1 00:00:00,750 --> 00:00:03,770 Hola, en este vídeo vamos a resolver este ejercicio. 2 00:00:04,089 --> 00:00:10,990 Nos dan la siguiente función y nos piden calcular los extremos locales y o globales en el intervalo menos pi, pi 3 00:00:10,990 --> 00:00:20,809 y comprobar la existencia de un punto en menos pi, pi que verifique que f' de c es igual a cero. 4 00:00:21,309 --> 00:00:22,609 Y nos dan una sugerencia de más. 5 00:00:23,570 --> 00:00:24,370 Bueno, vamos a empezar. 6 00:00:24,649 --> 00:00:30,649 Bueno, como realmente nos piden los extremos, pues lo primero que tendremos que calcular será la derivada. 7 00:00:30,750 --> 00:00:41,640 La derivada de f se puede interpretar de muchas formas aquí, pero fijaros que arriba, aquí no hay x. 8 00:00:42,280 --> 00:00:46,179 Luego, se puede usar la regla del cociente, pero realmente no es necesario. 9 00:00:47,759 --> 00:00:49,380 Por ejemplo, vamos a hacerlo de esta manera. 10 00:00:51,600 --> 00:01:04,049 Yo me doy cuenta que esto, mi función puesta así, pues realmente como que hay un 1 y no hay nada de x, 11 00:01:04,049 --> 00:01:19,719 Entonces realmente esta función la puedo interpretar así, y entonces se convierte en la derivada de una exponencial que es, creo que todo el mundo debería de saberla. 12 00:01:20,700 --> 00:01:34,319 Esto va a ser menos 1 por más seno de x, y aquí hay que saberse bien la regla de la cadena, elevado a menos 2 por la derivada de la función que hay aquí dentro. 13 00:01:35,219 --> 00:01:40,620 La derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es menos el seno. 14 00:01:40,719 --> 00:01:43,780 Luego esto queda más seno de x. 15 00:01:45,019 --> 00:01:55,239 Como veis, si ahora lo pongo todo, pues como nos da la función al principio, pues vamos a obtener esto. 16 00:01:55,239 --> 00:02:10,620 Esto es en el numerador y en el denominador pues va a aparecer 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 17 00:02:10,620 --> 00:02:35,939 Bien, es decir, marcamos aquí y ponemos aquí que f' de x es menos coseno de x más seno de x partido de 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 18 00:02:38,680 --> 00:02:40,580 Ya tenemos calculada nuestra derivada. 19 00:02:40,580 --> 00:02:47,159 Bien, vale, pues ahora ¿qué tenemos que hacer para hacer los máximos o los mínimos? 20 00:02:48,039 --> 00:02:50,620 Pues f' de x igual a cero. 21 00:02:51,139 --> 00:02:56,860 Ya sabéis que cuando hay una fracción solo se va a anular si se anula el numerador. 22 00:02:57,280 --> 00:03:20,560 El numerador es esto y por tanto podemos resolver esto. 23 00:03:20,919 --> 00:03:24,319 Vale, aquí tenemos dos posibilidades. 24 00:03:25,039 --> 00:03:27,520 Voy a hacer las dos para que las veáis así en paralelo. 25 00:03:27,520 --> 00:03:52,169 Bueno, posibilidad 1. No me doy cuenta de nada y decido que, por ejemplo, el coseno de x, pues ya sabéis que es más o menos la raíz de 1 menos el seno de x al cuadrado. 26 00:03:52,169 --> 00:03:58,830 Si sustituyo, bueno, voy a coger solo un signo de la raíz, porque en el fondo me va a dar un poco igual. 27 00:04:03,460 --> 00:04:06,620 Y esto es una ecuación trigonométrica normal. 28 00:04:08,000 --> 00:04:18,139 Vale, entonces cogemos así, 1 menos seno al cuadrado de x, pues será igual a menos seno de x, si queréis. 29 00:04:19,040 --> 00:04:22,139 Elevando todo al cuadrado, lo voy a poner en rojo. 30 00:04:22,139 --> 00:04:34,860 Bueno, así es que se ve. Elevando todo al cuadrado, 1 menos seno al cuadrado de x es igual al seno al cuadrado de x, porque este menos también se va a elevar al cuadrado y va a quedar más. 31 00:04:35,959 --> 00:04:42,360 Total que me queda esto. Lo voy a cambiar de lado que parece que me gusta más. 32 00:04:42,360 --> 00:04:45,519 seno cuadrado de x es igual a 1 medio 33 00:04:45,519 --> 00:04:51,339 por lo tanto, el seno de x es igual a más menos 34 00:04:51,339 --> 00:04:53,879 1 partido por la raíz de 2 35 00:04:53,879 --> 00:04:58,259 que es más menos, si racionalizáis 36 00:04:58,259 --> 00:05:01,689 y fijaros que aquí ya 37 00:05:01,689 --> 00:05:05,970 voy a bajar un poco, ahora subiré 38 00:05:05,970 --> 00:05:08,529 acabo de obtener que 39 00:05:08,529 --> 00:05:13,310 seno de x es igual a más menos raíz de 2 40 00:05:13,310 --> 00:05:20,209 a todo el mundo le va a sonar que esta raíz, esta razón trigonométrica es la de pi cuartos 41 00:05:20,209 --> 00:05:28,000 entonces vamos a tener que si seno de x es igual a raíz de 2 partido por 2 42 00:05:28,000 --> 00:05:33,139 pues x sería igual a pi cuartos más 2kpi 43 00:05:33,139 --> 00:05:41,079 y el otro ángulo que tiene también el seno raíz de 2 es 44 00:05:41,079 --> 00:05:57,459 Si cogemos y dibujamos la circunferencia agonométrica, pues pi cuartos es este, pero este de aquí también va a tener el mismo seno. 45 00:05:57,459 --> 00:06:16,040 Este ángulo va a ser pi menos pi cuartos, pues va a quedar pi menos pi cuartos, esto es 3pi cuartos más 2kpi. 46 00:06:16,040 --> 00:06:48,930 Si hacemos lo mismo ahora para el seno de x, vale menos raíz de 2 partido por 2, por la misma razón esta circunferencia goniométrica va a salir que x es igual, vamos a poner que es menos pi cuartos más 2kpi y el otro raíz de 2 va a estar aquí, lo voy a poner en rojo para que lo veáis. 47 00:06:48,930 --> 00:07:01,110 Es decir, este también va a ser menos raíz de 2 partido por 2 y este también va a ser menos raíz de 2 partido por 2. 48 00:07:01,290 --> 00:07:18,250 Esto es menos pi cuartos y este sería, pues, podríamos decir menos 3pi cuartos más 2kpi. 49 00:07:20,230 --> 00:07:26,990 Pero antes de dar una respuesta definitiva, debemos comprobar que esas son soluciones, efectivamente. 50 00:07:26,990 --> 00:07:45,069 Vamos a comprobarlo. Si cogemos que x es igual a pi cuartos, entonces seno de pi cuartos más coseno de pi cuartos, esto es raíz de 2 partido por 2, más raíz de 2 partido por 2 es igual a raíz de 2. 51 00:07:45,069 --> 00:07:53,649 Y esta no es solución. Esto se debe a que al elevar al cuadrado aparecen soluciones que no son. 52 00:07:54,670 --> 00:08:01,920 Vale, si cogemos x igual a 3pi cuartos, lo voy a poner ya directamente. 53 00:08:02,199 --> 00:08:10,560 El seno está aquí arriba, es raíz de 2 partido por 2, pero ahora el coseno es negativo. 54 00:08:11,180 --> 00:08:15,000 Luego es menos raíz de 2 partido por 2, que es igual a 0. 55 00:08:15,000 --> 00:08:34,580 Luego esta sí es solución. Vale, si sigo, pues si cojo x igual a menos pi cuartos, pues fijaros abajo que voy a tener que el seno de menos pi cuartos va a ser raíz de 2 menos raíz de 2. 56 00:08:34,580 --> 00:08:48,159 y el coseno que está aquí, pues es raíz de 2 partido por 2, vuelve a salir 0, luego esta es solución. 57 00:08:50,700 --> 00:09:04,100 Y nos queda la última, que fijaros, es este ángulo de aquí, pues vemos que el seno de pi menos 3pi cuarto va a ser negativo 58 00:09:04,100 --> 00:09:07,159 y el coseno también va a ser negativo. 59 00:09:08,480 --> 00:09:11,220 Luego esto da menos raíz de 2, esta no es solución. 60 00:09:12,000 --> 00:09:15,779 Luego nuestras dos soluciones son esta y esta. 61 00:09:17,220 --> 00:09:18,539 Lo voy a dejar aquí por un lado. 62 00:09:18,779 --> 00:09:21,360 Ahora vamos a ver el otro método alternativo. 63 00:09:21,539 --> 00:09:34,159 El otro método alternativo pasa por darse cuenta de que si tú tienes coseno de x más seno de x igual a cero, 64 00:09:34,159 --> 00:09:41,860 pues puedo poner que el seno de x es igual a menos coseno de x. 65 00:09:42,740 --> 00:09:53,679 Dividiendo todo entre coseno de x, pues resulta que me quedará seno de x partido de coseno de x igual a menos 1. 66 00:09:54,179 --> 00:09:56,820 Pero ya sabéis que el seno entre coseno es la tangente. 67 00:09:57,700 --> 00:10:00,259 Luego me está diciendo que la tangente de x es menos 1. 68 00:10:00,259 --> 00:10:06,759 Y claro, vuelvo a pensar cuando la tangente es negativa. 69 00:10:07,200 --> 00:10:14,909 La tangente va a ser negativa cuando el ángulo esté o aquí o aquí. 70 00:10:16,169 --> 00:10:19,470 O sea, aquí en este ángulo o en este. 71 00:10:20,409 --> 00:10:30,529 Eso nos va a decir que la tangente de x igual a menos 1 implica que o x es igual a menos pi cuarto más 2kpi. 72 00:10:32,149 --> 00:10:40,389 O x es igual a este ángulo, que es 3pi cuartos más 2kpi. 73 00:10:41,690 --> 00:10:45,789 Y si os fijáis, pues nos salen las mismas soluciones que teníamos antes. 74 00:10:48,320 --> 00:10:50,460 Vale. Bueno, pues retomamos. 75 00:10:52,399 --> 00:10:55,019 Me he quedado sin página. Vamos a hacer otra. 76 00:10:58,610 --> 00:11:06,460 Bueno, voy a copiar aquí... Bueno, no sé cómo se copia. 77 00:11:06,460 --> 00:11:21,860 Teníamos que en x igual a menos pi cuartos más 2kpi f' de x es igual a 0 78 00:11:21,860 --> 00:11:30,440 Y en x igual a 3pi cuartos más 2kpi pasaba lo mismo 79 00:11:30,440 --> 00:11:37,360 Bueno, realmente el 2kpi no nos va a dar falta porque nos dicen entre menos pi y pi 80 00:11:37,360 --> 00:11:45,740 Y entonces podemos coger x igual a menos pi cuartos y x igual a 3 pi cuartos. 81 00:11:47,610 --> 00:11:50,269 Pero claro, vamos a analizar los signos. 82 00:11:50,269 --> 00:12:03,669 Entonces, la derivada, os recuerdo, era f de x igual a menos coseno de x más seno de x 83 00:12:03,669 --> 00:12:14,309 partido de 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 84 00:12:14,309 --> 00:12:18,950 O sea, que realmente el signo lo marca el numerador. 85 00:12:19,429 --> 00:12:28,730 Bueno, pues ponemos aquí, vamos a poner aquí 0, 86 00:12:30,570 --> 00:12:38,139 y aquí va a estar pues 3 pi cuartos, y aquí va a estar menos pi cuartos. 87 00:12:38,139 --> 00:12:52,389 Pues vale, entonces, por ejemplo, si cambiamos la x por 0, pues aquí va a quedar coseno de 0 que es 1, seno de 0, o sea que aquí va a quedar negativo. 88 00:12:58,340 --> 00:12:59,519 La función va a decrecer. 89 00:13:00,240 --> 00:13:11,639 Si damos, por ejemplo, este valor aquí de pi, pues aquí coseno de pi va a ser menos 1, con este menos va a ser más, luego aquí va a ser más. 90 00:13:11,639 --> 00:13:38,919 Y si le damos menos pi, por ejemplo, menos pi que va a coincidir con pi, esto va a ser menos 1, luego aquí vuelve a ser, bueno, he puesto ya las flechas pero realmente tenía que haber puesto más, menos, más, con lo cual ya vemos que en x igual a menos pi cuartos hay un máximo de movimiento relativo. 91 00:13:38,919 --> 00:13:46,700 y en x igual a 3 pi cuartos hay un mínimo. 92 00:13:47,740 --> 00:13:53,440 Pero claro, al darnos la función entre menos pi y pi, 93 00:13:54,980 --> 00:13:59,120 pues nos dice el teorema de Bayester que hay un máximo y un mínimo absoluto. 94 00:13:59,120 --> 00:14:13,320 Para averiguarlo tendremos que calcular el valor de cada punto donde hay un máximo mínimo relativo y también el valor en menos pi pi. 95 00:14:13,320 --> 00:14:38,919 Vamos a comenzar. F de menos pi, ahora la hacemos sobre la función, es 1 partido de 2 más el seno de menos pi, más, menos, perdón, el coseno de pi, y entonces esto va a quedar, el coseno de menos pi, perdón, esto va a quedar un tercio. 96 00:14:38,919 --> 00:14:44,580 Si hacemos f de pi, pues va a salir lo mismo. 97 00:14:45,899 --> 00:14:50,259 Y ahora solo tenemos que averiguar f de menos pi cuartos. 98 00:14:51,480 --> 00:15:02,720 Claro, acordaros que f de menos pi cuartos, en la circunferencia onométrica, pues el menos indica que vamos en sentido, en este sentido. 99 00:15:02,720 --> 00:15:12,519 Luego ya tenemos que 2 más el seno de menos pi cuarto es claramente menos raíz de 2. 100 00:15:15,620 --> 00:15:19,000 Voy a borrar aquí, que he puesto más, y es menos raíz de 2. 101 00:15:22,090 --> 00:15:24,710 Menos raíz de 2 partido por 2. 102 00:15:25,929 --> 00:15:29,909 Y sin embargo, el coseno de menos pi cuarto va a ser más raíz de 2. 103 00:15:31,409 --> 00:15:34,210 Va a ser positivo, pero como es un menos, pues va a quedar así. 104 00:15:34,210 --> 00:15:39,009 Luego esto es 1 partido de 2 menos raíz de 2. 105 00:15:40,529 --> 00:15:49,169 Vale, y el otro, f de 3pi cuartos, pues vuelvo a dibujar su conferencia agonométrica, 106 00:15:49,269 --> 00:15:50,750 voy a poner en rojo para que lo veáis bien. 107 00:15:51,350 --> 00:16:07,159 3pi cuartos ahora es este ángulo, con lo cual vemos claramente que va a ser 1 partido de 2 más el seno, 108 00:16:07,159 --> 00:16:16,580 de 3 pi cuarto es positivo, pero el coseno es negativo, que con el más, o sea, con el menos se convierte en más. 109 00:16:16,580 --> 00:16:20,399 Luego esto es 1 partido por 2 más raíz de 2. 110 00:16:20,399 --> 00:16:51,720 Si ahora los ordeno, pues fijaros, yo tengo que aquí f de menos pi, f de menos pi cuartos, f de tres pi cuartos y f de pi. 111 00:16:51,720 --> 00:17:09,799 F de menos pi, hemos dicho que es un tercio. Este hemos dicho que es 2 menos raíz de 2. Este hemos dicho que es 2 más raíz de 2. Y este hemos dicho que es un tercio. 112 00:17:09,799 --> 00:17:20,579 Y ahora tengo que ver cuál es el mayor y cuál es el menor. Bueno, pues viendo, está claro que el valor más pequeño está aquí porque sería 2 menos raíz de 2. 113 00:17:21,720 --> 00:17:26,140 Este es el valor más pequeño, luego está la fracción más grande. 114 00:17:26,799 --> 00:17:41,579 Luego hay un máximo absoluto en menos pi cuarto, 1 partido de 2 menos raíz de 2. 115 00:17:42,460 --> 00:17:44,240 ¿Cuál es el valor ahora más pequeño que hay aquí? 116 00:17:44,240 --> 00:17:51,140 Bueno, pues teniendo en cuenta que 2 más raíz de 2 es más grande que 3, esta fracción es la más pequeña. 117 00:17:51,140 --> 00:18:05,619 Luego resulta que el mínimo que era local ahora es absoluto y está en 3 y cuartos y vale 1 partido por 2 más raíz de 2. 118 00:18:07,000 --> 00:18:09,740 Y con esto hemos resuelto el apartado A. 119 00:18:10,480 --> 00:18:12,259 Vamos con el apartado B. 120 00:18:12,259 --> 00:18:33,400 El apartado B nos decía que encontráramos que existe c perteneciente a menos pi, pi tal que f segunda de c es igual a cero y por tanto en c habrá punto de inflexión. 121 00:18:34,819 --> 00:18:36,539 Y nos sugiere usar el teorema de error. 122 00:18:36,539 --> 00:19:00,619 Bueno, fijaros, la segunda derivada es la derivada de la derivada, entonces si yo tengo f' de x era igual, acordaros, coseno de x más seno de x partido de 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 123 00:19:00,619 --> 00:19:20,480 Si ahora esta es mi función, pues yo para usar el teorema de Rolle tendré que comprobar que f' es derivable en menos pi pi y además que f' de pi, de menos pi, es igual a f' de pi. 124 00:19:21,119 --> 00:19:22,380 Bueno, pues vamos a comprobarlo. 125 00:19:22,799 --> 00:19:23,859 ¿f' es derivable? 126 00:19:27,420 --> 00:19:29,619 Bueno, pues realmente sí es derivable. 127 00:19:29,619 --> 00:19:39,069 si es derivable 128 00:19:39,069 --> 00:19:45,839 porque es la división de funciones derivables 129 00:19:45,839 --> 00:19:52,930 en el intervalo que nos dicen. Bueno, vamos a comprobar 130 00:19:52,930 --> 00:19:59,259 f de menos pi es igual a un noveno 131 00:19:59,259 --> 00:20:03,279 y f de pi 132 00:20:03,279 --> 00:20:07,000 esto lo podéis sustituir con la calculadora, es igual a un noveno 133 00:20:07,000 --> 00:20:11,500 entonces estamos en las hipótesis 134 00:20:11,500 --> 00:20:23,519 del teorema de error, existe un c perteneciente a menos pi pi tal que la segunda derivada, 135 00:20:23,579 --> 00:20:30,319 la derivada es igual a cero. Como esto es la segunda derivada, pues c será un punto 136 00:20:30,319 --> 00:20:36,140 de inflexión. Bueno, también podríamos haber usado el intervalo menos pi cuartos 137 00:20:36,140 --> 00:20:39,740 3 pi cuartos, por ejemplo 138 00:20:39,740 --> 00:20:43,059 que está contenido en menos pi 139 00:20:43,059 --> 00:20:47,299 porque ya sabiendo que menos pi cuartos 140 00:20:47,299 --> 00:20:52,839 es igual a 0, que es igual a f de 3 pi cuartos 141 00:20:52,839 --> 00:20:56,619 también se cumple el tema de Rolle, incluso este intervalo sería 142 00:20:56,619 --> 00:21:00,380 más pequeño, incluso podríamos ir acotando hasta tener 143 00:21:00,380 --> 00:21:03,900 el tamaño que quisiéramos 144 00:21:03,900 --> 00:21:27,250 ¿Vale? Por último, aunque esta derivada, para concretar ya y ser súper rigurosos, que f' segunda de c sea igual a cero, nos pone en el foco de que ahí puede haber un punto de inflexión. 145 00:21:27,250 --> 00:21:57,529 Pero esto no lo garantiza por sí solo. Tenemos que comprobar la concavidad o convexidad, es decir, para ver que es un punto de inflexión, pero claro, tener en cuenta que justo en este intervalo aquí había un máximo y aquí había un mínimo. 146 00:21:57,529 --> 00:22:04,009 Y como la función es continua, pues claramente si hace así, este punto será el C. 147 00:22:04,589 --> 00:22:10,390 Y por tanto podemos comprobar sin hacer muchas más cuentas y teniendo en cuenta que esto es continuo, 148 00:22:10,910 --> 00:22:15,430 o sea que la derivada es continua y que aquí hay un máximo y aquí un mínimo, es cóncava. 149 00:22:15,849 --> 00:22:17,490 Digo, es punto de inflexión. 150 00:22:20,950 --> 00:22:24,609 También podemos haber hecho la tercera derivada y comprobar que en ese punto es distinta de cera, 151 00:22:24,730 --> 00:22:26,589 que es otro criterio que, bueno, no hemos visto. 152 00:22:27,170 --> 00:22:29,089 Y con esto se queda resuelto el ejercicio.