunto A.

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00:02:36,270 --> 00:02:40,270
En el conjunto A hay cinco elementos, vamos a trazar cinco ramas

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00:02:40,270 --> 00:02:45,050
y vamos a colocar a continuación los nombres de las personas que se encontraban en ese conjunto.

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00:02:45,349 --> 00:02:47,849
Clara, Isabel, María, Sara y Teresa.

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00:02:48,750 --> 00:02:53,370
Cada una de estas líneas es una rama, cada uno de estos elementos es un nodo.

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00:02:53,370 --> 00:03:02,810
Este nodo está vacío y con la primera elección que hacemos de un elemento del conjunto A, lo que tenemos son cinco posibilidades distintas.

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00:03:03,169 --> 00:03:04,629
Aquí tenemos cinco nodos.

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00:03:05,669 --> 00:03:13,830
A partir de aquí, una vez que hemos elegido la primera persona del conjunto A y vemos que hay cinco posibilidades, se nos abre una segunda elección.

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00:03:14,210 --> 00:03:18,550
Ahora hemos de elegir una persona de entre las que se encuentran en el conjunto O.

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00:03:19,310 --> 00:03:39,750
El conjunto O estaba formando por Fernando, Luis y Pedro y entonces, si en el conjunto A hemos elegido a Clara, ahora tenemos tres ramas que se corresponden con los tres elementos del conjunto O y de aquí aparecerán otros tres nodos que serán Fernando, Luis y Pedro, las elecciones posibles dentro del conjunto O.

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00:03:40,490 --> 00:03:47,490
Si en lugar de Clara hubiéramos elegido a Isabel en el conjunto A, bueno, pues en este caso tenemos las mismas tres opciones.

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00:03:48,310 --> 00:03:53,990
Tenemos tres ramas que acaban en estas tres hojas, Fernando, Luis y Pedro, y así con todas las demás.

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00:03:54,909 --> 00:04:04,150
Lo que estamos haciendo de esta manera es elegir un primer elemento del conjunto A y después, para cada una de esas selecciones,

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00:04:04,150 --> 00:04:07,870
para cada uno de esos universos paralelos en los cuales hemos elegido

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00:04:07,870 --> 00:04:11,710
bien a Clara, bien a Isabel, bien a María, bien a Sara, bien a Teresa del conjunto A,

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00:04:12,270 --> 00:04:16,389
nos planteamos cómo podemos elegir del conjunto siguiente, que es el conjunto O.

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00:04:16,930 --> 00:04:20,050
En este caso, las elecciones serían las mismas con independencia

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00:04:20,050 --> 00:04:23,490
de cuál fuera la persona que hubiéramos elegido en el conjunto A.

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00:04:23,490 --> 00:04:27,850
La elección en el conjunto A y en el conjunto O, ambas elecciones son independientes.

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00:04:28,490 --> 00:04:33,610
Y aquí, al final, lo que podemos hacer es escribir las distintas parejas.

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00:04:34,149 --> 00:04:39,089
Si elegimos a Clara y a Fernando a continuación, tenemos la pareja Clara y Fernando.

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00:04:39,689 --> 00:04:44,430
Si elegimos a Clara y en lugar de Fernando elegimos a Luis, tenemos la pareja Clara y Luis.

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00:04:44,850 --> 00:04:50,889
Si elegimos a Clara y no a Fernando o a Luis, sino elegimos a Pedro, tenemos la pareja Clara y Pedro.

44
00:04:51,889 --> 00:04:56,670
Con esto acabamos todas las posibilidades en las cuales hemos elegido a Clara dentro del conjunto A.

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00:04:56,949 --> 00:05:00,750
A continuación, ¿qué ocurriría si en el conjunto A hubiéramos elegido Isabel?

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00:05:00,750 --> 00:05:06,589
Bueno, pues una primera opción es que del conjunto O elijamos a Fernando y tenemos la pareja Isabel y Fernando.

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00:05:07,290 --> 00:05:12,110
En lugar de Fernando podríamos haber elegido a Luis y tendríamos la pareja Isabel y Luis.

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00:05:12,649 --> 00:05:20,209
Y por último, si no elegimos ni a Fernando ni a Luis, no nos queda otra que elegir a Pedro en el conjunto O y tenemos la pareja Isabel y Pedro.

49
00:05:20,769 --> 00:05:29,389
Como veis, lo que estamos haciendo es enumerar de una forma exhaustiva todas las posibles elecciones posibles, todas las parejas posibles.

50
00:05:30,069 --> 00:05:37,410
En el caso en el que se nos pidan las parejas, se corresponden con esto que tenemos al final del todo, serían las hojas, se llaman hojas del árbol.

51
00:05:37,930 --> 00:05:45,170
En el caso en el que únicamente queramos saber cuáles son las parejas posibles, el cardinal de las parejas posibles,

52
00:05:45,509 --> 00:05:50,509
tendríamos que contar 1, 2, 3, etc. y tendríamos las 15 posibilidades que habíamos visto antes.

53
00:05:50,910 --> 00:05:56,550
La regla de la multiplicación que habíamos discutido en la videoclase anterior nos permite determinar de una forma muy sencilla,

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00:05:56,550 --> 00:06:02,509
5 por 3 igual a 15, hay 15 parejas posibles, el método del diagrama de árbol nos permite determinar

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00:06:02,509 --> 00:06:08,870
de esta manera la composición de todas las parejas posibles. Evidentemente este trabajo es tanto más

56
00:06:08,870 --> 00:06:14,769
arduo cuantos más elementos hay en cada uno de los conjuntos, si los cardinales son grandes, o bien

57
00:06:14,769 --> 00:06:19,370
si en lugar de elegir de entre dos conjuntos tenemos que elegir de entre un número mayor. En ese caso

58
00:06:19,370 --> 00:06:25,889
el número de hojas se multiplicaría y aquí lo que tendríamos es una lista muy amplia. Pero esto es

59
00:06:25,889 --> 00:06:30,930
bastante útil cuando tenemos conjuntos relativamente pequeños y un número relativamente pequeño de

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00:06:30,930 --> 00:06:38,350
conjunto. Una segunda posibilidad es, en lugar de utilizar diagramas de árbol, utilizar tablas de

61
00:06:38,350 --> 00:06:44,129
doble entrada. Esto únicamente en el caso en el que el experimento conste de dos fases, como es

62
00:06:44,129 --> 00:06:50,750
el ejemplo que teníamos entre manos. Tenemos que elegir una persona dentro del conjunto A, tenemos

63
00:06:50,750 --> 00:06:55,930
que elegir una persona dentro del conjunto O. Tenemos dos fases. En este caso lo que vamos a

64
00:06:55,930 --> 00:07:00,889
hacer es una tabla de doble entrada y lo que vamos a hacer es poner como encabezados de filas y de

65
00:07:00,889 --> 00:07:07,589
columnas las elecciones posibles dentro de cada una de esas dos fases del experimento. Independientemente

66
00:07:07,589 --> 00:07:12,990
no importa elegir filas o columnas. Yo en este caso lo que he hecho ha sido elegir como encabezados

67
00:07:12,990 --> 00:07:19,589
de filas los elementos del conjunto A. Tenemos Clara, Isabel, María, Sara, Teresa. Tengo cinco filas

68
00:07:19,589 --> 00:07:26,410
porque el conjunto A tenía cinco elementos. Lo que hago es a continuación poner como encabezados

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00:07:26,410 --> 00:07:31,529
de columnas los elementos del otro conjunto, en este caso el conjunto O, y tenía a Fernando,

70
00:07:31,689 --> 00:07:36,769
a Luis y a Pedro. Indistintamente podría haber puesto aquí el conjunto A y aquí el conjunto O,

71
00:07:36,870 --> 00:07:41,470
como es mi caso, o bien aquí el conjunto O y aquí el conjunto A. Aquí tengo cinco filas y tres

72
00:07:41,470 --> 00:07:46,810
columnas. Si hubiera elegido al revés, aquí tendría tres columnas y, perdón, tres filas y

73
00:07:46,810 --> 00:07:52,089
cinco columnas es exactamente lo mismo. ¿Qué es lo que tengo que hacer si quiero determinar la

74
00:07:52,089 --> 00:07:58,790
composición de todas las parejas posibles? Pues poner dentro de estas celdas los nombres de el

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00:07:58,790 --> 00:08:02,889
elemento del conjunto A que se encuentra en la misma fila, y aquí he puesto Clara, Clara, Clara,

76
00:08:03,050 --> 00:08:09,149
Isabel, Isabel, Isabel y así, etcétera, y en cada columna el elemento que se encuentra como

77
00:08:09,149 --> 00:08:13,209
encabezado en ella. Y aquí en toda esta columna he puesto Fernando, Fernando, Fernando, Fernando,

78
00:08:13,209 --> 00:08:18,310
Fernando, aquí he puesto a Luis y aquí he puesto a Pedro. La intersección de fila y columna, el elemento

79
00:08:18,310 --> 00:08:22,709
que está en el encabezado de fila y el elemento que está en el encabezado de columna, me da todas

80
00:08:22,709 --> 00:08:27,850
las posibles composiciones de parejas. Y aquí tengo Clara y Fernando, Clara y Luis, Clara y Pedro en la

81
00:08:27,850 --> 00:08:33,830
siguiente fila. Isabel y Fernando, Isabel y Luis, Isabel y Pedro. Si quiero determinar la composición

82
00:08:33,830 --> 00:08:39,049
de todas las parejas posibles, lo que tengo aquí son todas estas celdas, donde tengo todas las

83
00:08:39,049 --> 00:08:43,590
posibles combinaciones, si lo que quiero es determinar únicamente el cardinal del conjunto

84
00:08:43,590 --> 00:08:48,429
de parejas, únicamente tendría que contar cuántas celdas tengo y en total tengo una, dos, tres, cuatro,

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00:08:48,549 --> 00:08:55,210
cinco, cuento hasta 15. Fijaos que tiene todo el sentido del mundo la operación que hice con el

86
00:08:55,210 --> 00:09:01,350
principio del producto. Tengo cinco filas, tengo tres columnas, en total celdas, que es la intersección

87
00:09:01,350 --> 00:09:07,590
de estas cinco filas y estas tres columnas, tengo 5 por 3, 15. Una vez más el sentido común y el uso

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00:09:07,590 --> 00:09:13,450
habitual nos permite determinar cardinales de una forma mucho más sencilla que utilizando todo el

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00:09:13,450 --> 00:09:18,330
aparato matemático que hemos desarrollado en la videoclase anterior y en esta. Bien es cierto que

90
00:09:18,330 --> 00:09:23,429
el método del diagrama de árbol que habíamos visto anteriormente y ahora el método de las tablas de

91
00:09:23,429 --> 00:09:28,490
doble entrada me permite no sólo determinar el cardinal de ese conjunto que es combinación de

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00:09:28,490 --> 00:09:37,409
varios sino además todos los elementos de que consta. En el aula virtual de la asignatura tenéis

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00:09:37,409 --> 00:09:43,110
disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las

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00:09:43,110 --> 00:09:48,309
fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase

95
00:09:48,309 --> 00:09:52,370
o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.