1
00:00:06,129 --> 00:00:25,010
Buenos días. Vamos a empezar con este primer tema de resolución de triángulos y lo primero que vamos a hacer en este tema y en temas posteriores siempre será mostrar una serie de conocimientos previos que son imprescindibles para abordar el tema con garantías.

2
00:00:25,010 --> 00:00:43,649
En este caso vamos a necesitar saber cuáles son las entidades notables. Las entidades notables a mí me parece un nombre bastante curioso. Estamos hablando básicamente del cuadrado, de una suma, del cuadrado, de una diferencia y la diferencia de cuadrados.

3
00:00:43,649 --> 00:00:46,170
luego tenemos que saber evidentemente lo que es un triángulo

4
00:00:46,170 --> 00:00:49,509
tenemos que saber y conocer el término de Pitágoras

5
00:00:49,509 --> 00:00:55,429
tenemos que conocer cuál es la definición y cuáles son las razones trigonométricas

6
00:00:55,429 --> 00:00:59,109
y por último tenemos que saber cuál es la proyección de un segmento en una dirección

7
00:00:59,109 --> 00:01:02,829
este último punto, la proyección de un segmento en una dirección

8
00:01:02,829 --> 00:01:10,909
es bueno que lo conozcáis porque además lo vais a utilizar en física

9
00:01:10,909 --> 00:01:14,349
la parte de proyección de un segmento en una dirección

10
00:01:14,349 --> 00:01:35,989
Bien, pues vamos con las entidades notables. Cuadrado de la suma, cuadrado, b cuadrado más 2ab. ¿Cuál es el cuadrado de la resta? Pues sería a cuadrado más b cuadrado menos 2ab. ¿Y cuál es la suma por diferencia? a más b por a menos b, que es igual a la diferencia de cuadrados.

11
00:01:35,989 --> 00:01:42,950
Bien, ¿por qué os lo digo en este momento en el que vamos a empezar con geometría?

12
00:01:43,189 --> 00:01:53,230
Lo primero porque vamos a darle un poco de vueltas a esto geométricamente y lo segundo porque lo vamos a utilizar en más de una demostración geométrica.

13
00:01:53,489 --> 00:01:55,569
Por tanto, es importante que lo tengáis en cuenta.

14
00:01:56,870 --> 00:01:59,750
¿Cuáles son los errores más comunes cuando manejamos las entidades notables?

15
00:01:59,750 --> 00:02:05,930
La primera, decir que a más b al cuadrado es igual a a cuadrado más b cuadrado. No, por favor.

16
00:02:06,969 --> 00:02:08,669
No, ni se os ocurra.

17
00:02:09,849 --> 00:02:11,050
Y vamos a verlo.

18
00:02:13,150 --> 00:02:13,590
Cuadrado.

19
00:02:15,169 --> 00:02:15,610
Bien.

20
00:02:16,430 --> 00:02:17,449
Tengo un segmento A.

21
00:02:18,669 --> 00:02:19,930
Y tengo un segmento B.

22
00:02:23,139 --> 00:02:24,500
¿Cuál es el segmento A más B?

23
00:02:25,120 --> 00:02:28,620
Pues el segmento A más B será este de aquí.

24
00:02:29,060 --> 00:02:30,780
Vamos a ponerle el titulito.

25
00:02:30,879 --> 00:02:32,520
No, este es A más B al cuadrado, disculpadme.

26
00:02:33,300 --> 00:02:34,039
Es este.

27
00:02:35,080 --> 00:02:39,949
Si esto es A más B, esto es A y esto es B.

28
00:02:40,090 --> 00:02:41,270
Si este es a más b, este es a más b.

29
00:02:41,590 --> 00:02:43,009
¿Qué es lo que queremos conocer?

30
00:02:44,169 --> 00:02:45,270
¿a más b al cuadrado?

31
00:02:45,490 --> 00:02:47,250
Básicamente, ¿qué es lo que queremos conocer?

32
00:02:47,490 --> 00:02:49,729
Queremos saber cuál es el área de este cuadrado,

33
00:02:49,990 --> 00:02:51,930
que tiene por lados a más b.

34
00:02:55,180 --> 00:02:58,919
Si lo ponemos así, y lo ponemos así,

35
00:03:00,080 --> 00:03:03,639
perdonadme, y así, lo veréis mucho más claro.

36
00:03:03,919 --> 00:03:06,219
Lo que quiero es hacer un cuadrado

37
00:03:06,219 --> 00:03:12,000
en el que tenga estos dos lados, a más b y a más b,

38
00:03:12,000 --> 00:03:16,000
Y lo completo de esta manera. Lo repito, a más b al cuadrado.

39
00:03:16,620 --> 00:03:23,580
Entonces, ¿cuál es el cuadrado de a? Pues el cuadrado de a es este cuadrado que he dibujado aquí.

40
00:03:23,979 --> 00:03:27,879
Tened en cuenta que estoy diciendo el cuadrado de a, no a al cuadrado. En el fondo es lo mismo.

41
00:03:28,759 --> 00:03:32,780
¿Y cuál es el cuadrado de b? Pues es el cuadrado de b, que es este de aquí.

42
00:03:35,719 --> 00:03:39,500
a cuadrado más b cuadrado son estos dos cuadrados de aquí.

43
00:03:39,500 --> 00:04:01,069
Y aquí tengo estos rectángulos en blanco. Si os fijáis, a cuadrado más b cuadrado es todo este área. Si yo digo que a más b al cuadrado, que es todo el cuadrado, es este cuadrado más este cuadrado, este área de aquí y este área de aquí, no las estoy contabilizando. Por tanto, estaré cometiendo un error.

44
00:04:01,969 --> 00:04:03,629
Esta demostración yo no quiero que la sepáis.

45
00:04:04,090 --> 00:04:10,870
Simplemente es para que sepáis que geométricamente se puede demostrar también y se puede ver de una forma mucho más clara.

46
00:04:11,289 --> 00:04:15,889
Ya os comenté que a mí lo que me interesa es que cada uno seamos capaces de saber cómo aprendemos mejor.

47
00:04:16,310 --> 00:04:20,029
Si visualmente o tal vez si es geométricamente.

48
00:04:21,370 --> 00:04:22,930
Bueno, pues vamos al siguiente caso.

49
00:04:22,930 --> 00:04:27,129
El siguiente error común, a menos b al cuadrado es a cuadrado menos b al cuadrado.

50
00:04:27,430 --> 00:04:29,949
No, por favor, vamos a demostrarlo.

51
00:04:30,089 --> 00:04:30,930
Vamos a mostrarlo.

52
00:04:31,069 --> 00:04:44,519
Bien, si este es A y este es B menos A, entonces este segmento que tengo aquí va a ser B.

53
00:04:45,120 --> 00:04:51,319
Este es B, este es A y este segmento de aquí es B menos A.

54
00:04:52,019 --> 00:04:55,879
Bueno, ¿qué es lo que quiero hacer? ¿B menos A al cuadrado?

55
00:04:55,879 --> 00:05:15,699
Pues voy a poner el lado b menos a en el otro lado. A ver si lo tengo. Tengo el lado a, tengo el lado b en el otro lado y lo que tengo que calcular, lo que quiero calcular es el lado b menos a, que es este cuadrado de aquí.

56
00:05:17,860 --> 00:05:27,620
Sin embargo, si os fijáis, este es el cuadrado B, este es el cuadrado de B, este es B cuadrado, este es el cuadrado A.

57
00:05:28,519 --> 00:05:31,879
Entonces, ¿cuál sería B cuadrado menos A cuadrado?

58
00:05:32,019 --> 00:05:34,139
Sería todo este área de aquí.

59
00:05:34,800 --> 00:05:37,180
Perdón, sería todo este área de aquí.

60
00:05:37,740 --> 00:05:40,600
Esto sería B cuadrado menos A cuadrado.

61
00:05:40,600 --> 00:05:46,319
Y sin embargo, nosotros lo que queremos es contabilizar solamente este área de aquí.

62
00:05:47,079 --> 00:06:01,240
Por tanto, si decimos que a menos b al cuadrado es a al cuadrado menos b al cuadrado, lo que estaríamos es contabilizando todo este área de aquí, cuando en realidad lo que tenemos que contabilizar es este valor de aquí.

63
00:06:02,139 --> 00:06:06,879
Tened en cuenta una cosa con respecto a las demostraciones geométricas. Solamente valen para números positivos.

64
00:06:07,540 --> 00:06:13,199
Y estas propiedades, que son algebraicas, se pueden decir para cualquier número, tanto si es positivo como si es negativo.

65
00:06:13,199 --> 00:06:18,920
De cualquier manera, la demostración lo que tiene que hacer es mostraros que esto es así y que es cierto.

66
00:06:19,860 --> 00:06:23,100
Pues vamos al siguiente punto, que es lo que es un triángulo.

67
00:06:23,540 --> 00:06:30,870
Un triángulo es el polígono más sencillo y es el área delimitada por tres rectas.

68
00:06:31,569 --> 00:06:39,209
Fijaos, si yo tuviera solamente esta recta y esta recta, ¿qué es lo que tendría?

69
00:06:39,209 --> 00:06:45,709
Pues tendría un ángulo. Una vez que cierro por aquí ya tengo un área delimitada por tres rectas y ya tengo un triángulo.

70
00:06:46,550 --> 00:06:52,810
Tres ángulos, tres vértices y tres lados. Importantísimo, por favor.

71
00:06:53,170 --> 00:06:57,870
Los vértices los nombramos con letras mayúsculas. A, B y C.

72
00:07:00,490 --> 00:07:05,209
Los lados, con letras minúsculas, pero siguiendo un cierto orden.

73
00:07:05,209 --> 00:07:12,610
¿cuál es el lado opuesto al vértice A? El lado A minúscula. ¿Cuál es el lado opuesto al vértice B?

74
00:07:12,610 --> 00:07:21,250
El lado B minúscula. ¿Y cuál es el ángulo opuesto al, perdón, el lado opuesto al vértice C? El lado C

75
00:07:21,250 --> 00:07:29,610
minúscula. Análogamente los ángulos tienen también letras, letras griegas en nuestro caso. Alfa es el

76
00:07:29,610 --> 00:07:36,910
ángulo que está en el vértice A y es el opuesto al lado A, beta es el opuesto al lado B y está en

77
00:07:36,910 --> 00:07:46,250
el vértice B y así lo mismo con el gamma. Esto parece una Y, pero en fin, es una gamma. Y a veces

78
00:07:46,250 --> 00:07:53,149
a estos ángulos los denominaremos A, B y C, pero no será nuestro caso. Nosotros preferimos utilizar

79
00:07:53,149 --> 00:07:59,189
las letras grías. Un consejo que os doy. Cuando escribáis alfa, beta y gamma, mucho cuidado con

80
00:07:59,189 --> 00:08:03,990
la gama y ponerla siempre en vertical, porque a veces os podéis confundir entre alfas y

81
00:08:03,990 --> 00:08:09,029
gamas, porque si os fijáis es la misma letra que hace aquí un huequito por la parte de

82
00:08:09,029 --> 00:08:15,209
abajo y si la giras 90 grados se puede convertir en un alfa. ¿Cuál es la propiedad fundamental

83
00:08:15,209 --> 00:08:18,790
que tenemos dentro de los triángulos? Pues que la suma de sus tres ángulos vale 180

84
00:08:18,790 --> 00:08:26,810
grados. Esto ahora lo demostraremos en un ratillo por medio de papiroflexia. Teorema

85
00:08:26,810 --> 00:08:31,189
de Pitágoras. Ya sé que estoy yendo a lo mejor a cosas excesivamente sencillas, pero

86
00:08:31,189 --> 00:08:36,389
hay gente a la que seguramente se le ha olvidado. Esto solo ocurre en ángulos rectángulos.

87
00:08:36,769 --> 00:08:40,610
Un triángulo rectángulo, perdón. ¿Y qué es un triángulo rectángulo? Aquel cuyos

88
00:08:40,610 --> 00:08:46,250
ángulos, uno de cuyos ángulos vale 90 grados. Uno de ellos, si el otro valiera 90 grados,

89
00:08:46,889 --> 00:08:52,230
no tendría triángulo, porque serían dos lados paralelos. Pero en fin, sigamos. El

90
00:08:52,230 --> 00:08:58,649
lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Esta es la hipotenusa. Bien. Los otros dos lados

91
00:08:58,649 --> 00:09:06,990
se llaman catetos. El cateto A y el cateto C. Y se cumple que la hipotenusa al cuadrado es la suma

92
00:09:06,990 --> 00:09:12,029
de los cuadrados de los catetos. La suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la

93
00:09:12,029 --> 00:09:18,149
hipotenusa. Fijad que he vuelto a escribir cuadrado de los catetos, cuadrado de la hipotenusa. Esto es

94
00:09:18,149 --> 00:09:25,269
un pequeño homenaje a los griegos que fueron los que descubrieron el tema de pitágoras pitágoras

95
00:09:25,269 --> 00:09:31,330
pitágoras era un personaje griego ahora mismo no sé deciros de qué siglo es ellos hablaban

96
00:09:31,330 --> 00:09:36,330
siempre de el cuadrado de porque lo que hacían era dibujar un cuadrado por encima de este lado

97
00:09:36,330 --> 00:09:43,929
o un cuadrado por encima de este lado demostración del tema de pitágoras pues hay muchas hay hasta

98
00:09:43,929 --> 00:09:45,850
noventa y tantas. A mí la que más me gusta

99
00:09:45,850 --> 00:09:46,289
es esta.

100
00:09:47,590 --> 00:09:49,909
Por una razón. El nombre Garfield a mí me

101
00:09:49,909 --> 00:09:51,929
resulta curioso, porque es un personaje

102
00:09:51,929 --> 00:09:53,809
también de un gato. Y luego resulta

103
00:09:53,809 --> 00:09:55,889
curioso que el presidente de los Estados Unidos, James

104
00:09:55,889 --> 00:09:58,049
Abraham Garfield, el vigésimo

105
00:09:58,049 --> 00:09:59,830
presidente de los Estados Unidos, fuera

106
00:09:59,830 --> 00:10:01,870
capaz de parir

107
00:10:01,870 --> 00:10:03,210
una demostración

108
00:10:03,210 --> 00:10:07,340
tan bonita como esta. Os la

109
00:10:07,340 --> 00:10:09,279
dejaré colgada también en el

110
00:10:09,279 --> 00:10:11,279
Moodle, en el aula virtual, para que

111
00:10:11,279 --> 00:10:12,379
lo veáis.

112
00:10:14,710 --> 00:10:16,889
Las razones trigonométricas. Pues usaremos para

113
00:10:16,889 --> 00:10:19,009
definirlas el triángulo rectángulo.

114
00:10:19,090 --> 00:10:20,830
Es una de las muchas maneras de definirlas,

115
00:10:20,870 --> 00:10:22,649
que quede claro. Cateto opuesto partido

116
00:10:22,649 --> 00:10:24,549
hipotenusa. Ángulo alfa,

117
00:10:24,750 --> 00:10:26,169
cateto opuesto, A,

118
00:10:27,110 --> 00:10:28,409
partido por B.

119
00:10:28,769 --> 00:10:29,809
Este es el seno.

120
00:10:30,429 --> 00:10:32,789
El coseno, el cateto contiguo,

121
00:10:33,590 --> 00:10:34,389
al ángulo alfa.

122
00:10:35,730 --> 00:10:36,830
Partido por hipotenusa.

123
00:10:38,009 --> 00:10:38,970
Y la tangente

124
00:10:38,970 --> 00:10:41,110
es el cateto opuesto partido por el cateto contiguo.

125
00:10:41,110 --> 00:10:43,289
Las razones trigonométricas dependen del triángulo

126
00:10:43,289 --> 00:10:44,929
escogido. Chicos, si

127
00:10:44,929 --> 00:10:46,129
un triángulo

128
00:10:46,129 --> 00:10:50,250
tiene los mismos ángulos que otros

129
00:10:50,250 --> 00:10:53,269
sus lados son proporcionales

130
00:10:53,269 --> 00:10:56,070
y como son proporcionales, estos cocientes serían los mismos

131
00:10:56,070 --> 00:10:59,149
identidad fundamental de la trigonometría

132
00:10:59,149 --> 00:11:01,230
seno cuadrado más coseno cuadrado es igual a 1

133
00:11:01,230 --> 00:11:02,690
lo veremos un poquito más tarde

134
00:11:02,690 --> 00:11:05,049
intenta demostrarlo a partir de las definiciones

135
00:11:05,049 --> 00:11:08,490
es muy sencillo, seno cuadrado más coseno cuadrado

136
00:11:08,490 --> 00:11:11,269
utilizando estas letras y el teorema de Pitágoras

137
00:11:11,269 --> 00:11:13,350
seguro que conseguís demostrarlo

138
00:11:13,350 --> 00:11:30,529
Y, por último, vamos a hablar de proyecciones de un segmento. Esto a lo mejor no es algo a lo que se le haya hecho mucho hincapié, pero esto es algo que vais a utilizar mucho especialmente en física. Por tanto, quiero que empecemos a manejarlo.

139
00:11:31,389 --> 00:11:36,350
Decimos que C es la proyección perpendicular del segmento B en la recta R.

140
00:11:36,529 --> 00:11:44,129
Vamos a repetirlo. C, que es este de aquí, es la proyección perpendicular del segmento B en la recta R.

141
00:11:44,269 --> 00:11:50,629
La recta R, el segmento B, tira una perpendicular y este segmento es su proyección.

142
00:11:51,730 --> 00:11:54,830
Y vamos a ver cómo lo calculo. ¿Cuál es ese valor? ¿Cuánto mide?

143
00:11:54,830 --> 00:12:02,830
Pues dado que coseno de alfa es C entre B y lo que quiero es calcular C, pues C es igual a B por el coseno de alfa.

144
00:12:04,029 --> 00:12:15,309
Análogamente, el seno de gamma es su cateto opuesto que es C entre B, con lo cual también puedo calcularlo a partir de este ángulo, no solamente de este ángulo.

145
00:12:15,309 --> 00:12:33,850
Y decimos que A es la proyección perpendicular del segmento B en la dirección de la recta S. A, que es este segmento de aquí, es la proyección de este lado en esta recta. Es la proyección perpendicular o ortogonal, diríamos también.

146
00:12:33,850 --> 00:12:50,230
Y entonces sería B por el coseno de gamma, B por el coseno de gamma o B por el seno de alfa, B por el seno de alfa. Esto lo vais a tener que manejar con relativa frecuencia y os recomiendo que os vayáis acostumbrando a ello.

147
00:12:50,230 --> 00:12:53,049
y poco más, ya estamos listos

148
00:12:53,049 --> 00:12:55,309
para las demostraciones de los teoremas del seno

149
00:12:55,309 --> 00:12:56,009
y del coseno

150
00:12:56,009 --> 00:12:58,389
que serán nuestro punto de partida

151
00:12:58,389 --> 00:12:59,990
para la resolución de triángulos

152
00:12:59,990 --> 00:13:04,779
y ahora tengo que acabar el vídeo

153
00:13:04,779 --> 00:13:06,879
aquí

154
00:13:06,879 --> 00:13:10,480
hasta luego