1
00:00:00,000 --> 00:00:04,360
Después de estudiar las posiciones relativas de dos y tres planos en el

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00:00:04,360 --> 00:00:08,960
espacio, en este vídeo vamos a repasar las posiciones relativas de dos rectas

3
00:00:08,960 --> 00:00:13,280
en el espacio. Comenzaremos recordando el concepto de

4
00:00:13,280 --> 00:00:17,040
posiciones relativas y veremos la dificultad de abordar este problema

5
00:00:17,040 --> 00:00:21,240
mediante un método gráfico. De esta dificultad surge la necesidad de

6
00:00:21,240 --> 00:00:25,400
elaborar un método analítico que parte de la definición de la determinación

7
00:00:25,400 --> 00:00:29,440
lineal de una recta en el espacio. Finalmente estudiaremos las distintas

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00:00:29,440 --> 00:00:33,480
posiciones relativas y veremos en qué condiciones algebraicas se presenta

9
00:00:33,480 --> 00:00:36,600
cada una de estas posiciones.

10
00:00:37,160 --> 00:00:41,840
Recordamos que llamamos posición relativa de dos objetos en el espacio a

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00:00:41,840 --> 00:00:45,680
la posición que ocupa uno de los objetos con respecto al otro. Este

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00:00:45,680 --> 00:00:52,000
concepto engloba otros conceptos como paralelismo o intersección.

13
00:00:52,760 --> 00:00:56,960
Tal y como ocurría con los planos en el espacio, no es fácil dibujar objetos

14
00:00:57,000 --> 00:01:01,800
tridimensionales en el papel. Aunque podamos dibujar en perspectiva, los

15
00:01:01,800 --> 00:01:05,920
ángulos que forman los objetos y el número de puntos que tienen en común no

16
00:01:05,920 --> 00:01:10,920
se aprecian con claridad. Es por esto que aunque usemos algunos

17
00:01:10,920 --> 00:01:14,560
esbozos para entender mejor la situación geométrica que será en cada uno de los

18
00:01:14,560 --> 00:01:20,360
casos, vamos a utilizar la determinación lineal de la recta. Esto es, la recta

19
00:01:20,360 --> 00:01:25,280
quedará determinada por dos vectores. Un vector de posición que coincide con

20
00:01:26,000 --> 00:01:30,600
la posición de un punto de la recta y un vector de dirección que tiene la

21
00:01:30,600 --> 00:01:34,800
dirección paralela a la dirección de la recta.

22
00:01:35,480 --> 00:01:39,680
Las cuatro posiciones relativas que pueden darse son las que aparecen en

23
00:01:39,680 --> 00:01:44,840
esta figura. La primera de ellas es la posición de rectas paralelas, que son

24
00:01:44,840 --> 00:01:48,360
aquellas rectas que no tienen ningún punto en común y tienen direcciones

25
00:01:48,360 --> 00:01:53,240
iguales. La segunda son las rectas que se cruzan, que es la novedad que aparece en

26
00:01:53,240 --> 00:01:57,200
el espacio y que no veíamos en el plano. Son aquellas rectas que tienen

27
00:01:57,200 --> 00:02:02,600
direcciones distintas y ningún punto en común. Las rectas secantes o incidentes

28
00:02:02,600 --> 00:02:07,480
que tienen un punto en común y direcciones distintas. Y las rectas

29
00:02:07,480 --> 00:02:12,520
coincidentes que tienen la misma dirección y todos sus puntos en común.

30
00:02:12,520 --> 00:02:17,000
A continuación vamos a analizar detalladamente cada una de ellas.

31
00:02:17,000 --> 00:02:21,360
El primer caso es el caso de las rectas paralelas. En el caso de rectas

32
00:02:21,400 --> 00:02:26,120
paralelas, las rectas tienen la misma dirección, sus vectores directores son

33
00:02:26,120 --> 00:02:30,840
paralelos. Esta condición de paralelismo se puede comprobar haciendo el producto

34
00:02:30,840 --> 00:02:35,400
vectorial y viendo que es igual a cero o simplemente comprobando que los vectores

35
00:02:35,400 --> 00:02:40,120
directores tienen componentes proporcionales. En estas rectas, rectas

36
00:02:40,120 --> 00:02:44,480
paralelas, las rectas no tienen ningún punto en común. Por tanto una forma

37
00:02:44,480 --> 00:02:48,960
fácil de comprobar que las rectas son paralelas y no coincidentes es elegir un

38
00:02:48,960 --> 00:02:52,840
punto cualquiera en una de las rectas y comprobar que no pertenece a la otra.

39
00:02:52,840 --> 00:02:59,360
Decimos que las rectas en este caso están separadas. Las rectas que se cruzan

40
00:02:59,360 --> 00:03:04,960
tampoco tienen puntos en común pero sus direcciones son distintas. Si tomamos un

41
00:03:04,960 --> 00:03:08,680
punto en cada una de las rectas, el vector que los une determina con los

42
00:03:08,680 --> 00:03:12,840
vectores directores de las dos rectas un paralel epípedo que tiene volumen

43
00:03:12,840 --> 00:03:16,640
distinto de cero. Esta condición se comprueba haciendo el producto mixto de

44
00:03:16,680 --> 00:03:21,680
los tres vectores y comprobando que es no nulo.

45
00:03:21,680 --> 00:03:26,480
Cuando las rectas son secantes o incidentes, sus vectores directores no

46
00:03:26,480 --> 00:03:30,560
son paralelos, es decir, que sus componentes no son proporcionales.

47
00:03:30,560 --> 00:03:33,880
También podemos comprobar que el producto vectorial de estos dos vectores es

48
00:03:33,880 --> 00:03:39,360
distinto de cero. Y si formamos el vector que une dos puntos cualquiera de la

49
00:03:39,360 --> 00:03:43,360
recta, un punto cualquiera de cada una de las rectas, los vectores directores y el

50
00:03:43,360 --> 00:03:47,760
vector formado de esta forma son coplanarios. Para comprobar esta

51
00:03:47,760 --> 00:03:51,760
condición podemos hacer el producto mixto de los tres vectores, los dos

52
00:03:51,760 --> 00:03:55,280
vectores directores y el vector que une un punto cualquiera de cada una de las

53
00:03:55,280 --> 00:04:00,240
rectas y ver que ese producto mixto es nulo.

54
00:04:00,800 --> 00:04:05,520
Finalmente las rectas coincidentes son realmente iguales. Cualquier punto de una

55
00:04:05,520 --> 00:04:09,760
de ellas pertenece necesariamente a la otra. La condición analítica que se da

56
00:04:10,080 --> 00:04:14,560
en las rectas coincidentes es que los vectores directores son proporcionales,

57
00:04:14,560 --> 00:04:18,960
son paralelos, tienen componentes directamente proporcionales y además si

58
00:04:18,960 --> 00:04:23,040
tomamos un punto cualquiera en cada una de las rectas, el vector que une esos dos

59
00:04:23,040 --> 00:04:26,920
puntos también es paralelo a los vectores directores de las rectas. Es decir, los

60
00:04:26,920 --> 00:04:32,680
tres vectores tienen componentes directamente proporcionales.

61
00:04:34,400 --> 00:04:38,120
Para terminar ofrecemos esta última diapositiva en la que aparece un resumen

62
00:04:38,160 --> 00:04:42,360
de las cuatro posiciones relativas con las condiciones analíticas que se cumplen

63
00:04:42,360 --> 00:04:47,000
en cada uno de los casos. Puedes guardar esta diapositiva o imprimirla para que

64
00:04:47,000 --> 00:04:50,920
te resulte más fácil hacer un repaso.

65
00:04:51,400 --> 00:04:55,520
En el siguiente vídeo analizaremos las posiciones relativas de una recta y un

66
00:04:55,520 --> 00:04:58,600
plano en el espacio.