1 00:00:01,780 --> 00:00:05,799 Hemos visto en el vídeo anterior la definición de la derivada de la función en un punto 2 00:00:05,799 --> 00:00:13,740 como el límite cuando h tiende a cero de f de x sub cero más h menos f de x sub cero partido de h 3 00:00:13,740 --> 00:00:21,359 También hemos visto el cálculo a través de este límite de la derivada de la función x al cuadrado 4 00:00:21,359 --> 00:00:24,679 La realización de este límite lleva cierto tiempo 5 00:00:24,679 --> 00:00:29,420 Por lo tanto lo que vamos a hacer va a ser basarnos en una serie de reglas 6 00:00:29,420 --> 00:00:33,679 que nos van a permitir calcular derivadas mucho más fácilmente. 7 00:00:34,020 --> 00:00:39,579 Estas reglas de derivación se pueden demostrar a partir de la definición de derivada de la función en un punto que hemos visto. 8 00:00:39,939 --> 00:00:45,880 En este vídeo vamos a ver cómo se derivan las funciones elementales dadas en la tabla de derivadas 9 00:00:45,880 --> 00:00:50,719 y sabiendo cómo se derivan las operaciones que podemos hacer entre ellas 10 00:00:50,719 --> 00:00:55,340 suma, producto, cociente, función compuesta 11 00:00:55,340 --> 00:00:58,039 podemos derivar funciones más complejas. 12 00:00:58,039 --> 00:01:01,780 Vamos a empezar por la derivada de la función suma 13 00:01:01,780 --> 00:01:05,840 Cuando tenemos que derivar una suma de funciones 14 00:01:05,840 --> 00:01:09,299 lo que tenemos que hacer es la suma de las derivadas 15 00:01:09,299 --> 00:01:13,840 Cuando tengamos una función multiplicada por una constante 16 00:01:13,840 --> 00:01:18,359 podemos ver que la constante sale fuera de la derivada 17 00:01:18,359 --> 00:01:22,799 y el resultado será esa constante por la derivada de la función 18 00:01:22,799 --> 00:01:27,159 La derivada de un producto, esta es un poquito más complicada 19 00:01:27,159 --> 00:01:35,359 pero se deduce de esta definición, no es el producto de las derivadas, sino que se deriva de la siguiente forma, 20 00:01:35,540 --> 00:01:42,120 es derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda. 21 00:01:42,920 --> 00:01:50,939 La derivada de un cociente es un cociente donde en el numerador tenemos la derivada del numerador 22 00:01:50,939 --> 00:01:59,219 por el denominador sin derivar menos la función del numerador por la derivada del denominador. 23 00:01:59,620 --> 00:02:04,359 Todo ello dividido por el cuadrado del denominador. 24 00:02:05,040 --> 00:02:09,039 Luego por último tenemos la derivada de la función compuesta, que es la regla de la cadena, 25 00:02:09,180 --> 00:02:10,639 que la veremos luego con ejemplos. 26 00:02:10,639 --> 00:02:19,580 Si yo tengo una función compuesta, f compuesta de g, tenemos que hacer la derivada de la función f evaluada en g 27 00:02:19,580 --> 00:02:22,360 y luego multiplicar por la derivada de g. 28 00:02:23,300 --> 00:02:26,379 Pasamos a ver la tabla de derivadas de funciones elementales. 29 00:02:27,139 --> 00:02:31,099 Esta tabla junto con las reglas de derivación que acabamos de ver de operaciones de funciones 30 00:02:31,099 --> 00:02:34,719 nos van a permitir el cálculo de derivadas de cualquier función. 31 00:02:35,060 --> 00:02:37,080 Empezamos con la función constante. 32 00:02:37,719 --> 00:02:42,319 Hemos dicho que la derivada lo que nos indica es la variación de la función. 33 00:02:42,780 --> 00:02:45,580 Si la función es constante, dicha variación es nula. 34 00:02:45,960 --> 00:02:48,699 Por lo tanto, la derivada de una función constante es 0. 35 00:02:48,699 --> 00:02:58,199 La siguiente que tenéis aquí es la función potencial. Su derivada, la derivada de x elevado a n, sería n por x elevado a n-1. 36 00:02:58,759 --> 00:03:08,639 Función exponencial de base en número y. Esta es la más sencilla, porque la derivada de la función exponencial elevado a x es ella misma, elevado a x. 37 00:03:08,639 --> 00:03:15,419 Si la base de la exponencial es otro número, vamos a poner que es a, a elevado a x, 38 00:03:16,419 --> 00:03:22,139 la derivada de la función será a elevado a x por el logaritmo neperiano de a. 39 00:03:22,479 --> 00:03:26,819 La derivada de una función logarítmica la tenemos aquí. 40 00:03:27,719 --> 00:03:35,819 Si la base del logaritmo es el número e, un logaritmo neperiano, su derivada es 1 partido de x. 41 00:03:35,819 --> 00:03:42,900 Si el logaritmo es de base a, teniendo en cuenta que logaritmo en base a de x se puede escribir como 42 00:03:42,900 --> 00:03:49,599 el logaritmo neperiano de x partido del logaritmo neperiano de a, pues la derivada sería esta constante 43 00:03:49,599 --> 00:03:56,939 1 partido del logaritmo neperiano de a, que sale fuera, por la derivada del logaritmo neperiano de x 44 00:03:56,939 --> 00:04:02,340 que es 1 partido de x. Esto mismo, esta constante, también se puede expresar así 45 00:04:02,340 --> 00:04:07,000 como el logaritmo en base a del número e por 1 partido de x. 46 00:04:07,639 --> 00:04:12,580 Para las funciones trigonométricas tenemos las siguientes reglas de derivación. 47 00:04:13,280 --> 00:04:17,120 La derivada de la función seno es coseno de x. 48 00:04:17,639 --> 00:04:21,959 La derivada de la función coseno de x es menos seno de x. 49 00:04:22,620 --> 00:04:27,180 La derivada de la función tangente, como la tangente es seno entre coseno, 50 00:04:27,180 --> 00:04:33,060 podemos deducirla a partir de la derivada de un cociente 51 00:04:33,060 --> 00:04:36,060 y aplicando esa regla que hemos visto antes 52 00:04:36,060 --> 00:04:42,319 derivada del seno es coseno de x por la de abajo sin derivar 53 00:04:42,319 --> 00:04:44,920 coseno por coseno, coseno cuadrado 54 00:04:44,920 --> 00:04:51,720 menos la función numerador sin derivar, seno de x 55 00:04:51,720 --> 00:04:55,519 por la derivada del coseno que es menos seno de x 56 00:04:55,519 --> 00:05:01,439 Si nos damos cuenta, nos queda en el numerador coseno cuadrado de x más seno cuadrado de x 57 00:05:01,439 --> 00:05:04,939 que es igual a 1 por la relación fundamental de la trigonometría 58 00:05:04,939 --> 00:05:08,199 y abajo nos queda el coseno cuadrado de x 59 00:05:08,199 --> 00:05:16,680 1 partido del coseno cuadrado de x por las relaciones que sabemos entre las funciones trigonométricas 60 00:05:16,680 --> 00:05:21,600 el coseno y la secante son funciones inversas 61 00:05:21,600 --> 00:05:26,040 pues 1 partido del coseno cuadrado de x es igual a la secante cuadrado de x. 62 00:05:28,360 --> 00:05:31,699 Vamos a ver algunos ejemplos de derivadas de funciones. 63 00:05:33,120 --> 00:05:38,120 Por ejemplo, imagina que tenemos la función f de x igual a 3. 64 00:05:40,000 --> 00:05:48,500 Su derivada, como hemos visto, una función constante, su variación es nula, por lo tanto la derivada es 0. 65 00:05:48,500 --> 00:05:55,259 Otra función, como por ejemplo x elevado a la quinta 66 00:05:55,259 --> 00:06:01,680 es una función potencial aplicando su regla de derivación 67 00:06:01,680 --> 00:06:08,899 tendríamos que su derivada es 5 por x elevado a 5 menos 1, 4 68 00:06:08,899 --> 00:06:17,060 Otra función, como por ejemplo 5x a la cuarta 69 00:06:17,060 --> 00:06:25,160 Si queremos derivarla, hemos visto que si tenemos una constante multiplicada por una función 70 00:06:25,160 --> 00:06:33,199 su derivada sería 5, que es la constante que sale fuera de la derivada, por la derivada de x a la cuarta 71 00:06:33,199 --> 00:06:40,620 Y la derivada de x a la cuarta, siendo una función potencial, sería 4x elevado a 3 72 00:06:40,620 --> 00:06:45,680 4 por x elevado a 4 menos 1 sería 3 73 00:06:45,680 --> 00:06:49,220 El resultado final, 20x al cubo. 74 00:06:50,980 --> 00:06:55,279 ¿Qué ocurre si tenemos una función de tipo polinómico, como por ejemplo esta? 75 00:07:03,839 --> 00:07:12,519 Si la función que tenemos es una función polinómica, su derivada, puesto que un polinomio es suma de monomios, 76 00:07:12,519 --> 00:07:16,100 tendríamos que ir derivando cada uno de estos monomios. 77 00:07:16,100 --> 00:07:25,240 7 por x a la cuarta, su derivada sería 7 que sale fuera de la derivada por x a la cuarta derivada 78 00:07:25,240 --> 00:07:29,519 La derivada sería 4x elevado a 3 79 00:07:29,519 --> 00:07:34,319 Menos 2 que saldría fuera de la derivada 80 00:07:34,319 --> 00:07:39,519 Y la derivada de x cubo que es 3x al cuadrado 81 00:07:39,519 --> 00:07:42,740 3 por x elevado a 3 menos 1, 2 82 00:07:42,740 --> 00:07:46,680 más 8 que sale fuera de la derivada 83 00:07:46,680 --> 00:07:50,060 la constante sale fuera de la derivada 84 00:07:50,060 --> 00:07:52,839 por la derivada de x que es 1 85 00:07:52,839 --> 00:07:55,019 no lo vamos a escribir 86 00:07:55,019 --> 00:08:00,500 luego por último la derivada de esta constante que sería 0 87 00:08:00,500 --> 00:08:03,980 esto se puede hacer de forma directa 88 00:08:03,980 --> 00:08:08,060 el resultado sería 28x al cubo 89 00:08:08,060 --> 00:08:10,620 menos 6x al cuadrado 90 00:08:10,620 --> 00:08:12,459 más 8 91 00:08:12,459 --> 00:08:15,860 Vamos a hacer una última derivada 92 00:08:15,860 --> 00:08:20,060 Imaginar que la función depende de R 93 00:08:20,060 --> 00:08:25,040 Y yo voy a derivar respecto de R 94 00:08:25,040 --> 00:08:35,340 Imaginar que la función que tengo que derivar es 4 tercios de pi por R al cubo 95 00:08:35,340 --> 00:08:38,259 Si yo derivo respecto de la variable R 96 00:08:38,259 --> 00:08:41,580 Por el lugar de X es R 97 00:08:41,580 --> 00:08:46,360 4 tercios de pi es una constante que saldría fuera de la derivada 98 00:08:46,360 --> 00:08:53,000 Y ahora tendría que derivar r cubo respecto de r 99 00:08:53,000 --> 00:09:00,559 Como es una función potencial sería 3 por r elevado a 3 menos 1, 2 100 00:09:00,559 --> 00:09:10,389 Simplificando esta expresión me queda 4 pi por r al cuadrado 101 00:09:10,389 --> 00:09:13,470 Bien, vamos a realizar el siguiente ejercicio de cinemática 102 00:09:13,470 --> 00:09:17,210 en el cual en el apartado C vamos a tener que derivar. 103 00:09:17,990 --> 00:09:20,690 En el apartado A nos piden la ecuación de la trayectoria. 104 00:09:21,370 --> 00:09:28,759 Para ello lo que tenemos que hacer es eliminar el parámetro T de estas dos ecuaciones 105 00:09:28,759 --> 00:09:33,679 que me dan la posición en X y en Y. 106 00:09:36,220 --> 00:09:40,720 Eliminando el parámetro T, por ejemplo, despejando de aquí T, 107 00:09:40,720 --> 00:09:45,200 este es igual a 1 menos i partido de 3 108 00:09:45,200 --> 00:09:48,259 y sustituyendo en la primera ecuación 109 00:09:48,259 --> 00:10:04,610 haciendo los cálculos 110 00:10:04,610 --> 00:10:16,740 multiplicamos toda la ecuación por 9 111 00:10:16,740 --> 00:10:32,700 y reorganizando los términos 112 00:10:32,700 --> 00:10:46,519 que es la ecuación de una parábola 113 00:10:46,519 --> 00:10:51,590 representando la eje ojabra la tenemos aquí 114 00:10:51,590 --> 00:10:56,279 en el apartado b nos piden la velocidad media 115 00:10:56,279 --> 00:10:58,960 entre los instantes t1 igual a 2 segundos 116 00:10:58,960 --> 00:11:01,399 y t2 igual a 4 segundos 117 00:11:01,399 --> 00:11:06,500 La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento 118 00:11:06,500 --> 00:11:12,539 y su módulo nos va a dar idea de la rapidez con la que se ha producido ese cambio de posición 119 00:11:12,539 --> 00:11:29,610 Se calcula como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo en el que se produce ese cambio de posición 120 00:11:30,509 --> 00:11:38,190 En nuestro caso, como el intervalo de tiempo transcurre entre t igual a 2 segundos y t igual a 4 segundos 121 00:11:38,190 --> 00:11:53,029 la variación en el vector de posición será el vector posición evaluado en 4 menos el vector posición evaluado en 2 122 00:11:53,029 --> 00:11:57,409 dividido por 4 menos 2. 123 00:11:59,600 --> 00:12:10,820 Realizando los cálculos, sustituyendo aquí la expresión que nos da la posición del móvil en cualquier instante de tiempo 124 00:12:10,820 --> 00:12:33,879 puesto que se trata de una velocidad, las unidades serían metros por segundo. 125 00:12:33,879 --> 00:12:43,509 Bien, pues aquí tenemos representado en la trayectoria cuál sería el vector desplazamiento. 126 00:12:44,129 --> 00:12:51,909 El vector posición tiene su extremo en A inicialmente, para T igual a 2, 127 00:12:52,549 --> 00:12:59,830 y para T igual a 4 el vector posición del móvil, que me indica la posición del móvil, está en el punto B. 128 00:12:59,830 --> 00:13:08,370 El vector de desplazamiento es el vector que me une el punto inicial con el punto final 129 00:13:08,370 --> 00:13:22,899 Y la velocidad media, hemos visto, que sería el cociente entre este vector de desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido 130 00:13:26,100 --> 00:13:33,960 Vamos a abordar el apartado C, en el cual me piden la velocidad y aceleración instantáneas en t igual a 3 segundos 131 00:13:33,960 --> 00:13:44,620 La velocidad instantánea es la derivada del vector posición con respecto al tiempo 132 00:13:44,620 --> 00:13:49,019 Así que tengo que derivar esta expresión respecto de t 133 00:13:49,019 --> 00:13:52,980 t cuadrado, su derivada sería 2t 134 00:13:52,980 --> 00:13:56,360 más la derivada de t que es 1 135 00:13:56,360 --> 00:13:59,399 más la derivada de 1 que sería 0 136 00:13:59,399 --> 00:14:05,740 La derivada de 1 es 0 137 00:14:05,740 --> 00:14:09,740 y la derivada de menos 3t sería menos 3 138 00:14:09,740 --> 00:14:16,279 Así que menos 3j sería la segunda componente del vector velocidad. 139 00:14:17,039 --> 00:14:22,220 Suponiendo que el vector posición viene dado en metros, 140 00:14:22,539 --> 00:14:26,340 pues las unidades de la velocidad serían metros partido por segundo. 141 00:14:28,480 --> 00:14:38,580 En t igual a 3, sustituyendo, me quedaría 2 por 3, 6 más 1 es 7, 7i, 142 00:14:38,580 --> 00:14:45,899 menos, esto no depende de t, 3 cuantos metros partido por segundo. 143 00:14:47,259 --> 00:14:50,000 Para la aceleración volvemos a derivar. 144 00:14:50,379 --> 00:14:55,940 En este caso la aceleración es la derivada de la velocidad instantánea con respecto al tiempo. 145 00:14:57,559 --> 00:15:00,100 Derivamos de nuevo esta expresión con respecto a t 146 00:15:00,100 --> 00:15:03,639 y nos quedaría la derivada de 2t que es 2 147 00:15:03,639 --> 00:15:07,419 más la derivada de 1 que es 0 148 00:15:07,419 --> 00:15:14,360 más la derivada de la segunda componente, al tratarse de una constante, también sería cero. 149 00:15:15,419 --> 00:15:22,019 Así que la aceleración sería esta, expresada en metros partido por segundo cuadrado. 150 00:15:23,379 --> 00:15:37,470 En t igual a 3, pues como vemos que no depende de t, el resultado sería 2i metros partido por segundo al cuadrado. 151 00:15:37,470 --> 00:15:45,830 Bien, pues aquí en GeoGebra tenemos representado para t igual a 3 segundos 152 00:15:45,830 --> 00:15:52,730 el vector velocidad instantánea 153 00:15:52,730 --> 00:15:55,289 que lo hemos calculado 154 00:15:55,289 --> 00:15:57,730 y era 7i menos 3j 155 00:15:57,730 --> 00:16:00,710 expresado en metros partido por segundo 156 00:16:00,710 --> 00:16:05,220 Como vemos, el vector velocidad instantánea 157 00:16:05,220 --> 00:16:09,320 siempre va a ser tangente a la trayectoria en este punto 158 00:16:09,320 --> 00:16:10,919 en el punto donde se calcule 159 00:16:10,919 --> 00:16:14,860 Ha dado la casualidad de que en este punto 160 00:16:14,860 --> 00:16:17,379 la velocidad instantánea 161 00:16:17,379 --> 00:16:28,309 coincide con la velocidad media en ese intervalo. 162 00:16:28,450 --> 00:16:31,950 Sin embargo, en otros puntos, para otros instantes de tiempo 163 00:16:31,950 --> 00:16:35,809 comprendidos entre t igual a 2 y t igual a 4, 164 00:16:36,509 --> 00:16:41,090 no tiene por qué coincidir la velocidad instantánea con la velocidad media. 165 00:16:43,440 --> 00:16:49,179 En este punto, por ejemplo, la velocidad sería tangente a la trayectoria 166 00:16:49,179 --> 00:16:53,820 y no llevaría la misma dirección que este vector, 167 00:16:53,820 --> 00:16:56,659 ni tampoco tendría por qué tener el mismo muestro.