1
00:00:01,710 --> 00:00:08,650
Bien, en este vídeo lo que vamos a ver es la resolución de sistemas de ecuaciones, una introducción que quiero que aprendamos aquí.

2
00:00:08,750 --> 00:00:17,390
Primero, a utilizar la herramienta GeoGebra para representar ecuaciones, que nos va a permitir ver qué es una ecuación con dos incógnitas,

3
00:00:17,489 --> 00:00:24,250
qué forma tiene, qué representa, un círculo, una parábola, qué es, qué cambio le puedo hacer a una ecuación sin modificarla,

4
00:00:24,250 --> 00:00:29,609
eso también lo vamos a ver con GeoGebra, y qué estoy haciendo cuando resuelvo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

5
00:00:29,609 --> 00:00:40,630
No cómo lo hago, sino qué estoy haciendo, qué es lo que estoy buscando. Entonces, para eso vamos a utilizar el siguiente sistema. 3x menos y igual a 3 y x más 2y igual a 8.

6
00:00:40,710 --> 00:00:48,469
Aquí tenemos, como se puede apreciar, dos ecuaciones. La primera ecuación con sus dos incógnitas y la segunda ecuación con sus dos incógnitas.

7
00:00:48,469 --> 00:00:51,950
Hay que darse cuenta de que estas X no son diferentes

8
00:00:51,950 --> 00:00:53,329
Son la misma X

9
00:00:53,329 --> 00:00:57,149
Yo busco, ahora luego lo veremos, un punto común de las dos

10
00:00:57,149 --> 00:01:00,149
Entonces estas X son iguales y estas X son iguales

11
00:01:00,149 --> 00:01:01,810
Por tanto no tengo dos X

12
00:01:01,810 --> 00:01:05,010
Tengo una sola X escrita dos veces

13
00:01:05,010 --> 00:01:06,790
Es la misma escrita dos veces

14
00:01:06,790 --> 00:01:08,409
Y la misma Y escrita dos veces

15
00:01:08,409 --> 00:01:10,730
Si aquí pongo un 8, aquí puedo poner un 8

16
00:01:10,730 --> 00:01:12,209
Si aquí pongo un 10, aquí puedo poner un 10

17
00:01:12,209 --> 00:01:13,090
Porque es lo mismo

18
00:01:13,090 --> 00:01:17,109
Entonces podemos juntar estas cuatro letras en estas dos

19
00:01:17,109 --> 00:01:18,409
Yo busco la X y la Y común

20
00:01:18,409 --> 00:01:24,530
Vamos a ver, para contestar la primera pregunta, que es una ecuación con dos incógnitas

21
00:01:24,530 --> 00:01:27,569
Entonces, cogemos la primera ecuación, que es esta que tenemos aquí

22
00:01:27,569 --> 00:01:31,709
Y la represento en GeoGebra, 3x menos y igual a 3

23
00:01:31,709 --> 00:01:33,209
Yo me vengo aquí y escribo

24
00:01:33,209 --> 00:01:39,049
3x menos y igual a 3

25
00:01:39,049 --> 00:01:43,609
Bien, como veis, lo que ha sacado es la ecuación de una recta

26
00:01:43,609 --> 00:01:45,090
Si yo esto lo hago todo lo pequeño que queráis

27
00:01:45,090 --> 00:01:49,390
al final lo que va a tener, o todo lo grande que queráis, lo que va a tener es la ecuación de una recta

28
00:01:49,390 --> 00:01:53,510
¿de acuerdo? es una recta, ¿vale? que pasa por una serie de puntos

29
00:01:53,510 --> 00:01:57,329
un poquito más grande, ahí, si os dais cuenta pasa por el 1 menos 3

30
00:01:57,329 --> 00:02:01,390
pero es una recta, es decir, ya podemos afirmar

31
00:02:01,390 --> 00:02:05,650
sin saber bien ni falta que hace ahora, que esto es

32
00:02:05,650 --> 00:02:11,159
una recta, por tanto, una ecuación, a la pregunta de

33
00:02:11,159 --> 00:02:15,500
¿qué es una ecuación con dos incógnitas? siempre que estén elevadas a 1

34
00:02:15,500 --> 00:02:17,199
que este año son los que vais a ver

35
00:02:17,199 --> 00:02:18,960
que no hay aquí elevado a ninguna otra cosa

36
00:02:18,960 --> 00:02:20,860
son una recta

37
00:02:20,860 --> 00:02:22,919
se verá en el tema de funciones pero es así

38
00:02:22,919 --> 00:02:24,780
voy a representar también la otra

39
00:02:24,780 --> 00:02:28,819
x más 2y igual a 8

40
00:02:28,819 --> 00:02:32,180
vamos a representarlo

41
00:02:32,180 --> 00:02:37,659
x más

42
00:02:37,659 --> 00:02:39,460
2y

43
00:02:39,460 --> 00:02:41,580
igual a 8

44
00:02:41,580 --> 00:02:43,919
y ahí tenemos otra recta

45
00:02:43,919 --> 00:02:45,680
como tenía que ser, cada ecuación va a ser una recta

46
00:02:45,680 --> 00:02:47,259
si dibujase más serían más rectas

47
00:02:47,259 --> 00:02:50,240
¿qué es lo que tiene esta recta importante?

48
00:02:50,400 --> 00:02:51,719
fijaos, esto de aquí

49
00:02:51,719 --> 00:02:55,060
aquí, es decir, voy un momentito

50
00:02:55,060 --> 00:02:58,939
para acá, que esto me permite pintar

51
00:02:58,939 --> 00:03:03,240
¿qué tenemos? esto es lo importante, es decir, hay un punto

52
00:03:03,240 --> 00:03:08,889
común, como estamos en el plano

53
00:03:08,889 --> 00:03:13,129
sobre dos dimensiones, como si andásemos por el suelo, quiere decir, estas dos rectas

54
00:03:13,129 --> 00:03:16,610
podemos decir, entre comillas, que han chocado

55
00:03:16,610 --> 00:03:25,979
en ese punto, es decir, las dos comparten ese punto aquí

56
00:03:25,979 --> 00:03:28,900
la x de una es igual a la x de la otra

57
00:03:28,900 --> 00:03:30,539
y la y de una es igual a la y de la otra

58
00:03:30,539 --> 00:03:32,159
eso es lo que nosotros estamos calculando

59
00:03:32,159 --> 00:03:35,000
cuando resolvemos un sistema y dice la x da 3 y 2

60
00:03:35,000 --> 00:03:36,680
pues quiere decir que en el punto 3, 2

61
00:03:36,680 --> 00:03:37,939
es donde las dos rectas chocan

62
00:03:37,939 --> 00:03:39,819
o donde las dos rectas se encuentran

63
00:03:39,819 --> 00:03:41,900
eso responde

64
00:03:41,900 --> 00:03:43,979
a la pregunta de

65
00:03:43,979 --> 00:03:47,039
¿qué estoy haciendo cuando resuelvo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

66
00:03:47,159 --> 00:03:48,379
pues lo que estoy haciendo es ver

67
00:03:48,379 --> 00:03:49,960
si esas dos rectas

68
00:03:49,960 --> 00:03:52,460
tienen un punto en común

69
00:03:52,460 --> 00:03:54,379
que en este caso lo tienen

70
00:03:54,379 --> 00:03:55,400
puede ser que no lo tengan

71
00:03:55,400 --> 00:03:57,479
pueden ser que sean dos rectas paralelas

72
00:03:57,479 --> 00:03:59,300
y entonces no lo tengan, por ejemplo

73
00:03:59,300 --> 00:04:01,699
si yo voy a desactivar estas

74
00:04:01,699 --> 00:04:06,270
si yo le pongo las siguientes rectas

75
00:04:06,270 --> 00:04:13,669
si yo le pusiese por ejemplo

76
00:04:13,669 --> 00:04:15,169
una recta que fuese

77
00:04:15,169 --> 00:04:17,029
x más y

78
00:04:17,029 --> 00:04:18,709
igual a 4

79
00:04:18,709 --> 00:04:21,949
y x más y

80
00:04:21,949 --> 00:04:25,139
igual a

81
00:04:25,139 --> 00:04:27,339
igual a

82
00:04:27,339 --> 00:04:29,040
6, si os dais cuenta

83
00:04:29,040 --> 00:04:30,699
estas dos rectas son paralelas

84
00:04:30,699 --> 00:04:32,740
y no tienen ningún punto en común

85
00:04:32,740 --> 00:04:35,279
el sistema formado por esas dos ecuaciones

86
00:04:35,279 --> 00:04:37,439
x más y igual a 4 y x más y igual a 6

87
00:04:37,439 --> 00:04:38,379
no tiene solución

88
00:04:38,379 --> 00:04:40,319
no tiene ningún punto en común

89
00:04:40,319 --> 00:04:41,540
¿de acuerdo?

90
00:04:42,040 --> 00:04:44,060
y si yo lo que hiciese fuese

91
00:04:44,060 --> 00:04:47,019
esta la vamos a eliminar

92
00:04:47,019 --> 00:04:49,480
si lo que yo hiciese fuese

93
00:04:49,480 --> 00:04:50,160
por ejemplo

94
00:04:50,160 --> 00:04:54,279
x más y

95
00:04:54,279 --> 00:04:55,879
x más y

96
00:04:55,879 --> 00:04:58,740
igual a 3

97
00:04:58,740 --> 00:05:00,920
y por ejemplo

98
00:05:00,920 --> 00:05:06,420
3X más 3Y igual a 12

99
00:05:06,420 --> 00:05:09,379
para mí igual a 9

100
00:05:09,379 --> 00:05:13,459
¿qué pasa? fijaos, las dos rectas no es que se haya equivocado

101
00:05:13,459 --> 00:05:15,720
mira, si yo quito una, está el azul

102
00:05:15,720 --> 00:05:18,519
ahí está la verde y la azul está encima

103
00:05:18,519 --> 00:05:20,160
es decir, son la misma recta

104
00:05:20,160 --> 00:05:24,060
aquí ¿cuántos puntos tienen en común? infinitos, serían infinitas soluciones

105
00:05:24,060 --> 00:05:26,959
esto este año no nos va a teñir, pero para que lo tengáis ya

106
00:05:26,959 --> 00:05:28,899
es decir, pueden tener un punto en común

107
00:05:28,899 --> 00:05:30,899
ser paralela a ningún punto en común

108
00:05:30,899 --> 00:05:32,600
o ser coincidente, ser la misma

109
00:05:32,600 --> 00:05:33,899
y tener todos los puntos comunes

110
00:05:33,899 --> 00:05:35,839
tendría infinitas soluciones

111
00:05:35,839 --> 00:05:36,540
¿de acuerdo?

112
00:05:37,300 --> 00:05:38,160
por lo tanto aquí llamamos

113
00:05:38,160 --> 00:05:41,060
¿qué es una ecuación con dos incógnitas?

114
00:05:41,160 --> 00:05:42,279
una recta, siempre

115
00:05:42,279 --> 00:05:44,959
si la x y la y están elevadas a 1 es una recta

116
00:05:44,959 --> 00:05:47,220
¿qué estoy haciendo cuando resuelvo un sistema

117
00:05:47,220 --> 00:05:48,699
de dos ecuaciones con dos incógnitas?

118
00:05:48,899 --> 00:05:50,540
buscando si tiene algún punto en común

119
00:05:50,540 --> 00:05:52,680
y ese es el que estoy calculando

120
00:05:52,680 --> 00:05:55,199
x3 y 8, ese es el punto que tiene en común

121
00:05:55,199 --> 00:05:56,620
si fuesen paralelas

122
00:05:56,620 --> 00:05:58,420
no tendría ningún punto en común

123
00:05:58,420 --> 00:06:06,720
y me saldría algo absurdo, por ejemplo, 0 igual a 3, 0 nunca puede ser 3, o que fuesen coincidentes y tendrían infinitos puntos en común, saldría 0 igual a 0.

124
00:06:06,819 --> 00:06:15,560
Pero digo que esos dos últimos casos este año no los vamos a ver. ¿Qué me queda por hacer? Me queda por hacer esto, es decir, ¿qué cambio le puedo hacer a una ecuación sin modificarla?

125
00:06:15,680 --> 00:06:22,480
Pues fijaos, y con eso es con lo que yo voy a poder resolver los sistemas. Fijaos, la cuestión es la siguiente, si yo cojo la ecuación, voy a coger la primera,

126
00:06:22,480 --> 00:06:39,779
3x menos y igual a 3, lo que voy a hacer de aquí a aquí, por ejemplo, le voy a multiplicar por 2, eso sí, importante, muy importante, toda la ecuación por 2, es decir, sería 6x menos 2y igual a 6, toda la ecuación por 2.

127
00:06:39,779 --> 00:06:54,920
Vamos a ver qué pasa en su algebra. La tengo aquí representada, fijaos, esta es 3x menos y igual a 3. Voy a representarla multiplicada, es decir, 6x menos 6y igual a 6.

128
00:06:54,920 --> 00:06:58,279
no, perdón, menos 6x menos 2y

129
00:06:58,279 --> 00:07:00,399
perdón, menos 2y

130
00:07:00,399 --> 00:07:02,300
igual a 6

131
00:07:02,300 --> 00:07:04,759
¿qué ha pasado? como pasaba antes

132
00:07:04,759 --> 00:07:06,519
me ha salido la misma ecuación

133
00:07:06,519 --> 00:07:08,579
¿vale? fijaos

134
00:07:08,579 --> 00:07:10,560
yo aquí tengo la misma ecuación

135
00:07:10,560 --> 00:07:14,279
es igual que esta, porque si yo quito una

136
00:07:14,279 --> 00:07:16,220
a ver si puedo quitarlo

137
00:07:16,220 --> 00:07:18,500
si yo desmarco esta, ahí sigue

138
00:07:18,500 --> 00:07:20,079
¿veis? esta es esta

139
00:07:20,079 --> 00:07:22,040
y esta es la misma, es decir

140
00:07:22,040 --> 00:07:24,339
al multiplicarla por un número

141
00:07:24,339 --> 00:07:28,480
al multiplicar toda la ecuación por un número no la he modificado

142
00:07:28,480 --> 00:07:31,079
es como que le he cambiado el traje pero sigue siendo la misma persona

143
00:07:31,079 --> 00:07:33,459
es decir, sigo teniendo la misma ecuación

144
00:07:33,459 --> 00:07:37,839
tiene un aspecto diferente

145
00:07:37,839 --> 00:07:42,879
un aspecto diferente, pero es la misma ecuación

146
00:07:42,879 --> 00:07:45,579
si el número es negativo también, por ejemplo, fijaos

147
00:07:45,579 --> 00:07:48,680
imagina que yo multiplico por, yo que sé, por menos 3

148
00:07:48,680 --> 00:07:53,399
y me queda menos 9x más 3y igual a menos 9

149
00:07:53,399 --> 00:07:54,560
voy a representarla

150
00:07:54,560 --> 00:08:11,089
Si lo multiplico por menos 3, voy a quitar la segunda que hemos hecho, esta fuera, y aquí digo, menos 9x más 3y igual a 9, igual a menos 9, perdón.

151
00:08:12,170 --> 00:08:23,610
Ahí está, la misma, fijaos, rosa, esta, si las quito, esta es la primera, 3x menos y igual a 3, y esta es la segunda, la misma ecuación, está justo encima.

152
00:08:23,610 --> 00:08:26,329
¿Lo veis? Es la misma

153
00:08:26,329 --> 00:08:29,750
Es decir, cuando yo multiplico por un número

154
00:08:29,750 --> 00:08:31,449
Y podría hacerlo también dividiendo

155
00:08:31,449 --> 00:08:34,610
Que es multiplicar por un número o por una fracción

156
00:08:34,610 --> 00:08:38,009
Lo que estoy haciendo es mantener la misma ecuación con otra forma

157
00:08:38,009 --> 00:08:41,110
Y esa va a ser la base de, por ejemplo, el sistema de reducción

158
00:08:41,110 --> 00:08:42,809
Sí que no puedo sumar números

159
00:08:42,809 --> 00:08:45,529
Si yo cogiese y sumase un número, aunque se lo sumase a todo

160
00:08:45,529 --> 00:08:47,809
La ecuación cambiaría, sería otra recta

161
00:08:47,809 --> 00:08:50,789
Pero, por ejemplo, es muy útil si yo tuviese imaginado

162
00:08:50,789 --> 00:09:15,730
menos 300X menos 100Y igual a 300. Yo tengo que resolver este sistema y digo, puff, ¿esto cómo lo hago? Pues fijaos, si yo represento eso, que sería 300X menos 100Y igual a 300, ahí está, en gris.

163
00:09:15,730 --> 00:09:28,269
Es la misma ecuación, fijaos, la roja es la primera, no os olvidéis. Por 100, la misma. O viceversa, imaginaos que yo parto de esta, es decir, yo parto de esta ecuación y lo que hago es dividir por 100.

164
00:09:28,350 --> 00:09:37,350
Dividir por 100 es como multiplicar por un cienavo. Esto hay que ver, es dividir por 100 toda la vida. Esto me da 3x menos y igual a 3. Es la misma ecuación que tenía.

165
00:09:37,350 --> 00:10:01,789
Por tanto, como moraleja y conclusión es, cuando multiplico una ecuación por un número, la ecuación no cambia.

166
00:10:02,610 --> 00:10:07,330
Y cuando digo multiplico, recordad que multiplico, podemos poner también entre paréntesis, divido.

167
00:10:08,149 --> 00:10:10,710
Recordad que dividir es multiplicar por una fracción.

168
00:10:11,710 --> 00:10:16,389
Cuando digo multiplico, estoy también diciendo divido, como es el último caso, divido por 100.

169
00:10:16,389 --> 00:10:39,090
Toda. Eso sí, importante. Hay que multiplicar o dividir toda la ecuación, si no lo estaríamos haciendo mal. Aquí lo tenéis. Fijaos. Cojo el primero, voy a quitar todos. La primera multiplicada por 2, por menos 3, por 100. Todas son la misma.

170
00:10:39,090 --> 00:10:41,190
Todas estas cuatro ecuaciones son la misma

171
00:10:41,190 --> 00:10:42,529
Y para resolverlo es la misma

172
00:10:42,529 --> 00:10:44,289
Esta va a ser la base del primer método que vamos a ver

173
00:10:44,289 --> 00:10:45,230
Que es el de reducción

174
00:10:45,230 --> 00:10:47,289
Por tanto, resumiendo todo

175
00:10:47,289 --> 00:10:49,610
¿Qué hemos visto?

176
00:10:50,049 --> 00:10:52,149
Que es una ecuación con dos incógnitas

177
00:10:52,149 --> 00:10:53,490
Una recta

178
00:10:53,490 --> 00:10:56,590
Siempre, si las incógnitas están elevadas a 1

179
00:10:56,590 --> 00:10:58,090
Aquí hay un 1

180
00:10:58,090 --> 00:10:59,629
Que son las de este año, aquí hay un 1

181
00:10:59,629 --> 00:11:00,809
Es una recta

182
00:11:00,809 --> 00:11:02,269
¿Qué cambio le puedo hacer?

183
00:11:02,450 --> 00:11:07,250
Pues multiplicar o dividir

184
00:11:07,250 --> 00:11:09,129
Que es lo mismo que multiplicar por una fracción

185
00:11:09,129 --> 00:11:10,169
Por el mismo número

186
00:11:10,169 --> 00:11:14,330
a eso sí, toda la ecuación, no las dos ecuaciones, a una de ellas

187
00:11:14,330 --> 00:11:18,129
¿y qué estoy haciendo cuando resuelvo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

188
00:11:18,210 --> 00:11:22,429
pues lo que estoy viendo es la posición de las rectas

189
00:11:22,429 --> 00:11:26,409
es decir, si las rectas se cortan

190
00:11:26,409 --> 00:11:29,750
en un punto, si las rectas son paralelas y no tiene solución

191
00:11:29,750 --> 00:11:33,149
o si las rectas son la misma y tienen infinitas soluciones

192
00:11:33,149 --> 00:11:35,049
eso es lo que estamos resolviendo