1
00:00:02,540 --> 00:00:14,660
Bueno, y a petición también de algunos de vosotros, vamos a calcular un par de integrales que se hagan mediante cambios trigonométricos.

2
00:00:15,419 --> 00:00:23,339
Imaginaos, y ya le paso, pues vamos a aprovechar a hacerle integrales, pues, definidas, ya que estamos con el tema integral definida,

3
00:00:23,420 --> 00:00:25,980
y hacemos un poco de integral indefinida y un poco de integral indefinida.

4
00:00:25,980 --> 00:00:43,299
Os había dicho que cuando la función trigonométrica es impar en el seno hay que hacer justo lo contrario coseno de x igual a t y eso porque va a ser porque cuando hagamos esto al calcular los diferenciales pues la cosa va a quedar muy bien.

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00:00:43,299 --> 00:01:01,119
Si no calculamos los diferenciales va a quedar reguleras. Entonces, por ejemplo, tenemos esta y al calcular el diferencial sería menos seno de x diferencial de x y luego como tenemos que calcular el seno, pues habría que calcular desde aquí el seno y eso se hace con la ecuación fundamental.

6
00:01:01,119 --> 00:01:13,659
y desde aquí tenemos que despejar seno de x, que es lo que yo necesito, porque aquí tengo seno de x y aquí tengo seno de x, así que tengo que calcular seno de x.

7
00:01:13,659 --> 00:01:27,459
Entonces, ¿qué es lo que hago? Pues despejar de aquí seno de x será raíz de 1 menos coseno cuadrado de x, es decir, como coseno de x es t, 1 menos t cuadrado.

8
00:01:27,459 --> 00:01:44,939
Y ya con este cambio sí que puedo deshacer toda la integral y ponerla fácil. Fijaos, va a quedar la integral, ojo, entre 0 y pi no, ahora entre 0 y pi no, ahora veremos entre qué valores hay que calcular los límites, ahora lo vemos.

9
00:01:45,519 --> 00:01:52,120
Luego, seno de x al cubo, pues tendrá que ser raíz cuadrada de 1 menos t cuadrado al cubo.

10
00:01:52,599 --> 00:01:56,359
Diferencial de x, el diferencial de x lo tengo que despejar desde aquí.

11
00:01:56,879 --> 00:02:05,200
Es diferencial de t partido por menos seno de x, es decir, diferencial de t partido por menos, y ahora seno de x vale raíz de.

12
00:02:08,879 --> 00:02:10,539
Correcto, y ahora vemos los límites.

13
00:02:11,039 --> 00:02:14,659
Si la x vale 0, pues ¿cuánto vale la t?

14
00:02:14,659 --> 00:02:21,000
Pues lo de siempre, si la x es 0, la t va a valer coseno de 0, es decir, pues 1.

15
00:02:21,539 --> 00:02:29,039
Y si la x es pi, pues la t va a valer coseno de pi, es decir, menos 1.

16
00:02:29,439 --> 00:02:40,199
Entonces, aquí vamos a tener que el seno va a ir, la t, perdón, va a ir desde, lo diré bien, desde 1 hasta menos 1.

17
00:02:40,199 --> 00:02:46,240
Aquí va a quedar cambiado, normalmente vemos que el límite inferior es superior al límite superior

18
00:02:46,240 --> 00:02:48,979
Aquí ha dado así, pues ha dado así, lo que nos dé

19
00:02:48,979 --> 00:02:54,139
Luego veréis que como la función seno es positiva entre 0 y pi

20
00:02:54,139 --> 00:02:58,099
Porque seno siempre es positivo para valores que van de 0 a pi

21
00:02:58,099 --> 00:03:02,360
Tened en cuenta que el seno es la coordenada i, os recuerdo el seno

22
00:03:02,360 --> 00:03:07,039
De 0 a pi, el seno es este valor, el seno es positivo

23
00:03:07,039 --> 00:03:10,039
entonces esta integral tiene que dar positivo

24
00:03:10,039 --> 00:03:12,780
así que esta integral nos tiene que quedar positivo

25
00:03:12,780 --> 00:03:13,919
si no, lo hemos hecho mal

26
00:03:13,919 --> 00:03:15,780
venga, vamos con ello, vamos a simplificar

27
00:03:15,780 --> 00:03:18,120
aquí tenemos un cubo, aquí tenemos una raíz

28
00:03:18,120 --> 00:03:20,340
pues la raíz se me va con el cubo

29
00:03:20,340 --> 00:03:21,879
aquí me queda un 2

30
00:03:21,879 --> 00:03:28,620
y entonces pues como el 2 se me va a ir con la raíz

31
00:03:28,620 --> 00:03:29,879
¿y qué voy a tener?

32
00:03:29,879 --> 00:03:31,879
pues lo siguiente

33
00:03:31,879 --> 00:03:33,780
la integral entre 1 y menos 1

34
00:03:33,780 --> 00:03:35,800
de 1 menos t cuadrado

35
00:03:35,800 --> 00:03:40,240
diferencial de t y ojo que me ha saltado un signo menos

36
00:03:40,240 --> 00:03:43,080
y este signo menos lo ponemos fuera

37
00:03:43,080 --> 00:03:45,759
y ahora está chupada, ¿veis?

38
00:03:45,919 --> 00:03:48,599
lo importante que es hacer el cambio correcto

39
00:03:48,599 --> 00:03:51,879
el cambio correcto es el que es justo

40
00:03:51,879 --> 00:03:54,939
pues si el seno es impar, pues t igual a coseno

41
00:03:54,939 --> 00:03:57,400
si hubiese hecho seno de x igual a t

42
00:03:57,400 --> 00:03:59,259
no me habría salido tan redonda como aquí

43
00:03:59,259 --> 00:04:01,340
me habría salido de hecho bastante más complicado

44
00:04:01,340 --> 00:04:13,599
Y ahora integro la integral de 1 es t, la integral de menos t cuadrados menos t cubo partido por 3 y ahora tengo que evaluar entre 1 y menos 1.

45
00:04:13,780 --> 00:04:18,000
Con mucho cuidado que hay mil signos menos aquí, así que tenemos que ir contiento.

46
00:04:18,000 --> 00:04:20,420
la cosa queda de la siguiente forma

47
00:04:20,420 --> 00:04:22,439
menos

48
00:04:22,439 --> 00:04:24,339
menos uno

49
00:04:24,339 --> 00:04:29,819
ese sería evaluado

50
00:04:29,819 --> 00:04:31,399
en el uno, en el menos uno

51
00:04:31,399 --> 00:04:33,600
y ahora evalúo

52
00:04:33,600 --> 00:04:34,959
de otro color para que lo veáis

53
00:04:34,959 --> 00:04:36,259
en el uno

54
00:04:36,259 --> 00:04:39,240
y esto con signo menos en medio

55
00:04:39,240 --> 00:04:40,620
menos paréntesis

56
00:04:40,620 --> 00:04:43,360
en el uno sería uno menos

57
00:04:43,360 --> 00:04:45,680
uno al cubo partido por tres

58
00:04:45,680 --> 00:04:46,339
¿vale?

59
00:04:50,199 --> 00:04:52,819
y ahora hacemos esa cuenta con mucho mucho mucho cuidado

60
00:04:52,819 --> 00:04:57,000
Y ya digo, si quiero comprobar que está bien como mínimo, me tiene que quedar positivo el resultado.

61
00:04:58,980 --> 00:05:09,259
Pues tenemos menos 1, menos menos 1 al cubo, pues sería más un tercio, menos 1 menos un tercio, que son dos tercios.

62
00:05:11,319 --> 00:05:22,220
Efectivamente, vamos a ver, menos menos 1 más un tercio son menos dos tercios, menos dos tercios, menos dos tercios.

63
00:05:22,819 --> 00:05:29,339
Pues va a dar justo 4 tercios, que es positivo, que como mínimo sabíamos que nos tenía que dar positivo y parece que nos da eso.

64
00:05:29,819 --> 00:05:34,379
Entonces, con esto del cambio de variable, con integral definida no os agobiéis, porque tiene una ventaja.

65
00:05:34,480 --> 00:05:43,379
Como estamos haciendo el cambio del rango aquí, todo vamos a escribirlo en función de t, al hacer la integral indefinida,

66
00:05:44,259 --> 00:05:47,819
luego no tenemos que deshacer el cambio, no tenemos que escribir que t sea coseno de x.

67
00:05:47,819 --> 00:05:52,079
si escribiésemos y decisimos el cambio aquí t igual a coseno de x

68
00:05:52,079 --> 00:05:54,939
pues podría sustituir la x por 0 y la x por pi

69
00:05:54,939 --> 00:05:58,779
pero así lo que me estoy haciendo es evitar el deshacer el cambio de variable

70
00:05:58,779 --> 00:06:01,819
y así sustituyo con los valores de t correspondientes

71
00:06:01,819 --> 00:06:03,639
y la integral sale mucho más rápido

72
00:06:03,639 --> 00:06:05,920
bueno pues esto ha sido todo

73
00:06:05,920 --> 00:06:07,379
nos vemos en la siguiente integral

74
00:06:07,379 --> 00:06:07,879
hasta luego