1 00:00:00,110 --> 00:00:17,309 ¿Qué vais diciendo? Bueno, empezamos la clase de Matemáticas 1 de Ciencias de primero de bachillerato, indicando siempre que voy a grabar la clase, o si alguien tiene algún inconveniente que lo diga, y si no hay problema, pues luego subimos la clase. 2 00:00:17,309 --> 00:00:40,640 Creo que tengo... Está ya grabando, ¿verdad? Buenas. Y está ya grabando y lo que no he hecho ha sido compartir pantalla, si no me equivoco. Vale. Creo que ya está todo a punto. Y nos vamos con... Hoy toca límites, si no me equivoco, ¿no? 3 00:00:40,640 --> 00:00:43,920 clases de distancia 4 00:00:43,920 --> 00:00:44,740 OT1 5 00:00:44,740 --> 00:00:46,920 26 de límites 6 00:00:46,920 --> 00:00:54,149 límites y continuidad 7 00:00:54,149 --> 00:00:57,310 este tema lo tengo que dar 8 00:00:57,310 --> 00:00:58,469 a una velocidad express 9 00:00:58,469 --> 00:01:00,109 con lo cual os voy a intentar 10 00:01:00,109 --> 00:01:01,570 exigir 11 00:01:01,570 --> 00:01:04,569 de forma acorde a 12 00:01:04,569 --> 00:01:05,590 como os lo doy 13 00:01:05,590 --> 00:01:07,469 en principio 14 00:01:07,469 --> 00:01:10,689 tenéis que controlar las gráficas 15 00:01:10,689 --> 00:01:12,349 de funciones que vimos el otro día 16 00:01:12,349 --> 00:01:13,769 las familias de funciones 17 00:01:13,769 --> 00:01:15,810 si habéis repasado los tutoriales 18 00:01:15,810 --> 00:01:22,090 supongo que lo habréis entendido todo mejor, y que conozcáis las funciones, calcular el 19 00:01:22,090 --> 00:01:27,450 vértice de una parábola, saber si una función es exponencial, logarítmica, luego la composición 20 00:01:27,450 --> 00:01:31,390 de funciones y la inversa, que eso sí que os puse que os podía quedar en el examen, 21 00:01:31,469 --> 00:01:39,329 ¿no? Y, bueno, hoy vamos a empezar con la definición intuitiva de lo que es el límite 22 00:01:39,329 --> 00:01:41,670 de una función, por eso tengo estas gráficas 23 00:01:41,670 --> 00:01:42,790 aquí tan extrañas 24 00:01:42,790 --> 00:01:52,200 y luego 25 00:01:52,200 --> 00:01:54,159 poco a poco intentaremos ir haciendo 26 00:01:54,159 --> 00:01:55,420 los cálculos de una forma 27 00:01:55,420 --> 00:01:57,859 de un tipo más 28 00:01:57,859 --> 00:02:00,079 formal. Bueno, vamos a ver. 29 00:02:02,969 --> 00:02:04,890 Voy a empezar por esta de la izquierda 30 00:02:04,890 --> 00:02:06,349 porque se entiende 31 00:02:06,349 --> 00:02:08,189 mejor lo que es límite y la continuidad 32 00:02:08,189 --> 00:02:09,090 cuando no lo hay. 33 00:02:10,229 --> 00:02:12,710 Vamos a ver. Yo aquí estoy en el menos 5. 34 00:02:12,949 --> 00:02:14,550 Este, como veis, es un punto macizo 35 00:02:14,550 --> 00:02:15,710 y este es un punto hueco. 36 00:02:16,569 --> 00:02:17,509 No sé si se ve bien. 37 00:02:18,449 --> 00:02:32,150 Por si acaso, esto lo voy a hacer más así, más del macizo, y este se supone que es el hueco y que este es el macizo. Acordaos que un valor de la X no puede tener dos de las Y. O sea, yo diría que este es el hueco. 38 00:02:32,150 --> 00:02:37,550 el dibujo no se ve demasiado bien 39 00:02:37,550 --> 00:02:38,150 a lo mejor 40 00:02:38,150 --> 00:02:44,509 entonces aquí que es lo que ocurre 41 00:02:44,509 --> 00:02:46,009 y ya voy anticipando 42 00:02:46,009 --> 00:02:49,750 que si yo estoy en el menos 5 43 00:02:49,750 --> 00:02:51,349 al llegar al menos 5 44 00:02:51,349 --> 00:02:54,129 tengo que levantar el lápiz 45 00:02:54,129 --> 00:02:57,050 para seguir dibujando la gráfica 46 00:02:57,050 --> 00:03:00,430 si sigo por aquí, llevo aquí 47 00:03:00,430 --> 00:03:02,789 y de nuevo tengo que levantar el lápiz 48 00:03:02,789 --> 00:03:04,689 para seguir dibujando la gráfica 49 00:03:04,689 --> 00:03:06,590 ¿sí? bueno, esto 50 00:03:06,590 --> 00:03:08,349 en principio, la idea de límite 51 00:03:08,349 --> 00:03:10,370 es la siguiente, a ver 52 00:03:10,370 --> 00:03:12,430 supongamos que esto no está puesto 53 00:03:12,430 --> 00:03:13,909 a la escala, esto es un error 54 00:03:13,909 --> 00:03:15,949 vale 55 00:03:15,949 --> 00:03:18,310 si yo me acerco 56 00:03:18,310 --> 00:03:20,270 yo tengo esta función, la voy a llamar g 57 00:03:20,270 --> 00:03:22,629 si yo 58 00:03:22,629 --> 00:03:23,389 me acerco 59 00:03:23,389 --> 00:03:26,150 a menos 5 60 00:03:26,150 --> 00:03:28,509 este menos no quiere 61 00:03:28,509 --> 00:03:30,409 decir negativo, sino que está 62 00:03:30,409 --> 00:03:32,610 a la izquierda. Si yo me acerco 63 00:03:32,610 --> 00:03:33,449 a menos 5 64 00:03:33,449 --> 00:03:35,509 por la izquierda, 65 00:03:36,169 --> 00:03:37,629 ¿a qué valor me acerco 66 00:03:37,629 --> 00:03:41,870 de la función? A 1, ¿no? 67 00:03:43,129 --> 00:03:43,849 ¿Lo veis? 68 00:03:44,669 --> 00:03:46,009 Este es el 0, este es el 1, 69 00:03:46,110 --> 00:03:47,710 este es el menos 1, este es el menos 2. 70 00:03:48,629 --> 00:03:50,150 Ahora, ¿qué pasa 71 00:03:50,150 --> 00:03:51,590 si calculo 72 00:03:52,150 --> 00:03:53,729 el límite cuando x tiende a 73 00:03:53,729 --> 00:03:55,990 menos 5, pero en vez 74 00:03:55,990 --> 00:03:58,289 de por la izquierda, por la derecha? 75 00:04:03,819 --> 00:04:04,620 ¿A dónde? 76 00:04:04,879 --> 00:04:07,099 No es a 2, es a menos 2, ¿no? 77 00:04:07,580 --> 00:04:32,579 ¿Sí? Entonces, ya os voy anticipando que aquí no existe el límite global. ¿Por qué? Porque no coinciden los límites laterales. Estos se llaman no coinciden los límites laterales. 78 00:04:32,579 --> 00:04:39,660 Como veis, os estoy introduciendo un concepto sin definirlo, para que lo veáis de forma intuitiva. 79 00:04:40,519 --> 00:04:43,600 Y esto, con que lo intuyáis más o menos, deberíais hacerlo. 80 00:04:44,100 --> 00:04:49,500 Ahora, ¿qué pasa con el límite cuando x tiende a 5 de la función? 81 00:04:53,209 --> 00:04:55,529 Por la izquierda y por la derecha. 82 00:04:56,389 --> 00:04:57,569 Esto es una flechita. 83 00:05:04,970 --> 00:05:10,649 A ver, si yo estoy por la derecha, por ejemplo, en el 4,5, estoy aquí, ¿no? 84 00:05:10,649 --> 00:05:41,800 4,7, 4,9. Si me voy acercando, ¿qué valor toma aquí? Cada rayita vale 1. Sería 2, ¿no? Nunca se llega ahí, pero igual que nunca se llega al 5, pero yo cada vez que me acerco más al 5, la Y se acerca más a 2. 85 00:05:41,800 --> 00:06:03,079 Esa es la idea, ¿sí? Entonces, por la izquierda es 2. Y por la derecha, yo estoy tomando valores y me voy acercando al 5, al 5, al 5. ¿Dónde me acercaría aquí? A este valor, ¿no? ¿Y ese valor cuál es? 86 00:06:06,279 --> 00:06:09,600 Bueno, yo diría el 1, el 2 y aquí sería 3, ¿no? 87 00:06:12,110 --> 00:06:17,050 De nuevo, no existe el límite global porque no existen los límites laterales, ¿vale? 88 00:06:18,009 --> 00:06:24,670 Bueno, lo primero que queda claro es que creo que veis que los límites laterales no coinciden, ¿no? 89 00:06:25,350 --> 00:06:27,670 ¿Qué es lo que pasa, por ejemplo, aquí en el 3? 90 00:06:31,089 --> 00:06:34,629 Límite cuando x tiende a 3 de la función. 91 00:06:35,629 --> 00:06:39,589 Esta la he llamado F y esta la he llamado G. 92 00:06:51,790 --> 00:06:53,930 A ver, ¿qué pasa si yo me acerco a 3? 93 00:06:54,310 --> 00:06:57,089 Bueno, voy a poner rayitas, por ejemplo estas, ¿no? 94 00:06:58,930 --> 00:07:02,569 Si me acerco a 3 por la izquierda es esta línea horizontal, ¿no? 95 00:07:04,149 --> 00:07:05,730 ¿Y a qué valor se acerca? 96 00:07:08,569 --> 00:07:10,370 La X a 3, ¿sí? 97 00:07:10,449 --> 00:07:13,649 Pero cuando yo me acerco aquí a 3, ¿qué valor me sale en la Y? 98 00:07:15,930 --> 00:07:20,389 Es menos 2. O sea, este es el 0, este es el menos 1 y este es el menos 2, ¿no? 99 00:07:21,990 --> 00:07:22,790 Menos 2. 100 00:07:24,009 --> 00:07:33,310 Y ahora, si yo estoy en la misma función, pero acercándome a la derecha del 3, ¿a dónde me acerco en la i? 101 00:07:38,759 --> 00:07:40,500 A menos 2, lo mismo. 102 00:07:40,500 --> 00:07:47,259 ¿Veis que esta función no pega ningún salto? Pues eso es porque coinciden los límites laterales. 103 00:07:47,259 --> 00:07:49,860 como coinciden los límites laterales 104 00:07:49,860 --> 00:07:51,439 puedo decir que el límite 105 00:07:51,439 --> 00:07:53,420 cuando x tiende a 3 106 00:07:53,420 --> 00:07:55,199 ni por la derecha ni por la izquierda 107 00:07:55,199 --> 00:07:57,540 por los dos lados es menos 2 108 00:07:57,540 --> 00:08:00,259 esta es la idea intuitiva 109 00:08:00,259 --> 00:08:02,339 que lo veáis 110 00:08:02,339 --> 00:08:04,100 a ver 111 00:08:04,100 --> 00:08:06,120 para fijar un poco 112 00:08:06,120 --> 00:08:07,620 las ideas 113 00:08:07,620 --> 00:08:09,680 a ver este sería el 3 114 00:08:09,680 --> 00:08:11,740 imaginaos que por aquí está el 6 115 00:08:11,740 --> 00:08:15,629 si yo me acerco a 6 116 00:08:15,629 --> 00:08:16,810 ¿a qué se acerca la i? 117 00:08:18,629 --> 00:08:23,089 A 1, tanto por la izquierda como por la derecha, porque la función no se para. 118 00:08:24,089 --> 00:08:24,750 Esa es la idea. 119 00:08:32,279 --> 00:08:37,419 Pues vamos a esto que habría, que se me pone de una forma. 120 00:08:46,580 --> 00:08:52,460 Bueno, para no gastar mucho tiempo, tenemos varias cosas. 121 00:08:53,019 --> 00:08:57,399 Aquí en x igual a 0, ¿cuál es el límite a la izquierda del 0? 122 00:08:59,549 --> 00:09:03,269 Imaginaos que esta es una rayita, 2, 3, 4, que está 5. 123 00:09:03,269 --> 00:09:22,330 Esto sería menos uno. Me acerco al cero por la izquierda, el valor de la I al que me acerco es menos uno. ¿Y por la derecha? Uno. Podría ser uno veinticinco o uno y medio, pero veis que es uno más o menos. 124 00:09:22,330 --> 00:09:37,350 Aquí los límites laterales no coinciden. No existe el límite global, el límite por la izquierda es menos 1, el límite por la derecha es 1. ¿Y qué pasa cuando la X tiende a 4? ¿Cuánto vale el límite por la izquierda? 125 00:09:37,350 --> 00:10:04,259 ¿Cuánto? 5. A ver, 4 o 5 no. Cuando yo me acerco a 4, la Y se acerca a 5. Este es el eje de las X, este es el eje de las Y. Y por la derecha, también 5. Si yo me acerco a 4, si la X se acerca a 4, la Y también se acerca a 5. Esta función es continua y por eso existe el límite. 126 00:10:04,259 --> 00:10:21,139 Hay una cosa muy relacionada entre lo que son los límites y lo que es la continuidad. Entonces, ¿cómo podemos hacer una estimación del límite con calculadora? Para que intentemos entender un poco lo que es un límite. 127 00:10:21,139 --> 00:10:43,080 Y aquí recordad que cada uno tiene su calculadora. ¿Hay alguien que no la tenga? Sí. Como digo, porque si te digo, dejo una. Esta es una estimación, ¿sí? Y además se puede hacer tanto por un lado como por otro, por la izquierda como por la derecha. 128 00:10:43,080 --> 00:11:04,480 Entonces, por ejemplo, voy a calcular el límite A. Entonces, por ejemplo, si X tiende a 1 menos, por ejemplo, decidme un valor que se acerque mucho a 1, pero que sea más pequeño que 1. 129 00:11:04,480 --> 00:11:10,220 0,99. ¿Por qué? Porque lo ha dicho bien. 130 00:11:10,220 --> 00:11:13,639 Que quiera coger el 0,999 que lo coja. 131 00:11:14,200 --> 00:11:18,220 Entonces, cogemos la calculadora y hacemos el cálculo. 132 00:11:19,600 --> 00:11:31,340 Cada uno con su calculadora porque podéis tener errores y prefiero no deciros nada hasta que os salga mal. 133 00:11:31,340 --> 00:11:44,320 Entonces, hacemos fracción. Uy, ya la he puesto dos veces. A ver, 0,99 elevado al cubo menos 1. 134 00:11:44,320 --> 00:12:08,879 Veis que estoy sustituyendo la fórmula de arriba, ¿no? Y ahora abajo pongo 0,99 elevado al cubo más 2 por 0,99 elevado al cuadrado menos 3 por 0,99. 135 00:12:08,879 --> 00:12:38,779 Y sale esto, que esto a mí no me dice nada, pero esto sí me dice algo. Y me sale 0,7519, no sé cuánto, y no sé de más. 136 00:12:39,679 --> 00:12:46,740 Voy a tomar, por ejemplo, decirme un número que se acerque al 1, pero que sea mayor que 1. 137 00:12:54,269 --> 00:13:04,889 1,01. ¿Por qué? Porque lo has dicho tú. ¿Vale? Sí, podría ser el 1,01 o el 1,1. Más o menos cada uno que le dé la precisión. 138 00:13:05,570 --> 00:13:11,149 ¿No sale esto de sí mismo? Porque el fallo con la calculadora, ¿la tú ves como esta? 139 00:13:13,409 --> 00:13:17,330 Pues si quieres usar esta, si no la has traído. Ah, que la tienes en la cara. 140 00:13:17,570 --> 00:13:24,049 Bueno, pues estoy haciéndolo a vuestro ritmo. Sabéis que hay que colocar paréntesis en algunas de estas calculadoras. 141 00:13:24,269 --> 00:13:42,919 Porque ese es el fallo que os digo, que si no tenéis esta calculadora, voy a hacerlo ahora como si no tuviera esta calculadora, abrís paréntesis y ponéis 1,01 elevado al cubo, menos 1. 142 00:13:42,919 --> 00:14:15,720 Le dais a la tecla de dividir, abrís un paréntesis para el denominador y os sale 1,01 elevado al cubo más 2 por 1,01 elevado al cuadrado menos 3 por 1,01 y sale 0,8471. 143 00:14:15,720 --> 00:14:28,100 sabríais intuir 144 00:14:28,100 --> 00:14:29,279 cuál va a ser el límite 145 00:14:29,279 --> 00:14:34,360 si no lo intuís 146 00:14:34,360 --> 00:14:36,220 en vez de 0,99 147 00:14:36,220 --> 00:14:38,399 poned 0,9999 148 00:14:38,399 --> 00:14:47,009 que si sabríais conjeturar 149 00:14:47,009 --> 00:14:48,309 porque esto es conjeturar 150 00:14:48,309 --> 00:14:50,929 aparentemente 151 00:14:50,929 --> 00:14:52,669 yo no diría que tiende a 1 152 00:14:52,669 --> 00:14:58,500 el límite 153 00:14:58,500 --> 00:14:59,899 cuando x tiende a 1 154 00:14:59,899 --> 00:15:00,740 de esa función 155 00:15:00,740 --> 00:15:03,879 yo diría que es 0,75 156 00:15:03,879 --> 00:15:07,559 no lo sé 157 00:15:07,759 --> 00:15:13,279 Bueno, creo que esto podéis hacerlo por vuestra cuenta, porque es que luego lo vamos a comprobar. 158 00:15:13,500 --> 00:15:20,639 Entonces, esto, esta cuenta la podéis hacer con varios de ellos, y si no me equivoco, este es uno de los límites que he elegido, 159 00:15:21,340 --> 00:15:30,039 y se supone que va a salir tres cuartos, o tres cuartos, sabéis que tres cuartos es 3,75, ¿no? 160 00:15:30,799 --> 00:15:32,879 Esa es mi conjetura, ¿sí? 161 00:15:32,879 --> 00:15:46,919 Bien, esto no vale de nada en un examen salvo para comprobar. Si se os pide calcular el límite, tenéis que hacerlo razonadamente, porque esto es una estimación y lo mismo meto la gamba y esto no es 3 cuartos. 162 00:15:46,919 --> 00:16:00,059 Bueno, entonces vamos a ver cómo se calculan los límites de una función en un punto de una forma analítica. 163 00:16:01,159 --> 00:16:14,440 Esto es como cuando dibujamos algo, podemos conjeturar algunas cosas, podemos dibujar tres puntos que parezcan que están alineados, pero si yo no lo comprobo analíticamente no puedo asegurar que los puntos están alineados. 164 00:16:14,440 --> 00:16:19,980 Bueno, pues vamos a ver cómo se hace el cálculo del límite en un punto. 165 00:16:21,120 --> 00:16:27,460 Os he puesto los tres clases fundamentales, que son polinómicas racionales e irracionales. 166 00:16:28,000 --> 00:16:34,340 Hay unas del número E que yo no os las voy a poner. Si os fijáis, me he saltado parte de los temas. 167 00:16:34,340 --> 00:16:42,299 Ya sabéis que en los temas si me salto algo es porque no os lo voy a preguntar. 168 00:16:42,299 --> 00:16:48,779 ¿Tiene importancia? Sí, la puede tener, pero para cosas específicas que alguien estudie más adelante. 169 00:16:49,820 --> 00:16:57,240 Bueno, entonces, para calcular un límite, siempre, el primer paso va a ser siempre el mismo, que va a ser sustituirlo. 170 00:17:03,440 --> 00:17:08,140 Aquí dice, cuando x tiende a menos 2, ¿no? Pues voy a hacer f de menos 2. 171 00:17:08,140 --> 00:17:13,799 f de menos 2 es 3 por menos 2 a la cuarta 172 00:17:13,799 --> 00:17:17,140 más menos 2 elevado al cubo 173 00:17:17,140 --> 00:17:21,299 menos 2. Esto bien lo hacéis a mano o a máquina 174 00:17:21,299 --> 00:17:28,630 si queréis hacerlo con calculadora para comprobar que lo estoy haciendo bien 175 00:17:28,630 --> 00:17:31,390 si no me equivoco sale 38 176 00:17:31,390 --> 00:17:37,890 si no, decídmelo. Esto ya sabéis, lo hacéis a mano o a máquina 177 00:17:37,890 --> 00:17:43,200 ¿sale 38? 178 00:17:43,200 --> 00:17:55,299 Bueno, pues yo os aseguro que si cogéis menos 1,99 o menos 2,01, el resultado no va a ser 38, pero va a ser muy cercano a 38. 179 00:17:56,420 --> 00:18:07,440 Todas las funciones polinómicas. Y para cualquier punto, para calcular el límite en cualquier punto, sustituís y siempre os va a salir un resultado. 180 00:18:07,440 --> 00:18:27,500 Siempre que salga un resultado va a ser el mismo. Y ahora nos vamos a las funciones racionales. Aquí os tengo ya puesto el protocolo que es, primero, si lo sustituís en el punto, ¿le sale un número? Ese es el mismo. 181 00:18:27,500 --> 00:18:32,779 si sale 0 partido por 0 182 00:18:32,779 --> 00:18:35,710 simplificáis 183 00:18:35,710 --> 00:18:37,869 en el numerador y en el denominador 184 00:18:37,869 --> 00:18:39,690 por los fines, sabes que si simplificáis 185 00:18:39,690 --> 00:18:41,450 una fracción se supone que se va a tener 186 00:18:41,450 --> 00:18:43,890 el mismo valor 187 00:18:43,890 --> 00:18:45,750 ¿no? bueno, pues se 188 00:18:45,750 --> 00:18:46,789 simplifica por los fines 189 00:18:46,789 --> 00:18:49,250 y si sale a partido por 0 190 00:18:49,250 --> 00:18:51,430 y el numerador no es 0 191 00:18:51,430 --> 00:18:53,470 va a salir o infinito 192 00:18:53,470 --> 00:18:55,769 o menos infinito, ¿cómo averiguáis 193 00:18:55,769 --> 00:18:57,789 eso? con los límites laterales 194 00:18:57,789 --> 00:18:58,730 que ya lo hemos visto 195 00:18:59,650 --> 00:19:07,150 Esto a palos secos parece complicadísimo, pero esta mecánica se coge bastante fácil, en mi opinión. 196 00:19:08,349 --> 00:19:15,210 Entonces, primera cosa, dice x tiende a 2, ¿no? 197 00:19:17,740 --> 00:19:25,859 Bueno, para que, ya veréis que si el número está en el dominio de la función, ya no va a tener ningún problema. 198 00:19:25,859 --> 00:19:32,839 Pues hago 3 por 2 a la cuarta más 2 al cubo menos 2. 199 00:19:33,839 --> 00:19:37,900 Y esto dividido entre 2 al cuadrado menos 2. 200 00:19:39,279 --> 00:19:40,500 Hacedlo con calculadora. 201 00:19:43,009 --> 00:19:44,069 Yo lo voy a hacer a mano. 202 00:19:52,140 --> 00:19:58,099 8, 56, 54, partido por 2, sale 27. 203 00:20:00,480 --> 00:20:00,599 ¿Sí? 204 00:20:01,359 --> 00:20:03,099 Bueno, pues este es el límite, 27. 205 00:20:03,980 --> 00:20:04,539 Calculado. 206 00:20:05,779 --> 00:20:13,559 Ya veréis que si cogéis 1,99 y sustituís, no os va a salir 27, pero os va a salir un número muy cercano a 27. 207 00:20:14,920 --> 00:20:17,200 26, algo, 27, poco. 208 00:20:18,299 --> 00:20:22,880 Eso si queréis lo vais comprobando, que estas cosas cuadran. 209 00:20:24,460 --> 00:20:27,259 Ahora, vamos a ver el segundo caso. 210 00:20:34,920 --> 00:20:38,079 en este 211 00:20:38,079 --> 00:20:39,960 ya se acabó 212 00:20:39,960 --> 00:20:41,119 si es un número es ese 213 00:20:41,119 --> 00:20:44,680 y eso si queréis 214 00:20:44,680 --> 00:20:46,440 lo comprobáis, si yo tomo un valor muy cerca 215 00:20:46,440 --> 00:20:47,680 de 1,99 216 00:20:47,680 --> 00:20:49,519 a 2,99 217 00:20:49,519 --> 00:20:51,220 os va a salir claro 218 00:20:51,220 --> 00:20:54,240 vamos a ver que pasa aquí 219 00:20:54,240 --> 00:20:59,049 que pasa aquí, el límite 220 00:20:59,049 --> 00:21:00,910 cuando x tiende a 3 de esta función 221 00:21:00,910 --> 00:21:03,470 yo voy a evaluar 222 00:21:03,470 --> 00:21:04,089 la función 223 00:21:04,089 --> 00:21:07,269 aquí en el numerador me va a quedar 224 00:21:07,269 --> 00:21:08,829 3 al cuadrado menos 9 225 00:21:08,829 --> 00:21:11,190 y en el denominador me va a quedar 226 00:21:11,190 --> 00:21:12,390 3 al cuadrado 227 00:21:12,390 --> 00:21:14,950 menos 5 por 3 228 00:21:14,950 --> 00:21:16,089 más 6 229 00:21:16,089 --> 00:21:19,170 el numerador es obvio que queda 0 230 00:21:19,170 --> 00:21:21,430 y el denominador 231 00:21:21,430 --> 00:21:22,109 ¿cuánto sale? 232 00:21:32,299 --> 00:21:33,779 sale 0 también ¿no? 233 00:21:34,339 --> 00:21:36,200 para que relacionéis con el tema anterior 234 00:21:36,200 --> 00:21:37,960 este punto, el 3 235 00:21:37,960 --> 00:21:40,000 no está en el dominio de la función 236 00:21:40,000 --> 00:21:41,460 ¿vale? 237 00:21:41,740 --> 00:21:43,779 y si no está en el dominio de la función 238 00:21:43,779 --> 00:21:46,200 y sale esto, esto se llama una indeterminación 239 00:21:46,579 --> 00:22:05,859 Y se resuelve simplificando por 5. Entonces, ¿cómo se hace esto? Tomo el numerador. ¿Cuáles son los coeficientes de x cuadrado menos 9? 1, 0, menos 9. 240 00:22:05,859 --> 00:22:28,640 ¿Os acordáis? Esto es 1x cuadrado más 0x menos 9. Como valor a dividir pongo el 3. Y ahora bajo el 1, que pongo aquí, 3, aquí, 9 y resto. 241 00:22:28,640 --> 00:22:32,619 ¿Cuál es el cociente? 242 00:22:34,480 --> 00:22:36,019 X más 3 243 00:22:36,019 --> 00:22:37,119 ¿Os acordáis de esto? 244 00:22:37,940 --> 00:22:40,759 Y si no, ya sabéis que esto os va a servir de repaso 245 00:22:40,759 --> 00:22:44,000 Muchas cuentas de esta evaluación os sirven de repaso para la primera 246 00:22:44,000 --> 00:22:48,339 Bueno, pues yo he dividido entre X menos 3 247 00:22:48,339 --> 00:22:51,400 Y aquí me sale X más 3 248 00:22:51,400 --> 00:22:54,220 Esto es lo que pongo aquí 249 00:22:54,220 --> 00:23:00,240 Y ahora, ¿cuál es el denominador? 250 00:23:00,660 --> 00:23:01,640 ¿Qué coeficientes tiene? 251 00:23:02,259 --> 00:23:10,339 1, menos 5, 1, menos 5 y 6, ¿vale? Y más 6. 252 00:23:10,339 --> 00:23:13,980 Y vuelvo a tomar la misma A, ¿no? 253 00:23:14,640 --> 00:23:24,759 Entonces, aquí pongo un 1, 3, menos 2, menos 6 y 0, ¿no? 254 00:23:25,160 --> 00:23:29,119 ¿Qué me queda como cociente? X menos 2. 255 00:23:29,119 --> 00:23:48,619 Lo pongo aquí. Una vez dicho esto, hay gente, yo no lo hago, pero para que lo entendáis, porque siempre me lo preguntáis, hay gente que dice que como he dividido por x menos 3, esto factoriza 2x más 3 por x menos 3. 256 00:23:48,619 --> 00:24:05,119 Como veis es diferencia de cuadrados. Y esto x más 2 por x menos 3. Yo no lo pongo porque luego lo voy a tachar. Pero veis que esto es lo que da el 0 partido por 0. Al quitar eso, ya veréis que no sale 0 partido por 0. 257 00:24:05,119 --> 00:24:32,099 Bueno, yo lo hago así directamente, os lo he explicado de dónde sale, pero ya lo voy a hacer directamente. Y ahora vuelvo a sustituir la x por 3. ¿Y qué me queda? 3 más 3 y abajo 3 menos 2. Y esto es 6 partido por 1. ¿Cuánto vale esto? 6. Pues este es el límite. 258 00:24:32,099 --> 00:24:40,619 Y es curiosísimo, porque esto no tenía ningún valor, porque cero partido por cero no existe, pero esto sí que existe. 259 00:24:47,619 --> 00:24:55,420 Cuando es cero partido por cero, porque ahora vamos a ver otro caso que no es cero partido por cero. 260 00:24:55,420 --> 00:25:02,960 Bueno, voy a hacerlo rápidamente porque creo que es importante que por lo menos una vez hagáis, ¿no? 261 00:25:03,099 --> 00:25:09,240 Vosotros mejor que lo hagáis más continuamente. Decidme un número que se acerque al 3. Por la derecha o por la izquierda, que queráis. 262 00:25:11,500 --> 00:25:20,779 2,99 porque lo has dicho tú, ¿no? Y voy a sustituir 2,99 al cuadrado menos 9. 263 00:25:20,779 --> 00:25:44,490 Ostras, que esto me equivocaba. Ahora, 2,99 al cuadrado menos 9. En el denominador tengo que poner 2,99 al cuadrado menos 5 por 2,99 más 6. 264 00:25:44,490 --> 00:26:00,769 Y esto sale, fijaos, 6,05. ¿Es 6? No, porque se acerca mucho a 6. Que veáis que esto es muy curioso, porque esta función no existe en el 3, pero para valores muy cercanos yo sé que se acerca a 6. 265 00:26:01,710 --> 00:26:12,109 Esta es la curiosidad de este tema. Es raro, es un tema raro, pero fundamental para las derivadas y para lo que tenéis que siga, pues más fundamental todavía. 266 00:26:12,109 --> 00:26:14,450 bueno, este es un caso raro 267 00:26:14,450 --> 00:26:16,009 que es cuando x tiende a 0 268 00:26:16,009 --> 00:26:19,769 si aquí sustituís 269 00:26:19,769 --> 00:26:26,240 os sale 1 más 0 270 00:26:26,240 --> 00:26:26,880 que es 1 271 00:26:26,880 --> 00:26:29,200 1 al cuadrado es 1 272 00:26:29,200 --> 00:26:31,759 os sale 1 menos 1 273 00:26:31,759 --> 00:26:33,299 partido por la x que es 0 274 00:26:33,299 --> 00:26:34,839 os sale 0 partido por 0 275 00:26:34,839 --> 00:26:36,880 entonces 276 00:26:36,880 --> 00:26:38,519 cuando hacéis este 277 00:26:38,519 --> 00:26:40,319 ¿qué se os ocurriría hacer? 278 00:26:41,920 --> 00:26:43,319 porque primero hay que 279 00:26:43,319 --> 00:26:45,500 desarrollar esta desigualdad notable 280 00:26:45,500 --> 00:26:57,609 Bueno, esto es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo partido por x. 281 00:26:58,549 --> 00:27:07,049 Simplificáis y os queda límite cuando x tiende a cero de x cuadrado más 2x partido por x. 282 00:27:08,309 --> 00:27:13,309 Y ahora si hacéis esto, aquí os vuelve a salir cero más cero que es cero partido por cero. 283 00:27:13,309 --> 00:27:16,049 ¿no? ¿cómo haríais esto? 284 00:27:16,430 --> 00:27:17,250 por Ruffini, ¿no? 285 00:27:18,250 --> 00:27:20,230 bueno, pues aquí hay una cosa 286 00:27:20,230 --> 00:27:22,589 que es más fácil que seguir por Ruffini 287 00:27:22,589 --> 00:27:24,329 que no sé 288 00:27:24,329 --> 00:27:25,130 si la habéis visto 289 00:27:25,130 --> 00:27:28,759 ¿qué se puede hacer aquí? sacar 290 00:27:28,759 --> 00:27:31,359 ¿y qué me queda aquí? 291 00:27:32,700 --> 00:27:33,660 x más 292 00:27:33,660 --> 00:27:34,740 2 293 00:27:34,740 --> 00:27:37,759 ¿y qué se puede hacer con estos dos factores? 294 00:27:41,170 --> 00:27:41,970 se tachan, ¿no? 295 00:27:42,049 --> 00:27:43,230 este y este, ¿no? 296 00:27:44,269 --> 00:27:46,349 ¿y qué pasa si sustituyo 0 297 00:27:46,349 --> 00:27:46,869 por 2? 298 00:27:47,410 --> 00:28:02,299 Porque me queda 0 más 2, que es 2. Entonces, os reto a que en casa cojáis el 0,01, sustituyáis en la calculadora y que veáis que sale un número muy cercano a 2. 299 00:28:03,779 --> 00:28:13,279 ¿Qué es lo que quiero decir con este ejercicio? Que cuando x tiende a 0, generalmente se va a poder sacar factor común a la x y es más fácil que hacerlo por Ruffini. 300 00:28:13,279 --> 00:28:23,440 Lo podéis hacer por Ruffini también. La ventaja es que con Ruffini cuando sale el cero os hacéis un lío muchas veces y creo que es bueno recalcar esto. 301 00:28:23,440 --> 00:28:52,460 Y, bueno, se me ha olvidado un caso que no pasa nada porque ahora mismo lo voy a hacer porque os he dicho que, por ejemplo, vamos a hacer el límite cuando x tiende a 2 de x cuadrado más 1 partido por x cuadrado menos 4. 302 00:28:52,460 --> 00:28:57,569 Bueno, ¿qué pasa si sustituyo aquí? 303 00:28:58,049 --> 00:29:07,529 Queda 2 al cuadrado más 1 partido por 2 al cuadrado menos 4. 304 00:29:08,309 --> 00:29:14,289 2 al cuadrado más 1 es 5 y 2 al cuadrado menos 4 es 0. 305 00:29:14,390 --> 00:29:15,630 Este es el tercer caso. 306 00:29:16,609 --> 00:29:20,869 Entonces, yo sé que este límite es o más o menos infinito. 307 00:29:23,640 --> 00:29:26,140 Y ahora me diréis, pues vaya solución, ¿no? 308 00:29:26,220 --> 00:29:31,099 Porque no es lo mismo ganar cada vez un número impresionante de dinero que perderlo, ¿no? 309 00:29:31,099 --> 00:29:34,200 ¿Cómo se determina si es más o menos infinito? 310 00:29:34,579 --> 00:29:36,579 Pues se hacen los límites laterales. 311 00:29:37,480 --> 00:29:40,180 Y los límites laterales ya os he enseñado a hacerlo. 312 00:29:44,200 --> 00:29:48,220 Por ejemplo, cuando x tiende a 2 menos, ¿qué valor tomaríais? 313 00:29:51,420 --> 00:29:56,710 1,99, ¿no? 314 00:29:56,990 --> 00:29:58,829 Y si x tiende a 2 más, 315 00:30:02,690 --> 00:30:04,490 pues 2,01, ¿no? 316 00:30:04,490 --> 00:30:05,950 No, no cumplimos nada. 317 00:30:06,650 --> 00:30:08,250 Pues esto lo hacemos tal cual. 318 00:30:08,470 --> 00:30:09,849 Esto por tanteo se puede hacer. 319 00:30:09,910 --> 00:30:11,289 Hay gente que lo hace de otra forma. 320 00:30:12,529 --> 00:30:14,230 Yo a veces lo hago por lógica. 321 00:30:14,589 --> 00:30:19,450 Yo sé que este va a salir por la derecha más infinito y por la izquierda menos infinito. 322 00:30:19,670 --> 00:30:20,690 Luego os explico por qué. 323 00:30:21,109 --> 00:30:22,410 Porque se puede razonar así. 324 00:30:22,410 --> 00:30:37,069 Entonces tengo 1,99 al cuadrado más 1 partido por 1,99 al cuadrado menos 4. 325 00:30:37,750 --> 00:30:42,589 Y sale menos 124. ¿Qué diríais? ¿Que sale más o menos infinito? 326 00:30:43,930 --> 00:30:52,049 Menos infinito. Si cogéis un número que se acerca más, el 1,999999, ya veréis que se acerca mucho más a infinito. 327 00:30:52,410 --> 00:31:14,200 Entonces, ¿qué salía la Y? Que la Y salía aproximadamente menos 124, ¿no? ¿Era 124? 124, ¿no? Bueno, pues la conclusión es que el límite por la izquierda es menos infinito. 328 00:31:14,200 --> 00:31:35,799 Y ahora, si tomo, por ejemplo, el 2,01, pues tengo que poner aquí 2,01 y arriba 2,01. 329 00:31:36,220 --> 00:31:45,920 Y se me ha quitado el cuadrado este y le doy y me sale 125, aproximadamente 126. 330 00:31:45,920 --> 00:31:48,559 pues ¿qué límite os va a salir? 331 00:31:49,640 --> 00:31:51,079 más o menos infinito 332 00:31:51,079 --> 00:32:01,759 ¿qué va a significar esto gráficamente? 333 00:32:02,859 --> 00:32:04,539 bueno, lo que os he dicho antes 334 00:32:04,539 --> 00:32:07,200 yo esto sabía que por aquí salía menos infinito 335 00:32:07,200 --> 00:32:08,359 y por aquí más infinito 336 00:32:08,359 --> 00:32:10,119 no siempre es fácil saberlo 337 00:32:10,119 --> 00:32:11,059 pero aquí es muy fácil 338 00:32:11,059 --> 00:32:13,359 porque esto siempre va a salir positivo 339 00:32:13,359 --> 00:32:15,859 y esto 340 00:32:15,859 --> 00:32:18,720 si cojo un número mayor que 2 341 00:32:18,720 --> 00:32:20,839 va a salir un poquito más que 4 342 00:32:20,839 --> 00:32:23,319 entonces esto sale positivo 343 00:32:23,319 --> 00:32:25,519 más entre más, más. En cambio, si cojo 344 00:32:25,519 --> 00:32:27,539 1,99 va a salir un número 345 00:32:27,539 --> 00:32:29,160 más pequeño que 4 346 00:32:29,160 --> 00:32:31,519 va a salir negativo y más entre menos 347 00:32:31,519 --> 00:32:33,640 es 1. Hay gente que lo hace así por tanteo 348 00:32:33,640 --> 00:32:35,619 aunque no siempre es tan fácil 349 00:32:35,619 --> 00:32:37,380 para hacerlo. Bueno, 350 00:32:37,559 --> 00:32:39,539 ¿qué quiere decir esto gráficamente? 351 00:32:42,029 --> 00:32:43,009 Pues gráficamente 352 00:32:43,009 --> 00:32:44,609 es que si x 353 00:32:44,609 --> 00:32:47,309 y yo me acerco mucho a 2 354 00:32:47,309 --> 00:32:50,029 por la izquierda 355 00:32:50,029 --> 00:32:57,569 la función va hacia menos infinito. 356 00:32:58,890 --> 00:33:10,289 Y que si yo me acerco por la derecha, la función, cuando me acerco a 2, sube hasta el final. 357 00:33:10,450 --> 00:33:14,269 Esto es lo que se llama una asíntota vertical que veremos el próximo día. 358 00:33:18,269 --> 00:33:28,150 Como veis, para que una función tenga una asíntota vertical en un punto, ese punto no puede estar en el dominio. 359 00:33:28,490 --> 00:33:31,089 Porque es el caso en el que sale un denominador c. 360 00:33:31,089 --> 00:33:39,490 Bueno, pues no quedan cosillas todavía. 361 00:33:41,329 --> 00:34:00,630 Bueno, en funciones irracionales, yo os quiero poner este ejemplo, no os lo complicaría demasiado si pareciera o no parecido, ¿no? Más o menos, la idea es la misma, lo que pasa es que aquí hay que racionalizar o hacer algo parecido a racionalizarlo. 362 00:34:01,589 --> 00:34:06,130 Porque aquí no hay que racionalizar, pero evidentemente esta función ya está racionalizada. 363 00:34:07,069 --> 00:34:13,570 Vamos a ver, ¿qué pasa con esta función? 364 00:34:15,630 --> 00:34:22,570 Si yo a la x le doy el valor 3, me sale 3 más 1, que es 4. 365 00:34:22,789 --> 00:34:24,889 La raíz de 4, 2. 366 00:34:25,449 --> 00:34:28,929 2 menos 2, y aquí sale 3 menos 3. 367 00:34:29,610 --> 00:34:31,010 0 partido por 0. 368 00:34:31,010 --> 00:34:50,610 Pero aquí no puedo hacer refini porque hay un radical, ¿no? ¿Dónde está el radical? ¿En el numerador o en el denominador? En el numerador. Entonces, no es exactamente racionalizar, porque racionalizar siempre se hace con las raíces en el denominador. 369 00:34:50,610 --> 00:34:54,349 pero si os acordáis 370 00:34:54,349 --> 00:34:57,010 ¿por cuánto tengo que multiplicar arriba y abajo? 371 00:34:58,809 --> 00:35:00,889 por el conjugado de este 372 00:35:00,889 --> 00:35:02,690 ¿y cuál es el conjugado de este? 373 00:35:05,170 --> 00:35:07,030 es raíz de x más 1 374 00:35:07,030 --> 00:35:08,269 y si pone menos 2 375 00:35:08,269 --> 00:35:10,429 más 2 376 00:35:10,429 --> 00:35:13,710 esto nos viene bien para repasar la primera evaluación 377 00:35:13,710 --> 00:35:16,969 para que veáis que las racionalizaciones 378 00:35:16,969 --> 00:35:18,510 sí que aparecen en la práctica 379 00:35:18,510 --> 00:35:24,239 bueno entonces 380 00:35:24,239 --> 00:35:25,800 os recuerdo 381 00:35:25,800 --> 00:35:28,480 si no os acordáis 382 00:35:28,480 --> 00:35:29,280 me lo decís 383 00:35:29,280 --> 00:35:31,920 sabéis que esto es una suma por una diferencia 384 00:35:31,920 --> 00:35:33,920 os acordáis que es igual a 385 00:35:33,920 --> 00:35:35,519 el cuadrado 386 00:35:35,519 --> 00:35:38,320 del primero 387 00:35:38,320 --> 00:35:40,099 menos 388 00:35:40,099 --> 00:35:42,679 el cuadrado del segundo 389 00:35:42,679 --> 00:35:44,320 ¿os acordáis? 390 00:35:44,440 --> 00:35:45,340 os lo pongo abajo 391 00:35:45,340 --> 00:35:47,780 lo pongo abajo 392 00:35:47,780 --> 00:35:49,840 aquí 393 00:35:49,840 --> 00:35:52,300 si tengo a menos b 394 00:35:52,300 --> 00:35:53,159 por a más b 395 00:35:53,159 --> 00:35:59,059 suma por diferencia, en este caso diferencia por suma, es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. 396 00:36:00,639 --> 00:36:10,400 Y esto no lo toco, esto no lo toquéis, porque lo que no quiero es mezclar radicales con polinomios. 397 00:36:11,559 --> 00:36:15,800 ¿Qué se hace con esta raíz y el cuadrado? Se tachan, ¿no? 398 00:36:15,800 --> 00:36:40,000 Entonces, aquí en el numerador me queda el límite. Cuando x tiende a 3, queda x más 1 menos 4. x más 1 menos 4 es x menos 3. Y aquí queda x menos 3 partido por la raíz de x más 1 más 2. 399 00:36:40,840 --> 00:36:42,000 Adivinad lo que voy a hacer. 400 00:36:47,079 --> 00:36:49,199 Esto es lo mismo que esto multiplicado por 1. 401 00:36:50,000 --> 00:36:51,380 ¿Qué pensáis que voy a hacer? 402 00:36:53,449 --> 00:36:55,889 Tengo un factor arriba y abajo que son igual. 403 00:36:56,369 --> 00:36:57,409 Entonces, ¿qué se puede hacer? 404 00:36:59,030 --> 00:36:59,469 Simplificar. 405 00:37:01,809 --> 00:37:07,969 Entonces, simplifico y eso es lo que me daba la indeterminación 0 partido por 0. 406 00:37:07,969 --> 00:37:31,269 Ahora, si simplifico me queda 1 partido por raíz de x más 1 más 2 y, de nuevo, 3 más 1, 4. Raíz de 4, 2, ¿no? Y 2 más 2, 4. 407 00:37:31,269 --> 00:37:46,190 Bueno, pues ya veréis que si le dais un valor muy cercano a 2,99, os va a salir, o a 3, perdón, 2,99 os va a salir un valor muy cercano a 0,25, que es lo mismo que en cuarto. 408 00:37:46,190 --> 00:38:04,849 ¿Sí? Insisto, esto está muy bien para que repaséis, mirad alguno más de estos que hay en el libro para que repaséis racionalizaciones porque además así veis una utilidad de las racionalizaciones de para qué narices se van. 409 00:38:04,849 --> 00:38:08,110 aquí tenéis los ejercicios 1 al 4 410 00:38:08,110 --> 00:38:09,250 de la página 220 411 00:38:09,250 --> 00:38:12,409 bueno, entonces 412 00:38:12,409 --> 00:38:14,469 nos queda en esta clase 413 00:38:14,469 --> 00:38:16,269 que quedan 15 minutos 414 00:38:16,269 --> 00:38:18,050 no vamos mal 415 00:38:18,050 --> 00:38:18,989 porque 416 00:38:18,989 --> 00:38:20,949 no vamos mal 417 00:38:20,949 --> 00:38:24,409 lo último que 418 00:38:24,409 --> 00:38:26,130 tenemos que hablar hoy ya es 419 00:38:26,130 --> 00:38:27,969 del estudio global de una 420 00:38:27,969 --> 00:38:29,929 función, que os pueden dar 421 00:38:29,929 --> 00:38:32,469 gráficamente, pero generalmente os la van a dar 422 00:38:32,469 --> 00:38:33,469 con una fórmula 423 00:38:34,010 --> 00:38:39,570 Bien definida a trozos o bien dada por una forma. 424 00:38:41,130 --> 00:38:46,489 Esto que os voy a dar aquí, os lo voy a explicar gráficamente, lo que son los tipos de vices continuidades. 425 00:38:47,150 --> 00:38:54,809 Porque, como os he dicho antes, para mí es más fácil explicar lo que no es continuo a explicar lo que es continuo. 426 00:38:55,130 --> 00:38:57,150 A ver, vamos a ir a la gráfica A. 427 00:39:04,619 --> 00:39:06,500 ¿Qué pasa en X igual a A? 428 00:39:08,260 --> 00:39:12,320 ¿Para el valor de la X, A, existe algún valor de la Y? 429 00:39:15,789 --> 00:39:40,079 No, ¿no? O sea, si seguís por aquí, aquí hay como un hueco, ¿no? Entonces, A no está en el dominio. Si un número no está en el dominio, la función no puede ser continua, porque ese punto no lo puede pintar A, ¿no? No tiene un punto que le corresponda, ¿sí? 430 00:39:40,079 --> 00:39:51,820 Bueno, no solo eso, sino que además, ¿qué pasa con la función cuando me acerco a? ¿Hacia dónde va? Por los dos lados, ¿no? 431 00:39:52,420 --> 00:40:03,039 Bueno, esto se llama una discontinuidad de salto infinito. 432 00:40:07,130 --> 00:40:15,710 Es discontinua por dos cosas. La primera, porque no está definida en el punto, porque yo podía pintar este punto y sí definía el salto infinito. 433 00:40:15,710 --> 00:40:22,369 Y la otra razón es que la función va hacia el infinito o hacia menos infinito. 434 00:40:23,010 --> 00:40:28,329 Al menos con que uno de los límites laterales vaya a infinito, la discontinuidad es alto infinito. 435 00:40:29,349 --> 00:40:30,250 Ahora, vamos a ver. 436 00:40:34,639 --> 00:40:35,800 ¿Existe f de a? 437 00:40:39,460 --> 00:40:41,400 Es este puntito, ¿no? 438 00:40:42,440 --> 00:40:47,190 ¿La función es continua en x igual a a? 439 00:40:47,190 --> 00:41:11,150 O sea, si yo voy por aquí y al llegar a A, ¿qué tengo que hacer? Saltar, ¿no? ¿Es continuo en X igual a A? No. ¿Qué es lo que ocurre? El límite por la izquierda de A es distinto del límite por la derecha de A. 440 00:41:11,150 --> 00:41:27,219 Esta discontinuidad, como estoy pegando a un brinco, que no es infinito, se llama discontinuidad de salto finito. 441 00:41:33,440 --> 00:41:37,340 Ahora, atención al siguiente, que el siguiente es más raro todavía. 442 00:41:40,449 --> 00:41:41,469 ¿Existe FDA? 443 00:41:44,570 --> 00:41:46,030 ¿Sí? ¿Cuánto vale? 444 00:41:47,110 --> 00:41:48,349 ¿No ves que el punto está hueco? 445 00:41:49,570 --> 00:41:51,610 Entonces, no existe FDA. 446 00:41:51,610 --> 00:41:59,769 pero a que si yo pusiera ahí un puntito 447 00:41:59,769 --> 00:42:00,989 la función de área continua 448 00:42:00,989 --> 00:42:03,369 bueno pues esta se llama 449 00:42:03,369 --> 00:42:05,110 discontinuidad evitable 450 00:42:05,110 --> 00:42:06,969 lo que sí que existe 451 00:42:06,969 --> 00:42:10,269 es el límite 452 00:42:10,269 --> 00:42:11,530 cuando x tiende a 453 00:42:11,530 --> 00:42:12,389 de la función 454 00:42:12,389 --> 00:42:15,829 porque tanto por la izquierda como por la derecha 455 00:42:15,829 --> 00:42:17,210 se acercan al mismo sitio 456 00:42:17,210 --> 00:42:18,590 bueno pues esta se llama 457 00:42:18,590 --> 00:42:20,469 discontinuidad evitable 458 00:42:20,469 --> 00:42:28,579 y la b 459 00:42:28,579 --> 00:42:31,860 existe f de a 460 00:42:31,860 --> 00:42:37,840 Sí, es este puntito 461 00:42:37,840 --> 00:42:40,059 ¿Pero qué pasa con ese puntito? 462 00:42:40,940 --> 00:42:42,900 Que no está donde tenía que estar, ¿no? 463 00:42:43,320 --> 00:42:45,199 A veces es porque me he equivocado en un dato 464 00:42:45,199 --> 00:42:47,139 Pero no coincide 465 00:42:47,139 --> 00:42:50,340 Pero no coincide 466 00:42:50,340 --> 00:42:58,659 No coincide 467 00:42:58,659 --> 00:43:04,119 Con el límite cuando x tiende a df de x 468 00:43:04,119 --> 00:43:06,860 Que sí existe porque tanto por la izquierda 469 00:43:06,860 --> 00:43:09,639 como un alto por la derecha, me acerco aquí. 470 00:43:10,260 --> 00:43:12,059 ¿Esta discontinuidad se podría evitar? 471 00:43:12,840 --> 00:43:16,039 Sí, porque si este punto lo muevo aquí, ya he tapado 472 00:43:16,039 --> 00:43:19,000 el hueco, ¿no? Esta también se llama discontinuidad 473 00:43:19,000 --> 00:43:24,139 evitable. Discontinuidad evitable. 474 00:43:25,179 --> 00:43:27,179 Bueno, pues ahora, vistos estos cuatro 475 00:43:27,179 --> 00:43:30,559 ejemplos, os voy a dar la definición de continuidad. 476 00:43:34,900 --> 00:43:35,679 F de A 477 00:43:35,679 --> 00:43:39,619 con F de X es 478 00:43:39,619 --> 00:43:43,940 continua en 479 00:43:43,940 --> 00:43:55,519 X igual a A si el límite cuando X tiende a F de X es igual a F de A. 480 00:43:57,420 --> 00:44:00,659 Espero que lo veáis un poco más claro después de ver los ejemplos, 481 00:44:00,860 --> 00:44:04,079 porque en alguno de los casos falla una de las dos cosas. 482 00:44:04,860 --> 00:44:12,199 Para que ocurra esto, tiene que existir F de A. 483 00:44:12,199 --> 00:44:14,639 tiene que existir 484 00:44:14,639 --> 00:44:18,699 el límite 485 00:44:18,699 --> 00:44:20,039 cuando x tiende a 486 00:44:20,039 --> 00:44:22,860 y para eso 487 00:44:22,860 --> 00:44:23,860 tiene que coincidir 488 00:44:23,860 --> 00:44:27,820 los límites laterales 489 00:44:27,820 --> 00:44:37,530 y además 490 00:44:37,530 --> 00:44:46,230 uno y dos 491 00:44:46,230 --> 00:44:48,130 tienen que ser iguales 492 00:44:48,130 --> 00:44:53,840 bueno, esto 493 00:44:53,840 --> 00:44:56,300 parece una tontería pero para que dos cosas 494 00:44:56,300 --> 00:44:57,380 sean iguales 495 00:44:57,380 --> 00:45:00,099 tiene que existir una, tiene que existir la otra 496 00:45:00,099 --> 00:45:02,099 y las dos tienen que ser iguales 497 00:45:02,099 --> 00:45:14,880 En términos matemáticos, la comprobación que hay que hacer es esa, porque dependiendo si existe una de las cosas u otra, la discontinuidad puede ser de un tipo o de otro. 498 00:45:16,260 --> 00:45:28,449 Vale, entonces, nos vamos aquí y vamos a estudiar como ejemplo, esto espero que ya sea un poco más relajado, estudiar la continuidad de esta función. 499 00:45:29,630 --> 00:45:33,590 Quedan siete minutos, bueno, un poco de prisa. 500 00:45:34,309 --> 00:45:37,530 A ver, quería hacer por lo menos parte de enseguida. 501 00:45:38,250 --> 00:45:40,070 A ver, esta función tiene tres trozos. 502 00:45:40,269 --> 00:45:41,789 Esto, como es de primer grado, ¿qué es? 503 00:45:41,909 --> 00:45:45,309 Una recta. Necesito dos puntos, ¿no? 504 00:45:48,219 --> 00:45:50,260 Esto, como es de segundo grado, es una... 505 00:45:50,860 --> 00:45:54,019 Es una parábola, ¿no? 506 00:45:54,760 --> 00:45:56,679 Contar tres puntos me vale, ¿sí? 507 00:45:57,340 --> 00:46:00,719 Y lo siguiente es una recta, ¿sí? 508 00:46:02,360 --> 00:46:04,360 También con dos puntos me vale. 509 00:46:05,199 --> 00:46:08,199 Entonces, ¿qué puntos doy en el primer trozo? 510 00:46:13,360 --> 00:46:17,000 Pues podría poner el menos 3 y el menos 2, ¿no? 511 00:46:17,639 --> 00:46:23,699 Como ponen menor o igual que menos 2, son valores menores que menos 2 o iguales. 512 00:46:24,559 --> 00:46:25,159 Sustituyo. 513 00:46:25,960 --> 00:46:28,579 Menos 3 más 5 es 2, ¿no? 514 00:46:30,280 --> 00:46:34,119 Y menos 2 más 5 es 3. 515 00:46:34,880 --> 00:46:37,019 De aquí me sale un punto, menos 3, 2. 516 00:46:37,019 --> 00:46:39,780 y de aquí me sale el menos 2, 3. 517 00:46:47,119 --> 00:46:49,300 Esto se puede hacer sin pintar o pintando. 518 00:46:49,500 --> 00:46:52,780 Yo por lo menos la primera vez prefiero explicarlo pintado. 519 00:46:53,579 --> 00:47:00,199 Entonces, el punto menos 3, 2 es menos 3, 2. 520 00:47:02,019 --> 00:47:05,059 Y el punto menos 2, 3 es menos 2, 3. 521 00:47:05,840 --> 00:47:09,280 Entonces, este trozo es para x menor que 2. 522 00:47:09,840 --> 00:47:11,880 Esto será una recta que va por aquí. 523 00:47:11,980 --> 00:47:12,980 Este es el primer trozo. 524 00:47:13,519 --> 00:47:33,570 Ya sabéis, en el examen hacerlo todo del mismo color. Yo voy a cambiar de color para que quede más bonito. Aquí necesito tres puntos. Entre menos 2 y 1, ¿qué elegiríais? Pues yo cogería el menos 2, cogería el 1 y entre el menos 2 y el 1 está el 0. 525 00:47:33,570 --> 00:47:36,389 pero con una salvedad 526 00:47:36,389 --> 00:47:38,449 porque aquí pone menor 527 00:47:38,449 --> 00:47:39,909 menos 2 menor que x 528 00:47:39,909 --> 00:47:42,449 ¿os acordáis que se ponía cuando no estaba el punto? 529 00:47:43,110 --> 00:47:43,329 era 530 00:47:43,329 --> 00:47:45,710 hueco 531 00:47:45,710 --> 00:47:48,889 bueno, pues sustituyen la fórmula 532 00:47:48,889 --> 00:47:51,130 menos 2 al cuadrado 533 00:47:51,130 --> 00:47:52,489 menos 1 534 00:47:52,489 --> 00:47:53,369 que sale 3 535 00:47:53,369 --> 00:47:56,170 aquí 1 al cuadrado menos 1 536 00:47:56,170 --> 00:47:56,829 que es 0 537 00:47:56,829 --> 00:47:59,610 y 0 al cuadrado menos 1 538 00:47:59,610 --> 00:48:01,449 que es menos 1 539 00:48:02,449 --> 00:48:05,329 Fijaos, sale el menos 2, 3, que es hueco. 540 00:48:06,050 --> 00:48:07,530 Y justo es este, ¿no? 541 00:48:08,809 --> 00:48:13,469 No voy a poner el hueco, porque ya me lo tapa el otro trozo. 542 00:48:13,969 --> 00:48:16,210 ¿Sí? ¿Os acordáis esto del otro día? 543 00:48:19,349 --> 00:48:22,909 ¿No? O sea, que esto me empalma perfectamente. 544 00:48:23,030 --> 00:48:25,530 Entonces, este punto dentro de la función no es hueco. 545 00:48:26,190 --> 00:48:30,750 Porque aunque aquí sea hueco, va a empalmarse con el trozo anterior. 546 00:48:30,750 --> 00:48:33,730 luego viene el punto 1, 0 que está por aquí 547 00:48:33,730 --> 00:48:36,550 y el 0, menos 1 que está por aquí 548 00:48:36,550 --> 00:48:38,429 bueno, pues esto es un trozo de parábola 549 00:48:38,429 --> 00:48:41,429 que lo puedo pintar así 550 00:48:41,429 --> 00:48:43,690 y este punto también es macizo 551 00:48:43,690 --> 00:48:47,590 y ahora pone x más 2 si x es mayor que 1 552 00:48:47,590 --> 00:48:50,929 x más 2 si x es mayor que 1 553 00:48:50,929 --> 00:48:53,329 pues cojo el azul 554 00:48:53,329 --> 00:48:56,789 y como es una recta doy dos puntos 555 00:48:56,789 --> 00:48:57,650 ¿qué puntos daría? 556 00:48:57,650 --> 00:49:24,769 El 2 y el 1, pero diciendo que el 1 es hueco. Si la x vale 1, 1 más 2 es 3 y si la x es 2, 2 más 2 es 4. O sea, el 1 es 3 y el 2 es 4. Sé que es una recta que empieza aquí, pero con cuidadito porque este punto es hueco. 557 00:49:24,769 --> 00:49:30,650 Bueno, pues, ¿sabéis decirme cómo es esta función? 558 00:49:34,039 --> 00:49:37,179 f es continua, ¿dónde? 559 00:49:37,760 --> 00:49:39,699 Más fácil, ¿dónde no es continua? 560 00:49:43,519 --> 00:49:45,039 ¿Y qué valor de la x es ese? 561 00:49:47,440 --> 00:49:49,139 De la x, de la x 562 00:49:49,139 --> 00:49:53,400 En x igual a 1, ¿sí? 563 00:49:53,619 --> 00:49:55,079 Bueno, pues ya voy a decir aquí 564 00:49:55,079 --> 00:50:15,039 Este tiene una discontinuidad. ¿Y sabéis de qué tipo es? ¿De salto finito, de salto infinito o evitable? Evitable. A ver, tú esto no lo puedes forzar a llegar aquí. 565 00:50:15,039 --> 00:50:17,199 aquí no hay un salto 566 00:50:17,199 --> 00:50:21,159 pues es de salto 567 00:50:21,159 --> 00:50:23,019 y es finito o infinito 568 00:50:23,019 --> 00:50:25,679 finito porque son 569 00:50:25,679 --> 00:50:27,079 tres unidades me parece ¿no? 570 00:50:28,460 --> 00:50:29,840 ¿y dónde la función 571 00:50:29,840 --> 00:50:31,719 es continua? pues en 572 00:50:31,719 --> 00:50:33,739 todos los números reales excepto 573 00:50:33,739 --> 00:50:35,099 donde es discontinua 574 00:50:35,099 --> 00:50:37,679 en todos los números reales excepto 575 00:50:37,679 --> 00:50:39,039 ¿vale? 576 00:50:40,260 --> 00:50:41,300 bueno, quería 577 00:50:41,300 --> 00:50:42,920 correr un poquito 578 00:50:42,920 --> 00:50:45,679 bueno, aquí podría decir que el límite por la 579 00:50:45,679 --> 00:50:47,659 izquierda del 1, ese es 0 580 00:50:47,659 --> 00:50:49,500 y por la derecha es 3, me parece 581 00:50:49,500 --> 00:50:51,460 y era, ¿no? y vamos 582 00:50:51,460 --> 00:50:53,199 podría decir más cosas pero 583 00:50:53,199 --> 00:50:55,539 esto miraba un 584 00:50:55,539 --> 00:50:57,260 ejemplo del libro porque 585 00:50:57,260 --> 00:50:59,719 quería ir, aunque no me diera tiempo a todo 586 00:50:59,719 --> 00:51:01,440 pero un poquitín del siguiente 587 00:51:01,440 --> 00:51:03,460 que es cuando os dan 588 00:51:03,460 --> 00:51:04,519 una fórmula, ¿sí? 589 00:51:05,519 --> 00:51:07,480 estudia la continuidad de esta función 590 00:51:07,480 --> 00:51:09,239 cuando no son trozos 591 00:51:09,239 --> 00:51:10,320 todo es una fórmula 592 00:51:10,320 --> 00:51:13,760 entonces, aquí os recuerdo 593 00:51:13,760 --> 00:51:15,159 que 594 00:51:15,159 --> 00:51:18,079 El carné de identidad de una función es su dominio. 595 00:51:18,559 --> 00:51:20,179 ¿Cuál es el dominio de esta función? 596 00:51:21,940 --> 00:51:28,639 Todos los números reales excepto los valores que anulan el denominador. 597 00:51:29,460 --> 00:51:31,219 Bueno, el cero es uno de ellos. 598 00:51:32,880 --> 00:51:36,679 Valores que anulan el denominador. 599 00:51:39,300 --> 00:51:40,860 ¿Cómo se resuelve esta ecuación? 600 00:51:40,860 --> 00:51:46,679 Saco factor común y me queda... 601 00:51:46,980 --> 00:51:49,119 x menos 1 602 00:51:49,119 --> 00:51:51,260 o bien entonces 603 00:51:51,260 --> 00:51:53,699 o bien x es igual a 0 604 00:51:53,699 --> 00:51:54,340 o bien 605 00:51:54,340 --> 00:51:57,179 x menos 1 es igual a 0 606 00:51:57,179 --> 00:51:59,539 si x es igual a 0 607 00:51:59,539 --> 00:52:01,980 pues me sale 0 y si x menos 1 es igual a 0 608 00:52:01,980 --> 00:52:02,420 me queda 609 00:52:02,420 --> 00:52:04,000 que x vale 610 00:52:04,000 --> 00:52:08,039 1, lo que está restando pasa sumando 611 00:52:08,039 --> 00:52:09,800 o sea que el dominio 612 00:52:09,800 --> 00:52:10,460 de esta función 613 00:52:10,460 --> 00:52:13,179 son todos los números reales 614 00:52:13,179 --> 00:52:14,659 excepto el 0 y el 1 615 00:52:14,659 --> 00:52:25,059 Bueno, pues ya puedo decir que F es continua en todos los números reales excepto en el cero y en el uno. 616 00:52:26,280 --> 00:52:38,639 Y ahora, ¿qué pasa en el cero? ¿Qué me queda si sustituyo? 617 00:52:39,860 --> 00:52:43,300 Queda cero menos uno partido por cero menos cero, ¿no? 618 00:52:43,960 --> 00:52:48,769 ¿Qué pasaba cuando salía menos uno partido por cero? 619 00:52:49,769 --> 00:52:53,750 Era que salía más o menos infinito. 620 00:52:53,750 --> 00:52:57,630 Como aquí habla de continuidad, ¿qué diríais que pasa en x igual a cero? 621 00:53:00,860 --> 00:53:02,639 Que hay una discontinuidad de qué tipo. 622 00:53:07,690 --> 00:53:09,849 ¿De salto finito, de salto infinito o evitable? 623 00:53:12,010 --> 00:53:13,250 De salto infinito. 624 00:53:17,099 --> 00:53:22,719 Y bueno, y si hago el límite cuando x tiende a 1 de la misma función, 625 00:53:27,170 --> 00:53:29,070 bueno, esto os lo dejo como ejercicio. 626 00:53:29,230 --> 00:53:33,269 Esto lo hacéis por Ruffini porque sale cero partido por cero. 627 00:53:33,269 --> 00:53:50,650 ¿Sí? Y si hacéis Ruffini, os va a quedar x más 1 arriba y x abajo. ¿Lo creéis, no? Y si sustituís os sale 1 más 1, que es 2, partido por 1, que es 2. 628 00:53:52,030 --> 00:54:00,869 Entonces, ¿qué pasa en x igual a 1? ¿Cómo es la discontinuidad? ¿De salto infinito, finito o evitable? 629 00:54:04,710 --> 00:54:07,250 no salta, porque el límite existe 630 00:54:07,250 --> 00:54:11,110 y si no salta 631 00:54:11,110 --> 00:54:13,530 ¿cómo es? ¿de salto finito, de salto infinito? 632 00:54:13,690 --> 00:54:14,050 o ¿y tal? 633 00:54:17,050 --> 00:54:18,070 si no salta 634 00:54:18,070 --> 00:54:19,369 no puede haber un salto infinito 635 00:54:19,369 --> 00:54:20,389 porque eso es un salto 636 00:54:20,389 --> 00:54:23,230 ¿cómo va a ser? ¿de salto infinito, infinito? 637 00:54:24,610 --> 00:54:25,590 si no salta 638 00:54:25,590 --> 00:54:29,769 no, si no salta 639 00:54:29,769 --> 00:54:31,030 no 640 00:54:31,030 --> 00:54:32,449 a ver, hay tres tipos 641 00:54:32,449 --> 00:54:35,010 ¿es alto infinito o evitable? 642 00:54:36,469 --> 00:54:37,030 evitable 643 00:54:37,030 --> 00:54:38,150 es evitable 644 00:54:38,150 --> 00:54:41,449 ¿por qué? porque al existir el límite 645 00:54:41,449 --> 00:54:42,329 ¿no? 646 00:54:42,909 --> 00:54:45,530 la función se aproxima tanto por la izquierda 647 00:54:45,530 --> 00:54:46,969 como por la derecha al mismo 648 00:54:46,969 --> 00:54:49,269 sitio, pero ¿qué es lo que ocurre? 649 00:54:49,309 --> 00:54:51,670 que ese punto está hueco porque no está en el dominio 650 00:54:51,670 --> 00:54:52,170 ¿vale? 651 00:54:53,510 --> 00:54:54,630 bueno, pues 652 00:54:54,630 --> 00:54:56,070 interrumpimos 653 00:54:56,070 --> 00:54:59,510 bueno 654 00:54:59,510 --> 00:55:01,030 a veces 655 00:55:01,030 --> 00:55:02,670 todos damos altos 656 00:55:02,670 --> 00:55:05,590 y eso no es malo 657 00:55:05,590 --> 00:55:05,889 tampoco 658 00:55:05,889 --> 00:55:09,750 bueno pues esto muy rápidamente 659 00:55:09,750 --> 00:55:11,530 yo recomendando siempre 660 00:55:11,530 --> 00:55:13,630 que veáis ya los exámenes de la otra 661 00:55:13,630 --> 00:55:15,230 evaluación, que veáis 662 00:55:15,230 --> 00:55:17,590 cómo se estudia la continuidad, os he puesto dos 663 00:55:17,590 --> 00:55:19,210 de función definida a trozos 664 00:55:19,210 --> 00:55:20,889 límites en el infinito 665 00:55:20,889 --> 00:55:23,469 por si queréis ir preparando la sesión de la semana 666 00:55:23,469 --> 00:55:23,909 que viene 667 00:55:23,909 --> 00:55:27,909 bueno pues interrumpimos ya la 668 00:55:27,909 --> 00:55:35,730 ¿Dibujar una función definida a trozos? 669 00:55:38,469 --> 00:55:42,090 Pues, ¿sabes a qué llamo yo eso? 670 00:55:43,670 --> 00:55:44,849 Tutoría individual. 671 00:55:45,809 --> 00:55:47,750 Eso lo llamo tutoría individual.