1
00:00:02,540 --> 00:00:13,000
Bueno, pues vamos a acabar esta lista de problemas resolviendo este problema número 4.

2
00:00:13,000 --> 00:00:21,940
¿Qué nos están pidiendo? Pues calcular el cuerpo de revolución, el volumen de un cuerpo de revolución determinado por esta función de aquí.

3
00:00:22,699 --> 00:00:26,620
Entonces, esta función de aquí nos da dos valores entre x igual a 0 y x igual a h.

4
00:00:27,079 --> 00:00:30,579
La dificultad del problema puede residir en que hay muchas letras, muchas constantes,

5
00:00:30,660 --> 00:00:36,140
y no nos tenemos que liar entre qué es una constante y cuál es la variable independiente, que es la x.

6
00:00:36,600 --> 00:00:41,899
Para ello, lo primero, primero, es hacer un dibujo para hacerse una idea de qué es lo que nos están pidiendo integrar

7
00:00:41,899 --> 00:00:44,719
y cómo quedaría el cuerpo de revolución, a ver si eso nos ayuda.

8
00:00:45,259 --> 00:00:46,960
Es decir, vamos a hacer lo siguiente.

9
00:00:47,740 --> 00:00:49,560
Vamos a dibujar esa recta.

10
00:00:49,560 --> 00:00:56,859
Entonces, bien digo que es una recta porque es una ecuación, aunque parezca muy rara, de la siguiente forma.

11
00:00:57,500 --> 00:01:04,359
Igual a r más r menos r minúscula partido por h por x.

12
00:01:04,859 --> 00:01:11,700
Y esto se puede entender como n más mx, mx más n de toda la vida.

13
00:01:12,120 --> 00:01:13,200
Es decir, es una recta.

14
00:01:13,620 --> 00:01:16,959
Entonces, para poder dibujarla, como hay tanta constante, vamos a dar valores.

15
00:01:16,959 --> 00:01:26,680
¿Qué valores? Pues si la x es 0, entonces si x es 0, f de 0 es igual a r, es decir, la función pasa por el punto 0, r.

16
00:01:27,019 --> 00:01:39,900
¿Y qué otro valor habría que dar? Pues x igual a h, porque si x es igual a h, el denominador se me va a simplificar y que me va a quedar r más r menos r partido por h por h.

17
00:01:39,900 --> 00:01:57,799
Ya digo que el denominador se me va. Me queda R más R mayúscula menos R igual a R mayúscula. Es decir, que para aquí X igual a H, el valor de la función sería R.

18
00:01:57,799 --> 00:02:12,960
No lo dicen en el enunciado, pero deberían haberlo dicho en principio. Este problema está puesto para que la R mayúscula sea mayor que la R y así la cosa tendría la siguiente forma cuando nosotros demos la vuelta.

19
00:02:12,960 --> 00:02:27,979
Vamos a dibujarlo a este lado. Si yo roto ese dibujo, al rotar ese dibujo, yo voy a tener que esto es R mayúscula, que esto es, perdón, R minúscula, R mayúscula y H.

20
00:02:28,919 --> 00:02:42,159
Es decir, que yo aquí tendría menos R, tendría menos R mayúscula y así.

21
00:02:42,159 --> 00:02:56,919
Y entonces cuando yo de vueltas voy a tener, ¿qué figura? Pues aquí voy a tener un círculo y aquí también. Es decir, que yo lo que voy a tener eso es claramente un tronco de cono, que es lo que nos están pidiendo que calculemos.

22
00:02:56,919 --> 00:03:14,939
El volumen de un tronco de cono y las letras ahora toman su sentido porque el volumen de un tronco de cono cuyo radio de la base es R mayúscula, cuyo radio de la otra base, el radio menor, es R minúscula y cuya altura es h.

23
00:03:16,180 --> 00:03:19,599
¿De acuerdo? Y nos lo piden que lo hagamos mediante integrales.

24
00:03:19,599 --> 00:03:37,680
Entonces, lo primero es recordar cómo se calcula la integral. O sea, cómo se calcula el volumen de un cuerpo de revolución. Un cuerpo de revolución se va a calcular integrando la función pi por f cuadrada entre el primer valor, x igual a a y x igual a b, diferencial de x.

25
00:03:37,680 --> 00:03:54,300
Esto lo que eran, pues eran el volumen de cilindros de altura diferencial. Al final, al sumar los infinitos cilindros en los que descompondría estas lanchas en las que descompone el tronco de cono, pues nos quedaría el volumen del tronco de cono entero.

26
00:03:54,300 --> 00:04:13,400
En nuestro caso, pues tenemos que integrar entre 0 y h. El límite de la derecha es h. La función pi por... Y bueno, pues nos toca hacer esta cuenta. r más r mayúscula menos r partido por h por x al cuadrado diferencial de x. Pues toca hacer esa cuenta.

27
00:04:13,400 --> 00:04:50,740
Entonces vamos allá. Vamos poco a poco para no liarnos y hacerlo bien. Y luego vamos a intentar entender de dónde salen las cosas. Nos quedaría r al cuadrado más el doble del primero. El primero es r por el segundo que es r menos r partido por h y por x.

28
00:04:50,740 --> 00:04:59,740
Y esto es lo que tengo que integrar. Diferencial de x. De momento no me preocupo mucho por la interpretación geométrica, sino simplemente hacer la cuenta bien.

29
00:05:00,439 --> 00:05:15,019
Entonces, vamos allá. Me quedaría r al cuadrado por x. Integro polinomios. Son polinomios, no me asuste por tanta letra.

30
00:05:22,019 --> 00:05:37,430
x al cuadrado, la integral sería x al cubo partido por 3. La integral de x sería x al cuadrado partido por 2.

31
00:05:37,430 --> 00:05:44,209
Y ahora esto lo tengo que evaluar entre 0 y h

32
00:05:44,209 --> 00:05:49,170
Es decir, como todo depende de x, al evaluar en el 0 se me va

33
00:05:49,170 --> 00:05:51,069
Solo tengo que sustituir la x por h

34
00:05:51,069 --> 00:05:53,069
Y al aplicar la regla de Barrow

35
00:05:53,069 --> 00:05:54,990
Pues vamos a aplicar la regla de Barrow ya

36
00:05:54,990 --> 00:05:57,610
Simplemente sustituyendo ya digo la x por h

37
00:05:57,610 --> 00:05:59,310
Porque al evaluar en el 0 es 0

38
00:05:59,310 --> 00:06:01,949
Y hay que simplificar un poco ahí

39
00:06:01,949 --> 00:06:03,329
Porque si no eso es un desastre

40
00:06:03,329 --> 00:06:08,230
Porque básicamente no vamos a saber qué significa

41
00:06:08,230 --> 00:06:30,420
perdón esto es una venga vamos a simplificar un poquito con cuidado este

42
00:06:30,420 --> 00:06:37,860
h cubo con este h cuadrado aquí hay un cuadrado se simplifica el cuadrado con

43
00:06:37,860 --> 00:06:42,740
esta h se simplifica también el 2 con este 2 se nos simplifica también y poco

44
00:06:42,740 --> 00:06:47,459
más y ojo cuidado que aquí nos ha faltado un paréntesis todo va a

45
00:06:47,459 --> 00:07:10,160
multiplicado por pi. Y entonces, pues nos va a quedar pi que multiplica r cuadrado h, más r menos r al cuadrado por h, partido por 3, más r menos r por h.

46
00:07:11,540 --> 00:07:21,819
Muy bien. Y aquí me falta multiplicar por r, ¿verdad? Sí, multiplicar por r. De acuerdo.

47
00:07:21,819 --> 00:07:38,699
Y nada, esto en teoría tendríamos que ser capaces de simplificarlo y llegar hasta la siguiente fórmula. ¿Cuál es el volumen del tronco de cono? Pues mirad, si yo tuviese el tronco entero, vamos a dibujarlo en la proyección.

48
00:07:38,699 --> 00:08:04,529
Esto sería de la siguiente forma. Yo aquí tengo el valor de h y este lo vamos a llamar a porque no sé lo que hay hasta el vértice hipotético. Nuestro prisma, nuestro tronco de cono es este. Voy a tener aquí la r grande y la r pequeña.

49
00:08:04,529 --> 00:08:24,889
Y el volumen que yo me sé por las fórmulas de volúmenes sería, pues calcular el volumen, ya digo, del tronco de cono sería un tercio de área de la base pi r cuadrado por la altura h más a.

50
00:08:24,889 --> 00:08:29,009
eso sería el volumen de todo el cono

51
00:08:29,009 --> 00:08:31,569
un tercio del área de la base por altura es el volumen del cono

52
00:08:31,569 --> 00:08:37,549
y a ese volumen del cono le voy a restar un tercio de pi r cuadrado por a

53
00:08:37,549 --> 00:08:42,730
que es precisamente el cono que yo quito al truncar

54
00:08:42,730 --> 00:08:49,009
si esto yo lo simplificase me quedaría la fórmula del tronco de cono

55
00:08:49,009 --> 00:08:52,620
R cuadrado

56
00:08:52,620 --> 00:09:01,139
vamos a sacar aquí, a multiplicar

57
00:09:01,139 --> 00:09:13,759
el problema es que yo no conozco A

58
00:09:13,759 --> 00:09:15,820
entonces ahora vamos a calcular A

59
00:09:15,820 --> 00:09:18,480
calcular A lo vamos a hacer por tales

60
00:09:18,480 --> 00:09:20,740
estos triángulos son semejantes

61
00:09:20,740 --> 00:09:22,539
así que A partido por R

62
00:09:22,539 --> 00:09:25,120
es igual a A más H

63
00:09:25,120 --> 00:09:27,480
a toda la altura partido por R grande

64
00:09:27,480 --> 00:09:29,779
de aquí yo saco lo que vale la A

65
00:09:29,779 --> 00:09:31,019
y la sustituyo ahí

66
00:09:31,019 --> 00:09:33,039
me quedaría, como veis, este es un problema

67
00:09:33,039 --> 00:09:34,139
ya un poquitín más complicado

68
00:09:34,139 --> 00:09:40,299
A por R igual a R por A más H

69
00:09:40,299 --> 00:09:47,899
De todas formas, el valor de la integral, si la damos así, pues hombre, está casi bien

70
00:09:47,899 --> 00:09:50,779
O sea que no nos pueden poner muchas pegas

71
00:09:50,779 --> 00:09:53,059
Pero vamos a hacerlo bien, bien, bien

72
00:09:53,059 --> 00:09:55,659
Entonces esto quedaría A por R menos R

73
00:09:55,659 --> 00:09:59,100
Este pasa restando, como sabéis, con la R por H

74
00:09:59,100 --> 00:10:34,720
Así que la a vale r por h partido por r menos r. Y ese sería el valor que habría que sustituir aquí para que nos dé todo bien. Es decir, un tercio de pi que multiplica a r cuadrado h más r cuadrado por r por h menos r minúscula cuadrado por r minúscula por h.

75
00:10:35,379 --> 00:10:39,159
Y todo ello partido por R mayúscula menos R.

76
00:10:40,600 --> 00:10:44,899
En fin, esto se puede simplificar un poquitito, pero aquí no nos cabe.

77
00:10:45,480 --> 00:10:48,240
Al final lo que nos tendría que quedar es una cosa mucho más sencilla.

78
00:10:48,899 --> 00:10:52,559
Si operamos esto, lo subimos arriba, no se nos va a simplificar bastante.

79
00:10:53,159 --> 00:10:56,240
Tengo por aquí hecha la cuenta y os la voy a anotar aquí.

80
00:10:56,360 --> 00:10:56,740
Un momentito.

81
00:11:01,730 --> 00:11:05,190
Bueno, pues resulta que esta cuenta, si la simplificásemos nosotros,

82
00:11:05,730 --> 00:11:11,490
continúo por aquí abajo, o por ahí arriba, que tengo más sitio,

83
00:11:11,649 --> 00:11:41,889
Si yo la continuase me quedaría la siguiente. Volumen del tronco sería igual a lo siguiente. En un tercio de pi lo puedo dejar fuera y me va a quedar pues r cuadrado por rh partido por r menos h menos r cuadrado por rh partido por r menos h.

84
00:11:41,889 --> 00:11:54,909
En fin, si eso que significa, pues eso significa que es el volumen, este trozo, primer trozo sería el volumen del tronco grande al que le estemos quitando el volumen del tronco pequeño, nada más.

85
00:11:55,350 --> 00:12:04,070
Y si yo simplificase esta cuenta, daos por seguro, un ejercicio es de álgebra que llegaríamos a esta misma de aquí.

86
00:12:04,529 --> 00:12:11,690
En cualquier caso, aquí veis que hay un poco de teorema de tales y de cálculo de volúmenes del tercero de la ESO,

87
00:12:11,809 --> 00:12:14,750
pero con la complicación de que todos son letras, o sea que eso se complica ya bastante.

88
00:12:15,370 --> 00:12:20,649
Y esto es un problema que lo relaciona con integrales, que es el objetivo principal del ejercicio.

89
00:12:20,649 --> 00:12:26,750
Espero que os haya parecido interesante. Nos vemos en la resolución de próximas integrales.

90
00:12:27,330 --> 00:12:27,830
¡Hasta luego!