1
00:00:00,000 --> 00:00:04,919
Pues vamos con la segunda entrega del tema 1 de números reales.

2
00:00:05,160 --> 00:00:09,640
Vamos a repasar, porque de esto no hay nada nuevo, los intervalos, ¿de acuerdo?

3
00:00:10,560 --> 00:00:16,800
Ya sabéis que un intervalo es un conjunto de números reales

4
00:00:16,800 --> 00:00:21,000
que representan un segmento o una semirrecta de la recta real.

5
00:00:22,280 --> 00:00:26,780
Los límites de los intervalos se llaman extremos

6
00:00:26,780 --> 00:00:33,659
Y según se incluyan o no los extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.

7
00:00:34,259 --> 00:00:43,960
Los tipos de intervalos que conocéis los tenemos en esta tabla y expresados de las tres formas diferentes que se pueden representar.

8
00:00:44,539 --> 00:00:50,439
Un intervalo abierto, sabéis que abierto es, se utiliza el paréntesis para cerrado, se utiliza el corchete.

9
00:00:50,439 --> 00:01:09,640
Un intervalo abierto de extremos A y B se puede expresar como paréntesis A, B paréntesis o también encerrando entre llaves esta expresión, los X tal que A es menor que X menor que B y cerrando la llave.

10
00:01:09,640 --> 00:01:22,319
Y por último en la recta real y aquí sí que quiero que pongáis mucha atención porque es importante hacerlo de la única manera que se puede hacer y todas las demás están mal.

11
00:01:23,000 --> 00:01:44,640
Dibujo mi recta real, dibujo mis puntos A y B, si el intervalo es abierto en A pongo un circulito sin rellenar, si es abierto por el otro extremo en B pongo un circulito sin rellenar y entre medias, y aquí está lo importante, hago un trazo grueso en el mismo color que he hecho los circulitos o hago como ese gusanito.

12
00:01:44,640 --> 00:01:54,519
Esas dos formas valen, trazo grueso o gusanito, pero no vale poner única y exclusivamente los extremos, ¿de acuerdo?

13
00:01:54,959 --> 00:02:00,079
Si en algún ejercicio lo pidiera, lo tacharía como erróneo si no se ha hecho un trazo gordo.

14
00:02:00,799 --> 00:02:05,700
Bueno, el segundo caso es el intervalo cerrado entre corchetes.

15
00:02:05,700 --> 00:02:17,539
Ahora, como se incluyen los extremos, las desigualdades son menor o igual porque los incluyen y los circulitos son rellenos.

16
00:02:18,340 --> 00:02:29,979
Cuando es abierto por un lado, intervalo semiabierto, por la izquierda es a menor que x menor o igual que b.

17
00:02:29,979 --> 00:02:39,120
en A pongo paréntesis, en B pongo corchete, en A pongo circulito sin rellenar, en B pongo circulito relleno y hago trazo grueso entre A y B.

18
00:02:39,699 --> 00:02:49,979
Cuando se me ha abierto por el otro lado, pues lo mismo, ahora sería corchete por este lado, por eso aquí hay un igual, un menor o igual, paréntesis por este lado, por eso es un menor estricto,

19
00:02:49,979 --> 00:02:56,840
estricto, circulito relleno porque es cerrado, circulito sin rellenar porque es abierto.

20
00:02:57,699 --> 00:03:04,139
Cuando solamente tengo extremo por un lado y llega hasta el infinito, se llama semirrecta.

21
00:03:04,919 --> 00:03:10,539
Abierta si no incluye al extremo, tanto por la izquierda como por la derecha. Cerrada

22
00:03:10,539 --> 00:03:15,080
si incluye al extremo tanto por la izquierda como por la derecha. Cuando es abierta las

23
00:03:15,080 --> 00:03:21,360
desigualdades son estrictas, cuando es cerrado las desigualdades contemplan el igual, cuando

24
00:03:21,360 --> 00:03:26,340
es cerrado el circulito está relleno, cuando es abierto el circulito está sin rellenar.

25
00:03:26,819 --> 00:03:32,259
Bueno, miráis un poquito la tabla pero la conocéis de sobra. Vamos a ver un ejemplo

26
00:03:32,259 --> 00:03:38,900
que dice, representa en todas las formas posibles estos casos. Entonces empezamos con el caso

27
00:03:38,900 --> 00:03:51,360
a los números menores que 6, es decir, los x tales que x es menor estrictamente que 6.

28
00:03:52,020 --> 00:03:56,080
Si es menor que 6, quiere decir que cojo desde el menos el infinito, sabéis que cuando los

29
00:03:56,080 --> 00:04:02,159
extremos son más o menos infinito, siempre es abierto, intentando representar la idea

30
00:04:02,159 --> 00:04:06,439
de que el infinito nunca se abarca, nunca podría ser cerrado porque nunca llegamos,

31
00:04:06,439 --> 00:04:20,100
que para eso es infinito. Bueno, y el otro extremo es 6 abierto. Bueno, pues en este caso, veis aquí cómo se hace, en el caso B lo que tengo es, me dan la forma entre llaves,

32
00:04:20,500 --> 00:04:33,019
los x tales que 2 menor o igual que x menor que 9, al ser menor o igual significa que es cerrado, que es cerrado, al ser menor estricto significa que es abierto por la derecha, abierto por la derecha.

33
00:04:33,660 --> 00:04:42,519
El tercer caso incluye números negativos y lo que me dice es los x tales que menos 5 es menor que x menor que 8.

34
00:04:42,660 --> 00:04:46,100
También se podría decir los x comprendidos entre menos 5 y 8.

35
00:04:46,860 --> 00:04:54,819
Bueno, pues son abiertos los dos porque son dos desigualdades estrictas, no hay iguales, no incluye los extremos y dos circulitos sin cerrar.

36
00:04:54,819 --> 00:05:11,060
Y en el caso de, este es más especial, me dice que los x tales que su valor absoluto sea menor o igual que 5, es decir, me da igual que sea positivo o negativo el caso, es que sea menor o igual que 5.

37
00:05:11,060 --> 00:05:28,689
Pues así lo pongo, cerrado. Bueno, pues recordamos aquí lo que significa el valor absoluto de a. El valor absoluto de a es a si a es positivo y menos a si a es negativo.

38
00:05:28,689 --> 00:05:38,019
O dicho de otra manera, que creo que queda más claro, es el número sin el signo.

39
00:05:38,139 --> 00:05:45,680
Pues vamos a ver ahora, la forma de representar números reales es en la recta real y conjuntos de números reales es con intervalos.

40
00:05:46,300 --> 00:05:56,639
Pero vamos a ver ahora otro concepto que se deriva del hecho de ser el conjunto de los números reales un conjunto de números con infinitas cifras.

41
00:05:56,639 --> 00:06:14,100
Entonces, cuando un número tiene infinitas cifras, hay que aproximarlo porque es imposible escribir infinitos números, entonces por eso se hacen aproximaciones, pero siempre que se hace una aproximación y no se coge el valor total del número, se comete un error.

42
00:06:14,319 --> 00:06:25,740
Bueno, pues lo que vamos a ver aquí es qué tipos de aproximaciones se pueden hacer y cómo se calculan los errores cometidos, aunque creo que esto lo tenéis que conocer también de física.

43
00:06:26,639 --> 00:06:33,879
Bueno, pues aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él y que simplifique los cálculos.

44
00:06:34,680 --> 00:06:40,519
Yo no puedo hacer operaciones con pi en su forma decimal, porque tiene infinitos decimales,

45
00:06:40,519 --> 00:06:43,339
pero a lo mejor decido coger nada más que 3,14.

46
00:06:44,060 --> 00:06:55,639
Bueno, hay dos tipos de aproximación, por defecto o truncamiento, cuando se eliminan las cifras a partir del orden considerado.

47
00:06:55,639 --> 00:07:11,319
Me dicen aproxima pi a las centésimas, pues me queda 3,14. El 1,5 y lo que viene detrás no lo considero. Con el por defecto truncamiento corto dos cifras hasta la centésima, las demás me da igual lo que van.

48
00:07:11,319 --> 00:07:31,639
En cambio, por exceso, lo que hago es también eliminar las cifras a partir del orden considerado y la última que se deja se aumenta en una unidad si es que la siguiente, que ya no estoy teniendo en cuenta, es mayor o igual que 5, que es lo que hacemos con las notas, que eso lo sabéis bien.

49
00:07:31,639 --> 00:07:44,339
Bueno, esto lo habéis estudiado en otros cursos como redondeo y truncamiento, es lo mismo, el redondeo puede ser por defecto o por exceso y el truncamiento coincide con el redondeo por defecto.

50
00:07:44,339 --> 00:07:58,259
¿Vale? Bueno, pues vamos a ver este ejemplo. Me dan estos tres números, 3,258, 2,21 periódico puro y raíz de 7. Y me dicen que redondee a las centésimas.

51
00:07:59,699 --> 00:08:10,519
Quiere decir que me quedo con sólo dos cifras. Como la tercera, el 8, que ya no quiero, es mayor o igual que 5, el 5 anterior, la centésima, la incremento en 1, 3,26.

52
00:08:10,519 --> 00:08:24,300
En el caso de 2,21 periódico puro, como es 2,21, 21, 21, 21, al ser la tercera cifra menor que 5, dejo la segunda como está, 2,21.

53
00:08:24,879 --> 00:08:39,139
Y en el caso de raíz de 7, pues igual, cojo 2,6 y el 4 lo transformo en un 5 porque el 4 tiene detrás un 5 y a partir de 5 para arriba tengo que aumentar un 1, pues pongo 2,65.

54
00:08:39,139 --> 00:09:00,279
Si fuera truncamiento, lo que haría sería coger por las buenas las dos primeras cifras, 3,25, 2,21 y 2,64. ¿Qué es lo que ocurre? Lo que decíamos, no he cogido el número completo en ninguno de los seis casos que tengo aquí, luego estoy dejando cosas de tener en cuenta, luego estoy cometiendo errores.

55
00:09:00,279 --> 00:09:12,080
Pues vamos a calcularlos. El error absoluto se define como el valor absoluto del valor real menos el valor aproximado.

56
00:09:13,019 --> 00:09:17,340
Vamos a coger el redondeo a las centésimas de raíz de 7, este de aquí.

57
00:09:18,820 --> 00:09:27,419
El error absoluto cometido es el valor absoluto de raíz de 7, lo pongo en la calculadora, de menos 2,65 y me da 0,004.

58
00:09:27,419 --> 00:09:38,740
¿Por qué cojo un valor absoluto? Porque me da igual que el valor aproximado sea mayor o menor que el valor real, que es lo que me diría que me diera un número negativo.

59
00:09:39,039 --> 00:09:47,379
Yo quiero saber cuánto he desperdiciado, cuánto he perdido, qué error he cometido. Hacia la derecha o hacia la izquierda, eso me da igual. ¿Cuánto?

60
00:09:47,379 --> 00:10:00,179
Bueno, pues en este caso 0,04. ¿Qué es lo que ocurre? Que el error absoluto, aunque es interesante y tiene un sentido muy claro, no es muy representativo en ciertos casos.

61
00:10:00,179 --> 00:10:17,980
Y entonces interesa saber referirlo al valor real. ¿Por qué? No es lo mismo despreciar unas centésimas en un valor de, por ejemplo, kilómetros, que en un valor de centímetros.

62
00:10:17,980 --> 00:10:22,120
expresados todos ellos en metros

63
00:10:22,120 --> 00:10:26,220
porque en centímetros la centésima ya es muy importante

64
00:10:26,220 --> 00:10:28,480
en kilómetros, ¿qué más me da?

65
00:10:28,960 --> 00:10:30,379
que me haya olvidado algunas centésimas

66
00:10:30,379 --> 00:10:32,620
entonces me interesa muchísimo el valor real

67
00:10:32,620 --> 00:10:36,940
por eso se define el error relativo

68
00:10:36,940 --> 00:10:40,240
como el cociente entre el que he calculado antes absoluto

69
00:10:40,240 --> 00:10:42,460
pero referido al valor real

70
00:10:42,460 --> 00:10:46,480
es decir, no es lo mismo cometer un error de unos centímetros

71
00:10:46,480 --> 00:10:52,200
Si yo mido el largo de una mesa, que si mido la distancia de Madrid a Burgos.

72
00:10:53,419 --> 00:11:07,980
Si hago este cálculo en el ejemplo que hemos dicho antes, lo que cogería es el 0,04 de error absoluto, lo divido entre raíz de 7 y me sale un error considerablemente menor que el anterior.

73
00:11:08,399 --> 00:11:10,320
No tiene tanta, tanta importancia.

74
00:11:10,539 --> 00:11:11,360
¿De acuerdo?

75
00:11:11,360 --> 00:11:27,340
Bueno, pues una vez visto esto, vamos a ver otra cosa muy importante de los números reales y es que en ciencia se utilizan números reales porque la vida es real, la vida no es exacta.

76
00:11:27,340 --> 00:11:40,740
Las medidas que se toman suelen tener muchísimas cifras si le damos la precisión que se debe. Entonces ocurre que encontramos números muy grandes y números muy pequeños.

77
00:11:40,740 --> 00:11:50,240
Y operar con números muy grandes y muy pequeños es complicado, entonces lo que se hace es utilizar la notación científica, que vamos a ver aquí, lo que sí que ya conocéis.

78
00:11:50,840 --> 00:12:06,139
Un número en notación científica es de la forma a por 10 elevado a b, donde el valor absoluto de a es un decimal exacto que está en el intervalo cerrado 1 abierto 10.

79
00:12:06,139 --> 00:12:18,779
¿Qué significa esto? Que A solamente vale 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, y luego coma lo que sea, pero solamente parte entera de 1 a 9.

80
00:12:22,070 --> 00:12:30,330
A está comprendido en este intervalo y B es un número entero, es decir, 10 elevado a un número entero, positivo o negativo.

81
00:12:31,029 --> 00:12:34,669
Importante, A se llama mantisa y B se llama orden de magnitud.

82
00:12:34,669 --> 00:12:43,720
y aunque ya sabéis sumar, restar, multiplicar y dividir números en notación científica

83
00:12:43,720 --> 00:12:46,720
ponemos un pequeño recordatorio aunque haremos ejercicios.

84
00:12:47,360 --> 00:12:51,440
Para sumar o restar los números deben tener el mismo orden de magnitud

85
00:12:51,440 --> 00:12:57,500
y para multiplicar o dividir se operan por un lado las mantisas y por el otro las potencias de 10.

86
00:12:57,799 --> 00:13:01,519
¿Qué ocurre cuando yo opero con números en notación científica?

87
00:13:01,659 --> 00:13:05,659
Que el resultado puede no estar expresado en notación científica.

88
00:13:05,659 --> 00:13:28,720
Si yo sumo 1,5 por 10 elevado a 3 más 9,7 por 10 elevado a 3 me sale más de 10 por 10 elevado a 3 y 10, algo por 10 elevado a 3 no está en notación científica porque ya me he pasado, porque ya he cogido el 10 y solamente podía tener cifras del 1 al 9.

89
00:13:28,720 --> 00:13:34,799
pues lo que haría sería convertir ese resultado con la transformación necesaria a notación científica.

90
00:13:35,340 --> 00:13:37,259
Completaremos todo esto con un montón de ejercicios.