1
00:00:06,900 --> 00:00:10,939
En este vídeo vamos a calcular la energía potencial gravitatoria.

2
00:00:11,400 --> 00:00:19,710
Para ello vamos a dibujarnos un planeta, por ejemplo podría ser la Tierra,

3
00:00:21,329 --> 00:00:26,510
y vamos a dibujarnos un satélite, vamos a decir que es un satélite artificial,

4
00:00:27,469 --> 00:00:31,969
y en lugar de quererlo aquí, lo queremos llevar aquí.

5
00:00:34,530 --> 00:00:40,380
En este caso el desplazamiento va a ser como este,

6
00:00:40,380 --> 00:00:51,609
y vamos a tener asociado un vector diferencial de R como este.

7
00:00:52,750 --> 00:00:56,270
Vamos a dibujarnos la fuerza que actúa sobre el satélite.

8
00:00:56,649 --> 00:01:01,130
La fuerza que actúa es la fuerza gravitatoria, que, si la recordamos,

9
00:01:03,130 --> 00:01:09,769
tiene que ir de centro a centro, aproximadamente así,

10
00:01:09,769 --> 00:01:14,930
y es una fuerza atractiva, es una fuerza que va a ir hacia acá.

11
00:01:15,530 --> 00:01:17,909
Esta es la fuerza gravitatoria.

12
00:01:17,930 --> 00:01:26,120
Y aquí sería la fuerza gravitatoria sería menor porque está más lejos.

13
00:01:28,180 --> 00:01:35,540
Pues bien, ahora lo que vamos a hacer es calcularnos el trabajo de desplazar el satélite esta distancia

14
00:01:35,540 --> 00:01:42,040
porque recordamos que en las fuerzas conservativas el trabajo es menos el incremento de la energía potencial.

15
00:01:43,540 --> 00:01:47,120
Podremos escribir entonces el resultado de este trabajo como un signo menos

16
00:01:47,120 --> 00:01:51,620
algo que dependa del estado final y algo que dependa del estado inicial.

17
00:01:51,959 --> 00:02:09,960
Pues bien, vamos allá. La fuerza gravitatoria, recordamos que es una fuerza cuya ecuación es un signo menos, la constante de la gravitación universal, la masa de la Tierra, la masa del satélite,

18
00:02:09,960 --> 00:02:16,500
dividido entre la distancia entre la Tierra y el satélite al cuadrado

19
00:02:16,500 --> 00:02:21,759
y por un vector unitario que va desde la Tierra hasta el satélite,

20
00:02:21,860 --> 00:02:26,060
desde el que genera la fuerza hacia el que la recibe.

21
00:02:27,939 --> 00:02:30,400
Observamos que este vector unitario, R gorrito,

22
00:02:30,400 --> 00:02:35,020
y este vector diferencial de R de camino son vectores paralelos.

23
00:02:35,020 --> 00:02:43,680
por lo tanto el producto escalar R gorrito por diferencial de R va a ser el módulo del primero que es 1

24
00:02:43,680 --> 00:02:48,639
el módulo del segundo que es diferencial de R, el 1 ya no lo pongo

25
00:02:48,639 --> 00:02:54,180
por el coseno del ángulo que forman pero como son paralelos es el coseno de 0 grados

26
00:02:54,180 --> 00:02:56,199
y el coseno de 0 grados es 1

27
00:02:56,199 --> 00:03:01,710
por lo tanto cuando hagamos el producto escalar fuerza gravitatoria

28
00:03:01,710 --> 00:03:20,699
producto escalar con diferencial de r tendremos que será menos g masa de la tierra masa del satélite entre r al cuadrado r gorrito producto escalar con diferencial de r

29
00:03:20,699 --> 00:03:26,280
y hemos visto que esto de aquí es directamente el módulo de diferencial de R

30
00:03:26,280 --> 00:03:28,919
vamos entonces a hacer la integral

31
00:03:28,919 --> 00:03:35,719
el trabajo va a ser la integral desde R1 que es este punto de aquí

32
00:03:35,719 --> 00:03:39,379
esta distancia de aquí es R1

33
00:03:39,379 --> 00:03:44,800
hasta R2 que es la nueva distancia donde queremos llevarlo, R2

34
00:03:44,800 --> 00:03:49,020
de este producto escalar que ya tenemos aquí desarrollado

35
00:03:49,020 --> 00:03:58,800
menos g, masa de la Tierra, masa del satélite, dividido entre R2 y este producto escalar que hemos visto que era diferencial de R.

36
00:03:59,580 --> 00:04:09,740
Sacamos todas las constantes fuera y nos queda que es menos g, masa de la Tierra, masa del satélite,

37
00:04:09,740 --> 00:04:17,459
por la integral desde R1 hasta R2 de diferencial de R dividido entre R2.

38
00:04:17,459 --> 00:04:33,800
Si hacemos esta integral de aquí nos queda menos 1 entre r menos g masa de la tierra masa del satélite por menos 1 entre r de r1 a r2

39
00:04:33,800 --> 00:04:42,230
que podemos escribir como menos G masa de la Tierra masa del satélite

40
00:04:42,230 --> 00:04:51,670
y sustituyendo en el punto final menos 1 entre R2 menos menos 1 entre R1.

41
00:04:52,089 --> 00:04:59,389
Voy a dejar los signos menos indicados así sin multiplicar porque me va a venir bien tener este signo menos aquí

42
00:04:59,389 --> 00:05:01,769
cuando quiera identificar el incremento.

43
00:05:02,189 --> 00:05:07,589
Entonces si introduzco otra vez todos los términos adentro el signo menos se queda fuera

44
00:05:07,589 --> 00:05:29,079
para que sea este signo menos de aquí y me va a quedar este signo menos g masa masa dividido entre r2 menos que es este menos

45
00:05:29,079 --> 00:05:46,139
y ahora viene este otro menos g masa masa de nuevo dividido entre r1 observamos que tenemos un término que sólo depende del estado final

46
00:05:46,139 --> 00:05:49,899
y un término que sólo depende del estado inicial.

47
00:05:50,819 --> 00:06:02,560
Por lo tanto, la energía potencial gravitatoria, cuando estemos en distancias muy muy grandes

48
00:06:02,560 --> 00:06:12,699
y tengamos que utilizar esta fuerza de aquí, va a ser menos g, la masa del planeta, la masa del satélite,

49
00:06:13,480 --> 00:06:15,660
dividido entre la distancia.

50
00:06:15,660 --> 00:06:22,000
observamos que se parece bastante a la fórmula de la fuerza

51
00:06:22,000 --> 00:06:26,199
la fuerza gravitatoria que la tenemos escrita arriba

52
00:06:26,199 --> 00:06:28,819
pero la escribo aquí para que se pueda comparar mejor

53
00:06:28,819 --> 00:06:35,399
masa de la tierra, masa del satélite entre R2 por R gorrito

54
00:06:35,399 --> 00:06:39,079
tiene una serie de diferencias que vamos a señalar ahora

55
00:06:39,079 --> 00:06:42,839
la primera diferencia y más importante que vamos a darnos cuenta

56
00:06:42,839 --> 00:06:58,620
es que aquí hay un cuadrado y aquí no hay un cuadrado, por lo tanto recordemos que la energía potencial no tiene cuadrado abajo y la fuerza sí, esto tiene mucho sentido

57
00:06:58,620 --> 00:07:09,439
porque recordamos que fuerza se mide en newton y energía potencial se mide en julios porque es una energía que es newton multiplicado por metro, por lo tanto si le falta una r abajo

58
00:07:09,439 --> 00:07:16,000
es que como si multiplicásemos por una distancia, newton multiplicado por metro, será julio.

59
00:07:16,680 --> 00:07:23,319
La segunda cosa que nos vamos a fijar es que aquí hay un vector unitario y aquí no.

60
00:07:24,439 --> 00:07:28,639
Y relacionado con ello, este tiene una flecha y este no.

61
00:07:29,459 --> 00:07:34,199
La fuerza es un vector, por eso tiene un vector unitario.

62
00:07:34,199 --> 00:07:40,740
La energía potencial no es un vector, por eso no tiene flecha y no tiene vector unitario.

63
00:07:41,560 --> 00:07:51,920
Hay una cosa más en la que tenemos que fijarnos y es que cuando hacemos el módulo de la fuerza, el módulo es una cantidad definida positiva.

64
00:07:52,199 --> 00:07:58,899
Es decir, este signo menos desaparece cuando hacemos el módulo, pero este signo menos de aquí nunca desaparece.

65
00:07:58,899 --> 00:08:09,990
y por lo tanto la energía potencial gravitatoria es siempre negativa

66
00:08:09,990 --> 00:08:16,449
y solamente va a ser cero cuando r tienda a infinito