1
00:00:00,240 --> 00:00:09,419
Vamos a ver el ejercicio 5 de las herramientas básicas de la geometría, que dice define la pendiente de una recta.

2
00:00:09,859 --> 00:00:21,379
Pues vamos a ver qué es la pendiente de una recta. Mirad, es clara la idea de que la pendiente debe de responder a la característica de una cuesta.

3
00:00:21,379 --> 00:00:24,699
Si tiene más o menos pendiente, todos sabemos lo que es.

4
00:00:26,239 --> 00:00:36,479
Vemos que, por ejemplo, el ejemplo A, la recta esta, tiene mayor pendiente que el ejemplo de la recta B.

5
00:00:37,500 --> 00:00:39,219
Esta recta tiene mayor pendiente.

6
00:00:39,619 --> 00:00:43,000
Entonces, vamos a ver cómo podemos definir la pendiente.

7
00:00:43,000 --> 00:00:49,420
Supongamos que estoy en esta cuesta, esta pendiente

8
00:00:49,420 --> 00:00:56,009
Y voy desde el punto S hasta el punto T

9
00:00:56,009 --> 00:00:58,649
Aquí situados

10
00:00:58,649 --> 00:01:01,710
Hago esta trayectoria

11
00:01:01,710 --> 00:01:04,709
Pues bien, ¿cuánto ha aumentado?

12
00:01:04,870 --> 00:01:08,049
Imaginemos que la X ha aumentado una unidad

13
00:01:08,049 --> 00:01:16,450
Pues diríamos que lo que hayamos subido

14
00:01:16,450 --> 00:01:21,829
en vertical, nos da justamente la idea de la pendiente.

15
00:01:22,969 --> 00:01:26,870
Veamos aquí en el ejemplo de la pendiente de la recta B.

16
00:01:28,250 --> 00:01:32,430
Imaginemos, vamos del punto S al punto T, ¿de acuerdo?

17
00:01:32,750 --> 00:01:39,849
Y supongamos que, bueno, vamos de este punto a este,

18
00:01:40,329 --> 00:01:45,849
supongamos que en horizontal hemos aumentado, hemos avanzado una unidad.

19
00:01:45,849 --> 00:01:57,799
Al tener menos pendiente, pues podemos observar que en vertical la I es menor aquí que aquí.

20
00:01:58,659 --> 00:02:01,140
Esto nos da una idea intuitiva de pendiente.

21
00:02:01,400 --> 00:02:14,240
Fijaros, en realidad la pendiente diríamos que podríamos definirla como lo que subimos en vertical cuando en horizontal hemos avanzado una unidad.

22
00:02:14,240 --> 00:02:28,979
Repito, claro, la pendiente de una cuesta, de una recta, vendrá dada por justamente este valor

23
00:02:28,979 --> 00:02:37,530
Pero este valor cuando en x hemos aumentado una unidad

24
00:02:37,530 --> 00:02:42,889
Aquí por ejemplo, esta altura es mayor cuando en x hemos aumentado una unidad

25
00:02:42,889 --> 00:02:48,689
porque la recta tiene mayor pendiente aquí que aquí.

26
00:02:50,110 --> 00:02:50,449
¿Se entiende?

27
00:02:50,650 --> 00:02:53,150
Por eso paso a definir de este modo la pendiente.

28
00:02:53,789 --> 00:03:02,530
La pendiente de una recta diríamos que es lo que aumenta la y cuando la x aumenta una unidad.

29
00:03:05,500 --> 00:03:06,460
Vamos a ver un ejemplo.

30
00:03:08,120 --> 00:03:12,800
Imaginemos que tengo esta pendiente, esta recta, perdón.

31
00:03:12,800 --> 00:03:23,909
Imaginemos que vamos del punto S al punto T

32
00:03:23,909 --> 00:03:31,030
Y que en horizontal hemos avanzado, pongamos 3 metros

33
00:03:31,030 --> 00:03:38,669
Mientras que en vertical, ya digo, yendo desde el punto S hasta el punto T

34
00:03:38,669 --> 00:03:43,129
Que hubiéramos avanzado 12 metros

35
00:03:43,129 --> 00:03:49,169
Pues, ¿cuál sería la pendiente de esta recta R?

36
00:03:49,330 --> 00:03:52,469
escribimos m sub r

37
00:03:52,469 --> 00:03:53,870
pues sería

38
00:03:53,870 --> 00:03:56,310
tenemos que responder a la pregunta

39
00:03:56,310 --> 00:03:58,590
de cuánto aumenta en vertical

40
00:03:58,590 --> 00:04:00,550
cuando la x aumenta

41
00:04:00,550 --> 00:04:02,150
un metro

42
00:04:02,150 --> 00:04:04,430
pues mirad

43
00:04:04,430 --> 00:04:06,870
si en 12, si en 3 metros

44
00:04:06,870 --> 00:04:08,750
hemos aumentado

45
00:04:08,750 --> 00:04:09,110
12

46
00:04:09,110 --> 00:04:12,389
pues en un metro

47
00:04:12,389 --> 00:04:14,750
habremos

48
00:04:14,750 --> 00:04:17,069
aumentado 12 entre 3

49
00:04:17,069 --> 00:04:24,449
por lo tanto la pendiente

50
00:04:24,449 --> 00:04:34,480
va a ser 12 dividido por 3. Pues mirad, si en un metro, esto es el teorema de Tales,

51
00:04:34,620 --> 00:04:46,649
en realidad, ¿cuánto mide esto? Es la pendiente cuando esto mide 1, esto de aquí, este valor

52
00:04:46,649 --> 00:04:55,629
es 1, pues claro, es el teorema de Tales, 12 entre 3 tiene que ser igual, o sea, esto

53
00:04:55,629 --> 00:05:03,430
entre esto, tiene que ser igual a m entre 1, en proporcionalidad, ¿no?

54
00:05:03,990 --> 00:05:09,550
Esto me permite decir que m es igual a 12 entre 3, que es 4.

55
00:05:10,430 --> 00:05:16,129
Por lo tanto, en una unidad de x, la y aumenta 4 unidades.

56
00:05:16,129 --> 00:05:21,790
Esta es la pendiente de la recta, lo dejamos aquí, ¿de acuerdo?

57
00:05:21,790 --> 00:05:49,529
Entonces, ¿qué pasa? Que podemos también observar que en realidad la pendiente podríamos definirla como la tangente de este ángulo alfa, porque si vemos esto como un triángulo, aquí está el ángulo alfa, cateto opuesto mide 12, cateto contiguo es 3,

58
00:05:49,529 --> 00:06:09,970
pues la tangente de alfa sería 12 entre 3 que es 4 y es que es cierto la pendiente de una recta la puedo ver de dos maneras la puedo definir como lo que aumenta la y cuando la x aumenta una unidad

59
00:06:09,970 --> 00:06:31,939
o también como la tangente del ángulo este, que es la tangente, este ángulo alfa es el mismo, si tenemos aquí el sistema de ejes cartesianos, fijaros, esta es r, pues este ángulo es el mismo, mide lo mismo, alfa,

60
00:06:31,939 --> 00:06:58,449
Y diríamos que la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma la recta R con el eje horizontal o X.

61
00:06:59,670 --> 00:07:03,189
Así que puedo definir la pendiente de una recta de dos maneras.

62
00:07:03,189 --> 00:07:22,329
Una así, de este modo, lo que aumenta la Y cuando la X aumenta una unidad

63
00:07:22,329 --> 00:07:31,389
O también como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal

64
00:07:31,389 --> 00:07:40,509
Son la misma cosa, dos maneras diferentes de definir el mismo concepto

65
00:07:40,509 --> 00:07:50,319
Pues bien, vamos a ver, a extender este concepto de pendiente a un vector.

66
00:07:50,319 --> 00:07:56,720
Y es que un vector tiene pendiente.

67
00:08:00,060 --> 00:08:09,680
El vector v tendrá como pendiente, si pensamos en la pendiente como la tangente del ángulo alfa

68
00:08:09,680 --> 00:08:22,709
que establece que tiene el vector con la horizontal pues diríamos que la tangente de alfa es igual al

69
00:08:22,709 --> 00:08:31,310
cateto opuesto que es v sub 2 partido cateto contiguo que es v sub 1 y esto sería la pendiente

70
00:08:31,310 --> 00:08:45,379
que también responde a lo que sube cuando la x aumenta una unidad, es decir, que cuando esto mide

71
00:08:45,379 --> 00:08:56,389
1. De acuerdo, así que un vector también diríamos que tiene pendiente y se calcula dividiendo

72
00:08:56,389 --> 00:09:10,919
la coordenada en y entre la coordenada en x y es que en realidad son el mismo quiero decir la

73
00:09:10,919 --> 00:09:16,379
pendiente de un vector coincide con la pendiente de una recta cuando el vector es un vector que

74
00:09:16,379 --> 00:09:22,799
está sumergido en la recta se llama vector director cuando tiene la misma dirección que

75
00:09:22,799 --> 00:09:30,460
de la recta es decir que esta recta que es paralela a este vector pues tiene que

76
00:09:30,460 --> 00:09:34,919
tener y de hecho tiene la misma pendiente tienen que tener la misma

77
00:09:34,919 --> 00:09:39,600
pendiente que este ángulo además es igual al ángulo que forma el eje el

78
00:09:39,600 --> 00:09:47,639
vector con el eje horizontal de acuerdo

79
00:09:47,639 --> 00:09:53,639
así que veremos más ejemplos adelante