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00:00:00,000 --> 00:00:06,080
¡Hola chicos! Bien, en este vídeo vamos a resolver un ejercicio de funciones

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00:00:06,080 --> 00:00:11,240
reales en el que nos dan una función definida mediante tres parámetros a, b

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00:00:11,240 --> 00:00:17,480
y c, que debemos averiguar en base a las condiciones que nos dé el enunciado.

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00:00:17,480 --> 00:00:21,760
Os recuerdo que el concepto de parámetro dentro de una función no hay como

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00:00:21,760 --> 00:00:25,960
confundirlo con el de variable. La variable de esta función es x, sin

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00:00:25,960 --> 00:00:31,600
embargo lo que tenemos aquí en realidad no es una función sino muchas. Para cada

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00:00:31,600 --> 00:00:36,760
valores posibles de a, b y c, números reales, los que quisiésemos, tendríamos

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00:00:36,760 --> 00:00:42,200
una función f de x diferente. De todas esas posibles funciones f de x

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00:00:42,200 --> 00:00:47,320
nosotros debemos encontrar una concreta, aquella que cumple las condiciones que

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00:00:47,320 --> 00:00:51,520
nos está dando el enunciado. En este ejercicio en concreto esas condiciones

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00:00:51,520 --> 00:00:59,040
son que tenga un mínimo en el punto 1, 1 y que corte al eje de ordenadas en 4.

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00:00:59,040 --> 00:01:04,080
Lo primero que deberemos hacer es traducir estas condiciones al lenguaje

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00:01:04,080 --> 00:01:10,520
matemático. Que tenga un mínimo en el punto 1, 1 me indica varias cosas. Por un

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00:01:10,520 --> 00:01:17,360
lado me está diciendo que mi función pasa por este punto, por el punto 1, 1 y

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00:01:17,360 --> 00:01:22,600
por otro lado me está diciendo que en x igual a 1 tenemos un mínimo de la

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00:01:22,600 --> 00:01:32,200
función. Esta primera condición lo que nos está diciendo es que el punto 1, 1

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00:01:32,200 --> 00:01:37,480
pertenece a la gráfica de f de x y como sabéis todos los puntos de la gráfica

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00:01:37,480 --> 00:01:45,080
de una función son de esta forma. x sub 0, f de x sub 0. Es decir, el hecho de que la

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00:01:45,080 --> 00:01:50,280
función pase por el punto 1, 1 lo que me está indicando es que el valor de la

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00:01:50,280 --> 00:01:57,040
función cuando x vale 1 es exactamente 1 y esta igualdad será una de las que

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00:01:57,040 --> 00:02:02,080
tengamos que obligar que cumpla nuestra función. Por otro lado el hecho de que en

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00:02:02,080 --> 00:02:08,560
x igual a 1 tenga un mínimo lo que nos está informando es de que nuestra

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00:02:08,560 --> 00:02:14,480
derivada, la derivada de nuestra función en x igual a 1 es exactamente 0. Pues ya

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00:02:14,480 --> 00:02:19,880
sabéis que los extremos relativos de una función se cumple esta condición.

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00:02:19,880 --> 00:02:24,200
La otra condición que nos exigía el enunciado es que nuestra función corte

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00:02:24,200 --> 00:02:31,800
al eje de ordenadas en 4. ¿Y esto cómo se traduce? Matemáticamente lo que me

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00:02:31,800 --> 00:02:37,280
están dando aquí, fijaos que es un punto por el que pasa la función, pues me están

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00:02:37,280 --> 00:02:42,760
dando el punto en el que corta al eje de ordenadas y un punto del eje de ordenadas,

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00:02:42,920 --> 00:02:50,840
sabéis que el eje de ordenadas es el eje y en él la variable laptisa es 0, me están

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00:02:50,840 --> 00:02:54,580
diciendo a qué altura lo corta, es decir, me están dando la ordenada de ese punto,

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00:02:54,580 --> 00:03:02,280
por lo tanto f de x pasa por el punto 0, 4, lo cual se traduce a decir que la

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00:03:02,280 --> 00:03:09,000
función en 0 vale exactamente 4. De esta manera tenemos las tres condiciones que

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00:03:09,000 --> 00:03:13,760
necesitábamos para encontrar nuestros tres parámetros, puesto que, como veis,

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00:03:13,760 --> 00:03:17,720
estas tres condiciones que obligamos a que cumpla la función se han

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00:03:17,720 --> 00:03:22,720
transformado en ecuaciones. Cada una de ellas, entre las tres, nos permitirán

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00:03:22,720 --> 00:03:26,280
obtener los valores de nuestros parámetros. Quiero que os deis cuenta de

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00:03:26,280 --> 00:03:31,880
que este tipo de ejercicios siempre funcionan así, es decir, si la función

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00:03:31,880 --> 00:03:37,040
contiene tres parámetros me tienen que estar dando tres condiciones de alguna

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00:03:37,040 --> 00:03:40,800
manera. En este enunciado parecía que sólo teníamos dos, pero fijaos que la

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00:03:40,800 --> 00:03:46,360
primera de ellas, el hecho de que tenga un mínimo en 1,1, en realidad se dividía

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00:03:46,360 --> 00:03:52,080
en dos, que la función pasa por el punto y que tiene un mínimo en x igual a 1.

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00:03:52,080 --> 00:03:55,920
Una vez hemos extraído del enunciado la información matemática sobre la

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00:03:55,920 --> 00:04:01,280
función que nos proporciona, cada una de estas igualdades la debemos expresar

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00:04:01,320 --> 00:04:07,360
como una ecuación. En primer lugar, esta ecuación, la f de 1 igual a 1, para

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00:04:07,360 --> 00:04:12,320
escribirla como una ecuación con incógnitas a, b y c, simplemente lo que

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00:04:12,320 --> 00:04:16,680
deberemos hacer es calcularnos f de 1 a partir de nuestra expresión con

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00:04:16,680 --> 00:04:22,600
parámetros. ¿Cómo se hace esto? Pues nada, sustituyendo la x por 1 y tendremos a por

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00:04:22,600 --> 00:04:28,760
1 al cuadrado más b por 1 más c, que es igual a 1, según nos indicaba el

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00:04:28,760 --> 00:04:33,600
enunciado. La tercera ecuación también podemos hacerla directamente y en ella

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00:04:33,600 --> 00:04:38,800
nos dicen que cuando la x vale cero, tendríamos a por cero más b por cero,

51
00:04:38,800 --> 00:04:44,680
que es cero, más c, pues la función vale exactamente 4, lo cual nos proporciona ya

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00:04:44,680 --> 00:04:50,000
el valor de uno de los parámetros. Para transformar esta segunda ecuación, lo

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00:04:50,000 --> 00:04:55,120
primero que deberemos hacer es calcularnos la función derivada a partir

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00:04:55,120 --> 00:05:03,320
de la expresión que nos han dado. f' de x sería 2 por a por x más b más cero.

55
00:05:03,320 --> 00:05:09,680
Por lo tanto, si ahora sustituimos y calculamos la derivada en 1, tendremos 2

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00:05:09,680 --> 00:05:16,440
por a por 1 más b igual a cero. Obtenemos así un sistema con tres

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00:05:16,440 --> 00:05:21,160
ecuaciones y tres incógnitas, que en realidad, en este caso, dado que el valor

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00:05:21,160 --> 00:05:26,040
de c ya lo tenemos calculado, sería un sistema con dos ecuaciones y dos

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00:05:26,040 --> 00:05:30,600
incógnitas, a y b, puesto que c ya no es una incógnita.

60
00:05:30,600 --> 00:05:36,640
Sustituyendo el valor de c en la primera ecuación, obtendríamos a más b igual a

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00:05:36,640 --> 00:05:42,760
1 menos 4 y tendríamos la segunda ecuación, que sería 2a más b igual a cero.

62
00:05:42,760 --> 00:05:47,200
Un sistema, como os he dicho, de dos ecuaciones y dos incógnitas que habría

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00:05:47,240 --> 00:05:52,120
que resolver con cualquiera de los métodos que conocéis. Por ejemplo, si

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00:05:52,120 --> 00:05:57,040
utilizamos el método de reducción, podríamos cambiar el signo a la primera

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00:05:57,040 --> 00:06:04,280
ecuación, a todos los términos, y sumando miembro a miembro, obtendríamos a menos b

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00:06:04,280 --> 00:06:09,520
más b, que es cero, igual a 3. Y una vez obtenemos el valor de a, podríamos

67
00:06:09,520 --> 00:06:15,040
averiguar el de b simplemente sustituyendo a por este nuevo valor, de

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00:06:15,040 --> 00:06:19,760
manera que obtendríamos que b es igual a menos 6. Y quedaría resuelto el

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00:06:19,760 --> 00:06:24,360
ejercicio simplemente diciendo que nuestra función, la que buscábamos, es f

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00:06:24,360 --> 00:06:32,560
de x, en la que a es 3, por lo tanto es 3x al cuadrado, b es menos 6, 3x cuadrado,

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00:06:32,560 --> 00:06:39,960
por tanto, menos 6x más 4. Y habríamos terminado.

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00:06:39,960 --> 00:06:44,880
Daos cuenta que este tipo de ejercicios son siempre iguales, simplemente el

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00:06:44,880 --> 00:06:50,280
problema inicial es traducir un poco el enunciado para encontrar las condiciones

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00:06:50,280 --> 00:06:56,520
que nos plantea para nuestra función, pero simplemente hay que tener en cuenta

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00:06:56,520 --> 00:07:02,320
si nos están dando un extremo relativo, o un punto de inflexión, o un punto por el

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00:07:02,320 --> 00:07:07,360
que pasa nuestra función. Una vez hecho eso, siempre consiste en lo mismo, en

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00:07:07,360 --> 00:07:12,560
llegar a un sistema de ecuaciones, que resolver. ¿Cómo se manejan bien este

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00:07:12,560 --> 00:07:19,480
tipo de ejercicios? Pues practicando, practicando y practicando. Un saludo.