1
00:00:02,740 --> 00:00:08,960
Hola, en este vídeo vamos a explicar cómo se calculan determinantes de orden 2 y de orden 3.

2
00:00:10,259 --> 00:00:13,679
Lo primero de todo definiremos lo que es un determinante.

3
00:00:13,880 --> 00:00:17,420
Un determinante es un número que se le asocia a una matriz cuadrada.

4
00:00:17,559 --> 00:00:20,120
Esto es importante que os quedéis con ello.

5
00:00:20,339 --> 00:00:23,219
Solo podemos calcular determinantes de matrices cuadradas.

6
00:00:24,120 --> 00:00:30,820
El determinante de una matriz A se denota por el nombre de la matriz A metido entre barras verticales.

7
00:00:30,820 --> 00:00:38,719
Cuando escribimos, por ejemplo, los elementos de la matriz, el determinante se representa cambiando los paréntesis de la matriz por las barras verticales.

8
00:00:38,799 --> 00:00:45,960
Por ejemplo, tengo esta matriz 2x2 cuyas filas tienen como elementos el 2-5 y la segunda fila 7-9.

9
00:00:46,679 --> 00:00:50,619
Si quiero identificar la matriz, identifico los elementos entre paréntesis.

10
00:00:51,179 --> 00:00:56,979
Sin embargo, cuando yo quiero identificar el determinante, identifico los elementos entre barras verticales.

11
00:00:56,979 --> 00:00:58,020
¿Veis la diferencia?

12
00:00:58,020 --> 00:01:04,260
Vamos a ver cómo se calcula el determinante de orden 2

13
00:01:04,260 --> 00:01:12,299
Entonces, tenemos una matriz cuadrada de orden 2 con elementos A11, A12, segunda columna fila, A21, A22

14
00:01:12,299 --> 00:01:20,599
Su determinante, el que identificaremos entre barras verticales, es el resultado de realizar las siguientes operaciones con sus elementos

15
00:01:20,599 --> 00:01:27,439
Multiplicaremos por un lado los elementos que están en la diagonal principal A1,1 por A2,2

16
00:01:27,439 --> 00:01:33,239
y por otro lado los elementos que están en la diagonal secundaria A2,1 por A1,2

17
00:01:33,239 --> 00:01:35,680
y restaremos esos productos

18
00:01:35,680 --> 00:01:41,760
Ejemplo, calcula el determinante de la matriz de orden 2A de elementos

19
00:01:41,760 --> 00:01:45,459
Primera fila 4,1, segunda fila menos 5,3

20
00:01:45,459 --> 00:01:48,540
Vale, recordamos, para identificar o denotar la matriz

21
00:01:48,540 --> 00:01:51,719
escribimos el nombre de la matriz entre barras verticales

22
00:01:51,719 --> 00:01:54,239
igual y lo mismo cuando coloquemos los elementos

23
00:01:54,239 --> 00:01:57,379
sustituimos los paréntesis por una barra vertical

24
00:01:57,379 --> 00:02:00,060
el elemento de primera fila 4, 1

25
00:02:00,060 --> 00:02:02,040
segunda fila menos 5, 3

26
00:02:02,040 --> 00:02:03,140
y barra vertical

27
00:02:03,140 --> 00:02:05,780
vale, acabamos de ver que la definición

28
00:02:05,780 --> 00:02:08,500
de determinante de una matriz 2x2

29
00:02:08,500 --> 00:02:11,860
es el producto de los elementos que están en la diagonal principal

30
00:02:11,860 --> 00:02:13,460
4x3

31
00:02:13,460 --> 00:02:18,080
menos el producto de los elementos que están en la diagonal secundaria

32
00:02:18,080 --> 00:02:27,219
menos 5 por 1. Hacemos las operaciones, 4 por 3, 12, menos y menos 5 por 1 es menos 5, cuidado,

33
00:02:27,500 --> 00:02:34,680
necesitamos paréntesis obligatorio, quitamos paréntesis, 12 más 5, 17 y este será el valor

34
00:02:34,680 --> 00:02:40,979
del determinante de la matriz. Pasemos a calcular el determinante de una matriz de orden 3, una

35
00:02:40,979 --> 00:02:45,319
matriz 3 por 3. Bueno, lo primero volvemos a recordar que para identificar el determinante

36
00:02:45,319 --> 00:02:50,520
una matriz, lo representamos con el nombre de la matriz entre barras verticales o bien

37
00:02:50,520 --> 00:02:57,900
los elementos de la matriz entre barras verticales. Entonces, se define el determinante como la

38
00:02:57,900 --> 00:03:05,439
suma alternada de los términos que se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de

39
00:03:05,439 --> 00:03:12,819
la primera fila por el determinante de segundo orden que resulta de suprimir su primera fila

40
00:03:12,819 --> 00:03:20,780
y su columna. Veamos esto de una manera un poquito más despacio. A ver, nos dice, es la suma alternada,

41
00:03:21,199 --> 00:03:34,860
como veis, es la suma alternada, la suma con signos alternos, positivo, negativo, positivo, de los términos

42
00:03:34,860 --> 00:03:42,699
que se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de la primera fila, el primer elemento

43
00:03:42,699 --> 00:03:48,599
de la primera fila por el determinante de segundo orden que resulta de suprimir los

44
00:03:48,599 --> 00:03:55,219
elementos de la primera fila y la primera columna. Hemos suprimido los elementos primera

45
00:03:55,219 --> 00:04:02,520
fila y primera columna y con estos formo un determinante de orden 2. Hemos dicho cada

46
00:04:02,520 --> 00:04:10,500
uno de los elementos de la primera fila, pues ahora iríamos al segundo elemento de la primera

47
00:04:10,500 --> 00:04:18,259
fila y multiplicaríamos este segundo elemento con el determinante de orden 2 que se obtiene

48
00:04:18,259 --> 00:04:25,160
al suprimir la primera fila, segunda columna, primera fila, segunda columna.

49
00:04:26,240 --> 00:04:29,439
¿Veis? Y así obtenemos este determinante de orden 2.

50
00:04:30,000 --> 00:04:37,160
Y por último nos quedaría el último elemento de la primera fila con el que multiplicaríamos

51
00:04:37,160 --> 00:04:45,699
por el determinante de orden 2 que hemos obtenido al suprimir los elementos de la primera fila, tercera columna.

52
00:04:45,699 --> 00:04:57,740
¿Vale? Suma alternada de los productos que se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de la primera fila

53
00:04:57,740 --> 00:05:09,199
con los determinantes de orden 2 que se obtienen al suprimir los elementos de la fila y columna del lugar que ocupa.

54
00:05:11,000 --> 00:05:24,199
Ahora ya desarrollamos y desarrollando cada uno de los determinantes de orden 2 y multiplicándolo por cada uno de los elementos de la primera fila, obtendríamos...

55
00:05:24,199 --> 00:05:36,819
Recordad que para calcular este determinante de orden 2 multiplicamos los elementos de la diagonal principal y lo restamos al producto de los elementos de la diagonal secundaria.

56
00:05:36,819 --> 00:05:43,459
Luego a1,1 multiplicado por este producto menos a1,1 por este otro producto.

57
00:05:43,459 --> 00:06:12,459
Ahora cuidado con este menos, sería menos a1,2 por este producto, menos menos a1,2 por este producto, luego menos por menos más, a continuación más a1,3 por este producto, más a1,3 por menos a3,1,a2,2, este producto de elementos de la diagonal secundaria.

58
00:06:15,410 --> 00:06:20,550
Ejemplo 2. Calcula el determinante de la matriz A desarrollándolo por la primera fila.

59
00:06:20,829 --> 00:06:23,649
La matriz A, una matriz de orden 3, una matriz 3x3.

60
00:06:24,670 --> 00:06:29,250
Determinante, recordamos que lo denotamos escribiendo el nombre de la matriz entre barras verticales.

61
00:06:29,370 --> 00:06:34,850
Y lo mismo cuando ponemos los elementos, barras verticales, suprimimos los paréntesis por barras verticales.

62
00:06:35,430 --> 00:06:42,189
Pues 3, menos 2, 5, 4, 1, 6, menos 9, 7, 8, el determinante.

63
00:06:42,970 --> 00:06:50,189
Recordamos la definición, es la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la primera fila,

64
00:06:50,990 --> 00:06:59,550
el 3, el menos 2, 5, por determinantes de orden 2 que resulten de suprimir los elementos de la fila y columna correspondiente

65
00:06:59,550 --> 00:07:01,189
dependiendo del lugar que ocupan.

66
00:07:01,990 --> 00:07:09,490
En este caso, primer elemento de la primera fila, 3, por el determinante de orden 2 que resulta de suprimir primera fila,

67
00:07:09,490 --> 00:07:20,170
primera columna, luego el determinante 1, 6, 7, 8. Menos, alternada, más, menos. Segundo elemento de la

68
00:07:20,170 --> 00:07:25,990
primera fila, menos 2. ¿Veis? Este menos y este menos no tienen nada que ver. Por el determinante

69
00:07:25,990 --> 00:07:33,470
que resulta de suprimir los elementos de la primera fila, segunda columna, luego 4, 6, menos 9, 8.

70
00:07:33,470 --> 00:07:37,670
Alternado más menos, ahora nos toca un más

71
00:07:37,670 --> 00:07:41,750
Tercer elemento de la primera fila, el 5

72
00:07:41,750 --> 00:07:48,149
Por el determinante de orden 2 que resulta de suprimir los elementos de la primera fila

73
00:07:48,149 --> 00:07:52,629
Tercera columna, pues 4, 1, menos 9, 7

74
00:07:52,629 --> 00:07:56,449
¿Vale? Ahora simplemente calculamos los determinantes de orden 2

75
00:07:56,449 --> 00:08:00,509
Que recordamos producto de los elementos de la diagonal principal

76
00:08:00,509 --> 00:08:03,670
menos producto de los elementos de la diagonal secundaria

77
00:08:03,670 --> 00:08:06,050
luego 3 por, abrimos un paréntesis

78
00:08:06,050 --> 00:08:07,769
8 por 1, 8

79
00:08:07,769 --> 00:08:10,050
menos 7 por 6, 42

80
00:08:10,050 --> 00:08:13,589
ahora si queréis pues quitamos este paréntesis

81
00:08:13,589 --> 00:08:15,009
menos por menos más

82
00:08:15,009 --> 00:08:18,350
2 por 4 por 8, 32

83
00:08:18,350 --> 00:08:23,970
y ahora sería menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria

84
00:08:23,970 --> 00:08:26,970
menos 9 por 6, menos 54

85
00:08:26,970 --> 00:08:29,050
cierro paréntesis también

86
00:08:29,050 --> 00:08:35,090
Más 5 por, abro paréntesis, producto de la diagonal principal, 4 por 7, 28

87
00:08:35,090 --> 00:08:40,230
Menos producto de los elementos de la diagonal secundaria, pues menos 9 por 1, menos 9

88
00:08:40,230 --> 00:08:43,710
Igual, hacemos las operaciones dentro del paréntesis

89
00:08:43,710 --> 00:08:47,309
3 por menos 34

90
00:08:47,309 --> 00:08:53,870
Más 2 por 32 menos menos 54 es 86

91
00:08:53,870 --> 00:08:55,149
Pues más 86

92
00:08:55,149 --> 00:09:02,710
Y más 5 por, y 28 menos menos 9 sería más 37.

93
00:09:02,909 --> 00:09:14,509
Hacemos los productos, menos 102, más 172, más 185.

94
00:09:14,870 --> 00:09:25,269
Y ya realizamos las sumas y restas, y nos quedaría 70 más 185, es decir, 255.

95
00:09:25,269 --> 00:09:29,750
Luego el determinante de esta matriz A es 255.

96
00:09:30,110 --> 00:09:35,480
Bien, continuamos.

97
00:09:36,279 --> 00:09:40,419
Si observamos la definición de determinante que acabamos de ver,

98
00:09:40,539 --> 00:09:42,519
determinante de una matriz de orden 3,

99
00:09:43,340 --> 00:09:52,440
la hemos definido como la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la primera fila

100
00:09:52,440 --> 00:09:54,539
por determinantes de orden 2.

101
00:09:54,539 --> 00:10:12,220
¿Vale? Entonces, cada uno de esos determinantes de orden 2 obtenidos se denomina menor complementario y se designan con la letra griega alfa, a la cual añadimos dos subíndices, que son los mismos subíndices que el elemento a partir del cual se ha formado.

102
00:10:12,220 --> 00:10:27,659
Por ejemplo, el primer determinante de orden 2 lo obteníamos al suprimir los elementos de la primera fila, primera columna, y estaban relacionados o estaban multiplicados por el elemento de la matriz A sub 1 1.

103
00:10:27,659 --> 00:10:47,139
Con lo cual, utilizando esta notación podemos definir o podemos expresar la definición de determinante de una matriz de orden 3 como el producto de la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la primera fila por su menor complementario.

104
00:10:47,139 --> 00:10:54,159
a su 1,1 por alfa 1,1, a su 1,2 por alfa 1,2, a su 1,3 por alfa 1,3.

105
00:10:56,120 --> 00:11:06,139
Alfa 1,1 es el menor complementario del elemento 1,1, el que se ha obtenido suprimiendo los elementos de la primera fila, primera columna.

106
00:11:07,279 --> 00:11:16,460
Alfa 1,2 es el menor complementario del elemento a 1,2, el que se ha obtenido suprimiendo los elementos de la primera fila, segunda columna.

107
00:11:16,460 --> 00:11:22,190
Alfa 1, 3 es el menor complementario del elemento A1, 3

108
00:11:22,190 --> 00:11:27,590
El que se obtiene suprimiendo los elementos de la primera fila, tercera columna

109
00:11:27,590 --> 00:11:30,169
Ejemplo 3

110
00:11:30,169 --> 00:11:34,590
Dada la matriz A de orden 3, identifica los menores complementarios

111
00:11:34,590 --> 00:11:37,730
Alfa 2, 3, alfa 3, 2, alfa 3, 3

112
00:11:37,730 --> 00:11:42,830
Alfa 2, 3 es el determinante de orden 2

113
00:11:42,830 --> 00:11:49,090
Que se forma suprimiendo los elementos de la fila 2, columna 3

114
00:11:49,090 --> 00:11:56,309
Luego me quedaría el determinante menos 1, 0, 4, menos 5.

115
00:11:59,159 --> 00:12:01,539
Lo podemos calcular o lo dejamos indicado.

116
00:12:02,220 --> 00:12:03,080
Alfa, 3, 2.

117
00:12:03,639 --> 00:12:06,179
El menor complementario es el determinante de orden 2,

118
00:12:07,379 --> 00:12:14,679
que resulta de suprimir los elementos de la fila 3, columna 2.

119
00:12:15,580 --> 00:12:19,559
Luego es el determinante menos 1, 2, 0, 2.

120
00:12:19,559 --> 00:12:31,340
Y el menor complementario alfa 3, 3 es el determinante de orden 2 que resulta de suprimir los elementos de la fila 3, columna 3.

121
00:12:31,960 --> 00:12:36,500
Luego es el determinante menos 1, 0, 0, 1.

122
00:12:38,179 --> 00:12:38,899
Y ya estaría.

123
00:12:42,769 --> 00:12:51,070
Bien, vale, vamos a observar que en la definición que hemos dado para el cálculo del determinante de una matriz de orden 3

124
00:12:51,070 --> 00:12:55,009
hemos desarrollado por los elementos de la primera fila.

125
00:12:55,610 --> 00:13:06,950
Pues bien, en general, el cálculo del determinante se puede hacer desarrollando por los elementos de cualquiera de sus filas o de cualquiera de sus columnas.

126
00:13:06,950 --> 00:13:26,429
Por lo tanto, yo puedo definir en general el determinante de una matriz de orden 3 como la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de una fila o de una columna cualquiera por sus correspondientes menores complementarios.

127
00:13:26,669 --> 00:13:36,509
Como estamos diciendo una suma alternada, tenemos que ver, si no desarrollo por la primera fila, cuál es el signo que va a corresponder en cada uno de esos sumandos.

128
00:13:36,509 --> 00:13:54,830
Entonces va a ser muy fácil identificarlo por este pequeñito esquema que hemos puesto aquí porque el signo que le voy a asignar a cada producto dependerá de la ubicación del elemento por el que estoy desarrollando dentro de esa matriz.

129
00:13:54,830 --> 00:14:04,809
Por ejemplo, si yo desarrollaba por la primera fila, yo estoy empezando a utilizar el primer elemento de la primera fila, el elemento a sub 1, 1, pues este empezaba en positivo.

130
00:14:04,809 --> 00:14:14,509
Pues a partir de ahí, alternando signos. Primera fila, positivo, negativo, positivo. Segunda fila, si este era positivo, esto tiene que ser negativo.

131
00:14:14,909 --> 00:14:23,750
Pues si desarrollo por la segunda fila, empiezo en negativo, positivo, negativo. Si desarrollo por la segunda columna, empezaría en negativo, positivo, negativo.

132
00:14:23,750 --> 00:14:28,070
negativo, porque si aquí había empezado por el primero, por positivo, aquí tenía

133
00:14:28,070 --> 00:14:32,269
que empezar por el negativo, ¿vale? Bueno, esto es muy fácil de recordar

134
00:14:32,269 --> 00:14:36,370
porque fijaos, este elemento es el a11, si sumo los subíndices

135
00:14:36,370 --> 00:14:40,289
1 más 1, 2, número par, positivo, este elemento

136
00:14:40,289 --> 00:14:43,730
de aquí en la matriz sería el que ocupa el lugar a12

137
00:14:43,730 --> 00:14:48,470
si sumo los subíndices, 1 más 2, 3, impar, le asocio

138
00:14:48,470 --> 00:14:52,169
signo negativo, si me fijo en este de aquí

139
00:14:52,169 --> 00:15:13,909
Este era el elemento A13, 1 más 3, 4, par positivo. O sea, lo podemos recordar o bien con este esquemita de signos alternos o bien sumando los subíndices de la posición que ocupa de su ubicación en la fila o en la columna.

140
00:15:13,909 --> 00:15:20,029
Si esa suma de subíndices es un número par, el signo que le corresponde, positivo.

141
00:15:20,490 --> 00:15:26,889
Si esa suma de subíndices es un número impar, signo que le corresponde, negativo.

142
00:15:29,149 --> 00:15:37,350
Vamos a recordar o hacer un truco, que es lo que se denomina regla de Sarrus, para recordar ese cálculo indeterminante de orden 3.

143
00:15:37,350 --> 00:15:47,789
Vamos a fijarnos para ello en la última expresión que habíamos desarrollado en la definición inicial de determinante de orden 3.

144
00:15:47,789 --> 00:15:59,289
Cuando ya habíamos desarrollado estos menores o esos determinantes de orden 2 y los habíamos multiplicado por el elemento que llevábamos por delante, esta expresión de aquí.

145
00:15:59,870 --> 00:16:12,529
Fijaos, esto recordamos con estos dos primeros submandos, este era el A11 por el determinante que estaba formado al suprimir los elementos primera fila y primera columna por este determinante de aquí.

146
00:16:12,750 --> 00:16:20,789
Y ese determinante se calculaba multiplicando los elementos de la diagonal principal y restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

147
00:16:20,789 --> 00:16:31,889
Luego, a11 por a22 por a33 menos a11 por a23 por a32. Y lo mismo con los otros.

148
00:16:32,830 --> 00:16:39,409
Bueno, pues yo si me fijo en esta expresión, es una expresión que tiene seis sumandos que los puedo reordenar. ¿Cómo los puedo reordenar?

149
00:16:39,470 --> 00:16:46,950
Por ejemplo, poniéndolos de manera que los sumandos que tienen signo positivo vayan por delante y luego los que tienen signo negativo.

150
00:16:47,450 --> 00:17:02,429
Si ahora observamos un poquito quiénes son esos sumandos, por qué elementos están formados esos sumandos, observamos que, por ejemplo, este sumando el A1, A1, A2, A2, A3, A3 es el producto de los elementos de la diagonal principal.

151
00:17:02,429 --> 00:17:12,029
Este sumando el A12, A23, A31 es el producto de los elementos que están en paralelo a la diagonal principal y su vértice opuesto

152
00:17:12,029 --> 00:17:17,769
Ha formado este triángulo paralelo a la diagonal principal, pues en paralelo y su vértice opuesto

153
00:17:17,769 --> 00:17:30,049
Y este sumando de aquí es el que está formado por el producto de los elementos que están en paralelo a la otra línea, o sea, que están en la línea paralela a la diagonal principal y su vértice opuesto

154
00:17:30,769 --> 00:17:34,549
Los que tienen signo menos por delante, los sumandos que tienen signo menos,

155
00:17:35,009 --> 00:17:38,029
bueno, pues te vamos a tener como referencia la diagonal secundaria.

156
00:17:38,309 --> 00:17:43,650
Este primer sumando de aquí es el producto de los tres elementos que forman la diagonal secundaria,

157
00:17:43,809 --> 00:17:45,789
a1, 3, a2, 2, a3, 1.

158
00:17:46,529 --> 00:17:52,009
Este sumando de aquí es el producto de los elementos que están en una línea paralela a la diagonal secundaria

159
00:17:52,009 --> 00:17:53,029
y su vértice opuesto.

160
00:17:53,509 --> 00:18:00,029
Y este de aquí es el que está, los elementos que están formados en la otra línea paralela a la diagonal secundaria

161
00:18:00,029 --> 00:18:06,529
y su elemento opuesto. Por ejemplo, vemos lo sencillo que sería, utilizando la regla

162
00:18:06,529 --> 00:18:14,549
de Sarrus, calcular esta matriz, o sea, el determinante de esta matriz A. Según la regla

163
00:18:14,549 --> 00:18:19,710
de Sarrus sería el producto de los elementos de la diagonal principal 3 por menos 3 y por

164
00:18:19,710 --> 00:18:27,430
4 más el producto de los elementos que están en su línea paralela 1 por 2 y su vértice

165
00:18:27,430 --> 00:18:34,049
opuesto 1 más los elementos de la otra línea paralela de la diagonal principal 4 por 4 y su

166
00:18:34,049 --> 00:18:41,309
vértice opuesto 0 menos los elementos del producto de los elementos de la diagonal secundaria 1 por

167
00:18:41,309 --> 00:18:47,210
menos 3 y por 0 menos el producto de los elementos que están en una línea paralela diagonal secundaria

168
00:18:47,210 --> 00:18:53,650
y su vértice opuesto 4 por 2 y por 3 y menos los elementos que están en la otra línea paralela

169
00:18:53,650 --> 00:19:06,210
en la diagonal secundaria y su vértice opuesto, 4 por 1 y por 4. Haciendo estas operaciones, 3 por menos 3 y por 4, menos 36, 1 por 2 y por 1, 2, 4 por 4 y por 0, 0.

170
00:19:06,930 --> 00:19:17,650
Menos 0 por menos 3 y por 1, 0, menos 2 por 4 y por 3, menos 24 y menos 4 por 1 y por 4, menos 16. En total, menos 74.

171
00:19:17,650 --> 00:19:23,829
Otro truco para recordar, también asociado con la regla de Sarrus

172
00:19:23,829 --> 00:19:25,789
Otra manera de ver la regla de Sarrus

173
00:19:25,789 --> 00:19:31,109
Para recordar este cálculo del determinante de orden 3 de forma sencillita

174
00:19:31,109 --> 00:19:35,509
Bueno, pues tengo calculado este determinante de aquí, de la matriz A

175
00:19:35,509 --> 00:19:41,750
Lo que hago es, por debajo, repito las dos primeras filas de la matriz A

176
00:19:41,750 --> 00:19:47,710
¿Veis? La primera fila A11, A12, A13 y la segunda fila A21, A22, A23.

177
00:19:48,250 --> 00:19:57,869
Y entonces lo que voy a hacer, los sumandos se van a formar con los productos que están en la diagonal principal de la matriz A

178
00:19:57,869 --> 00:20:10,170
y las diagonales paralelas que se me han formado por debajo, A11, A22, A33, A21 por A32 por A13, A31 por A12 por A23

179
00:20:10,170 --> 00:20:15,549
y restamos el producto de los elementos que están en la diagonal secundaria de la matriz A

180
00:20:15,549 --> 00:20:21,829
y los elementos de las diagonales que se han formado en paralelo por debajo de la diagonal secundaria.

181
00:20:21,829 --> 00:20:30,210
Pues menos A31, A22, A13, menos A11, A32, A23, menos A21, A12, A33.

182
00:20:32,480 --> 00:20:37,240
Si queremos calcular por este método el mismo determinante que acabamos de hacer,

183
00:20:37,240 --> 00:20:45,619
colocaríamos debajo de la matriz A, colocaríamos las dos primeras filas 3, 1, 0, 4, menos 3, 2

184
00:20:45,619 --> 00:20:51,940
identificamos la diagonal principal de A y entonces multiplicamos 3 por menos 3 y por 4

185
00:20:51,940 --> 00:20:57,200
y sumamos los productos de las otras dos diagonales en paralelo a la diagonal principal

186
00:20:57,200 --> 00:21:03,200
pues sumaríamos el producto 4 por 4 y por 0 y el producto 1 por 1 y por 2

187
00:21:03,200 --> 00:21:11,079
A continuación vendrían los términos negativos, el primero de ellos el producto de los elementos de la diagonal secundaria de la matriz A

188
00:21:11,079 --> 00:21:14,579
Luego el producto de 1 por menos 3 y por 0

189
00:21:14,579 --> 00:21:23,680
Menos también, como término negativo, estaría el producto de los elementos de las dos diagonales que han quedado en paralelo a la diagonal secundaria

190
00:21:23,680 --> 00:21:27,759
Pues menos 3 por 4 y por 2, menos 4 por 1 y por 4

191
00:21:27,759 --> 00:21:30,039
En definitiva, el mismo resultado

192
00:21:32,990 --> 00:21:33,890
Ejemplo 4.

193
00:21:34,289 --> 00:21:38,549
Haya el valor del determinante de la matriz A desarrollándolo por la segunda columna.

194
00:21:38,650 --> 00:21:41,569
La matriz A, esta matriz de orden 3, es la matriz 3x3.

195
00:21:42,269 --> 00:21:46,349
Bueno, escribimos determinante de A, identificándolo entre barras verticales,

196
00:21:46,349 --> 00:21:54,750
ponemos los elementos entre barras verticales, 1, 4, menos 1, 2, menos 5, 1, menos 1, menos 2, 3.

197
00:21:56,450 --> 00:21:59,049
Vale, ahora dice que lo desarrollamos por la segunda columna.

198
00:21:59,049 --> 00:22:10,789
Luego lo que voy a hacer es una suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la segunda columna por sus menores complementarios.

199
00:22:11,450 --> 00:22:15,670
Vale, sería, fijaos, tenemos que asignar a cada menor complementario un signo.

200
00:22:15,970 --> 00:22:17,009
Y hemos dicho alternados.

201
00:22:17,390 --> 00:22:25,789
Si recordamos el esquema que teníamos de signos, empezamos más, menos, más, menos, más, menos, más, menos, más.

202
00:22:25,789 --> 00:22:30,089
luego este elemento de aquí, el primer elemento de la segunda columna

203
00:22:30,089 --> 00:22:31,990
que es por los que yo voy a desarrollar

204
00:22:31,990 --> 00:22:35,630
tiene su menor complementario, va a estar asociado con el signo menos

205
00:22:35,630 --> 00:22:38,529
o su sumando va a estar asociado con el signo menos

206
00:22:38,529 --> 00:22:41,990
luego menos, primer elemento de la segunda columna

207
00:22:41,990 --> 00:22:44,990
4 por el menor complementario

208
00:22:44,990 --> 00:22:54,589
el que resulta de suprimir la primera fila, segunda columna

209
00:22:54,589 --> 00:23:00,690
Ese es el elemento A12. Luego me queda el determinante 2, 1, menos 1, 3.

210
00:23:01,369 --> 00:23:08,589
Por signos alternos ahora me queda más el segundo elemento de la segunda columna, menos 5, ponemos un paréntesis,

211
00:23:09,150 --> 00:23:18,009
por el determinante que resulta de suprimir segunda fila, segunda columna, luego 1, menos 1, menos 1, 3.

212
00:23:18,009 --> 00:23:30,390
Y signos alternos, nos tocaba ahora el menos, el último elemento de la segunda columna, menos 2, por el determinante que resulta de suprimir la tercera fila, segunda columna.

213
00:23:30,890 --> 00:23:35,769
Luego sería 1, menos 1, 2, 1.

214
00:23:37,009 --> 00:23:47,130
Y ahora ya simplemente desarrollando o calculando los determinantes de orden 2, menos 4 por 2 por 3, 6, menos 1 por 1, menos 1.

215
00:23:47,130 --> 00:23:57,250
Vamos a quitar este paréntesis, más por menos, menos 5, por 1 por 3, 3, menos, menos 1 por menos 1, pues 1

216
00:23:57,250 --> 00:24:07,049
Quitamos este paréntesis también, menos por menos más, 2 por paréntesis, 1 por 1, 1, menos 2 por menos 1, menos 2

217
00:24:07,049 --> 00:24:10,470
Y calculamos las operaciones dentro del paréntesis

218
00:24:10,470 --> 00:24:22,369
menos 4 por 6, menos menos 1, pues 7, menos 5 por 3 menos 1, 2, más 2 por 1, menos menos 2, pues 3.

219
00:24:23,849 --> 00:24:30,710
Haciendo los productos, menos 4 por 7, menos 28, menos 5 por 2, menos 10, más 2 por 3, más 6.

220
00:24:31,589 --> 00:24:36,289
Es decir, menos 38 más 6, es decir, menos 32.

221
00:24:36,289 --> 00:24:41,930
luego el determinante desarrollándolo por la segunda columna nos da menos 32

222
00:24:41,930 --> 00:24:47,609
que sería el mismo valor que obtuviéramos si hubiéramos desarrollado por la primera fila

223
00:24:47,609 --> 00:24:52,710
que es como hemos definido inicialmente el determinante de una matriz