1 00:00:01,970 --> 00:00:09,929 En este vídeo vamos a intentar aprender algo sobre los cuerpos geométricos, porque nuestra vida, como sabemos, transcurre en tres dimensiones. 2 00:00:10,429 --> 00:00:20,969 Estamos rodeados de objetos en tres dimensiones. Pirámides, cajas, rollos cilíndricos, conos de helado, sillas incómodas, planetas... 3 00:00:21,890 --> 00:00:27,289 Solo hay que mirar lo que nos rodea con ojos matemáticos para descubrir los cuerpos geométricos que nos rodean. 4 00:00:27,289 --> 00:00:41,829 Te voy a contar en este vídeo cosas sobre poliedros, sobre prismas, sobre pirámides, los cuerpos de revolución, cómo calcular volúmenes de prismas, cilindros, pirámides, conos y algo sobre las esferas. 5 00:00:42,250 --> 00:00:57,530 Primero hablamos de los poliedros. Los poliedros, poli es un prefijo que significa varias y edro serían caras planas. Bueno, pues un poliedro sería un cuerpo geométrico cerrado delimitado por polígonos. 6 00:00:57,530 --> 00:01:05,189 Un poliedro puede ser convexo si cualquier segmento que formamos en él se queda dentro del propio poliedro 7 00:01:05,189 --> 00:01:12,109 o podría ser cóncavo si algún segmento de los que formamos con puntos del poliedro puede salir fuera 8 00:01:12,109 --> 00:01:19,810 Los poliedros convexos cumplen que su característica de Euler es igual a 2 9 00:01:19,810 --> 00:01:26,489 es decir, que si sumamos los vértices, restamos el número de aristas y sumamos las caras 10 00:01:26,489 --> 00:01:32,150 el resultado en esa cuenta es 2 y lo puedes comprobar cuando quieras con cualquier poliedro 11 00:01:32,150 --> 00:01:40,890 convexo. Llevamos a llamar poliedros regulares a aquellos cuyas caras son polígonos regulares y a 12 00:01:40,890 --> 00:01:45,950 la vez en el que cada vértice concurre el mismo número de caras. Por ejemplo aquí tenemos un 13 00:01:45,950 --> 00:01:53,489 tetraedro que está formado con cuatro triángulos equiláteros. Aquí tendríamos un octaedro formado 14 00:01:53,489 --> 00:02:03,060 por 8 triángulos equiláteros. Aquí tendríamos un hexaedro, que está formado por 6 cuadrados, 15 00:02:05,719 --> 00:02:14,110 un dodecaedro, formado por 12 pentágonos regulares, y por último el icosaedro, que 16 00:02:14,110 --> 00:02:18,949 está formado por 20 triángulos equiláteros. Estos poliedros regulares son lo que se llaman 17 00:02:18,949 --> 00:02:24,370 sólidos platónicos, y todos ellos pueden ser utilizados como dados en juegos de azar, 18 00:02:24,789 --> 00:02:30,689 porque todas las caras son igualmente probables. Bueno, ¿cómo calcularíamos el área total 19 00:02:30,689 --> 00:02:36,569 de un poliedro. Pues no vamos a tener una fórmula, lo que tienes que hacer es sumar las áreas de todas 20 00:02:36,569 --> 00:02:43,490 las caras, que para eso hemos estudiado antes la geometría plana. Es decir, si te encuentras con un 21 00:02:43,490 --> 00:02:49,669 prisma, por ejemplo como este, un prisma pentagonal regular, ¿qué tienes que hacer? Pues sumar las caras 22 00:02:49,669 --> 00:02:55,449 que lo forman, que si lo abrimos vemos que tenemos dos pentágonos regulares y cinco rectángulos, que 23 00:02:55,449 --> 00:03:05,389 en este caso son todos iguales. Calcula las áreas y las sumas todas. Hablamos ahora sobre los prismas. 24 00:03:05,990 --> 00:03:12,330 Los prismas son cuerpos geométricos que tienen dos bases. Esas bases son polígonos. Esos polígonos 25 00:03:12,330 --> 00:03:19,409 son iguales y a la vez son paralelos. Las caras laterales son paralelogramos y el prisma podría 26 00:03:19,409 --> 00:03:26,490 ser recto u oblicuo. Vamos a verlo con esta construcción. Ahí vemos sobre un plano que 27 00:03:26,490 --> 00:03:33,930 tenemos un polígono bueno pues lo que vamos a hacer es levantar un polígono igual que este 28 00:03:33,930 --> 00:03:42,550 pero paralelo hasta una cierta altura ahí lo tendríamos tendríamos entonces un prisma en 29 00:03:42,550 --> 00:03:48,930 este caso el prisma es recto porque vemos que las caras laterales son rectángulos pero si movemos 30 00:03:48,930 --> 00:03:57,210 a ese punto tendríamos un prisma oblicuo muy parecido al de antes pero ahora las caras laterales 31 00:03:57,210 --> 00:04:05,280 son paralelogramos. Las pirámides son otro cuerpo geométrico que tiene que ver un poco con el 32 00:04:05,280 --> 00:04:12,780 anterior. En este caso sólo tenemos una base que es un polígono y las caras laterales pues van a 33 00:04:12,780 --> 00:04:19,319 confluir todas a un vértice y entonces se nos forman triángulos. Estos triángulos podrían ser 34 00:04:19,319 --> 00:04:25,220 triángulos isósceles y tendríamos una pirámide recta o triángulos que no son isósceles y tendríamos 35 00:04:25,220 --> 00:04:32,790 una pirámide oblicua. Vamos a verlo aquí. Por ahora lo que vemos es un polígono que está en 36 00:04:32,790 --> 00:04:41,430 un plano. Si levantamos ese punto que hace de vértice, pues tendríamos una pirámide, en este 37 00:04:41,430 --> 00:04:56,290 caso recta. Si movemos ese punto, tendríamos una pirámide, pero ahora oblicua. Los cuerpos de 38 00:04:56,290 --> 00:05:03,189 revolución son todos aquellos que se obtienen al girar cualquier cosa alrededor de un eje. Así 39 00:05:03,189 --> 00:05:09,509 obtenemos fácilmente un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera y superficie es un 40 00:05:09,509 --> 00:05:16,560 poco extraña. Luego vamos a ver. Mirad, en esta construcción tenemos un segmento que se apoya en 41 00:05:16,560 --> 00:05:23,360 el eje, un segmento que es paralelo al eje, un segmento que está fuera del eje y por último una 42 00:05:23,360 --> 00:05:30,939 semicircunferencia que se apoya en el eje. Bueno, pues si esto lo hacemos girar obtenemos arriba un 43 00:05:30,939 --> 00:05:39,060 cono. En medio, un cilindro que es de color verde. Debajo tenemos un tronco de cono. Y 44 00:05:39,060 --> 00:05:44,899 finalmente, abajo del todo, tenemos una esfera. Bueno, pues esto lo hemos hecho solo girando 45 00:05:44,899 --> 00:05:50,439 alrededor de un eje. Vamos a ver algo un poco más extraño. Si tenemos una curva delimitada 46 00:05:50,439 --> 00:05:58,279 por esos puntos, vemos que se ve en la vista 3D también se ve esa curva, pero ahora se 47 00:05:58,279 --> 00:06:04,680 ve como en vertical, ¿no? Si la giramos alrededor de ese eje vertical, que sería el eje Z, obtenemos 48 00:06:04,680 --> 00:06:12,360 una superficie bastante extraña, pero que es el resultado exacto de girar esa curva. Si movemos 49 00:06:12,360 --> 00:06:20,100 la curva, la superficie se modifica. Bueno, pues así podríamos hacer alfarería tridimensional e 50 00:06:20,100 --> 00:06:33,790 imaginaos incluso que tenemos una impresora 3D y podemos imprimir estas superficies. Vamos a ver 51 00:06:33,790 --> 00:06:40,829 cómo se relacionan los prismas con los cilindros y las pirámides con los conos. Bueno, pongo 52 00:06:40,829 --> 00:06:44,410 ahí que un prisma y un cilindro son la misma cosa, no son la misma cosa, pero si tomamos 53 00:06:44,410 --> 00:06:50,370 un prisma que tiene muchos lados de base vamos a tener aproximadamente un cilindro. Vamos 54 00:06:50,370 --> 00:06:56,829 a verlo aquí. Tenemos ahora mismo un prisma que es triangular. Si aumentamos el número 55 00:06:56,829 --> 00:07:03,269 de lados de la base obtenemos, veis, una figura que sigue siendo un prisma pero cada vez se 56 00:07:03,269 --> 00:07:04,970 parece más a un cilindro. 57 00:07:05,170 --> 00:07:07,750 Cada cilindro lo que tiene de base es una circunferencia. 58 00:07:11,399 --> 00:07:13,720 Igualmente con la pirámide pasaría lo mismo. 59 00:07:13,959 --> 00:07:18,620 Si tomamos una pirámide con muchos lados de base, vamos a tener aproximadamente un 60 00:07:18,620 --> 00:07:20,459 cono, cada vez más un cono. 61 00:07:21,060 --> 00:07:21,220 ¿Veis? 62 00:07:21,240 --> 00:07:24,819 Ahora mismo tendríamos una pirámide triangular con un triángulo equilátero como base. 63 00:07:25,639 --> 00:07:31,779 Si aumentamos el número de lados, seguimos teniendo una pirámide, pero que cada vez, 64 00:07:31,879 --> 00:07:33,459 cada vez se parece más a un cono. 65 00:07:35,800 --> 00:07:43,240 Por eso el volumen de prisma y cilindro y de pirámide y cono se calculan de la misma forma. 66 00:07:45,620 --> 00:07:47,600 Vamos a ver cómo se calcula el volumen de un prisma. 67 00:07:48,939 --> 00:07:52,680 Lo que tenemos que hacer es multiplicar el área de la base por la altura. 68 00:07:53,360 --> 00:07:57,980 Es como si ese área de la base se repitiera tantas veces como nos indica su altura. 69 00:07:59,139 --> 00:08:02,279 En el cilindro haríamos lo mismo, pero la base sería un círculo. 70 00:08:02,279 --> 00:08:14,060 Vemos ahí en la construcción como esa base, si la hacemos subir, subir, subir, vamos llenando el volumen de esa especie de piscina que es un prisma hexagonal 71 00:08:14,060 --> 00:08:19,060 Por lo tanto vemos que el volumen sería el área de la base por la altura 72 00:08:19,060 --> 00:08:25,360 ¿Y qué pasa si el prisma o el cilindro no son rectos? 73 00:08:25,360 --> 00:08:29,019 Pues no pasa nada, aplicamos lo que llamamos el principio de Cavalieri 74 00:08:29,019 --> 00:08:38,679 Es decir, que si seccionamos con planos paralelos esos dos cilindros, lo que vamos a obtener es la misma circunferencia. 75 00:08:39,200 --> 00:08:43,820 Esa misma circunferencia es la que se obtiene al intersecar. 76 00:08:44,960 --> 00:08:48,779 El volumen entonces será esa circunferencia por la altura. 77 00:08:49,519 --> 00:08:54,120 Y eso es lo mismo en los dos casos, porque los dos cilindros tienen la misma altura. 78 00:08:59,440 --> 00:09:02,960 ¿Cómo calcularíamos ahora el volumen de un cono? 79 00:09:03,539 --> 00:09:11,460 Bueno, lo que tenemos que tener en cuenta es que con tres conos estaríamos llenando un cilindro de la misma altura y con igual base de circunferencia. 80 00:09:12,960 --> 00:09:17,759 Por tanto, el volumen del cono sería la tercera parte del volumen del cilindro. 81 00:09:18,639 --> 00:09:25,139 En pirámides sería igual, pero sería la tercera parte de un prisma que tuviera el mismo polígono base y la misma altura. 82 00:09:26,399 --> 00:09:33,019 Si vemos en esa construcción, tenemos un cilindro y tres conos que tienen la misma base de altura. 83 00:09:33,539 --> 00:09:40,860 Si llenamos el primer cono, pues el cilindro se llena hasta su tercera parte. 84 00:09:45,889 --> 00:09:50,529 Cuando llenamos dos conos, pues se llena hasta sus dos terceras partes. 85 00:09:51,529 --> 00:10:01,649 Y cuando por fin llenamos el tercero, tenemos el cilindro absolutamente completo lleno. 86 00:10:01,649 --> 00:10:10,690 Por lo tanto, es verdad que el volumen que cabe en tres conos sería el volumen que cabe en un cilindro. 87 00:10:13,000 --> 00:10:14,340 Hablamos ahora de la esfera. 88 00:10:15,139 --> 00:10:21,460 La esfera, veis, es esta figura en la que hay puntos que están todos a la misma distancia de un centro. 89 00:10:22,639 --> 00:10:29,720 Para calcular el área simplemente tenemos que multiplicar el radio de la esfera al cuadrado por 4pi. 90 00:10:29,720 --> 00:10:38,240 Y para calcular el volumen, cogemos el radio, lo elevamos al cubo, lo multiplicamos por 4pi y lo dividimos por 3. 91 00:10:42,250 --> 00:10:45,750 ¿Qué pasaría si seccionamos la esfera con diferentes planos? 92 00:10:46,570 --> 00:10:51,629 Vamos a verlo aquí. Esto sería lo que llamamos un casquete esférico. 93 00:10:51,809 --> 00:10:55,750 Lo que vamos a hacer es seccionar la esfera por un plano. 94 00:10:55,750 --> 00:10:58,889 Podemos subir o bajar el plano 95 00:10:58,889 --> 00:11:02,990 Pero la figura que tenemos arriba sería un casquete esférico 96 00:11:02,990 --> 00:11:04,450 Y abajo nos queda otra 97 00:11:04,450 --> 00:11:08,629 Si lo abrimos lo vemos un poco más claro, una especie de gorro 98 00:11:08,629 --> 00:11:22,070 Si ahora tenemos dos planos paralelos y nos quedamos con la parte intermedia 99 00:11:22,070 --> 00:11:24,230 Eso se llama zona esférica 100 00:11:24,230 --> 00:11:29,350 Lo sacamos afuera para que se vea un poco más claro 101 00:11:29,350 --> 00:11:33,590 Esa zona azul sería lo que nosotros llamamos una zona esférica 102 00:11:33,590 --> 00:11:38,049 Que es el resultado de seccionar una esfera por dos planos paralelos. 103 00:11:43,620 --> 00:11:47,720 Y la tercera cosa que os enseño es lo que llamamos la cuña esférica. 104 00:11:48,659 --> 00:11:56,399 Que sería una esfera que cortamos con dos planos que confluyen, que son secantes, que confluyen en el centro de la esfera. 105 00:11:57,360 --> 00:12:00,039 Sería algo parecido a un gajo de naranja. 106 00:12:00,639 --> 00:12:04,159 Esa parte roja sería lo que llamamos una cuña esférica. 107 00:12:04,159 --> 00:12:21,690 Como vivimos en un mundo que es tridimensional, hemos elegido para calcular las coordenadas geográficas en nuestro planeta que es una esfera, hemos elegido esta manera. 108 00:12:21,690 --> 00:12:39,509 Vamos a llamar latitud al ángulo que se forma desde el centro al ecuador y puede ser latitud norte y también podría ser latitud sur y vamos a llamar longitud al ángulo desde el punto al meridiano de Greenwich que es el llamado meridiano cero. 109 00:12:39,830 --> 00:12:44,230 Y puede ser longitud este o longitud oeste. 110 00:12:45,750 --> 00:12:51,730 Y en esta construcción vemos cómo van cambiando las coordenadas del punto, coordenadas geográficas que llamamos. 111 00:12:55,250 --> 00:12:59,149 Bueno, pues con esto he terminado de contaros la teoría que quería contaros de este tema. 112 00:12:59,690 --> 00:13:05,809 Las imágenes iniciales las tomé de Pixabay y las construcciones las he realizado todas en GeoGebra. 113 00:13:06,269 --> 00:13:08,950 Espero que os haya gustado y que os pongáis a estudiarlo vosotros.