1
00:00:01,520 --> 00:00:09,519
Bueno, vamos a ver las aplicaciones de la derivada al estudio primero de la monotonía de una función y al cálculo de extremos relativos.

2
00:00:10,859 --> 00:00:13,519
¿Qué significa estudiar la monotonía de una función?

3
00:00:13,960 --> 00:00:24,660
Pues consiste en estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función, es decir, en estudiar en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente.

4
00:00:25,480 --> 00:00:31,500
Fijaros, la derivada lo que nos indica es la pendiente de la recta tangente a la curva.

5
00:00:31,519 --> 00:00:37,539
Si esa pendiente es positiva, como ocurre en este primer gráfico de aquí

6
00:00:37,539 --> 00:00:41,740
Está representado un punto dentro del intervalo AB

7
00:00:41,740 --> 00:00:47,439
Trazamos la recta tangente a la curva y vemos que esta tiene una pendiente positiva

8
00:00:47,439 --> 00:00:52,979
Si esto ocurre en todos los puntos del intervalo, diremos que la función es creciente

9
00:00:52,979 --> 00:00:59,859
Es decir, si la derivada en todos los puntos del intervalo es positiva

10
00:00:59,859 --> 00:01:07,060
para todo x sub cero perteneciente a ese intervalo abierto, la función es creciente en dicho intervalo.

11
00:01:07,640 --> 00:01:16,700
En caso contrario, es decir, si la derivada es negativa para todos los puntos del intervalo abierto desde a hasta b,

12
00:01:18,120 --> 00:01:20,500
la función va a ser decreciente.

13
00:01:20,500 --> 00:01:32,739
Así que pendiente positiva en todos los puntos de un intervalo significa que la función es creciente

14
00:01:32,739 --> 00:01:35,680
Y si es negativa va a ser decreciente

15
00:01:35,680 --> 00:01:43,079
Aquí por ejemplo os he puesto el gráfico de uno de los exámenes que hemos hecho en el control

16
00:01:43,079 --> 00:01:51,099
Fijaros que una función como por ejemplo esta que viene dada por varios tramos

17
00:01:51,099 --> 00:01:57,659
puede tener distinto comportamiento.

18
00:01:58,439 --> 00:02:02,219
En este caso, por ejemplo, esta función sería por aquí y sería por aquí,

19
00:02:02,239 --> 00:02:13,110
tiene una asíntota igual a 1, creo que, tiene una asíntota horizontal.

20
00:02:14,009 --> 00:02:19,710
Pues fijaros, en este caso, si a mí me pidieran estudiar la monotonía de esta función,

21
00:02:20,129 --> 00:02:24,009
tendría que ir describiendo qué va ocurriendo en cada intervalo.

22
00:02:24,009 --> 00:02:31,430
Por ejemplo, en este primer intervalo, que va de menos infinito, porque aquí la función sigue creciendo,

23
00:02:31,909 --> 00:02:38,599
vamos a ponerlo aquí, intervalos de monotonía.

24
00:02:41,870 --> 00:02:45,729
Esto es lo mismo que decir intervalos de crecimiento, de crecimiento de la función.

25
00:02:45,729 --> 00:02:52,669
vemos que de menos infinito a 1

26
00:02:52,669 --> 00:02:55,409
y fijaros, activo abierto

27
00:02:55,409 --> 00:02:58,569
porque en 1 vamos a ver que no existe la derivada

28
00:02:58,569 --> 00:03:01,490
creo que no puedo dibujar la recta tangente

29
00:03:01,490 --> 00:03:02,650
habría infinitas, ¿no?

30
00:03:03,250 --> 00:03:05,169
no puedo dibujar infinitas rectas tangentes

31
00:03:05,169 --> 00:03:09,060
porque la función termina ahí

32
00:03:09,060 --> 00:03:12,439
así que de menos infinito a 1

33
00:03:12,439 --> 00:03:17,159
la derivada de la función en todos los puntos

34
00:03:17,159 --> 00:03:25,960
de ese intervalo, cuando todo x perteneciente a ese intervalo, la derivada es negativa.

35
00:03:27,099 --> 00:03:35,219
Lo veo aquí, porque si yo trazo la recta tangente en cualquiera de estos puntos, veo

36
00:03:35,219 --> 00:03:37,960
que es una pendiente negativa.

37
00:03:38,539 --> 00:03:41,599
A mayor que cero, pendiente positiva, así.

38
00:03:42,479 --> 00:03:45,340
A menor que cero, pendiente así.

39
00:03:45,340 --> 00:03:51,219
entonces veo que en este caso todas las pendientes que yo puedo trazar en cada uno de los puntos

40
00:03:51,219 --> 00:03:56,819
tienen pendiente negativa, eso significa que la derivada es negativa

41
00:03:56,819 --> 00:04:04,400
y por lo tanto la función f de x en ese intervalo abierto es decreciente

42
00:04:04,400 --> 00:04:12,620
vamos al siguiente intervalo, de 2

43
00:04:12,620 --> 00:04:17,779
para todos los x que pertenecen al intervalo abierto de 2

44
00:04:17,779 --> 00:04:26,740
La derivada de la función, en este caso, es negativa también

45
00:04:26,740 --> 00:04:30,980
La función en ese intervalo abierto de 2 a 3 es decreciente

46
00:04:30,980 --> 00:04:47,540
Seguimos, de 3 a 5, la derivada

47
00:04:47,540 --> 00:04:52,100
Lo podemos ver aquí en el dibujo, aquí la pendiente negativa

48
00:04:52,100 --> 00:04:55,199
Este es un trocito de parábola, ¿no?

49
00:04:55,699 --> 00:04:59,139
Pues aquí la pendiente, antes de llegar al vértice, es negativa

50
00:04:59,139 --> 00:05:01,100
Y aquí la pendiente es positiva

51
00:05:01,100 --> 00:05:05,000
en todos los puntos del intervalo abierto que va de 3 a 5

52
00:05:05,000 --> 00:05:12,379
pues si es positiva significa que la función es creciente en ese intervalo

53
00:05:12,379 --> 00:05:33,060
y luego de 5 hasta infinito la derivada de la función es negativa

54
00:05:33,060 --> 00:05:39,000
por lo tanto la función es decreciente

55
00:05:39,000 --> 00:05:47,350
pues estos serían los intervalos de monotonía o intervalos de crecimiento-decrecimiento

56
00:05:47,350 --> 00:05:48,930
Aquí lo hemos visto con la función.

57
00:05:49,050 --> 00:05:54,329
¿En dónde vamos a localizar máximos y mínimos relativos de una función?

58
00:05:54,910 --> 00:05:59,089
Donde la función sea derivable, es decir, donde exista la derivada,

59
00:05:59,649 --> 00:06:01,829
y el signo de la derivada cambia.

60
00:06:02,129 --> 00:06:04,610
Es decir, en este punto, en el que es un cero,

61
00:06:05,189 --> 00:06:08,689
decimos que hay un máximo relativo de la función,

62
00:06:09,310 --> 00:06:13,050
porque a la izquierda de ese punto la función es creciente,

63
00:06:13,050 --> 00:06:16,910
vemos que su derivada es positiva en todos estos puntos,

64
00:06:17,350 --> 00:06:29,129
que están a la izquierda de x sub cero, y a la derecha de ese punto la función es decreciente porque el signo de la derivada es negativo.

65
00:06:29,129 --> 00:06:36,920
Tenemos un mínimo relativo de la función cuando ocurre lo contrario, es decir, la función es derivable,

66
00:06:36,920 --> 00:06:43,240
Aquí podemos definir la derivada de la función y vemos que a la izquierda del punto

67
00:06:43,240 --> 00:06:53,040
estos x tienen el signo de la derivada negativo, con lo cual la función es decreciente.

68
00:06:53,160 --> 00:06:58,420
Pasamos de que la función sea decreciente a que sea creciente, es decir, signo de la derivada positivo.

69
00:06:59,180 --> 00:07:06,220
Fijaros, en este punto donde la función es derivable hay un momento en el cual la derivada se me anula.

70
00:07:06,920 --> 00:07:15,600
Por lo tanto, un primer sitio donde vamos a tener que buscar máximos y mínimos relativos

71
00:07:15,600 --> 00:07:25,120
son los que llamamos puntos singulares, es decir, puntos donde la derivada primera se me anula.

72
00:07:26,379 --> 00:07:31,779
No siempre ocurre que en puntos donde la derivada primera se me anula voy a tener un máximo.

73
00:07:31,779 --> 00:07:36,360
Eso luego lo vamos a tener que ver viendo qué pasa a la derecha y a la izquierda de ese punto.

74
00:07:36,920 --> 00:07:38,660
¿En qué otro sitio voy a tener que buscar?

75
00:07:39,160 --> 00:07:45,959
Pues no solamente vamos a encontrar extremos relativos en aquellos puntos donde la derivada primera sea cero,

76
00:07:46,060 --> 00:07:47,360
es decir, en los puntos singulares.

77
00:07:48,220 --> 00:07:52,139
Puede ocurrir que donde empiece la función o donde termine la función,

78
00:07:52,560 --> 00:07:55,740
si la función está ahí definida, veamos este ejemplo,

79
00:07:56,660 --> 00:07:59,560
en x igual a a lo que tenemos es un mínimo de la función

80
00:07:59,560 --> 00:08:03,639
y en b tenemos un máximo de la función.

81
00:08:03,639 --> 00:08:10,519
Aquí la función ni siquiera es derivable porque yo no puedo trazar la recta tangente a la curva en ese punto

82
00:08:10,519 --> 00:08:15,339
habría infinitas, por lo tanto no existe la derivada, ni tampoco en este punto

83
00:08:15,339 --> 00:08:20,920
La derivada no existe, sin embargo localizamos mínimos y máximos

84
00:08:20,920 --> 00:08:25,540
Y por último tenemos aquellos puntos que ya nos hemos comentado

85
00:08:25,540 --> 00:08:28,220
en que la función muestra picos

86
00:08:28,220 --> 00:08:31,220
Esto se da sobre todo en funciones que están definidas a trozos

87
00:08:31,220 --> 00:08:36,419
en los cuales la función a la derecha de x sub 0 está definida de una manera

88
00:08:36,419 --> 00:08:40,120
y a la izquierda, o sea, la izquierda está definida de una manera

89
00:08:40,120 --> 00:08:41,659
y a la derecha está definida de otra.

90
00:08:41,899 --> 00:08:43,100
Entonces se pueden dar estos casos.

91
00:08:43,799 --> 00:08:47,399
La función es continua en esos puntos, pero no es derivable.

92
00:08:47,500 --> 00:08:51,399
Yo aquí no puedo trazar la recta tangente,

93
00:08:51,539 --> 00:08:54,700
o digamos que no sea una única recta tangente porque habría infinitas,

94
00:08:55,500 --> 00:08:57,620
así que ni siquiera está definida aquí la derivada.

95
00:08:58,659 --> 00:09:00,120
Cuanto menos que la derivada sea cero.

96
00:09:00,120 --> 00:09:08,529
Sin embargo, sí que localizamos en estos puntos, pues en este caso lo que tenemos es un máximo de la función

97
00:09:08,529 --> 00:09:13,590
Y aquí tenemos, en este ejemplo de la derecha, tenemos un mínimo

98
00:09:13,590 --> 00:09:22,500
Entonces, recapitulando, ¿dónde vamos a tener que buscar extremos relativos?

99
00:09:23,940 --> 00:09:32,480
Pues primero vamos a buscar los puntos singulares, es decir, puntos donde la derivada primera se anula

100
00:09:32,480 --> 00:09:41,820
Ahí lo que voy a encontrar van a ser candidatos a máximos y mínimos, a extremos relativos

101
00:09:41,820 --> 00:09:45,919
Tendré que hacer el estudio posterior, pero ahí siempre voy a tener que buscar

102
00:09:45,919 --> 00:09:56,710
Luego también tendré que ver el dominio de la función, es decir, dónde la función empieza, dónde termina, dónde se corta

103
00:09:56,710 --> 00:10:01,429
Si viene dado por el dominio por varios intervalos, por unión de intervalos

104
00:10:01,429 --> 00:10:05,809
Porque también voy a poder tener máximos o mínimos relativos

105
00:10:05,809 --> 00:10:13,549
Y por último, puntos donde la función sea continua pero no derivable.

106
00:10:13,929 --> 00:10:25,289
En estos casos, pues la derivada no existe, sin embargo, podemos tener máximos o mínimos relativos.

107
00:10:25,289 --> 00:10:38,450
Es decir, puntos donde la función f de x es continua pero no derivable.

108
00:10:40,899 --> 00:10:44,580
Y esto me lo voy a encontrar sobre todo en funciones definidas a trozos.