1 00:00:01,070 --> 00:00:12,570 Hola chicos, estamos ahora aquí viendo las funciones tipo valor absoluto y estamos ya para resolver ahora otro tipo de ejercicios un poquito más difíciles que el vídeo anterior. 2 00:00:13,589 --> 00:00:23,149 En este ejercicio nos dice que expresemos la función y igual al valor absoluto de x cuadrado menos 4 como una función a trozos sin el signo de valor absoluto y después la dibujemos. 3 00:00:23,149 --> 00:00:25,949 Recordad que el valor absoluto lo que hace es 4 00:00:25,949 --> 00:00:32,409 diferente acción según lo que tiene en su interior. Es decir, si en el interior hay un menos, 5 00:00:32,409 --> 00:00:34,090 un valor negativo, 6 00:00:34,090 --> 00:00:39,850 pues el valor absoluto cambia de signo. Mientras que si dentro lo que tenemos es un valor positivo, 7 00:00:39,850 --> 00:00:47,450 pues entonces el valor absoluto lo deja tal cual, ¿verdad? Entonces lo que tenemos que ver es cuando el interior del valor absoluto 8 00:00:47,450 --> 00:00:49,189 es positivo 9 00:00:49,189 --> 00:00:52,869 y cuando es negativo, ¿verdad? Porque según 10 00:00:53,149 --> 00:01:01,429 Cuando sea una cosa u otra, pues podremos expresar la función con lo que hace el valor absoluto por separado. 11 00:01:01,429 --> 00:01:11,010 Bien, pues entonces se trata de resolver la inequación x cuadrado menos 4 mayor que 0 o la inequación menor que 0. 12 00:01:11,129 --> 00:01:19,609 Realmente lo que queremos es estudiar su signo, el signo de esa parábola, de ese polinomio de grado 2. 13 00:01:20,430 --> 00:01:25,670 Bueno, pues para ver qué signo tiene y en qué zonas, tenemos que ver dónde cambia de signo, como siempre. 14 00:01:25,670 --> 00:01:29,870 ¿Y dónde va a cambiar de signo? Pues cambia de signo en el cero, porque es una función continua. 15 00:01:30,530 --> 00:01:38,489 Y cuando pase por cero, ¿verdad? El valor del x cuadrado menos cuatro, cuando pase por cero, cambiará de positivo a negativo o de negativo a positivo. 16 00:01:39,109 --> 00:01:45,629 Entonces hay que resolver esta ecuación incompleta de segundo grado, que es de las de despejar el x cuadrado. 17 00:01:45,629 --> 00:01:52,790 y por tanto muy sencillita, nos sale más menos la raíz cuadrada de 4 que es 2, más menos 2. 18 00:01:53,370 --> 00:02:01,750 Por tanto acordaros que las inequaciones de este estilo lo que hacíamos era poner los puntos de cambio de signo 19 00:02:01,750 --> 00:02:08,449 que son justo los ceros, el menos 2 y el 2 y ver qué signos tenía la función, bueno el x cuadrado menos 4 20 00:02:08,449 --> 00:02:16,729 en esas tres zonas que nos han quedado, ¿verdad? De menos infinito hasta menos 2, desde menos 2 hasta 2 y desde 2 hasta infinito. 21 00:02:17,349 --> 00:02:27,009 Para ello simplemente tendríamos que coger valores que estuvieran en su interior y sustituirlos en el x cuadrado menos 4, ¿verdad? 22 00:02:27,009 --> 00:02:31,590 El signo de esto es lo que queremos estudiar 23 00:02:31,590 --> 00:02:36,009 Entonces, un valor que está dentro de este intervalo 24 00:02:36,009 --> 00:02:40,069 Del x del menos infinito al menos 2 sería, por ejemplo, el menos 3 25 00:02:40,069 --> 00:02:41,090 Muy sencillito, ¿verdad? 26 00:02:41,409 --> 00:02:43,110 Y menos 3 al cuadrado con paréntesis 27 00:02:43,110 --> 00:02:46,270 Ya sabéis, cuando sustituimos valores negativos 28 00:02:46,270 --> 00:02:50,590 Tenemos que sustituir siempre con paréntesis para que no comentamos un error, ¿verdad? 29 00:02:50,590 --> 00:02:54,469 Y entonces aquí tenemos 9 menos 4 que sale 5 30 00:02:54,469 --> 00:02:56,430 Es decir, que sale positivo 31 00:02:56,430 --> 00:03:04,330 Aquí tenemos positivo. Por tanto, en esta zona el x cuadrado menos 4 va a salir positivo. 32 00:03:05,270 --> 00:03:11,530 Vamos a coger un valor de aquí. Un valor de esta zona del menos 2 al 2 sería el 0 como el más sencillo. 33 00:03:12,189 --> 00:03:20,870 Así que de nuevo sustituimos en el x cuadrado menos 4 el 0 y saldría un menos 4 que es negativo. 34 00:03:20,870 --> 00:03:23,830 así que aquí arriba en esta zona 35 00:03:23,830 --> 00:03:26,990 pues ponemos que el x cuadrado menos 4 es negativo 36 00:03:26,990 --> 00:03:31,150 y luego otro valor que esté dentro de este intervalo 37 00:03:31,150 --> 00:03:32,530 desde 2 hasta infinito 38 00:03:32,530 --> 00:03:33,650 pues podemos coger el 3 39 00:03:33,650 --> 00:03:35,069 que si os fijáis 40 00:03:35,069 --> 00:03:38,310 pues va a valer lo mismo que el del menos 3 41 00:03:38,310 --> 00:03:42,030 porque como está elevado al cuadrado a la x 42 00:03:42,030 --> 00:03:45,870 pues 3 al cuadrado o menos 3 al cuadrado 43 00:03:45,870 --> 00:03:46,590 daría lo mismo 44 00:03:46,590 --> 00:03:48,389 9 menos 4, 5 otra vez 45 00:03:48,389 --> 00:03:50,250 es decir positivo 46 00:03:50,250 --> 00:03:55,469 por tanto, aquí vuelve a ser positivo 47 00:03:55,469 --> 00:03:58,689 bueno, podemos recordar que es una parábola que mira para arriba 48 00:03:58,689 --> 00:04:00,469 que tiene las ramas hacia arriba 49 00:04:00,469 --> 00:04:04,090 y que desde menos 2 hasta 2 baja hacia abajo 50 00:04:04,090 --> 00:04:10,090 vale, pues estas ya son nuestras zonas para poner nuestra función 51 00:04:10,090 --> 00:04:13,849 nuestra función la vamos a poner como i igual 52 00:04:13,849 --> 00:04:19,379 ponemos la llave 53 00:04:19,379 --> 00:04:27,459 Vamos a empezar por la zona en la que es positiva la parábola, que es en menos infinito hasta menos 2. 54 00:04:29,079 --> 00:04:36,160 ¿Qué va a hacer? Pues el valor absoluto lo que va a hacer es dejarlo como está, porque es el valor absoluto de algo positivo, con lo cual el valor absoluto no hace nada. 55 00:04:36,899 --> 00:04:44,459 Va a dejar mi función exactamente igual con el mismo valor que tenga, x cuadrado menos 4 y se acabó. 56 00:04:44,459 --> 00:04:54,740 Tenemos que decir dónde es esto. Si la x está en la zona desde menos infinito hasta menos 2, que son x menores que menos 2. 57 00:04:56,139 --> 00:05:00,560 x menores que menos 2. ¿Veis? Esa cuadraría ahí. 58 00:05:00,560 --> 00:05:24,579 Y ahora, la siguiente zona, la siguiente zona es negativa, ¿verdad? Aquí, desde el 2 hasta el menos 2, bueno, desde el menos 2 hasta el 2, mejor dicho, la función, la parábola, toma valores negativos, por tanto, el valor absoluto, ¿qué va a hacer? Cambiar de signo, así que ponemos menos la parábola, el polinomio, ¿verdad? 59 00:05:24,579 --> 00:05:28,879 menos x cuadrado menos 4 que luego va a ser menos x cuadrado más 4 60 00:05:28,879 --> 00:05:29,939 luego lo cambiaremos 61 00:05:29,939 --> 00:05:33,920 si la x está donde? 62 00:05:33,920 --> 00:05:38,379 bueno pues la x va a estar entre menos 2 y 2 63 00:05:38,379 --> 00:05:39,879 así que ya sabéis que lo ponemos así 64 00:05:39,879 --> 00:05:46,709 entre menos 2 sería un intervalo que lo ponemos de esta forma tan sencilla 65 00:05:46,709 --> 00:05:51,790 que la x sea a la vez mayor que menos 2 y menor que menos que 2 66 00:05:51,790 --> 00:05:57,759 y ya por último nos queda la zona donde vuelve a ser positivo 67 00:05:57,759 --> 00:06:03,120 el x cuadrado menos 4 68 00:06:03,120 --> 00:06:07,360 y por tanto el valor absoluto lo que va a hacer es dejarlo otra vez igual 69 00:06:07,360 --> 00:06:10,319 x cuadrado menos 4 70 00:06:10,319 --> 00:06:16,319 si la x es ahora mayor que 2 71 00:06:16,319 --> 00:06:20,660 vale, casi estaría terminada la expresión 72 00:06:20,660 --> 00:06:24,459 de la función valor absoluto 73 00:06:24,459 --> 00:06:28,100 pero sin el símbolo de valor absoluto, ¿verdad? 74 00:06:28,220 --> 00:06:32,699 Solamente tenemos que ajustar un poquito dos temas. 75 00:06:35,240 --> 00:06:40,240 Primero vamos a dejar bien terminado el cálculo con el menos delante. 76 00:06:41,899 --> 00:06:51,060 Sería menos x cuadrado más 4, lo podemos dejar así o ponerlo al revés, 4 menos x cuadrado. 77 00:06:51,060 --> 00:07:16,620 Y luego x cuadrado menos 4. Y ahora ya vamos a terminar de escribir las zonas. Si la x es menor que menos 2, aquí si la x está entre menos 2 y 2, y si x es mayor que 2. 78 00:07:16,620 --> 00:07:33,800 Pero si os fijáis hay un tema que hay que tener cuidado y es que el 2 y el menos 2 no lo hemos metido en ningún sitio porque no está cogido ni arriba ni en medio el menos 2 y el 2 no está cogido ni en medio ni abajo. 79 00:07:33,800 --> 00:07:39,600 Entonces hay que apurar, digamos, el valor de 2 y menos 2 y escribirlo en algún sitio. 80 00:07:40,199 --> 00:07:48,939 Si os fijáis, tanto en 2 como en menos 2, ya habíamos visto al principio que justo la parábola, el valor del polinomio, vale 0. 81 00:07:49,680 --> 00:07:50,860 ¿Verdad? Lo hemos visto aquí. 82 00:07:52,100 --> 00:08:01,040 Por tanto, nos va a dar igual que le pongamos negativo o positivo tanto en menos 2 como en 2, vale 0 la parábola. 83 00:08:01,040 --> 00:08:07,800 cualquier forma tanto en la parte x cuadrado menos 4 o en la parte menos x cuadrado más 4, ¿verdad? 84 00:08:07,839 --> 00:08:11,800 Porque da igual 0 que menos 0. Por tanto, el igual le ponemos donde queráis. 85 00:08:12,800 --> 00:08:19,199 Por ejemplo, yo ahora decido ponerlo aquí, el menos 2 lo metemos arriba y, por ejemplo, el 2 lo podemos meter abajo. 86 00:08:19,199 --> 00:08:22,500 Pero da exactamente lo mismo. Podéis hacerlo donde queráis. 87 00:08:26,579 --> 00:08:32,980 Bueno, pues realmente ahora sería posible dibujar la función valor absoluto a partir de esta función a trozos que hemos sacado, 88 00:08:32,980 --> 00:08:39,039 fijándonos en cada parte y tal, pero en el fondo pues es mucho más sencillo dibujar la parábola 89 00:08:39,039 --> 00:08:45,919 digamos que hay en el interior del valor absoluto y después ajustar lo que esté por debajo del eje X 90 00:08:45,919 --> 00:08:52,720 pegarlo en la zona positiva hacia arriba como si dobláramos la gráfica, la doblaramos por el eje X 91 00:08:52,720 --> 00:09:01,200 y lo que está en la parte de abajo, es decir en la parte negativa del eje Y se pegará en la zona positiva 92 00:09:01,200 --> 00:09:23,220 Y nos quedaremos con la parte positiva como está. Vamos a verlo. Hacemos directamente la función, la parábola primero, muy sencillamente, acordándonos de los pasos que tenemos que seguir, que son muy fáciles. 93 00:09:24,220 --> 00:09:35,440 Recordad que como a es igual a 1, que es el coeficiente principal de la parábola, vamos a dibujar ahora, ya os digo, la parábola x cuadrado menos 4. 94 00:09:35,679 --> 00:09:44,600 Y a partir de ella luego hacemos el valor absoluto de esa parábola, puesto que realmente el valor absoluto solo se calcularía al final. 95 00:09:44,600 --> 00:09:55,559 Por tanto, podemos hacerlo de esta forma que estamos diciendo, con lo que es la gráfica de la función interior al valor absoluto y luego considerando que es el valor absoluto de eso. 96 00:09:56,259 --> 00:10:03,799 Como a, el cociente principal es 1, recordad, el cociente principal es s, pues la parábola es con las ramas hacia arriba. 97 00:10:03,799 --> 00:10:18,000 Y el x del vértice, recordad que es menos b partido 2a, por tanto será menos 0 partido 2 por 1, que es menos 0 partido 2, que es 0, ¿verdad? 0 menos 0 es lo mismo. 98 00:10:18,000 --> 00:10:37,840 Así que el vértice sería el 0 f de 0. F de 0 es fácilmente se ve aquí sustituyendo la x por el 0 menos 4. El f de 0 es menos 4. Por tanto el vértice es el 0 menos 4. 99 00:10:37,840 --> 00:10:45,360 Ya tendríamos este punto importante para dibujar. 100 00:10:45,940 --> 00:10:52,279 Luego los puntos de corte con el eje x ya los tenemos porque los habíamos hecho aquí, ¿verdad? 101 00:10:52,360 --> 00:11:02,080 Habíamos igualado a cero nuestra parábola ahí arriba y habíamos visto que en x igual a 2 y en x igual a menos 2 la parábola valía cero. 102 00:11:02,080 --> 00:11:18,259 Por tanto, los puntos de corte con el eje X son el menos 2, 0 y el 2, 0. Otros dos puntos muy importantes, ¿verdad? Para dibujar la parábola. 103 00:11:19,679 --> 00:11:27,759 Y bueno, pues visto esto, ¿verdad? Y algún punto más que queráis que hagamos, por ejemplo, pues podemos utilizar también incluso los que habíamos hecho por aquí. 104 00:11:27,759 --> 00:11:32,620 esto es de aquí, entonces tabla de valores 105 00:11:32,620 --> 00:11:35,720 pues podemos poner el menos tres 106 00:11:35,720 --> 00:11:40,379 que sería cinco, calculado como ya habíamos hecho aquí 107 00:11:40,379 --> 00:11:43,320 ya os digo, o el tres cinco 108 00:11:43,320 --> 00:11:51,200 como habíamos calculado aquí, o también pues podemos utilizar otros 109 00:11:51,200 --> 00:11:55,480 para terminar de ajustarla, pero realmente no lo necesitamos 110 00:11:55,480 --> 00:11:59,340 entonces vamos a la gráfica y vamos a intentar resolver 111 00:11:59,340 --> 00:12:06,580 la gráfica de esta función. Tenemos el menos 2, 0 que sería este punto, el 2, 0 que sería este, 112 00:12:07,580 --> 00:12:23,240 el 0, menos 4 que sería este, el 3, 5 que estaría por aquí, bueno el menos 3, 5 perdón, y luego el 3, 5 que sería simétrico 113 00:12:23,240 --> 00:12:31,340 por aquí arriba y bueno pues realmente ya sabemos cómo va la parábola. La dibujamos, lo intentamos hacer bien 114 00:12:31,419 --> 00:12:37,779 Pero la hacemos con línea descontinua. ¿Por qué? Ahora vais a entender por qué. 115 00:12:38,820 --> 00:12:43,659 Porque realmente nuestra función no es la parábola, es el valor absoluto de la parábola. 116 00:12:44,659 --> 00:12:50,639 Fijaros que el valor absoluto lo que hace siempre, y ya lo hemos dicho arriba, es dejarlo positivo. 117 00:12:50,879 --> 00:12:58,519 Entonces cuando la parábola es positiva, ya lo hemos dicho, el valor absoluto lo deja todo tal cual. 118 00:12:58,519 --> 00:13:17,440 Entonces tenemos que diferenciar entre, ¿verdad? Bueno, no quiero liar mucho aquí esto, pero tenemos las tres zonas que teníamos antes. Estoy aquí haciendo una línea de puntos. Tenemos esas tres zonas donde la parábola por aquí es positiva, por aquí es negativa, ¿verdad? 119 00:13:17,440 --> 00:13:20,539 y por aquí vuelve a ser positiva. 120 00:13:21,419 --> 00:13:27,799 Así que el valor absoluto va a dejar todo tal cual en esta zona y en esta otra zona 121 00:13:27,799 --> 00:13:34,500 mientras que en la zona del negativo, esta zona de aquí, lo va a cambiar de signo. 122 00:13:34,500 --> 00:13:41,440 Y eso a efectos gráficos lo que hace es subir la parte que está entre el menos 2 y el 2 123 00:13:41,440 --> 00:13:45,889 esa parte la va a pegar arriba. 124 00:13:45,889 --> 00:14:14,269 Es decir, que el 0 menos 4 va a pasar a ser un 0,4. Va a pasar a ser este punto. Por tanto, la parte de abajo se quedaría pegada aquí arriba. Bueno, realmente deberíamos ajustar esto de otra forma porque la parábola llega hasta el punto este y no subiría de él, ¿verdad? 125 00:14:14,269 --> 00:14:17,889 Y luego la parte positiva se quedaría tal cual. 126 00:14:19,210 --> 00:14:23,509 Podríamos rellenar esto así y esta parte rellenarla también. 127 00:14:26,389 --> 00:14:40,990 Así que nuestra parábola verde se ha convertido en este tramo de dos partes positivas y la parábola anterior cambiada de signo en el tramo menos 2, 2. 128 00:14:40,990 --> 00:14:49,669 Así que el valor absoluto de x cuadrado menos 4 se convertiría en esa gráfica roja que he hecho.