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00:00:07,540 --> 00:00:11,039
En este vídeo vamos a hablar sobre el producto vectorial de dos vectores.

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00:00:11,740 --> 00:00:15,859
El producto vectorial solamente puede hacerse en un espacio de tres dimensiones.

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00:00:17,079 --> 00:00:19,500
También se conoce como producto cruz

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00:00:19,500 --> 00:00:22,359
o producto aspa.

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00:00:25,780 --> 00:00:29,379
Y esto es porque para representar el producto vectorial de dos vectores

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00:00:29,379 --> 00:00:30,679
vamos a escribir

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00:00:30,679 --> 00:00:33,630
un aspa

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00:00:33,630 --> 00:00:35,450
entre los vectores.

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00:00:36,250 --> 00:00:37,570
Este aspa nos indica

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00:00:37,570 --> 00:00:38,789
producto vectorial

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00:00:38,789 --> 00:00:43,929
y el resultado del producto vectorial, como su propio nombre indica, es un vector.

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00:00:45,490 --> 00:00:48,469
Vamos a ver cuáles son las características de este vector.

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00:00:49,130 --> 00:00:53,750
En primer lugar, el módulo de este vector producto vectorial,

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00:00:54,850 --> 00:00:58,829
que es el módulo de u producto vectorial con v,

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00:00:58,829 --> 00:01:11,650
es el módulo de u por el módulo de v por y en este caso es el seno del ángulo que forman estos vectores

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00:01:11,650 --> 00:01:20,780
donde este es el ángulo. Si nos fijamos esto de aquí en geometría la interpretación que tiene

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00:01:20,780 --> 00:01:30,620
es que si ponemos aquí el vector u y aquí el vector v, esto nos encierra un paralelogramo

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00:01:30,620 --> 00:01:47,180
y este paralelogramo tiene esta superficie. Esto es el área del paralelogramo. También

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00:01:47,180 --> 00:01:52,019
podemos fijarnos que en este caso, si los vectores son paralelos, formarán un ángulo

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00:01:52,019 --> 00:02:00,120
de 0 grados y el seno de 0 es 0, por lo tanto el producto vectorial será 0. Igualmente

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00:02:00,120 --> 00:02:03,819
si son antiparalelos, es decir, si son en la misma línea pero apuntan en direcciones

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00:02:03,819 --> 00:02:10,379
contrarias, el seno de 180 también es 0. El módulo del producto vectorial será máximo

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00:02:10,379 --> 00:02:18,419
cuando estos dos vectores u y v sean perpendiculares, porque el seno de 90 es 1.

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00:02:18,419 --> 00:02:48,139
Hemos visto el módulo. Vamos a ver la dirección. La dirección del vector omega, que es el producto vectorial entre u y v, es perpendicular al plano que forman u y v.

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00:02:48,139 --> 00:02:51,840
en este caso tenemos el plano aquí marcado en color negro

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00:02:51,840 --> 00:03:00,740
por lo tanto este vector omega será un vector que estará sobre la perpendicular de este plano

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00:03:00,740 --> 00:03:05,139
por último nos falta por ver el sentido

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00:03:05,139 --> 00:03:11,530
y el sentido de omega nos lo dice la regla del destornillador

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00:03:11,530 --> 00:03:24,759
destornillador. La regla del destornillador o también se llama regla de la mano derecha

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00:03:24,759 --> 00:03:31,620
consiste en, utilizando nuestra mano derecha, poner los dedos como el primero de los vectores,

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00:03:31,620 --> 00:03:38,520
el vector u, y girarlos por el camino más corto posible hacia el segundo de los vectores.

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00:03:38,520 --> 00:03:45,099
En este caso, si pongo como U y giro hacia V, mi pulgar apunta hacia arriba.

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00:03:46,080 --> 00:03:51,819
Fijémonos que si lo pongo como V y giro por el camino más corto hacia U, mi pulgar apunta hacia abajo.

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00:03:53,800 --> 00:03:57,259
Esta es la regla del destornillador o de la mano derecha.

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00:04:02,189 --> 00:04:10,729
Por lo tanto, en este caso, como hemos dicho, si ponemos la mano como el vector U, que es hacia allá, no la puedo girar mucho más,

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00:04:10,729 --> 00:04:20,509
y la giramos hacia la v sale hacia arriba. Por lo tanto el vector omega será un vector como este.

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00:04:27,470 --> 00:04:34,430
El producto vectorial igual que el producto escalar tenía una regla de multiplicamos el primero por el primero y el segundo por el segundo

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00:04:34,430 --> 00:04:38,129
tiene una regla que es un poco más complicada. La vamos a escribir aquí.

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00:04:38,129 --> 00:04:58,459
El resultado de multiplicar u vectorialmente con v corresponde a ui por vz menos uz por vi en la dirección del eje x.

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00:04:58,459 --> 00:05:29,560
Fijémonos que la x no sale más en la componente y no sale la y, uzvx menos uxvz, esta es la componente y, más uxvi menos uivx en la dirección del eje z.

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00:05:31,019 --> 00:05:37,480
Una propiedad de este producto vectorial es que, como hasta ahora siempre hemos trabajado en dos dimensiones,

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00:05:38,000 --> 00:05:40,720
podríamos decir que es que la tercera dimensión simplemente era cero.

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00:05:41,459 --> 00:05:45,939
Si tenemos un vector, una pareja de vectores, que están en el plano xy

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00:05:45,939 --> 00:05:50,560
y la dirección de su producto vectorial es perpendicular al plano xy,

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00:05:51,000 --> 00:05:54,879
automáticamente sabemos que tiene que ser en la dirección z.

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00:05:54,879 --> 00:06:24,600
Es decir, si u, z y v, z son 0, que lo que significa es que u y v están en el plano x, y, lo que vamos a observar es que este omega, que es el producto vectorial u con v, está en el eje z.

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00:06:24,600 --> 00:06:33,269
también podemos comprobar tanto en este caso como con la regla de la mano derecha que ya hemos hablado

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00:06:33,269 --> 00:06:37,470
que este producto vectorial no es un producto conmutativo

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00:06:37,470 --> 00:06:39,610
es un producto anticonmutativo

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00:06:39,610 --> 00:06:41,149
¿qué significa anticonmutativo?

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00:06:41,149 --> 00:06:49,629
que si multiplicamos u vectorial v y multiplicamos v vectorial u

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00:06:49,629 --> 00:06:54,870
no son iguales sino que cambia de signo