1
00:00:01,050 --> 00:00:05,010
vamos a estudiar la derivada como función

2
00:00:06,510 --> 00:00:11,220
sabemos que da una función cualquiera por ejemplo la parábola

3
00:00:11,820 --> 00:00:16,320
y igual a x cuadrado podemos obtener una función que

4
00:00:16,320 --> 00:00:17,280
será su derivada

5
00:00:19,110 --> 00:00:22,170
en este caso la igual a dos x el tema

6
00:00:22,170 --> 00:00:22,740
anterior

7
00:00:23,836 --> 00:00:26,310
obtuvimos calculando un límite

8
00:00:27,620 --> 00:00:32,940
esta forma para pedir cualquier función igual a x obtendremos

9
00:00:33,240 --> 00:00:38,100
una función derivada igual a efe prima de x

10
00:00:39,150 --> 00:00:43,380
el significado de la función derivada es muy preciso

11
00:00:44,490 --> 00:00:48,210
dado un punto de nuestra función original con coordenadas equis

12
00:00:48,210 --> 00:00:51,240
igual a uno si trazamos la recta tangente

13
00:00:52,500 --> 00:00:56,520
y medimos su pendiente este caso pendiente igual a dos

14
00:00:57,450 --> 00:01:00,960
el valor de la función derivada para el valor de

15
00:01:00,990 --> 00:01:01,830
x igual a uno

16
00:01:02,910 --> 00:01:04,650
será dos

17
00:01:07,800 --> 00:01:12,960
bien de esta forma podremos a partir del gráfico de

18
00:01:12,960 --> 00:01:17,550
nuestra función original incluso aunque no dispongamos

19
00:01:19,020 --> 00:01:26,400
nuestra función derivada realizar algunas estimaciones y comparaciones muy útiles

20
00:01:26,670 --> 00:01:29,700
y cuya interpretación emplearemos en los temas siguientes

21
00:01:30,810 --> 00:01:35,580
por ejemplo podemos estudiar el signo de la función derivada

22
00:01:36,840 --> 00:01:39,810
si en vez de nuestro punto uno tomásemos un punto

23
00:01:39,810 --> 00:01:42,180
por ejemplo a la izquierda

24
00:01:43,680 --> 00:01:49,290
tercero las rectas tangentes tienen pendiente negativa por lo tanto

25
00:01:49,290 --> 00:01:51,840
el valor de la derivada en sus puntos será negativo

26
00:01:53,670 --> 00:01:57,930
también podremos establecer ciertas comparaciones si tomásemos ahora un punto

27
00:01:58,350 --> 00:02:03,330
entre el cero y el uno por ejemplo el cero

28
00:02:03,330 --> 00:02:03,960
con cinco

29
00:02:05,280 --> 00:02:10,170
tenemos que la derivada en ese punto será menor

30
00:02:10,860 --> 00:02:14,040
que la derivada en el punto uno es decir efe

31
00:02:14,040 --> 00:02:18,060
prima de cero con cinco menor que s

32
00:02:18,750 --> 00:02:19,440
prima de uno

33
00:02:22,230 --> 00:02:26,760
una vez que sabemos que daba a una función podemos

34
00:02:26,760 --> 00:02:31,710
en general obtener la función derivada cabe preguntarse cuando realmente

35
00:02:31,710 --> 00:02:34,650
existe la derivada de una función en un punto

36
00:02:35,760 --> 00:02:36,840
y si existe siempre

37
00:02:38,310 --> 00:02:42,930
formulado de una manera análoga la pregunta sería cuándo es

38
00:02:42,930 --> 00:02:43,560
derivable

39
00:02:45,570 --> 00:02:46,380
en nikki su celo

40
00:02:47,730 --> 00:02:51,570
la respuesta natural es cuando el límite que define la

41
00:02:51,570 --> 00:02:52,920
función derivada existe

42
00:02:54,360 --> 00:02:58,500
pero queremos en esta sección tener una

43
00:02:59,550 --> 00:03:01,470
interpretación intuitiva

44
00:03:02,280 --> 00:03:06,180
de lo que significa tener derivada y no tenerla en

45
00:03:06,180 --> 00:03:06,720
un punto

46
00:03:08,220 --> 00:03:11,670
en primer lugar para que la función sea derivable

47
00:03:13,170 --> 00:03:15,900
la función ha de ser continua en el punto

48
00:03:18,450 --> 00:03:20,820
en un lenguaje más matemático

49
00:03:21,900 --> 00:03:25,800
se formula diciendo que si nuestras funciones derivable en el

50
00:03:25,800 --> 00:03:29,640
punto equis u cero entonces f es continua en x

51
00:03:29,700 --> 00:03:30,000
cero

52
00:03:31,410 --> 00:03:33,510
con frecuencia usamos esta proposición

53
00:03:34,650 --> 00:03:36,180
en su forma equivalente

54
00:03:37,620 --> 00:03:40,260
diciendo que sigue fe no es continua en el punto

55
00:03:40,290 --> 00:03:43,590
x cero nuestra función tampoco será derivable

56
00:03:45,570 --> 00:03:51,180
veamos las situaciones que se producen supongamos una función cuyo

57
00:03:51,180 --> 00:03:52,590
gráfico viene representado

58
00:03:53,940 --> 00:03:55,110
con una discontinuidad

59
00:03:56,190 --> 00:03:56,910
de salto

60
00:03:59,250 --> 00:04:03,030
en este caso posee la función discontinua sabemos que nuestra

61
00:04:03,030 --> 00:04:05,040
función no será derivable

62
00:04:06,540 --> 00:04:09,990
pero qué otros motivos puede dejar de existir la derivada

63
00:04:11,490 --> 00:04:16,110
vamos como decíamos hacer un repaso a aquellas situaciones más

64
00:04:16,110 --> 00:04:17,010
características

65
00:04:18,270 --> 00:04:20,190
además de la falta de continuidad

66
00:04:21,750 --> 00:04:25,200
puede producirse una situación como la indicada en este gráfico

67
00:04:26,130 --> 00:04:29,640
en la que una función a la derecha y a

68
00:04:29,640 --> 00:04:33,390
la izquierda da un punto tengo una definición distinta puede

69
00:04:33,390 --> 00:04:37,110
ser el caso de una función definida a trozos en

70
00:04:37,110 --> 00:04:40,830
este caso si trazamos la recta tangente por la izquierda

71
00:04:41,670 --> 00:04:46,050
y trazamos la recta tangente por la derecha o como

72
00:04:46,080 --> 00:04:49,320
también se dice calculamos la derivada por la derecha y

73
00:04:49,320 --> 00:04:52,920
la derivada por la izquierda observamos que no son iguales

74
00:04:53,970 --> 00:04:56,850
usando el símil de una carretera tenemos que los dos

75
00:04:56,850 --> 00:05:01,860
tramos de carretera se conectan las funciones por lo tanto

76
00:05:02,580 --> 00:05:08,400
continúa en el punto donde se juntan sin embargo el

77
00:05:08,400 --> 00:05:13,500
trazado no tiene una recta tangente en el punto

78
00:05:14,220 --> 00:05:17,861
diremos en este caso que la función tiene un un

79
00:05:17,880 --> 00:05:18,240
pico

80
00:05:20,040 --> 00:05:23,310
otra situación por la que deja de existir la derivada

81
00:05:24,030 --> 00:05:27,870
es una función con un gráfico de este estilo que

82
00:05:27,870 --> 00:05:30,420
podría ser el gráfico de la la raiz cubica

83
00:05:31,530 --> 00:05:32,250
tenemos aquí

84
00:05:33,390 --> 00:05:36,690
que si trazamos la derivada tendremos que el valor de

85
00:05:36,690 --> 00:05:40,410
la derivada es infinito en este caso también decimos que

86
00:05:40,410 --> 00:05:45,870
la derivada no existe los valores de las rectas tangentes

87
00:05:46,890 --> 00:05:52,560
según nos acercamos a x empiezan a estar cada vez

88
00:05:53,130 --> 00:05:53,520
más ver

89
00:05:53,520 --> 00:05:54,000
locales

90
00:05:56,130 --> 00:05:59,550
por último cuando existe la derivada

91
00:06:00,810 --> 00:06:04,920
en general la derivada independientemente de que nuestra función venga

92
00:06:04,920 --> 00:06:05,850
dada a trozos

93
00:06:06,960 --> 00:06:10,230
vamos a tener que existirá primero cuando se dé la

94
00:06:10,230 --> 00:06:14,310
continuidad y por otro lado cuando tanto por la derecha

95
00:06:14,580 --> 00:06:18,720
como por izquierda las rectas tangentes coincidan

96
00:06:19,920 --> 00:06:23,700
en este caso en el que la función sea derivable

97
00:06:24,060 --> 00:06:27,540
en nuestro mundo y que su cero usando una denominación

98
00:06:27,540 --> 00:06:28,230
anglosajona

99
00:06:29,100 --> 00:06:32,190
podríamos decir que la función es derivable o que la

100
00:06:32,190 --> 00:06:32,790
función

101
00:06:33,900 --> 00:06:34,470
es suave

102
00:06:36,660 --> 00:06:39,540
veamos ejemplos de funciones de derivable es

103
00:06:41,730 --> 00:06:43,230
entre las funciones no derivable es

104
00:06:44,430 --> 00:06:48,480
tenemos la función valor absoluto sabemos que la moción valor

105
00:06:48,480 --> 00:06:52,320
absoluto es una función definida a trozos

106
00:06:54,150 --> 00:06:56,970
el valor absoluto de x será x si x es

107
00:06:56,970 --> 00:07:00,660
mayor o igual que cero y menos x si x

108
00:07:01,140 --> 00:07:03,600
es menor o igual que cero

109
00:07:05,070 --> 00:07:07,920
su gráfica sabemos que corresponde a dos semirrectas que se

110
00:07:07,920 --> 00:07:10,890
juntan en el origen y claramente esas rectas

111
00:07:12,090 --> 00:07:16,050
tienen un pico en el punto cero cero por lo

112
00:07:16,050 --> 00:07:19,590
tanto la función valor absoluto no es derivable en el

113
00:07:19,590 --> 00:07:26,070
punto cero o podemos escribir connotación matemática que la derivada

114
00:07:26,250 --> 00:07:27,660
no existe en el punto cero

115
00:07:29,820 --> 00:07:32,730
otra función en este caso definida no a trozos sino

116
00:07:32,730 --> 00:07:36,840
con una única expresión algebraica podría ser la raíz cubica

117
00:07:36,840 --> 00:07:37,620
de equis cuadrado

118
00:07:39,030 --> 00:07:43,470
si obtenemos el gráfico de esta función con cualquier software

119
00:07:44,070 --> 00:07:45,690
veremos que tiene el siguiente aspecto

120
00:07:47,460 --> 00:07:52,560
si calculamos las derivadas según nos aproximamos al valor equis

121
00:07:52,560 --> 00:07:53,250
igual a cero

122
00:07:54,240 --> 00:08:00,180
tendremos que la derivada en el cero tampoco existe por

123
00:08:00,180 --> 00:08:03,030
un lado en los valores tienden a infinito si hacemos

124
00:08:03,030 --> 00:08:06,840
las derivadas por la derecha y si hacemos las derivadas

125
00:08:06,840 --> 00:08:10,620
acercándonos a cero por la izquierda sus valores serán menos

126
00:08:10,620 --> 00:08:11,250
infinitos

127
00:08:12,990 --> 00:08:16,980
en este caso también diremos que la derivada no existe

128
00:08:17,910 --> 00:08:22,290
a veces decimos que la derivada explota en ese punto

129
00:08:25,470 --> 00:08:30,930
vamos a abordar ahora cómo calcular derivadas el cálculo de

130
00:08:30,930 --> 00:08:34,380
una derivada como hicimos en el primer tema dedicado a

131
00:08:34,380 --> 00:08:38,970
derivación mediante la definición de límite resulta un proceso laborioso

132
00:08:39,270 --> 00:08:40,230
que conviene

133
00:08:41,340 --> 00:08:46,680
automatizar o facilitar para ello usamos las reglas de derivación

134
00:08:47,760 --> 00:08:50,460
existen como dos bloques de reglas de derivación

135
00:08:51,600 --> 00:09:00,030
primer buque bloque responde a la derivada de combinar funciones

136
00:09:00,030 --> 00:09:02,820
mediante operadores aritméticos

137
00:09:04,110 --> 00:09:08,010
tenemos así como calcular la derivada de una constante

138
00:09:09,180 --> 00:09:13,860
dado un número derivada del producto de una constante por

139
00:09:13,860 --> 00:09:14,730
una función

140
00:09:16,170 --> 00:09:16,830
la suma

141
00:09:18,150 --> 00:09:22,530
de dos funciones el producto o el cociente

142
00:09:23,880 --> 00:09:25,050
solo con estas reglas

143
00:09:26,160 --> 00:09:29,580
podemos calcular derivadas de funciones

144
00:09:30,750 --> 00:09:36,330
que podemos construir combinando estos operadores por ejemplo

145
00:09:37,530 --> 00:09:40,200
sabemos calcular la derivada de x cuadrado hasta ahora la

146
00:09:40,200 --> 00:09:45,960
única función cuya derivada hemos sostenido por métodos elementales si

147
00:09:45,960 --> 00:09:49,080
ahora quisiéramos calcular la derivada de cinco equis cuadrado más

148
00:09:49,080 --> 00:09:54,060
tres tendríamos que al tratarse de una suma descomponemos en

149
00:09:54,060 --> 00:09:56,820
dos derivadas cada sumando es derivado

150
00:09:57,840 --> 00:10:02,910
y obtenemos un resultado final en este proceso habríamos usado

151
00:10:05,085 --> 00:10:07,605
número tres para hacer la derivada de una suma

152
00:10:09,255 --> 00:10:11,655
la regla número dos para sacar la constancia de la

153
00:10:11,655 --> 00:10:13,665
derivada como se suele decir

154
00:10:14,925 --> 00:10:17,475
para derivar la propia constante tres y obtener el valor

155
00:10:17,475 --> 00:10:17,895
cero

156
00:10:19,935 --> 00:10:24,825
y por último derivaremos nuestra función equis cuadrado como la

157
00:10:24,825 --> 00:10:27,165
función de os x que es el dato que conocemos

158
00:10:28,215 --> 00:10:30,705
por los cálculos efectuados anteriormente

159
00:10:32,415 --> 00:10:36,615
en este conjunto de derivadas es insuficiente

160
00:10:37,395 --> 00:10:42,612
queremos ampliarlo con algunas reglas de derivación más esta tarea

161
00:10:42,615 --> 00:10:44,685
era derivada de las funciones elementales

162
00:10:47,145 --> 00:10:52,455
tenemos por un lado derivada de una potencia derivada de

163
00:10:52,455 --> 00:10:53,775
la función exponencial

164
00:10:55,125 --> 00:10:57,855
que resulta ser la única función

165
00:10:59,115 --> 00:11:04,095
cuya derivada es ella misma derivada de la exponencial de

166
00:11:04,095 --> 00:11:08,175
bacheado con un número real mayor que cero la derivada

167
00:11:08,175 --> 00:11:13,575
del logaritmo net peruano obra derivada del logaritmo en base

168
00:11:13,575 --> 00:11:13,695
a

169
00:11:16,365 --> 00:11:21,405
también tendremos las derivadas de las funciones trigonométricas seno de

170
00:11:21,435 --> 00:11:26,055
x coseno de x y gente de x a las

171
00:11:26,055 --> 00:11:28,035
que podríamos añadir

172
00:11:29,115 --> 00:11:31,005
el acechante cosechan cántico otra gente

173
00:11:32,415 --> 00:11:37,155
y por último el bloque de las funciones trigonométricas inversas

174
00:11:37,845 --> 00:11:42,885
arco seno arco coseno y tangente con este conjunto de

175
00:11:42,885 --> 00:11:44,565
reglas que puede ser ampliado

176
00:11:45,675 --> 00:11:48,675
podemos derivar un gran número de defunciones

177
00:11:52,305 --> 00:11:58,275
sin embargo el número de funciones que podemos derivar sería

178
00:11:58,275 --> 00:12:00,975
muy limitado si no tenemos en cuenta la regla de

179
00:12:00,975 --> 00:12:04,515
la cadena la regla de la cadena nos va a

180
00:12:04,515 --> 00:12:09,105
permitir derivar funciones que resultan de la composición de dos

181
00:12:09,105 --> 00:12:09,795
funciones

182
00:12:10,845 --> 00:12:15,945
las reglas anteriores que hemos estudiado permiten derivar combinaciones de

183
00:12:15,945 --> 00:12:16,665
funciones

184
00:12:17,955 --> 00:12:22,575
hechas con los operadores aritméticos de la suma resta multiplicación

185
00:12:22,575 --> 00:12:28,155
y división por ejemplo emociones construidas como equis cuadrado más

186
00:12:28,155 --> 00:12:32,025
el seno de x por el logaritmo de x donde

187
00:12:32,025 --> 00:12:36,495
tenemos una suma y un producto pero la forma de

188
00:12:36,495 --> 00:12:37,995
construir funciones más

189
00:12:38,029 --> 00:12:42,075
compleja y más interesantes mediante la composición la composición de

190
00:12:42,075 --> 00:12:46,335
dos funciones en la que el valor de la primera

191
00:12:46,335 --> 00:12:50,355
función pasa a ser la x de la segunda función

192
00:12:52,635 --> 00:12:53,595
la regla de la cadena

193
00:12:55,815 --> 00:12:59,535
nos va a permitir derivar funciones como está el logaritmo

194
00:13:00,345 --> 00:13:04,245
del seno de x es importante notar que una función

195
00:13:04,245 --> 00:13:06,555
construida de esta forma

196
00:13:08,505 --> 00:13:14,415
no puede ser construida combinando operadores aritméticos

197
00:13:16,935 --> 00:13:18,225
lo que dice la regla de la cadena es lo

198
00:13:18,225 --> 00:13:18,705
siguiente

199
00:13:19,425 --> 00:13:22,095
si deseamos hacer la derivada de una composición

200
00:13:23,205 --> 00:13:28,155
derivaremos la última función será aplicada en el valor de

201
00:13:28,155 --> 00:13:33,045
la primera y multiplicaremos por la derivada de la primera

202
00:13:33,045 --> 00:13:37,155
función también se afirma a veces que la derivada de

203
00:13:37,155 --> 00:13:41,385
la composición es la derivada de la de fuera aplicada

204
00:13:41,385 --> 00:13:43,275
en la de dentro múltiple

205
00:13:43,305 --> 00:13:44,325
cada por la de dentro

206
00:13:45,525 --> 00:13:46,605
veamos esto en un ejemplo

207
00:13:47,895 --> 00:13:48,645
supongamos

208
00:13:50,325 --> 00:13:54,885
que deseamos derivar la función logaritmo en el peruano

209
00:13:55,605 --> 00:13:59,805
de x cuadrada menos x en este caso haciendo uso

210
00:13:59,805 --> 00:14:03,135
de la regla cadena tendremos que darnos cuenta de quién

211
00:14:03,135 --> 00:14:06,765
es la última función en ser aplicada la función de

212
00:14:06,765 --> 00:14:11,415
fuera y cuál es la primera función en ser aplicada

213
00:14:11,835 --> 00:14:14,925
o la función de dentro en este caso iremos

214
00:14:15,675 --> 00:14:19,515
qué es la derivada de la de fuera aplicada en

215
00:14:19,515 --> 00:14:22,905
la de dentro de la función de fueras un logaritmo

216
00:14:23,835 --> 00:14:26,715
por lo tanto su derivada es uno partido por x

217
00:14:28,455 --> 00:14:30,585
pero hemos de aplicarla

218
00:14:32,085 --> 00:14:32,895
en el valor

219
00:14:34,455 --> 00:14:38,415
de la función de dentro por lo tanto en vez

220
00:14:38,415 --> 00:14:42,975
de uno partido por x tendremos que escribir uno partido

221
00:14:43,485 --> 00:14:47,295
por fedex en este caso de x cuadrada menos x

222
00:14:48,315 --> 00:14:51,645
nos falta tan solo multiplicar por la derivada de la

223
00:14:51,645 --> 00:14:55,012
de fuera es decir la derivada de equis cuadrado menos

224
00:14:55,012 --> 00:14:55,365
secas

225
00:14:56,505 --> 00:15:02,715
haciendo la derivada de este polinomio y multiplicando obtenemos como

226
00:15:02,715 --> 00:15:07,485
resultado final dos x menos uno partido por x cuadrada

227
00:15:07,485 --> 00:15:08,115
menos x