1
00:00:00,300 --> 00:00:03,899
Vamos a ver un ejemplo de sistemas de ecuaciones matriciales.

2
00:00:04,299 --> 00:00:08,580
A ver, me dan la matriz X, que no conozco los elementos, ¿no?

3
00:00:08,619 --> 00:00:14,480
Y queremos calcular todas las matrices X de esa forma, A, 0, B, C, con A, B y C números reales,

4
00:00:14,779 --> 00:00:18,239
tales que verifiquen la ecuación matricial X cuadrado igual a 2X.

5
00:00:18,920 --> 00:00:20,359
Eso es lo que me están pidiendo, ¿vale?

6
00:00:20,379 --> 00:00:26,679
Entonces, lo primero que vamos a hacer para calcular, para comprobar todas las matrices X

7
00:00:26,679 --> 00:00:33,359
que verifican esta ecuación, lo primero que vamos a hacer es calcular tanto x cuadrado como 2x.

8
00:00:34,140 --> 00:00:37,500
Se podría hacer todo de una vez, pero bueno, vamos a ir viendo.

9
00:00:37,719 --> 00:00:51,539
x cuadrado es x por x, esto es a, b, 0, c, por la matriz a, b, 0, c.

10
00:00:51,539 --> 00:00:56,719
Ya sabéis, es una matriz 2x2, se puede multiplicar y el resultado es otra matriz 2x2

11
00:00:56,719 --> 00:01:02,640
Primera fila por primera columna, a por a es a cuadrado, más 0 por b es 0

12
00:01:02,640 --> 00:01:08,340
Primera fila, segunda columna, a por 0 es 0, 0 por c es 0

13
00:01:08,340 --> 00:01:13,579
Me voy a la segunda fila, b por a es b por a

14
00:01:16,439 --> 00:01:17,840
Más c por b

15
00:01:17,840 --> 00:01:22,480
tenía que haber dejado el 0 un poquito más a la derecha

16
00:01:22,480 --> 00:01:26,040
y segunda fila por tercera columna es b por 0

17
00:01:26,040 --> 00:01:28,739
es 0 y c por c, c cuadrado

18
00:01:28,739 --> 00:01:33,500
vale, pues esta es mi x cuadrado

19
00:01:33,500 --> 00:01:34,920
¿quién es la matriz 2x?

20
00:01:35,060 --> 00:01:36,620
esto lo deberíamos hacer de cabeza

21
00:01:36,620 --> 00:01:40,120
la matriz 2x es multiplicar por 2

22
00:01:40,120 --> 00:01:45,540
a la matriz x que es a, b, 0, c

23
00:01:45,540 --> 00:01:48,420
es decir, un número que multiplica una matriz

24
00:01:48,420 --> 00:01:49,879
es multiplicar todos los elementos

25
00:01:49,879 --> 00:01:55,879
por ese número, luego es 2a, 0, 2b, 2c.

26
00:01:57,120 --> 00:01:59,400
Y ahora ya escribimos, nosotros queremos nuestra matriz,

27
00:01:59,700 --> 00:02:01,420
nuestra ecuación matricial, perdón,

28
00:02:01,840 --> 00:02:04,180
es que x cuadrado sea igual a 2x,

29
00:02:04,760 --> 00:02:07,260
es decir, queremos esa igualdad, pues igualamos las dos matrices.

30
00:02:07,260 --> 00:02:10,219
Lo que queremos es que la matriz a cuadrado,

31
00:02:11,840 --> 00:02:17,479
b a más c b, 0, c cuadrado,

32
00:02:17,479 --> 00:02:31,659
Queremos que esta matriz, que es la matriz X cuadrado, sea igual a la matriz 2X, que es 2A, 2B, 0, 2C

33
00:02:31,659 --> 00:02:37,759
¿Vale? Para que dos matrices sean iguales, tienen que ser iguales elemento a elemento

34
00:02:37,759 --> 00:02:45,060
¿Vale? Es decir, el primer elemento, es decir, este A cuadrado, tiene que ser igual al 2A

35
00:02:45,060 --> 00:02:49,599
a cuadrado tiene que ser igual a 2a

36
00:02:49,599 --> 00:02:54,419
el segundo, el elemento 2,2 es exactamente el mismo

37
00:02:54,419 --> 00:02:55,919
0,0, no pongo la ecuación

38
00:02:55,919 --> 00:03:00,979
el elemento 2,1 de las dos matrices tienen que ser iguales

39
00:03:00,979 --> 00:03:06,180
es decir, b por a más c por b

40
00:03:06,180 --> 00:03:09,159
tiene que ser igual a 2b

41
00:03:09,159 --> 00:03:14,419
y el elemento 2,2 de ambas matrices tiene que ser igual

42
00:03:14,419 --> 00:03:17,719
es decir, c cuadrado tiene que ser igual a 2c.

43
00:03:18,759 --> 00:03:22,939
¿Vale? Pues estas son las matrices que nosotros tenemos que resolver.

44
00:03:23,419 --> 00:03:30,599
Bien, pues a ver, la primera ecuación solo tiene a, por lo tanto lo paso al primer miembro,

45
00:03:30,840 --> 00:03:41,139
menos 2a igual 0, sacamos factor común y me queda que esto es a por a menos 2 igual a 0

46
00:03:41,139 --> 00:03:44,080
y de aquí obtengo dos posibles soluciones.

47
00:03:44,419 --> 00:03:50,699
O bien a es 0, o bien a menos 2 es 0, es decir, que a es igual 2.

48
00:03:51,719 --> 00:03:59,240
Si os dais cuenta, la última ecuación es exactamente la primera pero con c.

49
00:03:59,240 --> 00:04:12,039
C sería igual c cuadrado menos 2c igual 0, es decir, c por, sacando factor común, c menos 2 es igual a 0.

50
00:04:12,039 --> 00:04:18,879
por lo tanto me queda que o bien C es 0 o bien C es 2.

51
00:04:19,959 --> 00:04:25,839
Y ahora tenemos que calcular los valores con la segunda ecuación, el valor de la B.

52
00:04:28,180 --> 00:04:32,199
Y vemos que tenemos, lo que acabamos de decir, que tenemos diferentes posibilidades.

53
00:04:32,980 --> 00:04:37,620
Entonces, a ver, lo voy a ir subiendo, porque ahora tenemos que ir estudiando

54
00:04:37,620 --> 00:04:40,500
cada uno de los casos para poder calcular el valor de la B.

55
00:04:41,079 --> 00:04:50,339
Primer caso que podemos tener, que la a sea 0 y que también la c sea 0, ¿vale?

56
00:04:51,220 --> 00:04:56,399
Es decir, estoy cogiendo los dos primeros, si a es 0 y b es 0, ¿qué le ocurre a la ecuación?

57
00:04:56,800 --> 00:05:04,680
b por a más c por b igual 2b, ¿qué me queda aquí?

58
00:05:04,680 --> 00:05:18,980
Si la A es 0, esto es 0, esto es 0 y ¿qué me queda aquí? Que 0 es igual a 2B, por lo tanto B es 0.

59
00:05:19,720 --> 00:05:29,779
En este caso, la matriz que estoy buscando X sería de la forma 0, 0, 0, 0. Sería la matriz nula.

60
00:05:29,779 --> 00:05:32,279
siguiente opción

61
00:05:32,279 --> 00:05:33,980
que la A sea 0

62
00:05:33,980 --> 00:05:36,420
pero que la C

63
00:05:36,420 --> 00:05:38,300
sea 2

64
00:05:38,300 --> 00:05:40,500
vale, pues volvemos a hacer lo mismo

65
00:05:40,500 --> 00:05:41,740
para calcular el valor de B

66
00:05:41,740 --> 00:05:43,939
me quedaría B por A

67
00:05:43,939 --> 00:05:47,079
más C por B

68
00:05:47,079 --> 00:05:49,060
igual a 2B

69
00:05:49,060 --> 00:05:51,019
que me queda aquí

70
00:05:51,019 --> 00:05:52,000
esto es 0

71
00:05:52,000 --> 00:05:54,639
y aquí ahora la C es 2

72
00:05:54,639 --> 00:05:56,120
luego que me queda

73
00:05:56,120 --> 00:05:59,319
que 2B es igual a 2B

74
00:06:00,000 --> 00:06:04,839
que cosa que sabemos que es cierta, por lo tanto eso significa que B puede ser cualquier valor.

75
00:06:05,420 --> 00:06:09,480
Por lo tanto la matriz X que yo busco, ¿cuál va a ser?

76
00:06:10,399 --> 00:06:15,240
A hemos visto que es 0, el segundo elemento era el 0, B puede ser cualquier cosa,

77
00:06:15,240 --> 00:06:18,259
le seguimos llamando B, y la C tiene que ser 2.

78
00:06:18,879 --> 00:06:24,279
Esto sería para cualquier número B perteneciente a los reales.

79
00:06:24,279 --> 00:06:29,540
Siguiente caso que tenemos, pues ya hemos visto todas las posibilidades con a igual 0

80
00:06:29,540 --> 00:06:31,399
Ahora tenemos que probar con a igual 2

81
00:06:31,399 --> 00:06:34,660
a igual 2 y c igual 0

82
00:06:34,660 --> 00:06:43,899
Bueno, pues igual que antes, b por a más c por b igual a 2b

83
00:06:43,899 --> 00:06:49,680
Vale, ahora la a vale 2 y la c 0

84
00:06:49,680 --> 00:07:12,920
¿Qué obtengo aquí? Pues obtenemos 2b igual a 2b, es decir que estamos en el mismo caso de antes, la b puede valer cualquier cosa y me queda la a ahora vale 2, aquí sigue siendo 0, la b puede ser cualquier cosa y ahora la c vale 0, ¿vale?

85
00:07:12,920 --> 00:07:17,579
Luego obtenemos esa matriz, otra vez con b, cualquier número real.

86
00:07:18,560 --> 00:07:20,379
Y a ver, vamos a subir un poquito más.

87
00:07:23,110 --> 00:07:33,050
Y ahora el último caso que me queda es cuando la a vale 2 y la c vale 2.

88
00:07:35,149 --> 00:07:41,129
Esto igual que antes, b por a más c por b igual a 2b.

89
00:07:41,129 --> 00:07:44,329
la A vale 2

90
00:07:44,329 --> 00:07:46,689
la C vale 2

91
00:07:46,689 --> 00:07:47,889
y aquí que me queda

92
00:07:47,889 --> 00:07:49,209
2B

93
00:07:49,209 --> 00:07:52,569
más 2B

94
00:07:52,569 --> 00:07:55,269
es igual a 2B

95
00:07:55,269 --> 00:07:56,829
o lo que es lo mismo

96
00:07:56,829 --> 00:07:59,790
para que 4B sea igual a 2B

97
00:07:59,790 --> 00:08:01,050
¿cuál es la única posibilidad?

98
00:08:02,069 --> 00:08:03,430
pues que la B sea 0

99
00:08:03,430 --> 00:08:06,029
¿vale? porque es imposible

100
00:08:06,029 --> 00:08:08,250
si tacháramos la B

101
00:08:08,250 --> 00:08:10,490
o sea no la podríamos tachar de esta manera

102
00:08:10,490 --> 00:08:12,189
porque 4 no es lo mismo que 2, ¿vale?

103
00:08:12,689 --> 00:08:23,410
Por lo tanto, la matriz X que me queda en este caso es A2, este elemento era 0, B0 y C2.

104
00:08:23,910 --> 00:08:30,589
Pues estas son todas las posibles matrices X que verificaban lo que nos estaba pidiendo el ejercicio,

105
00:08:31,449 --> 00:08:35,269
que a partir de esta matriz, X cuadrado fuera igual a 2X.

106
00:08:35,269 --> 00:08:46,990
Aquí siempre tenemos que ir pasando de ecuaciones matriciales a una ecuación numérica, podríamos decir, y sacamos las cuatro posibilidades.