1
00:00:00,870 --> 00:00:04,589
Hola, vamos a hacer ahora del eje 54 al 57, ¿vale?

2
00:00:04,990 --> 00:00:08,750
Del tema 5 de integración por partes, los últimos que nos faltan.

3
00:00:09,449 --> 00:00:12,470
Venga, tenemos un logaritmo, al final son muy parecidas a las que hemos hecho.

4
00:00:12,929 --> 00:00:16,230
No se integra el logaritmo, no tenemos otra función, luego mi función u

5
00:00:16,230 --> 00:00:19,530
va a ser el logaritmo neperiano de x más 1.

6
00:00:20,949 --> 00:00:23,730
Y por lo tanto su derivada, diferencial de u,

7
00:00:24,690 --> 00:00:26,750
va a ser...

8
00:00:26,750 --> 00:00:34,020
La derivada de lo de dentro es 1, luego es 1 partido por x más 1, diferencial de x.

9
00:00:34,719 --> 00:00:42,859
Y vamos a llamar diferencial de v al diferencial de x.

10
00:00:44,259 --> 00:00:51,759
Por lo tanto, lo que me queda que va a ser, me va a quedar que la v es exactamente x.

11
00:00:51,759 --> 00:01:00,399
Bien, pues sustituimos arriba y esto que me queda u por v, pues x por el logaritmo neperiano

12
00:01:00,399 --> 00:01:14,379
Lo ponemos entre valores absolutos como siempre, de x más 1 menos la integral de v que es x por diferencial que es x más 1 diferencial de x

13
00:01:14,379 --> 00:01:19,260
y ahora lo único que tenemos que hacer

14
00:01:19,260 --> 00:01:23,900
ya lo hemos visto, para hacer esta integral es un cociente de polinomios

15
00:01:23,900 --> 00:01:27,840
pues lo que vamos a hacer para hacerlo es directamente

16
00:01:27,840 --> 00:01:31,700
vamos a dividirlos para que sea más sencilla

17
00:01:31,700 --> 00:01:35,780
ya que no es ninguna, es decir la derivada de x más 1

18
00:01:35,780 --> 00:01:38,859
no es x, no lo puedo poner de otra manera

19
00:01:38,859 --> 00:01:43,640
entonces lo que vamos a hacer aquí, yo voy a dividir x

20
00:01:43,640 --> 00:01:46,799
entre x más 1

21
00:01:46,799 --> 00:01:51,400
esto sería 1, 1 por 1, 1

22
00:01:51,400 --> 00:01:53,000
menos 1, 1 por 1, x

23
00:01:53,000 --> 00:01:56,359
menos x, sumo, este se me va y me queda menos 1

24
00:01:56,359 --> 00:01:59,540
¿vale? yo recuerdo cuál era la formulita

25
00:01:59,540 --> 00:02:04,099
la formulita es que el dividendo partido del divisor

26
00:02:04,099 --> 00:02:08,680
es el cociente más el resto partido del divisor

27
00:02:08,680 --> 00:02:13,240
por lo tanto aquí teníamos una x por el logaritmo neperiano

28
00:02:13,240 --> 00:02:19,000
de x más 1 en valor absoluto, menos, y ahora aquí en esta integral lo que tengo que poner es

29
00:02:19,000 --> 00:02:25,900
el cociente que es 1, más el resto partido por el divisor, el resto es menos 1,

30
00:02:25,900 --> 00:02:31,000
pues pongo directamente menos 1 partido, y el divisor es x más 1, ¿vale?

31
00:02:31,099 --> 00:02:39,800
Y ahora sí que estas integrales son inmediatas, luego vamos a, o bueno lo podríamos poner

32
00:02:39,800 --> 00:02:48,240
aquí a la derecha, en lugar de ponerlo abajo, lo podemos poner aquí a la derecha, yo creo

33
00:02:48,240 --> 00:02:57,300
que va a quedar claro también, ¿vale? Y esto va a ser igual al x por el logaritmo

34
00:02:57,300 --> 00:03:05,539
neperiano de x más 1, y ahora sería con un menos, ¿vale? La integral de 1 es x, como

35
00:03:05,539 --> 00:03:18,340
Cuando tengo este menos delante, lo hago directamente, sería, ah, vale, que se me ha olvidado aquí cerrar el valor absoluto, vale, sería menos x y ahora aquí tengo un menos con un menos, se nos transforma en más y ¿qué es lo que tengo?

36
00:03:18,340 --> 00:03:32,840
1 partido por x más 1 lo tenemos aquí, esta es la derivada del logaritmo neperiano de x más 1, luego más logaritmo neperiano de x más 1 más k, ¿vale?

37
00:03:32,840 --> 00:03:36,340
Que queremos sacar factor común al logaritmo neperiano

38
00:03:36,340 --> 00:03:38,439
Para ya dejarlo todo mucho más bonito

39
00:03:38,439 --> 00:03:39,800
Pues que me quedaría

40
00:03:39,800 --> 00:03:41,199
X más 1

41
00:03:41,199 --> 00:03:42,680
¿Vale?

42
00:03:43,000 --> 00:03:45,560
Esta X y este más 1 que no aparece ahí

43
00:03:45,560 --> 00:03:47,659
Por el logaritmo neperiano

44
00:03:47,659 --> 00:03:48,939
De X más 1

45
00:03:48,939 --> 00:03:51,340
Menos X

46
00:03:51,340 --> 00:03:53,840
Más K

47
00:03:53,840 --> 00:03:54,639
¿Vale?

48
00:03:55,199 --> 00:03:56,919
Recordar el truquito de la división

49
00:03:56,919 --> 00:03:59,280
Venga, vamos con la 55

50
00:03:59,280 --> 00:04:01,099
La 55

51
00:04:01,099 --> 00:04:03,659
ninguna exponencial y un polinomio de grado 2.

52
00:04:04,099 --> 00:04:07,060
Pues está claro que vamos a tener que hacer la integración por partes dos veces.

53
00:04:07,900 --> 00:04:11,259
Llamamos u al polinomio, al x cuadrado más 4,

54
00:04:13,139 --> 00:04:18,379
por lo tanto diferencial de u será 2x diferencial de x, ¿vale?

55
00:04:19,000 --> 00:04:23,240
Y llamamos diferencial de v a elevado a x diferencial de x,

56
00:04:24,620 --> 00:04:27,800
por lo tanto v es elevado a x.

57
00:04:28,779 --> 00:04:30,100
Este menor no se ve bien.

58
00:04:30,100 --> 00:04:46,600
Venga, u por v, pues, x cuadrado más 4 por e elevado a x menos la integral de v diferencial de u, es decir, 2x elevado a x diferencial de x.

59
00:04:46,600 --> 00:04:49,579
volvemos a aplicar la integración por partes

60
00:04:49,579 --> 00:04:51,399
u sigue siendo el polinomio

61
00:04:51,399 --> 00:04:52,199
2x

62
00:04:52,199 --> 00:04:55,120
y entonces diferencial de u

63
00:04:55,120 --> 00:04:58,279
ahora va a ser dos veces el diferencial de x

64
00:04:58,279 --> 00:05:00,300
y igual que antes

65
00:05:00,300 --> 00:05:02,560
diferencial de v es elevado a x

66
00:05:02,560 --> 00:05:03,680
diferencial de x

67
00:05:03,680 --> 00:05:07,839
por lo tanto la v es elevado a x

68
00:05:07,839 --> 00:05:10,500
venga, pues esto que me va a quedar

69
00:05:10,500 --> 00:05:14,300
x cuadrado más 4

70
00:05:14,300 --> 00:05:27,019
por elevado a menos x menos paréntesis u por v 2x por elevado a x menos la integral de v diferencial de u

71
00:05:27,019 --> 00:05:31,680
que es dos veces elevado a x diferencial de x, ¿vale?

72
00:05:32,600 --> 00:05:44,939
Lo continuo aquí abajo y esto que va a ser, pues x cuadrado más 4 por elevado a x

73
00:05:44,939 --> 00:05:49,279
Voy a quitar el signo menos del paréntesis

74
00:05:49,279 --> 00:05:53,420
Me queda menos 2x elevado a x

75
00:05:53,420 --> 00:05:55,279
Con el menos, con el menos me queda más

76
00:05:55,279 --> 00:06:01,019
Dos veces la integral de elevado a x diferencial a x

77
00:06:01,019 --> 00:06:04,240
Que la podríamos haber hecho ya directamente de cabeza, ¿vale?

78
00:06:04,959 --> 00:06:06,040
¿Y esto cuánto va a ser?

79
00:06:06,860 --> 00:06:10,379
x cuadrado, voy a sacar factor común para ir escribiendo más o menos, ¿vale?

80
00:06:10,399 --> 00:06:12,639
Porque tengo este elevado a x y este elevado a x

81
00:06:12,639 --> 00:06:14,779
Luego sacaré factor común del resto

82
00:06:14,779 --> 00:06:26,180
x cuadrado más 4 menos 2x todo esto por elevado a x y cuál es la integral que me quedaba más 2 ella misma más k

83
00:06:26,180 --> 00:06:42,980
y lo que os decía vamos a sacar factor común y esto sería x cuadrado menos 2x más 4 más 2 todo por elevado a x más k

84
00:06:44,779 --> 00:06:55,660
Operando, esto va a ser x cuadrado menos 2x más 6 por e elevado a x más k, ¿vale?

85
00:06:56,920 --> 00:07:02,600
Bueno, pues ya está. Yo creo que ya cuando tenemos una exponencial y un polinomio, ya lo vamos viendo cada vez más fácil.

86
00:07:03,040 --> 00:07:13,439
Vamos con la 56. La 56 es muy parecida a una de las que hemos hecho antes, que tenemos una exponencial y un coseno, por lo tanto, que va a acabar siendo cíclica, ¿verdad?

87
00:07:13,439 --> 00:07:16,019
Entonces para la de la exponencial y el coseno

88
00:07:16,019 --> 00:07:18,259
Bueno, pues vamos a hacer igual que hice antes

89
00:07:18,259 --> 00:07:22,920
Vamos a tomar como u la trigonométrica, el coseno de x

90
00:07:22,920 --> 00:07:31,839
Y entonces la diferencial de u va a ser la derivada del coseno es el menos seno de x

91
00:07:31,839 --> 00:07:35,060
Diferencial de x, ¿vale?

92
00:07:35,459 --> 00:07:41,300
Y como diferencial de v va a ser el elevado a x diferencial de x

93
00:07:41,300 --> 00:07:43,899
Por lo tanto la v va a ser ella misma

94
00:07:43,899 --> 00:07:45,000
Elevado a x

95
00:07:45,000 --> 00:07:45,639
¿Vale?

96
00:07:46,500 --> 00:07:48,939
O sea, como decíamos, está claro que va a ser una cíclica

97
00:07:48,939 --> 00:07:51,740
u por v, pues esto es

98
00:07:51,740 --> 00:07:53,720
Elevado a x

99
00:07:53,720 --> 00:07:56,019
Por el coseno de x

100
00:07:56,019 --> 00:07:57,920
Menos la integral

101
00:07:57,920 --> 00:08:00,620
De v diferencial de u

102
00:08:00,620 --> 00:08:01,939
Tengo aquí un menos

103
00:08:01,939 --> 00:08:02,680
¿Vale?

104
00:08:03,040 --> 00:08:03,839
Este menos

105
00:08:03,839 --> 00:08:06,100
Lo voy a transformar aquí

106
00:08:06,100 --> 00:08:07,480
Y lo voy a poner en más

107
00:08:07,480 --> 00:08:08,980
Y me queda

108
00:08:08,980 --> 00:08:10,699
Elevado a x

109
00:08:10,699 --> 00:08:12,240
seno de x

110
00:08:12,240 --> 00:08:14,920
diferencial de x

111
00:08:14,920 --> 00:08:16,939
os recuerdo que este menos

112
00:08:16,939 --> 00:08:18,439
voy a poner en otro color

113
00:08:18,439 --> 00:08:21,079
este menos

114
00:08:21,079 --> 00:08:23,240
lo he transformado

115
00:08:23,240 --> 00:08:25,000
con el signo menos que teníamos

116
00:08:25,000 --> 00:08:25,660
de la fórmula

117
00:08:25,660 --> 00:08:29,180
bien, pues

118
00:08:29,180 --> 00:08:31,379
vamos a volver a hacer la integración por partes

119
00:08:31,379 --> 00:08:33,360
pues vamos a llamar

120
00:08:33,360 --> 00:08:34,419
igual que antes u

121
00:08:34,419 --> 00:08:36,059
a la trigonométrica

122
00:08:36,059 --> 00:08:37,679
seno de x

123
00:08:37,679 --> 00:08:40,360
por lo tanto diferencial de u

124
00:08:40,360 --> 00:08:43,299
va a ser la derivada del seno

125
00:08:43,299 --> 00:08:45,320
coseno de x diferencial de x

126
00:08:45,320 --> 00:08:47,360
y mi diferencial de v

127
00:08:47,360 --> 00:08:49,080
es elevado a x

128
00:08:49,080 --> 00:08:50,159
diferencial de x

129
00:08:50,159 --> 00:08:52,720
y por lo tanto

130
00:08:52,720 --> 00:08:54,919
la v es

131
00:08:54,919 --> 00:08:56,679
elevado a x

132
00:08:56,679 --> 00:08:59,600
venga pues sustituimos

133
00:08:59,600 --> 00:09:00,139
otra vez

134
00:09:00,139 --> 00:09:02,000
tengo elevado a x

135
00:09:02,000 --> 00:09:04,019
coseno de x

136
00:09:04,019 --> 00:09:05,240
más

137
00:09:05,240 --> 00:09:07,740
como es un más no me hace falta el paréntesis

138
00:09:07,740 --> 00:09:08,700
u por v

139
00:09:08,700 --> 00:09:22,220
Pues, elevado a x, seno de x, menos la integral de v diferencial de u, que es elevado a x, coseno de x, diferencial de x.

140
00:09:22,600 --> 00:09:36,820
¿Y qué hemos obtenido? Pues, hemos vuelto a obtener esta integral de aquí, es exactamente la integral inicial que teníamos.

141
00:09:36,820 --> 00:09:53,799
Luego hemos obtenido la ecuación, si yo a esta integral le llamo y, la ecuación que obtenemos es y es igual a, y aquí voy a sacar el elevado a x factor común, ¿vale?

142
00:09:53,799 --> 00:10:05,559
elevado a x que multiplica al coseno de x más el seno de x menos la y, ¿vale?

143
00:10:06,440 --> 00:10:10,919
Pasamos la y al otro miembro sumando, serían dos y, y por lo tanto, ¿qué me va a quedar?

144
00:10:11,620 --> 00:10:19,000
Que la y va a ser elevado a x que multiplica al coseno de x más seno de x,

145
00:10:19,000 --> 00:10:22,860
Todo ello partido de 2

146
00:10:22,860 --> 00:10:25,220
Más k

147
00:10:25,220 --> 00:10:26,240
¿Vale?

148
00:10:27,379 --> 00:10:29,259
Ya sé que me estoy comiendo todo el tiempo

149
00:10:29,259 --> 00:10:30,500
Este paso lo escribo aquí

150
00:10:30,500 --> 00:10:31,919
Esto sería y más y

151
00:10:31,919 --> 00:10:34,639
Igual a e elevado a x

152
00:10:34,639 --> 00:10:37,159
Por el coseno de x

153
00:10:37,159 --> 00:10:40,299
Más el seno de x

154
00:10:40,299 --> 00:10:40,539
¿Vale?

155
00:10:40,600 --> 00:10:42,179
Pero ese paso lo podemos hacer de cabeza

156
00:10:42,179 --> 00:10:43,720
Y más y son dos y

157
00:10:43,720 --> 00:10:45,240
Y luego ya de aquí

158
00:10:45,240 --> 00:10:49,529
Llegaríamos a la misma solución

159
00:10:49,529 --> 00:10:50,230
¿Vale?

160
00:10:50,850 --> 00:10:51,769
Otra cíclica

161
00:10:51,769 --> 00:10:53,690
Venga, vamos con el 57

162
00:10:53,690 --> 00:10:56,429
El último ya de este vídeo

163
00:10:56,429 --> 00:11:00,289
Venga, el 57 es un arco tangente

164
00:11:00,289 --> 00:11:02,129
Volvemos a lo mismo, solo tenemos una función

165
00:11:02,129 --> 00:11:04,490
Pues, ¿qué es lo que tenemos que hacer?

166
00:11:05,049 --> 00:11:06,409
Tenemos que aplicar el cambio

167
00:11:06,409 --> 00:11:07,970
A ver, ¿dónde escribo?

168
00:11:08,269 --> 00:11:13,210
U va a ser el arco tangente de X

169
00:11:13,210 --> 00:11:15,190
Y por lo tanto su derivada

170
00:11:15,190 --> 00:11:18,509
Va a ser 1 partido por 1 más

171
00:11:18,509 --> 00:11:21,330
X cuadrado diferencial de X, ¿vale?

172
00:11:21,769 --> 00:11:26,490
Ya os dije que la del arco tangente sí que nos la tenemos también que saber porque también se utiliza bastante.

173
00:11:27,649 --> 00:11:30,029
Venga, ¿y quién va a ser mi diferencial de v?

174
00:11:30,490 --> 00:11:36,210
Pues simplemente el diferencial de x, es decir, v va a ser x.

175
00:11:37,029 --> 00:11:45,389
Pues sustituimos u por v, pues esto será x por el arco tangente, a ver si sigue escribiendo,

176
00:11:45,669 --> 00:11:49,870
arco tangente de x menos la integral de v diferencial de u.

177
00:11:49,870 --> 00:11:55,029
Es decir, estamos multiplicando x por 1 partido de 1 más x cuadrado

178
00:11:55,029 --> 00:12:00,450
Luego me queda en el numerador x y en el denominador 1 más x cuadrado diferencial de x

179
00:12:00,450 --> 00:12:03,409
¿Y qué ocurre? Que ahora esta integral sí que es inmediata

180
00:12:03,409 --> 00:12:07,830
¿Por qué? Porque en el numerador tengo prácticamente la derivada del denominador

181
00:12:07,830 --> 00:12:11,509
¿Quién es la derivada de 1 más x cuadrado? Pues 2x

182
00:12:11,509 --> 00:12:13,389
Tengo la x, solo me falta un 2

183
00:12:13,389 --> 00:12:17,529
Como lo que me falta es una constante, ya lo tendríamos

184
00:12:17,529 --> 00:12:32,129
Esto es x por el arco tangente de x menos el logaritmo neperiano de 1 más x cuadrado partido por el 2 que me falta, ¿vale?

185
00:12:33,470 --> 00:12:34,129
Más k.

186
00:12:35,690 --> 00:12:37,529
Y ya estaría.

187
00:12:38,190 --> 00:12:41,529
No tenemos que hacer nada más, ¿vale?