1 00:00:12,269 --> 00:00:17,530 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,530 --> 00:00:22,070 arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,070 --> 00:00:26,129 de la unidad AE3 dedicada a las inequaciones y los sistemas de inequación. 4 00:00:27,969 --> 00:00:35,380 En la videoclase de hoy estudiaremos las inequaciones de valor absoluto. 5 00:00:36,380 --> 00:00:52,189 En esta videoclase vamos a estudiar las inequaciones de valor absoluto, que son aquellas en las 6 00:00:52,189 --> 00:00:57,369 es que nos vamos a encontrar con que tenemos la incógnita dentro, en el argumento, de un valor absoluto, 7 00:00:57,450 --> 00:00:59,049 de al menos un valor absoluto. 8 00:00:59,469 --> 00:01:06,250 Nosotros nos vamos a restringir, en este primer curso de bachillerato, a dos situaciones que son especialmente sencillas. 9 00:01:06,810 --> 00:01:11,090 ¿Qué ocurre si tengo una inequación en la que puedo reorganizar términos de tal forma que tenga 10 00:01:11,090 --> 00:01:16,909 la comparación del valor absoluto de una expresión algebraica y una segunda expresión algebraica? 11 00:01:16,909 --> 00:01:24,510 Y aquí vemos que el valor absoluto es menor o igual, o bien menor, mayor o igual, o bien mayor que una segunda expresión algebraica. 12 00:01:24,969 --> 00:01:33,310 Una segunda opción, también sencilla y con la que nosotros podremos tratar, es qué ocurre si lo que tengo en realidad es la comparación de dos valores absolutos. 13 00:01:33,769 --> 00:01:41,469 Y lo que tengo es un valor absoluto de una cierta expresión algebraica, menor o igual, menor, mayor o igual, mayor que una segunda expresión algebraica. 14 00:01:41,989 --> 00:01:45,510 No son los únicos casos, son los más sencillos y que nosotros podremos tratar. 15 00:01:45,510 --> 00:02:09,909 En el caso en el que esta comparación sea de menor, tengo aquí valor absoluto menor o igual o bien menor, van a ser similares que una expresión algebraica, con lo que me voy a encontrar en realidad es con que el valor absoluto, la expresión que tengo dentro del valor absoluto, debe cumplir simultáneamente dos inequaciones. 16 00:02:09,909 --> 00:02:23,389 Y esto se debe, en términos generales, a que cuando tengo el valor absoluto de algo, debo diferenciar, debo separar qué ocurre si ese algo es negativo y si ese algo no es negativo. 17 00:02:23,909 --> 00:02:31,629 Cuando ese algo es negativo, el valor absoluto le cambia el signo. Cuando ese algo es no negativo, el valor absoluto lo deja tal cual está. 18 00:02:31,629 --> 00:02:46,090 Ahora, ese debo diferenciar dos situaciones se traduce en el caso en el que tengo una desigualdad de menor o menor igual, menor estricto o menor no estricto, en que se deben cumplir simultáneamente dos inequaciones. 19 00:02:46,090 --> 00:03:08,050 Por un lado, cuando me encuentro con una de estas situaciones, menos Q, o sea, con signo cambiado, el miembro de la derecha debe ser menor o igual que P, esto es el argumento del valor absoluto, y simultáneamente, el argumento del valor absoluto debe ser menor o igual que Q, esto es el otro miembro. 20 00:03:08,050 --> 00:03:15,289 Bueno, supongamos que con lo que me encuentro es con la versión más sencilla. 21 00:03:16,189 --> 00:03:19,289 Valor absoluto de x menor o igual que 1. 22 00:03:19,689 --> 00:03:24,830 Por ejemplo, me voy a fijar en esta primera situación y en este caso tengo valor absoluto de x, 23 00:03:24,909 --> 00:03:28,909 debe haber x dentro del valor absoluto porque si no, no es una ecuación de valor absoluto. 24 00:03:29,810 --> 00:03:32,770 La más sencilla es valor absoluto de x menor o igual que 1. 25 00:03:33,009 --> 00:03:36,969 La expresión algebraica más sencilla es una constante y en este caso va a pensar en 1. 26 00:03:36,969 --> 00:03:45,789 Ahora, valor absoluto de x menor o igual que 1 me dice que se deben cumplir simultáneamente dos cosas. 27 00:03:46,090 --> 00:03:53,469 Esta parte de la derecha quiere decir que x sin el valor absoluto debe ser menor o igual que 1. 28 00:03:53,889 --> 00:04:03,150 Por supuesto, puesto que si x fuera mayor que 1, si no se diera esta circunstancia porque x, estoy pensando en que p de x es x y q de x es 1. 29 00:04:03,509 --> 00:04:09,229 Si x es mayor que 1, desde luego su valor absoluto no va a ser menor o igual que 1. 30 00:04:10,629 --> 00:04:16,449 Esto en cuanto a la parte de estoy pensando en que x sea positiva y la comparo con 1, que es el valor positivo. 31 00:04:16,970 --> 00:04:18,730 ¿Qué ocurre si x es negativa? 32 00:04:19,029 --> 00:04:22,829 Bueno, en este caso debo comparar con 1, sino con menos 1. 33 00:04:24,069 --> 00:04:29,730 Pienso en valor absoluto de x menor o igual que 1 con x negativos. 34 00:04:30,209 --> 00:04:35,610 ¿Qué ocurre si x es igual a menos 2? El valor absoluto de menos 2 es 2, desde luego no es menor o igual que 1. 35 00:04:36,230 --> 00:04:40,870 ¿Qué ocurre si x es igual a menos 1 medio, menos 0,5? 36 00:04:41,149 --> 00:04:46,629 En ese caso el valor absoluto es 1 medio, 0,5 que sí es menor o igual que 1. 37 00:04:47,170 --> 00:04:54,610 Eso se traduce en lo que aquí viene como menos 1 debe ser menor o igual que x. 38 00:04:55,490 --> 00:05:04,009 Fijaos que en este caso, menos 1 debe ser menor o igual que x, me obligaría a que x fuera mayor o igual que menos 1. 39 00:05:04,709 --> 00:05:12,550 Menos 0,5 menos un medio sí verificaría esta desigualdad, mientras que menos 2 no verificaría esta desigualdad. 40 00:05:12,550 --> 00:05:21,029 Está bien construido con este ejemplo que acabo de poner, pensando en que tengo valor absoluto de x menor o igual que 1. 41 00:05:21,029 --> 00:05:26,610 debe cumplirse simultáneamente que menos el miembro de la derecha, el miembro de la derecha con el signo cambiado, 42 00:05:27,389 --> 00:05:33,970 debe ser menor o igual que el argumento del valor absoluto y, este símbolo matemático significa y, 43 00:05:34,370 --> 00:05:39,149 simultáneamente el argumento, que en este caso sería x, el argumento del valor absoluto, 44 00:05:39,149 --> 00:05:41,490 debe ser menor o igual que este miembro de la derecha. 45 00:05:42,569 --> 00:05:47,730 Lo que estoy haciendo en realidad es transformar esta inequación de valor absoluto 46 00:05:47,730 --> 00:05:57,569 en la intersección de las soluciones de dos inequaciones, menos el miembro de la derecha menor o menor o igual según corresponda 47 00:05:57,569 --> 00:06:04,949 que el argumento del valor absoluto y, simultáneamente, lo que tengo que hacer es resolver la ecuación de el argumento del valor absoluto 48 00:06:04,949 --> 00:06:12,550 menor que el miembro menor o menor o igual que el miembro de la derecha. Y en este caso, cuando lo que tengo es una desigualdad de menor, 49 00:06:12,550 --> 00:06:16,870 porque tengo un valor absoluto menor o menor o igual que el miembro de la derecha, 50 00:06:17,290 --> 00:06:18,790 lo que tengo aquí es una intersección. 51 00:06:18,930 --> 00:06:20,990 Se deben cumplir simultáneamente dos condiciones. 52 00:06:21,949 --> 00:06:25,290 Resolveré dos inequaciones y hallaré la intersección de ambas, 53 00:06:25,370 --> 00:06:29,290 que es lo que tengo aquí expresado en términos algebraicos. 54 00:06:30,370 --> 00:06:33,170 En el caso en el que la desigualdad sea de mayor, 55 00:06:33,769 --> 00:06:37,410 porque aquí tengo mayor o bien mayor o igual, mayor o estricto, mayor o igual, 56 00:06:37,949 --> 00:06:39,089 es algo similar. 57 00:06:39,089 --> 00:06:41,889 Hago las mismas comparaciones, comparaciones similares, 58 00:06:41,889 --> 00:06:48,050 Pero en este caso, lo que tengo no es una intersección, sino una unión. 59 00:06:49,250 --> 00:06:55,910 Pongamos que, voy a poner un ejemplo similar al caso anterior, que tengo valor absoluto de x mayor o igual que 1. 60 00:06:56,490 --> 00:06:59,209 La versión más sencilla de esta inequación. 61 00:07:00,269 --> 00:07:04,889 Bien, estoy pensando en valores de x cuyo valor absoluto sea mayor o igual que 1. 62 00:07:04,970 --> 00:07:09,149 Pues tengo por un lado todos los valores de x que sean mayores o iguales que 1. 63 00:07:10,029 --> 00:07:18,410 Valores positivos para la x, como por ejemplo 2, 3, 17, su valor absoluto es mayor o igual que 1, por supuesto, porque x es mayor o igual que 1. 64 00:07:19,009 --> 00:07:23,829 Y eso es esta parte que tengo aquí, esta desigualdad que tengo a la derecha. 65 00:07:23,829 --> 00:07:37,490 Y si pienso en valores de x negativo, que el valor absoluto de x negativo sea mayor o igual que 1, quiere decir que x debe ser menor o igual que menos 1, con el signo cambiado. 66 00:07:37,490 --> 00:07:40,910 Fijaos, porque estoy comparando números con signo negativo. 67 00:07:41,269 --> 00:07:50,689 Estoy pensando en que menos 2, menos 3, menos 4, todos esos valores de x, su valor absoluto, que es 2, 3, 4, es desde luego mayor o igual que 1. 68 00:07:50,850 --> 00:07:52,930 Esa inequación que tenía en la mente primeramente. 69 00:07:53,490 --> 00:08:01,350 Y lo que estoy pensando es que estoy transformando esto en que x, como número negativo, tiene que ser menor o igual que menos 1. 70 00:08:01,350 --> 00:08:03,930 el valor que tiene aquí con el signo cambiado. 71 00:08:04,050 --> 00:08:07,769 Y eso es lo que tengo en esta otra inequación que tengo aquí. 72 00:08:08,470 --> 00:08:10,790 Pueden cumplirse simultáneamente cualquiera de las dos, 73 00:08:10,910 --> 00:08:13,949 no necesariamente las dos, quiero decir, además que sería imposible, 74 00:08:14,930 --> 00:08:18,410 para que el valor absoluto de x sea mayor o igual que 1, 75 00:08:18,410 --> 00:08:23,550 o bien x es mayor o igual que 1, o bien x es menor o igual que menos 1. 76 00:08:24,009 --> 00:08:28,009 Esas dos semirrectas serían solución de esta inequación concreta que estoy pensando. 77 00:08:28,009 --> 00:08:44,629 Por eso tengo aquí el símbolo O y aquí tengo la unión de intervalos. Voy a resolver esta inequación, voy a resolver esta segunda inequación y debe cumplirse o bien la una o bien la otra. Cuando tenga las dos soluciones tendré la unión de un conjunto o bien el otro. 78 00:08:44,629 --> 00:08:51,590 Así pues, las inequaciones de valor absoluto se van a resolver cuando sean de este tipo 79 00:08:51,590 --> 00:08:58,590 Un valor absoluto menor, mayor, la comparación que corresponda con una segunda expresión algebraica 80 00:08:58,590 --> 00:09:03,289 Lo que voy a tener que hacer es identificar cuáles son las dos inequaciones que debo resolver 81 00:09:03,289 --> 00:09:08,769 Y después, dependiendo del tipo de desigualdad que yo tuviera, hallar la intersección de esas 82 00:09:08,769 --> 00:09:12,470 O bien hallar la unión de esas soluciones de inequaciones 83 00:09:13,470 --> 00:09:28,730 Cuando lo que tengo son directamente la comparación de dos valores absolutos, esto va a ser mucho más sencillo, puesto que la técnica que voy a utilizar es directamente elevar al cuadrado ambos miembros de la inequación. 84 00:09:28,730 --> 00:09:40,009 Ahora, si el valor absoluto de p de x es menor o igual que el valor absoluto de q de x, el valor absoluto de p y el valor absoluto de q son números positivos. 85 00:09:40,870 --> 00:09:46,970 Independientemente del valor de x, los valores numéricos van a ser números y el valor absoluto los va a convertir en positivos. 86 00:09:47,370 --> 00:09:50,090 Al elevar al cuadrado se va a mantener la relación. 87 00:09:50,929 --> 00:09:56,769 Si el valor absoluto de p de x es menor o igual que el valor absoluto de q de x, 88 00:09:56,889 --> 00:10:01,870 al elevar al cuadrado, los números más pequeños, el cuadrado de los números más pequeños, 89 00:10:01,970 --> 00:10:04,830 sigue siendo más pequeño que el cuadrado de los números más grandes. 90 00:10:04,929 --> 00:10:06,629 La desigualdad se va a seguir verificando. 91 00:10:07,169 --> 00:10:08,190 ¿Por qué elevado al cuadrado? 92 00:10:08,730 --> 00:10:12,330 Porque independientemente de que p de x sea positivo o negativo, 93 00:10:12,330 --> 00:10:15,450 al elevarlo al cuadrado el signo desaparece, se convierte en más. 94 00:10:15,970 --> 00:10:19,009 Fijaos que menos lo que quiera que sea al cuadrado, menos por menos es más, 95 00:10:19,009 --> 00:10:20,889 se va a convertir en signo positivo. 96 00:10:21,490 --> 00:10:24,590 Así pues, lo que voy a tener es que si esto se verifica, 97 00:10:25,110 --> 00:10:28,009 valor absoluto de p de x menor o igual que valor absoluto de q de x, 98 00:10:28,370 --> 00:10:33,669 necesariamente al elevar al cuadrado debe cumplirse que el cuadrado de p de x 99 00:10:33,669 --> 00:10:36,210 debe ser menor o igual que el cuadrado de q de x. 100 00:10:36,590 --> 00:10:40,129 Y esto va a ser así independientemente de cuál sea la relación que yo tuviera. 101 00:10:40,629 --> 00:10:43,549 Menor, menor, restricto, mayor o igual, mayor, restricto. 102 00:10:44,169 --> 00:10:46,610 Con lo cual, lo que voy a hacer en última instancia, 103 00:10:46,610 --> 00:10:50,730 siempre que tenga una comparación de valores absolutos directa, tal cual tenemos aquí, 104 00:10:51,230 --> 00:11:00,929 es elevar al cuadrado y vamos a convertir esta inequación de valores absolutos en una inequación que va a ser de este estilo. 105 00:11:01,389 --> 00:11:07,169 Si P y Q fueran polinomios de grado 1, automáticamente tendría una inequación polinómica también, 106 00:11:07,309 --> 00:11:12,629 pero de grado superior a 1, porque si P y Q son de grado 1 al elevar al cuadrado, serán de grado 2. 107 00:11:13,169 --> 00:11:18,570 Si p y q fueran de grado 2, aquí tendría p y q al cuadrado, tendría polinomios de grado 4. 108 00:11:19,250 --> 00:11:22,289 En cualquier caso, se va a mantener la naturaleza de la desigualdad. 109 00:11:22,769 --> 00:11:26,309 Aquí estoy pensando en polinomios, pero si tuviera fracciones racionales, 110 00:11:26,490 --> 00:11:29,070 evidentemente la técnica sería la misma, elevado al cuadrado, 111 00:11:29,350 --> 00:11:31,830 y seguiría teniendo fracciones racionales más complicadas, 112 00:11:31,990 --> 00:11:35,110 puesto que estarían elevadas al cuadrado, tanto el numerador como el denominador, 113 00:11:35,509 --> 00:11:37,190 pero ya no tendría valores absolutos. 114 00:11:38,029 --> 00:11:51,029 En este caso, transformo una única inequación de valor absoluto en la resolución de dos inequaciones ya sin el valor absoluto y me preocuparé de hallar la intersección o bien la unión según corresponda. 115 00:11:51,830 --> 00:11:57,149 Transformo el problema que yo tenía con el valor absoluto en dos sin el valor absoluto. 116 00:11:57,529 --> 00:12:03,929 En este caso, transformo mi problema con los dos valores absolutos en uno único pero con un grado superior. 117 00:12:03,929 --> 00:12:10,750 Si estos son polinomios, el grado se dobla. Si son fracciones racionales, se dobla tanto el grado del numerador como el del denominador. 118 00:12:11,049 --> 00:12:16,169 Pero por lo menos ya se pueden resolver con las técnicas que hemos estudiado en las videoclases anteriores. 119 00:12:16,750 --> 00:12:23,429 Con esto que hemos visto, ya se podrá resolver este ejercicio donde me encuentro en los apartados A, B y C, 120 00:12:23,769 --> 00:12:27,669 la comparación directa de un valor absoluto con, en este caso, un valor numérico. 121 00:12:27,769 --> 00:12:32,009 Es la versión más sencilla del primer caso que he mencionado. 122 00:12:32,009 --> 00:12:41,730 Y en este apartado de tengo la comparación de dos valores absolutos, también es la versión sencilla de este segundo caso que he mencionado. 123 00:12:41,870 --> 00:12:46,929 Estos ejercicios se podrán resolver en clase, se podrán resolver en alguna videoclase posterior. 124 00:12:47,169 --> 00:12:55,299 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 125 00:12:56,039 --> 00:13:00,139 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 126 00:13:01,000 --> 00:13:05,720 No dudéis en traer vuestras dudas y inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 127 00:13:06,279 --> 00:13:07,679 Un saludo y hasta pronto.