1
00:00:02,540 --> 00:00:12,339
bueno vamos con el tercer problema de esta serie de integrales definidas en esta ocasión nos piden

2
00:00:12,339 --> 00:00:17,379
calcular el área entre dos funciones el área sombreada entre dos funciones una recta vertical

3
00:00:17,379 --> 00:00:23,839
y bueno pues el pequeño problema que tenemos es que no conocemos la ecuación la fórmula la

4
00:00:23,839 --> 00:00:27,420
expresión analítica de ninguna de las dos funciones aunque se ve claramente que son dos

5
00:00:27,420 --> 00:00:33,500
parábolas no debería de ser muy difícil de calcular y después tenemos que traducir ese área en una

6
00:00:33,500 --> 00:00:38,359
integral definida y luego calcularla ¿de acuerdo? pues vamos allá entonces para ello lo primero de

7
00:00:38,359 --> 00:00:44,500
todo vamos a reproducir el dibujo para quitarlo y hacer espacio y vamos a fijarnos bien por dónde

8
00:00:44,500 --> 00:00:50,200
pasan estas gráficas esto es una parábola que tiene ahí el vértice en el 2 y que luego pasa

9
00:00:50,200 --> 00:00:56,840
por el 0,4 y como es simétrica pues también va a pasar evidentemente por el 4,4 entonces es una

10
00:00:56,840 --> 00:01:05,019
parábola de la que tenemos dos puntos. Tenemos aquí el punto 2, el punto 4 y el punto, aquí

11
00:01:05,019 --> 00:01:17,540
también sería 4, para el 4, 4 y tenemos su dibujo. Madre mía, qué dibujo. Y luego vamos a tener la

12
00:01:17,540 --> 00:01:23,319
otra parábola, la otra parábola, pues vamos a pintarla dentro de color, que llame la atención,

13
00:01:23,319 --> 00:01:26,280
aunque ya el dibujo de por sí llama bastante la atención

14
00:01:26,280 --> 00:01:28,060
madre mía que chapuza de dibujo

15
00:01:28,060 --> 00:01:29,859
que sería algo tal que así

16
00:01:29,859 --> 00:01:32,519
teniendo en cuenta que esta parábola

17
00:01:32,519 --> 00:01:34,599
la de abajo va a pasar por el punto

18
00:01:34,599 --> 00:01:36,819
de coordenada 3

19
00:01:36,819 --> 00:01:38,739
y por arriba

20
00:01:38,739 --> 00:01:40,420
pues 3, 9

21
00:01:40,420 --> 00:01:44,159
¿sí?

22
00:01:44,780 --> 00:01:46,019
entonces, vamos allá

23
00:01:46,019 --> 00:01:51,780
¿qué parábola pasa por el punto 3, 9

24
00:01:51,780 --> 00:01:53,159
y tiene el vértice en el 0, 0?

25
00:01:53,239 --> 00:01:54,480
pues eso es muy fácil de calcular

26
00:01:54,480 --> 00:01:55,819
vamos a ponerla en rojo ya que estamos

27
00:01:55,819 --> 00:02:05,040
Y esa la estaba llamando el problema g. g de x es una parábola del tipo k por x cuadrado, porque el vértice suyo está claramente en el 0,0.

28
00:02:05,379 --> 00:02:18,060
Y además pasa por el punto 3,9. Pues, ¿qué significa? Que g de 3 es igual a 9, lo que significa que k por 3 al cuadrado es 9, con lo que la k vale 1.

29
00:02:18,520 --> 00:02:24,400
Es decir, es la parábola más fácil que nos pueden poner. g de x igual a x al cuadrado.

30
00:02:25,819 --> 00:02:42,680
Súper fácil. Y vamos con la azul. Para calcular la azul, pues es un poco parecido. Tenemos aquí que el vértice está en el punto 2,0. Si tenemos que el vértice está en el punto 2,0, esto lo podemos ver de dos formas.

31
00:02:42,680 --> 00:03:07,259
¿Cómo calcular? Bien, pues es la parábola roja en realidad desplazada dos unidades a la derecha. Cuando desplazo una función dos unidades a la derecha, lo que estoy haciendo es restar a la x dos unidades, de manera que cuando aquí la x valga 2, es como que la f, cuando la x valga 2 aquí, es como que vas a calcular g de 2 menos 2, 0, g de 0, que g de 0 es la función roja, es el 0.

32
00:03:07,259 --> 00:03:28,560
Es decir, que lo que estamos haciendo es calcular x menos 2 al cuadrado. Si yo esto no lo veo demasiado, pues tendría que hacer, apañármelas de otra forma. ¿Cómo? Pues bueno, pues podría poner en el peor de los casos g de x igual a x al cuadrado más b de x más c.

33
00:03:28,560 --> 00:03:35,800
y, bueno, pues yo sé que la parábola pasa por cuatro puntos y me tocaría hacer a lo mejor un sistema.

34
00:03:36,280 --> 00:03:45,039
¿Cuáles serían? Pues yo sé que el vértice es el punto 2, 0, es decir, la x del vértice es 2

35
00:03:45,039 --> 00:03:47,759
y eso es menos b partido por 2a, lo sabéis.

36
00:03:48,919 --> 00:03:51,280
Y de ahí saco una ecuación que relaciona la a y la b.

37
00:03:51,280 --> 00:04:07,139
Y después yo sé que la g de 0 es 4, eso significa que la c vale 4 y casi lo tengo porque ahora yo sé por simetría que la g de 4 es 4.

38
00:04:08,159 --> 00:04:17,339
Entonces acabaría sacando cuáles son los valores de la a de la b de la c, que en mi caso si yo desarrollase serían x al cuadrado menos 4x más 4.

39
00:04:17,839 --> 00:04:21,720
Esta sería la función, perdón, aquí lo he puesto mal, esta es la función f.

40
00:04:22,220 --> 00:04:25,879
f de x es esa, o bien esta, como yo quiera.

41
00:04:26,740 --> 00:04:32,000
Bien, pues entonces ahora vamos a centrarnos en el cálculo del área que nos piden.

42
00:04:32,079 --> 00:04:34,399
El área que nos piden es esta de aquí.

43
00:04:36,240 --> 00:04:38,120
Bueno, pues entonces, ¿entre qué valores está?

44
00:04:38,439 --> 00:04:44,459
Pues ahí lo veis marcado en el dibujo, lo veíais, que este es el punto que tiene la abscisa x igual a 1, el punto de intersección.

45
00:04:44,459 --> 00:04:58,639
Vamos a comprobarlo, no siendo que no nos lo hayan puesto bien. Es decir, tendríamos que comprobar que en x igual a 1 el valor de la función g coincide con el valor de la función f.

46
00:04:58,639 --> 00:05:04,300
vamos allá, pues si yo sustituyo 1 menos 2 al cuadrado

47
00:05:04,300 --> 00:05:08,120
ese es el valor de la función f, es menos 1 al cuadrado, es justo 1

48
00:05:08,120 --> 00:05:12,259
y la función g, pues es 1 al cuadrado

49
00:05:12,259 --> 00:05:16,259
directamente es 1, es decir, exactamente valen lo mismo con lo que es el mismo punto

50
00:05:16,259 --> 00:05:20,199
de corte, ese punto de corte que tenemos es el

51
00:05:20,199 --> 00:05:24,000
punto 1, 1, bien, y ahora para

52
00:05:24,000 --> 00:05:28,199
poder poner ese área como una integral, tengo que saber que función está por encima

53
00:05:28,199 --> 00:05:31,899
y qué función está por debajo, porque yo tengo que restar a la mayor la menor.

54
00:05:32,600 --> 00:05:37,500
Y bueno, pues ahí se ve que la función f está por encima de la función g.

55
00:05:38,019 --> 00:05:42,699
Así que yo lo que tendré que hacer será integrar la función f de x

56
00:05:42,699 --> 00:05:46,680
y a esa función le voy a restar la función g de x.

57
00:05:47,540 --> 00:05:53,399
¿Y en qué intervalo? Pues desde 0, que es este valor, 0, aquí la frontera izquierda,

58
00:05:53,980 --> 00:05:56,240
y hasta el valor x igual a 1.

59
00:05:56,240 --> 00:05:59,800
nada más esa integral es muy fácil

60
00:05:59,800 --> 00:06:03,819
entonces ahora ya con cuidado eso sí porque es muy fácil colarse

61
00:06:03,819 --> 00:06:14,980
vamos a integrar, simplificamos un poquito antes

62
00:06:14,980 --> 00:06:27,060
y integramos, la integral de 4x es 4x cuadrado partido por 2

63
00:06:27,060 --> 00:06:32,139
menos 4x y hay que evaluar entre el 0 y el 1

64
00:06:32,139 --> 00:06:35,399
es decir, esto se podemos simplificar un poquito

65
00:06:35,399 --> 00:06:57,709
y tendríamos que calcular el valor de 2 por 1 al cuadrado, menos 4 por 1, menos, menos, pues 0 partido por 2, menos 0.

66
00:06:58,649 --> 00:07:03,350
Bien, y esto da menos 2. Evidentemente hay algo que está mal, ¿por qué?

67
00:07:03,649 --> 00:07:09,730
Porque si yo estoy restando la función grande, le quito la función pequeña, me tiene que quedar una función positiva, la resta.

68
00:07:09,730 --> 00:07:33,910
Esto tiene que ser positivo y al integrar algo positivo me debería dar positivo. ¿Adivináis dónde está el error? Pues claro que sí. Lo hemos escrito bien aquí, pero luego al sustituir, ojo, cuando trasladéis datos. Esta es g de x y esta es f de x. Tengo que tener un poco más de cuidado.

69
00:07:33,910 --> 00:07:38,629
¿eh? entonces ¿qué hay que hacer? pues evidentemente

70
00:07:38,629 --> 00:07:42,689
habrá que cambiar de signo, a partir de aquí había que haber puesto

71
00:07:42,689 --> 00:07:46,829
todo cambiado de signo, ¿cómo lo tendríamos que haber hecho bien? pues la integral

72
00:07:46,829 --> 00:07:51,189
tendría que haber sido esta otra, Manuel, x al cuadrado menos 4x

73
00:07:51,189 --> 00:07:54,870
más 4 menos x cuadrado

74
00:07:54,870 --> 00:08:01,860
¿eh? y esta integral

75
00:08:01,860 --> 00:08:06,540
dará más 2, ese es el área, unidades

76
00:08:06,540 --> 00:08:13,220
cuadradas de ese recinto de ahí. Nos vemos en el próximo vídeo en el cuarto de esta serie sobre

77
00:08:13,220 --> 00:08:14,480
integral definida. ¡Hasta luego!