1
00:00:02,540 --> 00:00:12,300
presentamos a continuación el teorema de la probabilidad total imaginaos que tenemos

2
00:00:12,300 --> 00:00:19,039
el espacio muestral que está dividido en una serie de sucesos disjuntos vamos a poner que

3
00:00:19,039 --> 00:00:24,980
sean solamente tres en caso de ser más pues sería muy parecido el tema de la probabilidad total

4
00:00:24,980 --> 00:00:41,380
Entonces, tenemos tres sucesos, A1, A2 y A3, de forma que el espacio muestral queda descompuesto como unión disjunta de estos tres sucesos.

5
00:00:41,859 --> 00:00:52,799
Cuando ocurre esto, por ejemplo, imaginémonos que vamos a coger un animal al azar de una tienda de animales y tenemos solamente perros, gatos y pájaros.

6
00:00:53,500 --> 00:00:59,700
Entonces, evidentemente, ningún animal puede estar a la vez en dos de los tres sucesos.

7
00:01:00,320 --> 00:01:04,719
Bien, supongamos que tenemos un cuarto suceso que interseca a todos ellos.

8
00:01:04,859 --> 00:01:10,420
Por ejemplo, este de aquí, que vamos a llamar suceso B.

9
00:01:10,879 --> 00:01:13,760
Y nos interesa calcular la probabilidad de este suceso B.

10
00:01:14,079 --> 00:01:26,739
Bien, este suceso B, por ejemplo, imaginemos que nos planteamos que dentro de la tienda de animales esta,

11
00:01:26,739 --> 00:01:29,739
algunos animales pueden tener una cierta enfermedad.

12
00:01:30,620 --> 00:01:35,859
¿Qué probabilidad va a haber de que la enfermedad, de que un animal esté enfermo, ha cogido el azar?

13
00:01:36,219 --> 00:01:43,379
Pues bueno, en este tipo de problemas de probabilidad se utiliza la probabilidad total,

14
00:01:43,480 --> 00:01:47,700
porque nos interesa calcular la probabilidad total de un determinado suceso desglosado,

15
00:01:47,819 --> 00:01:52,879
tenemos las probabilidades desglosadas en una partición del espacio muestral.

16
00:01:52,879 --> 00:02:01,719
Entonces, lo importante que es, bueno, pues que vamos a, tenemos que recordar la fórmula de la probabilidad condicionada

17
00:02:01,719 --> 00:02:05,819
que nos decía que, pues, era esta la fórmula, recuerdo

18
00:02:05,819 --> 00:02:14,039
Y de esta fórmula despejando obteníamos esta otra para la intersección

19
00:02:14,039 --> 00:02:24,000
Bueno, entonces, ¿cómo vamos a calcular la probabilidad de B?

20
00:02:24,000 --> 00:02:30,639
Pues la probabilidad de B será la probabilidad de B intersección a sub 1

21
00:02:30,639 --> 00:02:36,860
es decir, la probabilidad de que el animal esté enfermo y que sea un perro, en este caso,

22
00:02:37,500 --> 00:02:41,020
más la probabilidad de que esté enfermo y que sea un gato,

23
00:02:41,580 --> 00:02:45,960
más la probabilidad de que esté enfermo y que sea un pájaro.

24
00:02:47,259 --> 00:02:53,460
Y ahora, bien, utilizamos esta fórmula de la probabilidad de la intersección a partir de la condicionada,

25
00:02:54,759 --> 00:02:57,620
sustituyendo aquí para cada una de estas tres probabilidades.

26
00:02:57,620 --> 00:02:59,580
Y tendremos lo siguiente.

27
00:02:59,580 --> 00:03:12,629
Y esta es la fórmula de la probabilidad total. Fácil, ¿verdad?

28
00:03:17,400 --> 00:03:20,919
Bien, ¿qué pasaría si tuviésemos, en el caso general, n sucesos?

29
00:03:21,120 --> 00:03:32,520
Si tuviésemos el espacio muestral descompuesto como unión disjunta de n sucesos, disjunta se entiende 2 a 2, cada pareja de sucesos no se interseca,

30
00:03:32,520 --> 00:03:38,960
entonces la probabilidad de B es la suma de las intersecciones

31
00:03:38,960 --> 00:03:41,460
es decir, lo podemos utilizar la anotación de sumatorio

32
00:03:41,460 --> 00:03:45,659
será la probabilidad de cada uno de los sucesos

33
00:03:45,659 --> 00:03:49,860
por la probabilidad del suceso que nos ocupa el B

34
00:03:49,860 --> 00:03:52,560
condicionado a que estamos en el caso A sub i

35
00:03:52,560 --> 00:03:56,560
y esta es la fórmula genérica cuando tenemos más de tres sucesos

36
00:03:56,560 --> 00:04:05,020
Bueno, pues este tipo de problemas normalmente se pueden presentar en forma de diagrama de árbol

37
00:04:05,020 --> 00:04:09,759
Imaginémonos, por ejemplo, que vamos a elegir un animal dentro al azar

38
00:04:09,759 --> 00:04:13,979
Bueno, pues la primera opción que nos preguntamos es ¿qué tipo de animal es?

39
00:04:13,979 --> 00:04:19,480
Pues tendremos que puede ser un perro, un gato o un pájaro

40
00:04:19,480 --> 00:04:26,379
Y una vez que sabemos el tipo de animal que es, pues tenemos tres opciones

41
00:04:26,379 --> 00:04:31,399
o bien, quiero decir, dos opciones, o bien que se presenta el suceso B

42
00:04:31,399 --> 00:04:35,439
pero ojo, esto es B condicionado a que estamos en el caso A sub 1

43
00:04:35,439 --> 00:04:42,160
o bien nos no ocurre el caso B sabiendo que estamos con un perro.

44
00:04:42,160 --> 00:04:46,100
Y así con todas ellas, es decir, aquí hemos llegado hasta el suceso A

45
00:04:46,100 --> 00:04:52,300
y aquí habríamos llegado hasta el suceso B, pero quiero decir hasta la sub 2 y aquí hasta la sub 3

46
00:04:52,300 --> 00:04:55,379
y aquí estaremos en el A sub 1, ¿sí?

47
00:04:55,379 --> 00:05:02,600
Bien, pues ahora de aquí tenemos solo dos opciones, o bien B o bien B complementario.

48
00:05:02,720 --> 00:05:11,519
Pero ojo, este suceso de aquí es el suceso B sabiendo que es un gato, que estamos en el la sub 2, igual con el otro.

49
00:05:12,319 --> 00:05:17,839
Tendríamos en el último caso, pues B sabiendo que es un pájaro.

50
00:05:18,500 --> 00:05:24,240
En definitiva, nos interesa saber la probabilidad total, la probabilidad de estar enfermo.

51
00:05:24,240 --> 00:05:28,899
Pues será la suma de este, este, más este.

52
00:05:29,120 --> 00:05:33,420
Pero las probabilidades, sabéis que en el árbol se multiplican.

53
00:05:33,800 --> 00:05:39,079
Es decir, que para llegar de aquí a aquí, para llegar de aquí a aquí y para llegar de aquí a aquí,

54
00:05:39,279 --> 00:05:43,040
en ambos tres casos tendremos que multiplicar con lo que.

55
00:05:43,720 --> 00:05:49,259
Y después, por último, sumar estos tres posibles caminos.

56
00:05:49,259 --> 00:05:56,759
entonces la probabilidad de b descompondrá como suma de estas tres probabilidades

57
00:05:56,759 --> 00:06:00,819
de estos tres caminos y cada uno de los caminos se calcula multiplicando

58
00:06:00,819 --> 00:06:06,399
probabilidad de a sub 1 por probabilidad de b sabiendo que estamos en el caso a sub 1

59
00:06:06,399 --> 00:06:07,699
y así con los tres caminos

60
00:06:07,699 --> 00:06:13,680
y esto pues evidentemente estas tres se suman y aquí hay que multiplicar

61
00:06:13,680 --> 00:06:15,500
vamos a ver un ejemplo

62
00:06:15,500 --> 00:06:22,779
Bueno, imaginémonos que tenemos dos urnas, la primera con tres rojas y dos bolas verdes

63
00:06:22,779 --> 00:06:25,819
La segunda con una bola roja y dos bolas verdes

64
00:06:25,819 --> 00:06:28,819
Supongamos que hacemos dos extracciones

65
00:06:28,819 --> 00:06:34,720
Vamos a coger en primer lugar una bola de aquí y la vamos a pasar a la segunda urna

66
00:06:34,720 --> 00:06:37,939
Una bola, no sabemos cuál a priori

67
00:06:37,939 --> 00:06:44,600
Y después vamos a extraer de la segunda urna una bola y nos preguntamos a ver de qué color es

68
00:06:44,600 --> 00:06:50,959
Nos están pidiendo que calculemos la probabilidad de que la segunda bola sea roja

69
00:06:50,959 --> 00:06:59,480
Bueno, pues lo más sencillo es hacer un diagrama de árbol

70
00:06:59,480 --> 00:07:03,620
Siempre que haya una serie de sucesos consecutivos, en este caso dos

71
00:07:03,620 --> 00:07:10,819
Es decir, empezamos por la primera abstracción y sabemos que puede ser una bola roja o una bola verde

72
00:07:10,819 --> 00:07:16,939
Y después, para la segunda abstracción, sabemos que puede ser también o bien roja o bien verde

73
00:07:16,939 --> 00:07:25,379
Pero ojo, en estos casos aquí tenemos probabilidades condicionadas

74
00:07:25,379 --> 00:07:28,879
Como vimos en el ejemplo, en la explicación de la teoría

75
00:07:28,879 --> 00:07:33,699
Bien, entonces ahora hay que marcar las probabilidades de cada una de las ramas

76
00:07:33,699 --> 00:07:36,879
Aquí, ¿qué probabilidad habrá? Pues 3 quintos

77
00:07:36,879 --> 00:07:39,980
Porque 3 de cada 5 son rojas

78
00:07:39,980 --> 00:07:41,860
Y 2 quintos acá

79
00:07:41,860 --> 00:07:47,199
En realidad no nos interesa saber todas las ramas

80
00:07:47,199 --> 00:07:49,819
Porque nos interesa saber solo que la segunda bola sea roja

81
00:07:49,819 --> 00:07:53,579
Es decir, queremos llegar hasta aquí o bien hasta aquí.

82
00:07:54,000 --> 00:08:04,399
Es decir, que en realidad lo que buscamos es la probabilidad de que la primera bola sea roja, esta de aquí,

83
00:08:04,899 --> 00:08:10,620
por la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera fue roja.

84
00:08:11,079 --> 00:08:14,199
Y a esto le tenemos que sumar, este sería el primero de los caminos.

85
00:08:14,759 --> 00:08:15,560
Lo voy a escribir aquí.

86
00:08:18,459 --> 00:08:22,920
Y a esto le tenemos que sumar este resultado que también nos es favorable.

87
00:08:22,920 --> 00:08:35,879
Es decir, que la primera sea verde y la segunda roja. Esto es, la probabilidad de que la primera sea verde por la probabilidad de que la segunda sea roja, sabiendo que la primera fue verde.

88
00:08:36,580 --> 00:08:42,779
Ahora, ¿qué tenemos que hacer? Pues completar estas dos probabilidades de aquí y esta probabilidad más esta sumarla y listo.

89
00:08:45,690 --> 00:08:53,250
Bueno, entonces, para esta, si sacamos de la primera una bola roja, la composición de la urna va a ser dos bolas rojas, dos bolas verdes.

90
00:08:53,250 --> 00:08:56,769
Con lo que aquí la probabilidad de sacar una bola roja será de 2 cuartos.

91
00:08:57,570 --> 00:08:59,889
Esta es esta probabilidad de aquí.

92
00:09:00,570 --> 00:09:08,490
Así que lo escribiríamos 3 quintos, probabilidad de que la primera sea roja, por 2 cuartos,

93
00:09:08,970 --> 00:09:13,149
probabilidad condicionada de que la segunda sea roja sabiendo que la primera también lo fue.

94
00:09:14,070 --> 00:09:16,090
Y a esto hay que sumar este camino de aquí.

95
00:09:16,570 --> 00:09:21,169
Si la primera extracción es una bola verde, te vamos a tener 3 bolas verdes y una roja,

96
00:09:21,169 --> 00:09:24,509
Con lo que la probabilidad de sacar una roja será de 1, 1 de 4, 1 cuarto.

97
00:09:32,450 --> 00:09:34,230
Operando, hemos terminado el problema.

98
00:09:35,230 --> 00:09:37,029
Bueno, espero que os haya gustado el vídeo.

99
00:09:37,129 --> 00:09:40,149
Nos vemos en el próximo que va a tratar sobre el teorema de Bayes.

100
00:09:40,649 --> 00:09:41,190
¡Hasta luego!