1
00:00:00,420 --> 00:00:02,720
Bueno, estas son las integrales indefinidas.

2
00:00:03,740 --> 00:00:10,740
Las indefinidas son aquellas en las que lo único que hay que hacer es averiguar la primitiva de la función que está adentro,

3
00:00:10,820 --> 00:00:14,179
es decir, la función cuya derivada sale esto.

4
00:00:14,419 --> 00:00:19,940
No hay que hacer luego cálculos con números, como es lo de la regla de Barrow, eso en las definidas.

5
00:00:20,899 --> 00:00:22,940
Vamos a ver, lo primero, empecemos por esta.

6
00:00:23,160 --> 00:00:27,579
Lo que hay que hacer es identificar el tipo de función que tenemos delante.

7
00:00:28,480 --> 00:00:29,399
Entonces, vamos a ver.

8
00:00:30,920 --> 00:00:32,060
Vemos un cociente.

9
00:00:32,740 --> 00:00:35,880
Podríamos tener la duda de que sea una función logarítmica.

10
00:00:36,979 --> 00:00:42,060
Pero, para eso, lo de arriba debería ser exactamente la derivada de lo de abajo.

11
00:00:42,200 --> 00:00:43,380
Y lo de abajo lleva una raíz.

12
00:00:44,140 --> 00:00:46,020
Así que no está la cosa tan simple.

13
00:00:46,719 --> 00:00:47,679
Descartamos ese tipo.

14
00:00:47,759 --> 00:00:48,479
Hemos visto tres.

15
00:00:49,299 --> 00:00:54,140
Hemos visto logarítmicas, exponenciales y potenciales.

16
00:00:54,820 --> 00:00:56,280
Exponencial claramente no es.

17
00:00:56,460 --> 00:00:57,380
Exponencial es esta.

18
00:00:57,579 --> 00:01:02,619
porque es la x la que está en el exponente, ¿lo veis? Aquí no, aquí x es la base de las potencias,

19
00:01:02,859 --> 00:01:06,900
entonces esta es potencial. ¿Qué ocurre? Que es compuesta, ¿por qué lo sabemos?

20
00:01:07,439 --> 00:01:11,879
Porque aquí dentro de esta raíz, que la raíz recordad, no es más que un tipo de potencia,

21
00:01:12,519 --> 00:01:17,319
dentro de la raíz no hay solamente x, sino que hay algo más, por eso sabemos que es compuesta.

22
00:01:17,599 --> 00:01:23,060
Entonces lo primero, igual que las derivadas de raíces, lo que hacíamos era ponerlo en forma de potencia

23
00:01:23,060 --> 00:01:26,459
para derivarlo más cómodamente, pues en las integrales también.

24
00:01:26,459 --> 00:01:47,239
Entonces lo primero que hay que hacer es escribir esto así, 3x por x cuadrado menos 3, es una raíz cuadrada, luego está elevado a un medio, pero está en un denominador, luego al ponerlo arriba, estaba abajo, lo subimos arriba, le cambiamos el signo al exponente.

25
00:01:47,239 --> 00:01:51,439
Mucha gente se olvidó en el examen de poner este menos

26
00:01:51,439 --> 00:01:53,599
Y eso a mí me preocupa

27
00:01:53,599 --> 00:01:55,739
Porque es algo como muy elemental

28
00:01:55,739 --> 00:01:58,099
Y que no os deis cuenta de estas cosas es una lástima

29
00:01:58,099 --> 00:02:00,859
Porque os manda el garete el ejercicio entero

30
00:02:00,859 --> 00:02:03,120
En la EBAU por lo menos

31
00:02:03,120 --> 00:02:04,439
Bien, vamos a ver

32
00:02:04,439 --> 00:02:07,159
Entonces, ahora lo que tenemos que hacer es

33
00:02:07,159 --> 00:02:09,580
Lo que llamamos ajustar las constantes, los números

34
00:02:09,580 --> 00:02:10,199
Vamos a ver

35
00:02:10,199 --> 00:02:12,460
Como función compuesta que es

36
00:02:12,460 --> 00:02:14,360
La derivada de esto de aquí dentro

37
00:02:14,360 --> 00:02:15,620
Que la tengo que tener aquí

38
00:02:15,620 --> 00:02:19,659
dentro de la integral multiplicado, por lo menos la parte de la x

39
00:02:19,659 --> 00:02:22,719
entonces fijémonos que la derivada

40
00:02:22,719 --> 00:02:26,960
de lo que está aquí dentro, su derivada

41
00:02:26,960 --> 00:02:31,819
sería 2x, entonces la x, que es lo importante, ya la tengo

42
00:02:31,819 --> 00:02:35,139
¿por qué es lo importante? porque es lo que yo no puedo poner ni quitar

43
00:02:35,139 --> 00:02:39,240
pero juguemos con los números entonces, vamos a ver

44
00:02:39,240 --> 00:02:43,400
necesito un 2 y yo tengo un 3, entonces este 3, como yo no lo necesito

45
00:02:43,400 --> 00:02:46,360
Como está multiplicando, lo voy a sacar fuera

46
00:02:46,360 --> 00:02:49,039
Y este 2 lo pondremos nosotros

47
00:02:49,039 --> 00:02:51,020
Y luego habrá que compensarlo fuera

48
00:02:51,020 --> 00:02:52,879
Entonces, ¿cómo queda? Pues así

49
00:02:52,879 --> 00:02:56,259
Vamos a ver, el 3 lo ponemos ya fuera

50
00:02:56,259 --> 00:02:59,599
Integral de, dejo aquí un huequito

51
00:02:59,599 --> 00:03:03,280
x por x cuadrado menos 3

52
00:03:03,280 --> 00:03:05,400
Elevado a menos 1 medio

53
00:03:05,400 --> 00:03:07,319
Diferencial de x

54
00:03:07,319 --> 00:03:10,039
Y ahora, como necesito este 2

55
00:03:10,039 --> 00:03:12,599
Lo pongo, como lo he puesto yo

56
00:03:12,599 --> 00:03:18,560
que lo introducción multiplicando lo compensó dividiendo fuera vale entonces ahora ya está

57
00:03:18,560 --> 00:03:24,300
preparada para aplicar directamente la regla de integración que para la potencia acordaos que era

58
00:03:24,300 --> 00:03:32,479
vamos a ver lo primero esta constante que está adelante multiplicando se va a quedar no podemos

59
00:03:32,479 --> 00:03:41,139
perderla vamos a ponerla aquí tres medios y ahora ya integro entonces digamos que esto se ajusta a

60
00:03:41,139 --> 00:03:44,080
A la estructura que tantas veces vimos en clase.

61
00:03:45,159 --> 00:03:47,900
Esto es una determinada función elevada a menos un medio.

62
00:03:48,400 --> 00:03:51,500
Y esto que está multiplicando es f'.

63
00:03:51,500 --> 00:03:54,500
Es decir, lo que llamaríamos nosotros la derivada de lo de dentro.

64
00:03:55,139 --> 00:03:59,439
Una vez tienes eso, lo que tú integras es la parte principal.

65
00:03:59,979 --> 00:04:01,719
Esto es algo que tiene que estar ahí.

66
00:04:02,539 --> 00:04:03,099
¿Vale?

67
00:04:03,539 --> 00:04:05,020
Porque al derivar aparecería.

68
00:04:05,020 --> 00:04:10,259
Pero yendo hacia atrás, digamos ya, es como si desapareciera.

69
00:04:10,259 --> 00:04:11,860
Vamos a ver

70
00:04:11,860 --> 00:04:14,800
Entonces, aplicamos la regla

71
00:04:14,800 --> 00:04:16,860
Entonces, a la base de la potencia

72
00:04:16,860 --> 00:04:20,879
Al exponente original le sumamos 1

73
00:04:20,879 --> 00:04:24,079
Menos 1 medio más 1 es 1 medio positivo

74
00:04:24,079 --> 00:04:27,600
Dividido por 1 medio más c

75
00:04:27,600 --> 00:04:30,980
Ahora es el momento en el que hay que poner la constante de integración

76
00:04:30,980 --> 00:04:32,819
Entonces, vamos a ver

77
00:04:32,819 --> 00:04:37,040
Daos cuenta que esta fracción que está dividiendo

78
00:04:37,040 --> 00:04:40,779
al venirse para acá se daría la vuelta

79
00:04:40,779 --> 00:04:45,279
es decir, digamos que pasaría una cosa así

80
00:04:45,279 --> 00:04:50,959
de aquí desaparecería y de aquí me aparecería un 2 multiplicando

81
00:04:50,959 --> 00:04:56,420
y que ocurre, que este 2 se compensa con este que tenemos

82
00:04:56,420 --> 00:05:00,579
total, que al final que me queda 3 por la raíz

83
00:05:00,579 --> 00:05:04,259
porque hemos puesto esto en forma de potencia

84
00:05:04,259 --> 00:05:06,699
para que nos sea más sencillo y aplicar la fórmula

85
00:05:06,699 --> 00:05:09,300
pero acordaos que lo que me dan en forma de raíz

86
00:05:09,300 --> 00:05:10,939
si al acabar sigue siendo una raíz

87
00:05:10,939 --> 00:05:12,540
hay que devolverlo en forma de raíz

88
00:05:12,540 --> 00:05:14,040
aunque no nos lo pongan

89
00:05:14,040 --> 00:05:16,779
porque se supone que es algo que tenemos que saber

90
00:05:16,779 --> 00:05:19,879
y ya está

91
00:05:19,879 --> 00:05:21,699
así es como nos queda

92
00:05:21,699 --> 00:05:24,339
esta primera integral

93
00:05:24,339 --> 00:05:26,639
terminada

94
00:05:26,639 --> 00:05:28,540
acordad lo que os he dicho muchas veces

95
00:05:28,540 --> 00:05:31,000
la ventaja de las integrales es que se pueden comprobar

96
00:05:31,000 --> 00:05:32,779
con una operación más sencilla

97
00:05:32,779 --> 00:05:33,439
que es derivar

98
00:05:33,439 --> 00:05:35,060
si yo derivo esto

99
00:05:35,060 --> 00:05:37,639
me tiene que salir esto del principio

100
00:05:37,639 --> 00:05:40,420
Haced la prueba y ya veréis como no es complicado

101
00:05:40,420 --> 00:05:42,800
Venga, vamos a por la siguiente

102
00:05:42,800 --> 00:05:44,060
Vamos a ver, esta

103
00:05:44,060 --> 00:05:48,040
A parte principal se ve perfectamente que es esta exponencial de aquí

104
00:05:48,040 --> 00:05:49,620
De base 2, en este caso

105
00:05:49,620 --> 00:05:51,199
¿Vale? No es con el número E

106
00:05:51,199 --> 00:05:53,560
Eso quiere decir que vamos a tener que hacer una pequeña modificación

107
00:05:53,560 --> 00:05:56,889
Con la A

108
00:05:56,889 --> 00:06:00,089
Con ese numerito que tiene que aparecer por ahí

109
00:06:00,089 --> 00:06:04,269
Dividiendo en este caso, que es el logaritmo neperiano de la base de la exponencial

110
00:06:04,269 --> 00:06:05,189
Que en este caso es 2

111
00:06:05,189 --> 00:06:09,050
Entonces, en una exponencial lo de dentro es el exponente

112
00:06:09,050 --> 00:06:13,970
Entonces tiene que aparecer dentro de la integral y multiplicando a la función principal

113
00:06:13,970 --> 00:06:18,009
Aquí, la derivada de lo de dentro

114
00:06:18,009 --> 00:06:24,350
La derivada de lo de dentro, es decir, la derivada de lo que está en el exponente

115
00:06:24,350 --> 00:06:27,689
Si esto lo deriváramos sería 2x más 2

116
00:06:27,689 --> 00:06:37,430
Que si os dais cuenta, esto es igual a 2 por x más 1

117
00:06:37,430 --> 00:06:41,550
Y el x más 1 es precisamente lo que tenemos aquí

118
00:06:41,550 --> 00:06:43,170
Entonces, ¿qué ocurre?

119
00:06:43,250 --> 00:06:46,810
Que solamente nos falta un 2 multiplicando

120
00:06:46,810 --> 00:06:51,410
Pues entonces nosotros lo que vamos a hacer es que lo ponemos y lo quitamos

121
00:06:51,410 --> 00:06:53,069
De hecho, lo podemos hacer aquí mismo

122
00:06:53,069 --> 00:06:55,509
Fijaos, ¿cómo sería?

123
00:06:56,970 --> 00:06:59,670
Pues yo necesito tener un 2, lo pongo ahí

124
00:06:59,670 --> 00:07:01,589
Lo compenso fuera

125
00:07:01,589 --> 00:07:03,290
¿Vale?

126
00:07:03,290 --> 00:07:25,769
Entonces, ¿cómo queda al integrar? El 1 medio que tengo fuera se queda como está y ya todo esto, a ver que miro un poco lejos, todo esto es una función que es la derivada de 2 elevado a x cuadrado más 2x, ¿vale?

127
00:07:25,769 --> 00:07:31,970
Recordad, la de la exponencial se queda como está, pero en el caso de que la base de la exponencial no sea el número e,

128
00:07:32,430 --> 00:07:41,230
tiene una especie como de factor de corrección, que es 1 partido por el logaritmo neperiano de la base de esa exponencial y la c.

129
00:07:41,870 --> 00:07:43,310
Este paso es aplicar las fórmulas.

130
00:07:43,310 --> 00:07:47,990
Entonces, ¿qué pasa? Pues que esto, la única manera así de simplificarlo un poquito,

131
00:07:47,990 --> 00:07:51,449
daos cuenta que como tengo un medio y tengo esto también

132
00:07:51,449 --> 00:07:56,170
pues podemos escribir de forma más sencilla con este cociente

133
00:07:56,170 --> 00:07:59,610
2 elevado a x cuadrado más 2x arriba

134
00:07:59,610 --> 00:08:03,850
y 2 por el logaritmo neperiano de 2 abajo

135
00:08:03,850 --> 00:08:07,089
a ver, aquí se puede jugar un poco

136
00:08:07,089 --> 00:08:10,389
yo lo dejaría así en vuestro lugar

137
00:08:10,389 --> 00:08:13,310
yo no me complicaría la vida ya demasiado

138
00:08:13,310 --> 00:08:17,310
pero si consultáis hojas de ejercicios con soluciones

139
00:08:17,310 --> 00:08:20,009
Puede darse el caso de que digan, bueno, aquí tengo un 2

140
00:08:20,009 --> 00:08:23,310
Bueno, pues como esto es una potencia de base 2

141
00:08:23,310 --> 00:08:26,370
Esto también nos lo podrían poner, por ejemplo, así, mirad

142
00:08:26,370 --> 00:08:28,470
Lo podrían poner así

143
00:08:28,470 --> 00:08:31,709
Esto mismo sería

144
00:08:31,709 --> 00:08:37,190
2 elevado a x cuadrado más 2x menos 1

145
00:08:37,190 --> 00:08:40,509
Que sería como hacer la división de potencias de base 2

146
00:08:40,509 --> 00:08:43,090
Dividido por el logaritmo neperiano de 2

147
00:08:43,090 --> 00:08:44,289
Lo podrían poner así

148
00:08:44,289 --> 00:08:54,570
o bien pudieran decidir juntar esto y escribirlo como logaritmo neperiano de 4.

149
00:08:55,730 --> 00:09:00,049
¿Por qué 4? Porque acordaos que una propiedad de los logaritmos es que los números que están multiplicando

150
00:09:00,049 --> 00:09:04,269
se subían como exponente de lo que estaba adentro y 2 al cuadrado es 4.

151
00:09:05,450 --> 00:09:09,809
Pero es raro. Yo lo dejaría como está. Voy a borrar todo esto que he hecho.

152
00:09:09,809 --> 00:09:12,470
Por lo menos esto último.

153
00:09:14,289 --> 00:09:19,190
¿Vale? Pero vamos, con lo que he rodeado de verde creo que es más que suficiente.

154
00:09:19,889 --> 00:09:24,990
Bien, vamos a ver la última. Venga, vamos a ver.

155
00:09:25,909 --> 00:09:28,490
Esto es un cociente y vuelvo a lo de antes.

156
00:09:28,870 --> 00:09:31,350
Si derivo lo de abajo, desde luego no me sale lo de arriba.

157
00:09:31,870 --> 00:09:36,269
¿Vale? Pero estas hicimos en clase, estas son de esas que hay que dividir término a término.

158
00:09:36,269 --> 00:09:38,909
Que abajo es nada más que una triste x.

159
00:09:39,750 --> 00:09:42,409
Entonces, ¿qué pasa si yo divido término a término?

160
00:09:42,409 --> 00:09:44,750
Todavía no voy a integrar, solamente voy a hacer eso.

161
00:09:45,370 --> 00:09:58,649
Vamos a ver, 2x cubo entre x, pues 2x cuadrado, más x cuadrado entre x, x, menos 2x entre x, el 2.

162
00:09:59,309 --> 00:10:01,389
Y luego me queda un 3 partido por x.

163
00:10:03,470 --> 00:10:06,509
Entonces, a ver, esto tiene dos partes.

164
00:10:06,509 --> 00:10:08,629
esto es un polinomio

165
00:10:08,629 --> 00:10:10,649
y esto sí que es

166
00:10:10,649 --> 00:10:13,350
una logarítmica pero inmediata

167
00:10:13,350 --> 00:10:14,990
es que es inmediata

168
00:10:14,990 --> 00:10:16,730
porque abajo solamente tiene la x

169
00:10:16,730 --> 00:10:18,789
entonces en realidad

170
00:10:18,789 --> 00:10:21,029
esta es una combinación de integrales inmediatas

171
00:10:21,029 --> 00:10:22,769
aquí no hay compuesta ni nada

172
00:10:22,769 --> 00:10:24,809
que hacer aparte

173
00:10:24,809 --> 00:10:25,850
entonces a ver

174
00:10:25,850 --> 00:10:27,669
¿cómo se integraría esto?

175
00:10:28,289 --> 00:10:30,330
primer término, el 2 lo dejo como está

176
00:10:30,330 --> 00:10:32,990
y sería x cubo partido por 3

177
00:10:32,990 --> 00:10:34,830
segundo término

178
00:10:34,830 --> 00:10:43,629
la x, pues x cuadrado partido por 2, la constante, pues le añadimos una x multiplicando y luego

179
00:10:43,629 --> 00:10:52,289
3 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x y luego la c, ¿vale? Y si os dais cuenta

180
00:10:52,289 --> 00:10:57,909
es que no se puede simplificar nada, a la primera nos ha salido, porque a ver, este

181
00:10:57,909 --> 00:11:02,889
2 con este 3 se deja como está, aquí nada, aquí nada, aquí como no queráis subir este

182
00:11:02,889 --> 00:11:06,850
3 aquí haciendo al cubo pero la barra del absoluto no se va

183
00:11:06,850 --> 00:11:12,389
vale porque el exponente sin par si fuera para todavía conseguiríamos que

184
00:11:12,389 --> 00:11:17,629
quedase positivo pero vamos ya está es que ésta es directísima directa

185
00:11:17,629 --> 00:11:23,889
directísima y ya estaría el primer ejercicio

186
00:11:23,889 --> 00:11:27,669
ahí lo tenemos