1
00:00:12,339 --> 00:00:17,300
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

2
00:00:17,300 --> 00:00:21,679
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:21,679 --> 00:00:33,469
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy introduciremos

4
00:00:33,469 --> 00:00:37,869
los conceptos básicos del conteo y resolveremos los ejercicios propuestos del 1 al 3.

5
00:00:46,149 --> 00:00:51,829
Vamos a iniciar esta videoclase con el concepto matemático de cardinal de un conjunto. Esta

6
00:00:51,829 --> 00:00:57,590
unidad didáctica se llama técnicas de conteo. Aquí vamos a contar. Pues bien, contar es calcular el

7
00:00:57,590 --> 00:01:04,549
cardinal de un cierto conjunto. Si el conjunto se representa por la letra mayúscula S, el cardinal

8
00:01:04,549 --> 00:01:09,890
del conjunto S se representa así, anteponiendo el símbolo de la almohadilla. Y aquí tenemos

9
00:01:09,890 --> 00:01:16,069
cardinal de S, el cardinal del conjunto S. Sería el resultado de contar cuántos elementos hay dentro

10
00:01:16,069 --> 00:01:21,769
de ese conjunto. Desde el punto de vista matemático, para definir el cardinal de un conjunto, lo que

11
00:01:21,769 --> 00:01:26,730
decimos es que se trata de un número natural que cumple con una serie de características. La

12
00:01:26,730 --> 00:01:31,709
primera de ellas es que el cardinal del conjunto vacío es cero y de hecho va a ser el único conjunto

13
00:01:31,709 --> 00:01:37,650
cuyo cardinal es cero. Para cualquier otro conjunto distinto del conjunto vacío su cardinal va a ser

14
00:01:37,650 --> 00:01:44,510
un número natural n que es aquel tal que se pueda establecer una correspondencia biyectiva entre los

15
00:01:44,510 --> 00:01:50,849
elementos del conjunto s y los del conjunto dados por 1, 2, 3, 4, etcétera hasta llegar a n, el

16
00:01:50,849 --> 00:01:56,450
cardinal de S. Como ejemplo, supongamos que se nos pide que determinemos el cardinal de este

17
00:01:56,450 --> 00:02:03,109
conjunto C mayúscula, que contiene algunas de las comedas de Shakespeare. Cimelino, el mercader de

18
00:02:03,109 --> 00:02:09,669
Venecia, la firecilla domada. El cardinal de este conjunto es 3. Nosotros, desde el punto de vista

19
00:02:09,669 --> 00:02:16,590
coloquial, lo que haríamos sería contar 1, Cimelino, 2, el mercader de Venecia, 3, la firecilla domada.

20
00:02:16,590 --> 00:02:29,229
Desde el punto de vista matemático, lo que hacemos es considerar el conjunto C, que aquí está representado en forma de diagrama de Venn. Contiene sus elementos, cimelino, el mercader de Venecia, la fierecilla domada.

21
00:02:29,849 --> 00:02:44,969
Y nos preguntamos cuál es el conjunto que contiene los elementos 1, 2, 3, en orden, etc., hasta qué valor tenemos que introducir dentro de este conjunto para poder establecer una correspondencia biyectiva entre estos elementos y los de ese conjunto.

22
00:02:44,969 --> 00:03:01,729
Bien, pues vemos que con 1, 2 y 3 es suficiente y que no podemos añadir más porque entonces nos pasaríamos. Y podemos hacer la correspondencia, por ejemplo, entre cimbelino y el número 1, entre el mercader de Venecia y el número 2, entre la ferecilla adobada y el número 3.

23
00:03:02,669 --> 00:03:09,550
No nos sobran obras de Shakespeare, ni nos faltan, para poder hacerles corresponder de esta manera con estos elementos.

24
00:03:10,210 --> 00:03:19,289
Y además, en este conjunto de elementos, uno, dos, tres, no nos sobra ninguno para hacer la correspondencia de esta manera con las obras de Shakespeare, ni nos falta.

25
00:03:19,289 --> 00:03:22,930
Así pues, el cardinal de este conjunto es tres.

26
00:03:25,300 --> 00:03:32,819
Además de la definición de cardinal de un conjunto, nos podemos preguntar por el cardinal de conjuntos más complejos.

27
00:03:33,300 --> 00:03:38,900
Y para ellos existen una serie de reglas. En concreto vamos a comenzar por lo que se llama el principio de adición.

28
00:03:40,120 --> 00:03:46,020
Supongamos que tenemos un cierto conjunto que viene dado por la unión de otros conjuntos más pequeños.

29
00:03:46,460 --> 00:03:50,340
Y esos conjuntos no tienen elementos en común. Se llaman conjuntos disjuntos.

30
00:03:50,900 --> 00:03:54,060
Aquí tenemos un conjunto de a sub i, conjuntos disjuntos.

31
00:03:54,439 --> 00:03:58,759
Esto quiere decir que para cualquier par de conjuntos distintos no tienen nada en común.

32
00:03:58,919 --> 00:04:00,599
Como vemos aquí la intersección está vacía.

33
00:04:00,599 --> 00:04:09,439
Y el principio de tradición lo que nos dice es que el cardinal de la unión de todos estos conjuntos se puede determinar sumando los cardinales de cada uno de ellos.

34
00:04:10,219 --> 00:04:15,080
Como ejemplo, pues vamos a considerar tres conjuntos distintos.

35
00:04:15,379 --> 00:04:19,959
Un conjunto de comedias, Cimbelino, el mercader de Venecia y la fierecilla domada.

36
00:04:20,379 --> 00:04:23,279
Aquí se nos dice que el cardinal de este conjunto es tres, hay tres comedias.

37
00:04:24,120 --> 00:04:27,980
El conjunto de tragedias de algunas de las tragedias de Shakespeare.

38
00:04:28,199 --> 00:04:32,579
Y aquí tenemos a Antonio y Cleopatra, Macbeth, Hamlet, Romeo y Julieta.

39
00:04:32,740 --> 00:04:35,980
Y se nos dice que el cardinal de este conjunto de tragedias es 4.

40
00:04:36,160 --> 00:04:37,540
1, 2, 3, 4.

41
00:04:38,180 --> 00:04:44,379
Y por último tenemos un conjunto formado por el drama histórico Ricardo II.

42
00:04:44,800 --> 00:04:47,000
Se nos dice que el cardinal de este conjunto es 1.

43
00:04:47,139 --> 00:04:48,660
Y aquí vemos que hay un único elemento.

44
00:04:48,660 --> 00:04:57,240
conjunto. Si podemos elegir una de entre todas estas obras, incluyendo las comedias, las tragedias

45
00:04:57,240 --> 00:05:02,500
y el drama, y se nos pregunta por cuáles son las posibilidades que tenemos para elegir, sabemos que

46
00:05:02,500 --> 00:05:08,519
tenemos tres comedias, cuatro y un drama histórico, el total de obras de teatro será cuatro más tres

47
00:05:08,519 --> 00:05:13,160
más uno igual a ocho. Desde el punto de vista matemático, desde el punto de vista formal, hemos

48
00:05:13,160 --> 00:05:19,639
hecho eso. El conjunto C tiene tres elementos, su cardinal es tres. El conjunto T, el de las

49
00:05:19,639 --> 00:05:26,100
tragedias, tiene cuatro elementos, su cardinal es cuatro. Y el conjunto del drama tiene cardinal

50
00:05:26,100 --> 00:05:31,300
uno, puesto que hay un único drama. Y desde el punto de vista formal, estos tres conjuntos no

51
00:05:31,300 --> 00:05:36,819
tienen elementos en común, son elementos, perdón, son conjuntos disjuntos. Nos preguntamos por cuál

52
00:05:36,819 --> 00:05:41,800
es el cardinal de la unión y eso no es más que la suma de los cardinales. Tres más cuatro más uno

53
00:05:41,800 --> 00:05:49,769
es igual a 8. Asimismo también tenemos un principio que es el principio de multiplicación. En este

54
00:05:49,769 --> 00:05:55,370
caso consideramos igual que antes que tenemos un conjunto de conjuntos disjuntos que no tienen

55
00:05:55,370 --> 00:06:02,870
elementos en común y en este caso ninguno de ellos va a ser vacío. Y nos preguntamos por de cuántas

56
00:06:02,870 --> 00:06:11,149
formas podemos hacer combinaciones de un elemento del primer conjunto, un elemento del segundo

57
00:06:11,149 --> 00:06:16,990
conjunto, un elemento del tercer conjunto y así hasta acabar con todos. Buscamos de cuantas formas

58
00:06:16,990 --> 00:06:22,709
posibles podemos coger un elemento de cada uno de todos esos conjuntos disjuntos. Pues bien, el

59
00:06:22,709 --> 00:06:27,649
principio de multiplicación lo que nos dice es que lo que hemos de hacer es multiplicar los cardinales

60
00:06:27,649 --> 00:06:33,910
de todos estos conjuntos. El coger un elemento de cada conjunto se representa así. Lo que tenemos

61
00:06:33,910 --> 00:06:40,470
es el producto A1 por A2 por hasta AN y lo que tenemos que hacer para determinar el cardinal de

62
00:06:40,470 --> 00:06:45,170
este conjunto así determinado, no más que multiplicar los cardinales de cada uno de los

63
00:06:45,170 --> 00:06:54,529
conjuntos. Como ejemplo, se nos dice que tenemos ocho actores, de los cuales cinco. Clara, Isabel,

64
00:06:54,689 --> 00:07:00,670
María, Sara, Teresa se identifican como chicas. Aquí tenemos un conjunto formado por cinco elementos

65
00:07:00,670 --> 00:07:07,149
y tenemos otro conjunto formado por Fernando, Luis y Pedro. Este conjunto tiene tres elementos que

66
00:07:07,149 --> 00:07:13,329
se identifican como chicos. Nosotros lo que queremos es considerar el primer conjunto que

67
00:07:13,329 --> 00:07:18,610
hemos llamado A con estas cinco personas que se identifican como chicas, el segundo conjunto que

68
00:07:18,610 --> 00:07:23,689
aquí hemos llamado O con estas tres personas que se identifican como chicos y lo que queremos es

69
00:07:23,689 --> 00:07:31,949
elegir de entre estas cinco personas del conjunto A una y de entre estas tres personas del conjunto

70
00:07:31,949 --> 00:07:37,949
O otra para formar la pareja protagonista de la obra y nos preguntamos de cuántas formas posibles

71
00:07:37,949 --> 00:07:43,769
podemos elegir un elemento de A y un elemento de O para formar estas parejas. Lo que vamos a hacer

72
00:07:43,769 --> 00:07:49,089
es considerar que este conjunto A tiene cinco elementos, su cardinal es 5, este conjunto O está

73
00:07:49,089 --> 00:07:55,750
formado por tres elementos, su cardinal es 3 y lo que queremos es buscar el cardinal del conjunto A

74
00:07:55,750 --> 00:08:01,069
por O. Queremos elegir un elemento de A y un elemento de O y con eso formar parejas puesto

75
00:08:01,069 --> 00:08:05,689
que tenemos dos. El principio de multiplicación lo que dice es que tenemos que multiplicar el

76
00:08:05,689 --> 00:08:12,050
cardinal de A por el cardinal de O. Sería 5 por 3 y de esta manera encontramos que podemos formar

77
00:08:12,050 --> 00:08:18,189
15 parejas. Hay cinco posibilidades para elegir una del conjunto A, hay tres posibilidades para

78
00:08:18,189 --> 00:08:25,490
elegir una del conjunto O, 5 por 3, 15. Hay 15 parejas formadas por los elementos del conjunto

79
00:08:25,490 --> 00:08:30,470
Clara Isabel María Sara Teresa y un elemento del conjunto Fernando Luis y Pedro.

80
00:08:33,919 --> 00:08:39,360
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

81
00:08:40,039 --> 00:08:44,200
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

82
00:08:45,000 --> 00:08:49,759
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

83
00:08:50,320 --> 00:08:51,720
Un saludo y hasta pronto.