1
00:00:02,540 --> 00:00:11,179
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de Matemáticas 2.

2
00:00:11,400 --> 00:00:18,160
Seguimos trabajando con el bloque de matrices y en este caso os vengo a presentar la noción de matriz traspuesta.

3
00:00:18,940 --> 00:00:23,399
Transponer una matriz no es otra cosa sino cambiar las filas por columnas.

4
00:00:24,420 --> 00:00:27,280
La dimensión de una matriz traspuesta, por tanto, cambiará.

5
00:00:27,760 --> 00:00:31,160
Por ejemplo, va a pasar de ser una matriz 2x3 a una matriz 3x2.

6
00:00:31,160 --> 00:00:40,259
Vamos a ver algunas propiedades muy sencillas y vamos a acabar el vídeo viendo un ejercicio que salió en Selectividad del 2018 en Madrid.

7
00:00:40,920 --> 00:00:44,020
Bien, comencemos por la definición de matriz traspuesta.

8
00:00:44,920 --> 00:00:53,820
La matriz traspuesta de una matriz M por N es aquella que se obtiene cambiando las filas por columnas, de forma que vamos a obtener una matriz N por M.

9
00:00:53,820 --> 00:01:11,480
Esto es, por ejemplo, si tenemos una matriz de tres filas y dos columnas, 3, 2, 4, 1, 1, 0, la matriz traspuesta tendrá estas mismas filas pero puestas en columnas, de forma que las nuevas filas serán 3, 4, 1, 2, 1, 0.

10
00:01:11,480 --> 00:01:32,519
Por ejemplo, la traspuesta de matrices se comporta perfectamente con la suma y resta de matrices, de manera que la traspuesta de una suma es la suma de las traspuestas, pero cuando tenemos que calcular la traspuesta de un producto, es el producto de las traspuestas cambiado el orden, es decir, A por B traspuesta será igual a B traspuesta por A traspuesta.

11
00:01:33,099 --> 00:01:38,900
¿Esto por qué es? Bueno, pues como veremos en este ejemplo, es principalmente un problema de dimensiones.

12
00:01:39,420 --> 00:01:45,680
Imaginemos que queremos multiplicar A por B, siendo A una matriz 1, 3 y B una matriz 3, 2.

13
00:01:46,079 --> 00:01:48,219
Y luego queremos calcular la traspuesta.

14
00:01:48,579 --> 00:01:54,280
Pues el resultado de la matriz A por B es una matriz con una fila y dos columnas.

15
00:01:54,799 --> 00:02:02,420
Y si transponemos la matriz A por B traspuesta, el resultado será una matriz con dos filas y una columna, es decir, una matriz columna.

16
00:02:02,519 --> 00:02:14,039
Vamos a hacer las cuentas. La matriz A por B sería igual a la matriz 12-6, como veis ahí. Si calculamos su traspuesta, pues sería la matriz columna 12-6.

17
00:02:14,719 --> 00:02:30,860
Si hacemos esto mismo, pero calculando previamente las traspuestas de A y la traspuesta de B, pues miremos qué pasa. La traspuesta de A será la matriz columna 3-2-1 y la traspuesta de B será la matriz 3-1-1, 0-2-2.

18
00:02:30,860 --> 00:02:46,460
Si ahora queremos calcular A traspuesta por B traspuesta, ¿qué ocurre? Pues que no se puede multiplicar porque no coinciden las dimensiones, el número de columnas de A no es el mismo que el número de filas de B.

19
00:02:46,460 --> 00:03:00,919
No se puede multiplicar. Entonces, ¿qué ocurre? Que lo que necesitamos es multiplicar B traspuesta por A traspuesta. Y el resultado es exactamente el mismo que nos daba al hacer la cuenta A por B y después la traspuesta.

20
00:03:02,219 --> 00:03:13,419
Vamos a practicar un poco más con el producto y la traspuesta de matrices con el siguiente ejemplo que está extraído de la EBAU de Madrid de junio del 2018.

21
00:03:13,419 --> 00:03:21,800
Tenemos que calcular B por B traspuesta y B traspuesta por B, dada esta matriz columna, una matriz 3 por 1.

22
00:03:22,460 --> 00:03:32,620
Lo único que hay que tener cuidado es con calcular bien las dimensiones, es decir, B por B traspuesta y B traspuesta por B van a ser matrices de distintas dimensiones.

23
00:03:32,919 --> 00:03:46,319
Para ello, recordad que si una matriz es una matriz columna, pues en este caso va a ser una matriz 3x1, esta matriz es 3x1 y la traspuesta será una matriz 1x3.

24
00:03:46,560 --> 00:03:56,520
Con lo que cuando nosotros calculemos este producto, el resultado va a ser una matriz de dimensión 3x3, es decir, una matriz cuadrada.

25
00:03:57,439 --> 00:04:08,159
Mientras que en el otro producto, si multiplicamos B traspuesta por B, el resultado sería una matriz 1 por 3 y la matriz B, que era una matriz 3 por 1,

26
00:04:08,659 --> 00:04:14,439
total que la dimensión de esto va a ser una matriz 1 por 1, es decir, un número.

27
00:04:15,599 --> 00:04:17,439
Ahora simplemente toca calcular.

28
00:04:19,480 --> 00:04:22,220
Para ello conviene escribir las matrices.

29
00:04:22,220 --> 00:04:38,750
Y ahora multiplicamos. Menos 2 por menos 2, 4. Y menos 2 por los ceros, 0. Y como lo demás son ceros, pues el resultado van a ser ceros.

30
00:04:39,790 --> 00:04:52,449
Fácil, ¿verdad? En el siguiente caso, pues escribimos. En la práctica este producto es como el producto escalar de menos 2, 0, 0 consigo mismo.

31
00:04:52,449 --> 00:04:54,350
porque es la misma cuenta

32
00:04:54,350 --> 00:04:57,490
4 más 0 por 0

33
00:04:57,490 --> 00:04:58,790
más 0 por 0

34
00:04:58,790 --> 00:05:00,490
total 4

35
00:05:00,490 --> 00:05:02,730
que lo podemos escribir como matriz

36
00:05:02,730 --> 00:05:04,430
simplemente poniéndolo en paréntesis

37
00:05:04,430 --> 00:05:09,970
o normalmente cuando es una matriz 1 por 1

38
00:05:09,970 --> 00:05:10,910
se quita el paréntesis

39
00:05:10,910 --> 00:05:15,980
muy bien, este ejercicio como veis será muy sencillo

40
00:05:15,980 --> 00:05:17,740
en próximos vídeos trabajaremos

41
00:05:17,740 --> 00:05:21,019
sobre las nociones de inversa de una matriz y rango

42
00:05:21,019 --> 00:05:23,740
que resultarán nociones un pelín más complicadas

43
00:05:23,740 --> 00:05:25,000
nos vemos, hasta luego

44
00:05:26,800 --> 00:05:27,000
CC por Antarctica Films Argentina