1
00:00:00,430 --> 00:00:27,399
Como siempre os preguntaré que si alguien tiene algún inconveniente, yo dejo de grabar y esta clase la borro. Y si no, pues que seguimos adelante. Se supone que estamos todos de acuerdo, que es beneficioso para todos que tengáis la clase grabada tanto en texto como en la conferencia.

2
00:00:27,399 --> 00:00:46,240
Bueno, vamos a ver. Hoy terminamos esta quincena. El bloque de análisis tiene, primero, la parte de familias de funciones. Fundamental que sepáis dibujar una recta y una parábola y que conozcáis el resto de funciones.

3
00:00:47,079 --> 00:00:55,920
La exponencial, la logarítmica, todas las que vimos, la de proporcionalidad inversa, que las podáis identificarlas cuando las veáis.

4
00:00:56,579 --> 00:01:07,920
Luego teníamos la parte del límite. El otro día vimos el concepto del límite en un punto y lo asociamos al concepto de continuidad.

5
00:01:07,920 --> 00:01:25,920
El otro día hicimos un ejercicio de continuidad y lo hicimos de tal forma que justifique esto de aquí. Que para que una función sea continua en un punto, primero tiene que existir FDA. Si no existe FDA, ahí hay un punto hueco.

6
00:01:25,920 --> 00:01:28,620
Si hay un punto hueco, ya sabéis que la función no es continua.

7
00:01:29,420 --> 00:01:32,180
Luego, tienen que existir los límites laterales.

8
00:01:33,000 --> 00:01:34,459
Bueno, el límite de la función.

9
00:01:35,439 --> 00:01:40,980
Que exista el límite de la función quiere decir que si tomo valores cercanos a A,

10
00:01:41,400 --> 00:01:44,879
tanto por la izquierda como por la derecha, se aproximan al mismo punto.

11
00:01:45,840 --> 00:01:49,480
Entonces, para que exista el límite, tienen que coincidir los límites laterales.

12
00:01:49,480 --> 00:02:06,959
Y luego, tanto FDA como ese límite que nos ha salido tiene que ser el mismo. Bueno, yo en el examen en primero generalmente os pido que dibujéis la gráfica y a partir de ahí decidáis la continuidad.

13
00:02:06,959 --> 00:02:23,960
¿Os acordáis del ejercicio del otro día? ¿Sí? Que dibujamos la gráfica, eran rectas y parábolas, ¿no? Eso es lo más habitual. Pero bueno, de cara a segundos, imaginaos que tenéis esta función. Vamos, también os lo puedo preguntar, pero por lo menos probadlo.

14
00:02:23,960 --> 00:02:37,099
Esta función es muy fácil de pintar porque es una palabra, pero esta función no es tan fácil de pintar y os piden que estudiéis la continuidad.

15
00:02:37,759 --> 00:02:47,740
Entonces, hoy lo vamos a hacer a cierres. Lo vamos a hacer sin saber cómo van esas funciones.

16
00:02:48,280 --> 00:02:54,719
Bueno, entonces, para eso hay que dominar un poco, valga la redundancia, los dominios.

17
00:02:54,719 --> 00:02:57,840
¿cuál es el dominio? ¿de qué tipo es esta función?

18
00:03:00,150 --> 00:03:02,090
esta es polinómica de segundo grado

19
00:03:02,090 --> 00:03:05,370
me interesa simplemente decir que es polinómica

20
00:03:05,370 --> 00:03:11,439
la función polinómica

21
00:03:11,439 --> 00:03:13,460
no tiene problemas de dominio

22
00:03:13,460 --> 00:03:19,199
el dominio de la función polinómica son todos los números reales

23
00:03:19,199 --> 00:03:21,300
acordaos de eso, pregunta de examen

24
00:03:21,300 --> 00:03:24,539
calcula el dominio de esta función, id apuntando si queréis

25
00:03:24,539 --> 00:03:25,539
lo que os digo siempre

26
00:03:26,419 --> 00:03:29,780
Entonces, no tiene problemas de dominio.

27
00:03:40,590 --> 00:03:42,669
Segunda, ¿qué es logarítmica?

28
00:03:43,469 --> 00:03:44,509
Pues qué faena, ¿no?

29
00:03:47,400 --> 00:03:48,520
¿Qué es logarítmica?

30
00:03:49,699 --> 00:03:50,979
¿Qué tengo que hacer?

31
00:03:55,020 --> 00:03:58,759
Tengo que ver si uno más X es mayor que cero, ¿no?

32
00:04:00,599 --> 00:04:04,000
Lo que hay dentro del logaritmo, esto es fundamental, ¿eh?

33
00:04:04,000 --> 00:04:04,780
En funciones.

34
00:04:04,780 --> 00:04:11,599
Entonces, al ver una función, no sabes calcular su dominio, ya estamos rankeando.

35
00:04:13,300 --> 00:04:15,580
Entonces, esto tiene que ser mayor que cero.

36
00:04:15,719 --> 00:04:16,879
¿Cómo se resolvía esto?

37
00:04:17,779 --> 00:04:21,620
Primero se pone un igual.

38
00:04:23,040 --> 00:04:25,779
Si uno más x es igual a cero, ¿cuánto vale x?

39
00:04:28,790 --> 00:04:32,509
Este uno que está sumando pasa restando, menos uno.

40
00:04:32,509 --> 00:04:45,740
¿no? Entonces dibujo la recta, dibujo el menos 1, ¿no? Y ahora sustituyo aquí, decirme

41
00:04:45,740 --> 00:04:55,009
un valor aquí. Pues por ejemplo el menos 2, ¿no? 1 menos 2 es menos 1. ¿Esto es mayor

42
00:04:55,009 --> 00:05:06,370
que 0? No, pues aquí pongo que no. Y aquí, por ejemplo, tomo el 2. El 2, el 0 podéis

43
00:05:06,370 --> 00:05:08,129
poner también, ¿no? que queráis

44
00:05:08,129 --> 00:05:10,389
2, pues si pongo 1 más

45
00:05:10,389 --> 00:05:11,310
2 es 3

46
00:05:11,310 --> 00:05:13,670
¿es mayor que 0?

47
00:05:15,269 --> 00:05:16,110
pues

48
00:05:16,110 --> 00:05:17,170
este sí

49
00:05:17,170 --> 00:05:19,850
entonces nos fijamos

50
00:05:19,850 --> 00:05:21,629
el dominio

51
00:05:21,629 --> 00:05:23,990
de la función

52
00:05:23,990 --> 00:05:26,490
logaritmo de 1 más x

53
00:05:26,490 --> 00:05:28,170
va

54
00:05:28,170 --> 00:05:29,850
desde menos 1

55
00:05:29,850 --> 00:05:31,930
hasta infinito

56
00:05:31,930 --> 00:05:33,850
abierto o cerrado por aquí

57
00:05:33,850 --> 00:05:36,009
abierto

58
00:05:36,009 --> 00:05:37,569
siempre en el infinito y aquí

59
00:05:37,569 --> 00:05:40,149
aquí abierto

60
00:05:40,149 --> 00:05:41,850
también porque pone mayor

61
00:05:41,850 --> 00:05:44,009
si pusiera mayor o igual sería abierto

62
00:05:44,009 --> 00:05:46,089
¿vale? sería cerrado, perdón

63
00:05:46,089 --> 00:05:47,829
¿sí? entonces

64
00:05:47,829 --> 00:05:49,990
como x

65
00:05:49,990 --> 00:05:51,310
está entre 0 y 1

66
00:05:51,310 --> 00:05:55,779
¿no? como pone que

67
00:05:55,779 --> 00:05:57,079
0 menor que

68
00:05:57,079 --> 00:05:59,740
x menor que 1

69
00:05:59,740 --> 00:06:01,860
tampoco hay problema con

70
00:06:01,860 --> 00:06:03,459
el dominio porque

71
00:06:03,459 --> 00:06:06,060
0 y 1 está en este intervalo

72
00:06:06,060 --> 00:06:07,740
¿no? tampoco

73
00:06:07,740 --> 00:06:14,220
¿No? O sea, tampoco hay problema con el dominio.

74
00:06:21,300 --> 00:06:23,720
¿Y esta última? ¿De qué tipo es esta función?

75
00:06:27,579 --> 00:06:34,480
La función cero es constante. Bueno, en todo caso de grado cero. Una constante es de grado cero porque no tiene x, ¿no?

76
00:06:35,120 --> 00:06:39,019
Esta función es constante y esta no tiene problemas de dominio, ¿no?

77
00:06:39,019 --> 00:06:47,680
No hay problema, no hay problema tampoco de dominio.

78
00:06:50,050 --> 00:06:55,970
Pues una vez dicho esto, el dominio de f son todos los números reales.

79
00:06:57,529 --> 00:07:06,089
¿Por qué? Porque de x, de x, de menos infinito a cero, no hay problema con el dominio.

80
00:07:06,550 --> 00:07:11,430
Del 0, que está incluido aquí, hasta el 1, tampoco hay problema con el dominio.

81
00:07:11,569 --> 00:07:14,290
Para x mayor que 1 tampoco hay problema con el dominio.

82
00:07:16,009 --> 00:07:29,709
Entonces, yo ya sé que f, y como conclusión de todo esto, yo sé que f es continua en el primer intervalo, que es menos infinito 0.

83
00:07:29,709 --> 00:07:37,389
en el intervalo siguiente, que es el 0,1, y en el intervalo siguiente, que es el 1, infinito.

84
00:07:38,529 --> 00:07:43,509
¿Dónde falta ver si la función es continua o no?

85
00:07:43,990 --> 00:07:52,480
En los puntos de empalme.

86
00:07:53,560 --> 00:07:58,220
Aquí hay una función antes del 0 y después del 0, ¿no?

87
00:07:59,579 --> 00:08:02,899
Y también hay una función antes del 1 y después del 1.

88
00:08:02,899 --> 00:08:17,180
Bueno, pues aquí tenéis que hacer la comprobación, que es muy rutinaria, es muy pesada, pero que es muy práctica.

89
00:08:18,680 --> 00:08:25,540
A ver, nx igual a cero. ¿Cuánto vale f de cero?

90
00:08:27,420 --> 00:08:30,899
¿Dónde busco f de cero? ¿En el primer trozo, en el segundo o en el tercero?

91
00:08:32,059 --> 00:08:33,419
No, menor que cero.

92
00:08:34,799 --> 00:08:37,600
¿Dónde pongo? En el segundo, ¿no?

93
00:08:38,159 --> 00:08:42,759
Pues es el logaritmo neperiano de uno más cero, ¿no?

94
00:08:42,919 --> 00:08:58,220
En el segundo. Y no sabéis calcularlo. Tenéis calculadora. ¿Cuál es el logaritmo de uno más cero? Tenéis calculadora. Porque ahí, ya os digo, ya hay cosas que creo que podéis suplir con la calculadora.

95
00:08:58,220 --> 00:09:08,120
lo voy a hacer yo con la mía

96
00:09:08,120 --> 00:09:10,000
aunque yo ya me sé el resultado

97
00:09:10,000 --> 00:09:14,299
el logaritmo neperiano de 1

98
00:09:14,299 --> 00:09:16,039
que es 1 más 0 es 0

99
00:09:16,039 --> 00:09:18,159
¿no? si os acordáis de las propiedades

100
00:09:18,159 --> 00:09:20,159
del logaritmo, el logaritmo de 1 siempre es 0

101
00:09:20,159 --> 00:09:21,960
¿sí? ahora

102
00:09:21,960 --> 00:09:23,940
¿cuánto vale el límite

103
00:09:23,940 --> 00:09:25,740
por la izquierda del 0?

104
00:09:28,240 --> 00:09:29,580
¿dónde tengo que mirar?

105
00:09:29,659 --> 00:09:31,419
¿en la primera función o en la segunda?

106
00:09:31,759 --> 00:09:33,899
si pone por la izquierda del 0

107
00:09:37,940 --> 00:09:40,240
¿Dónde pone que es más pequeño que 0?

108
00:09:40,340 --> 00:09:41,559
¿En la primera o en la segunda?

109
00:09:42,840 --> 00:09:45,000
En la primera, aquí es menor que 0, ¿no?

110
00:09:45,379 --> 00:09:48,399
Bueno, pues pongo 1 menos 0 al cuadrado.

111
00:09:48,779 --> 00:09:50,320
¿Cuánto es 1 menos 0 al cuadrado?

112
00:09:51,879 --> 00:09:52,360
1.

113
00:09:53,279 --> 00:09:55,279
Bueno, pues yo ya sé que esta función no es continua.

114
00:09:59,600 --> 00:10:01,759
Porque estos dos valores tienen que coincidir.

115
00:10:01,759 --> 00:10:09,159
De todas formas, se suele comprobar cuánto vale el límite por la derecha del 0.

116
00:10:09,159 --> 00:10:11,200
por la derecha del cero

117
00:10:11,200 --> 00:10:16,220
¿con qué trozo estoy?

118
00:10:16,320 --> 00:10:17,940
¿con el primero, el segundo o el tercero?

119
00:10:21,659 --> 00:10:23,379
¿dónde pone mayor que cero?

120
00:10:25,220 --> 00:10:26,799
no, aquí pone mayor que uno

121
00:10:26,799 --> 00:10:29,559
aquí pone mayor que cero

122
00:10:29,559 --> 00:10:31,179
cero menor que uno

123
00:10:31,179 --> 00:10:31,799
en la segunda

124
00:10:31,799 --> 00:10:33,899
pues esto es logaritmo neperiano

125
00:10:33,899 --> 00:10:35,259
de uno más cero que es cero

126
00:10:35,259 --> 00:10:38,039
bueno, conclusión

127
00:10:38,039 --> 00:10:41,080
¿qué es lo que ocurre aquí?

128
00:10:41,080 --> 00:10:46,720
Que existe f de cero, pero los límites delaterales por un lado valen cero y por otro lado valen uno.

129
00:10:47,279 --> 00:10:52,019
¿Hay que había discontinuidad evitable de salto finito o de salto infinito?

130
00:10:59,570 --> 00:11:00,090
¿De qué tipo?

131
00:11:01,350 --> 00:11:02,289
Salto infinito.

132
00:11:02,950 --> 00:11:03,389
¿Salto?

133
00:11:04,830 --> 00:11:07,110
A ver, el salto es de cero a uno.

134
00:11:07,450 --> 00:11:08,570
Ese salto es infinito.

135
00:11:09,389 --> 00:11:11,190
Es de salto, pero finito.

136
00:11:11,889 --> 00:11:13,429
De salto finito.

137
00:11:13,429 --> 00:11:46,429
Y ahora, por otro lado, voy a hacer en x igual a 1. ¿Cuánto vale f de 1? La primera, la segunda o la tercera. ¿Dónde pone x igual a 1? En la segunda, ¿no? Pues logaritmo de 1 más 1 que es el logaritmo de 2.

138
00:11:46,429 --> 00:12:09,820
Si lo haces con la calculadora sale un número claro, por decir, un número. ¿Vale? Ahora, ¿cuánto vale el límite por la derecha del 1? Por la derecha del 1, perdón, por la izquierda, es menor que 1, ¿no? ¿Dónde pone menor que 1? Aquí pone mayor que 1.

139
00:12:09,820 --> 00:12:26,700
La primera pone menor que cero. Pero te dicen dónde pone menor que la segunda. Bueno, pues aquí sustituyo y me queda también logaritmo de dos porque estoy haciendo lo mismo.

140
00:12:26,700 --> 00:12:34,840
Y si x tiende a 1 por la derecha, ¿dónde pone x mayor que 1?

141
00:12:37,519 --> 00:12:39,379
En la tercera, pues vale 0.

142
00:12:40,860 --> 00:12:41,980
¿Coinciden los tres valores?

143
00:12:43,279 --> 00:12:43,720
No.

144
00:12:43,899 --> 00:12:45,240
Pues ¿cómo es la discontinuidad?

145
00:12:47,629 --> 00:12:48,309
¿Pero de qué tipo?

146
00:12:52,940 --> 00:12:53,580
Finito, ¿no?

147
00:12:53,980 --> 00:12:57,639
Porque pasa de logaritmo de 2, que es una supernumera de x, ¿no?

148
00:12:58,539 --> 00:13:00,100
A esto.

149
00:13:00,799 --> 00:13:02,799
a cero.

150
00:13:03,259 --> 00:13:04,539
¿Sí? Pues ese es el salto.

151
00:13:06,399 --> 00:13:07,460
Bueno, vamos

152
00:13:07,460 --> 00:13:09,240
y a ver,

153
00:13:09,639 --> 00:13:11,519
voy a priorizar en la clase

154
00:13:11,519 --> 00:13:13,840
de hoy, voy a priorizar

155
00:13:13,840 --> 00:13:14,639
una cosa,

156
00:13:15,360 --> 00:13:17,519
que es la...

157
00:13:19,879 --> 00:13:21,559
Quizá el próximo día en la clase

158
00:13:21,559 --> 00:13:23,320
del miércoles haga este

159
00:13:23,320 --> 00:13:25,480
porque yo quiero priorizar hoy los límites

160
00:13:25,480 --> 00:13:27,600
en el infinito. Son lo suficientemente

161
00:13:27,600 --> 00:13:29,299
importantes como para que...

162
00:13:29,299 --> 00:13:30,360
A ver,

163
00:13:30,799 --> 00:13:38,299
idea del límite en el infinito qué significa que extiende infinito que x toma un valor muy grande

164
00:13:40,480 --> 00:13:53,639
entonces idea intuitiva como hicimos el otro día con calculadora valor le daríais a esto con

165
00:13:53,639 --> 00:14:03,580
calculadora qué valor le daría a la equis nos dice que tiende a menos infinito qué valor meter es en

166
00:14:03,580 --> 00:14:15,620
el calculador menos a ver por ejemplo yo pondría pues 49 podría poner 17 9

167
00:14:15,620 --> 00:14:17,639
de los que queráis, ¿no? Bueno, 17 no cabe

168
00:14:17,639 --> 00:14:19,419
en la calculadora, pero poned un número

169
00:14:19,419 --> 00:14:21,779
muy grande, ¿vale? Entonces,

170
00:14:22,559 --> 00:14:23,899
coged vuestra calculadora

171
00:14:23,899 --> 00:14:26,120
y haced, acordaos

172
00:14:26,120 --> 00:14:27,820
que tenéis que ponerlo

173
00:14:27,820 --> 00:14:29,740
entre paréntesis, cuando el número es

174
00:14:29,740 --> 00:14:36,789
negativo. ¿Cuánto sale esto?

175
00:14:55,440 --> 00:14:56,480
Más 3, ¿no?

176
00:14:58,220 --> 00:14:59,179
¿Os sale esto?

177
00:15:04,860 --> 00:15:05,700
A ver si me equivoco.

178
00:15:05,700 --> 00:15:07,259
Decidme si me he equivocado, que

179
00:15:07,259 --> 00:15:11,240
999

180
00:15:11,240 --> 00:15:15,179
A ver,

181
00:15:18,289 --> 00:15:22,269
9, 9, 9, 6, 3, 0, 5, 6.

182
00:15:22,450 --> 00:15:23,049
¿Os sale eso?

183
00:15:24,850 --> 00:15:25,289
Sí.

184
00:15:25,830 --> 00:15:27,009
Bueno, os sale esto, ¿no?

185
00:15:27,730 --> 00:15:27,929
¿Sí?

186
00:15:29,149 --> 00:15:30,850
¿Cuánto diríais que vale este límite?

187
00:15:35,899 --> 00:15:37,919
A ver, sale un número muy grande, ¿no?

188
00:15:38,519 --> 00:15:39,820
Pues, ¿qué pensáis que va a salir?

189
00:15:43,440 --> 00:15:44,740
Que tiende a infinito.

190
00:15:51,000 --> 00:15:54,200
Si saliera negativo, pues sería menos infinito, ¿no?

191
00:15:54,740 --> 00:15:55,220
¿Sí?

192
00:15:56,320 --> 00:15:58,659
Ahora, ¿por qué pensáis que es eso?

193
00:16:00,539 --> 00:16:05,279
Porque yo tengo aquí un infinito al cuadrado y aquí un infinito multiplicado por 2.

194
00:16:07,159 --> 00:16:12,799
¿Qué infinito es más grande? ¿El infinito al cuadrado o el 2 por infinito al cuadrado?

195
00:16:12,840 --> 00:16:16,919
Este es mucho más grande y como está elevado al cuadrado sale negativo, ¿verdad?

196
00:16:17,779 --> 00:16:23,700
Bueno, pues esa es la razón por la que, perdón, sale positivo y esa es la razón por la que sale infinito.

197
00:16:23,700 --> 00:16:30,700
Esto a ojímetros. Esto es a ojo. ¿Cuál es la idea de un límite en el infinito?

198
00:16:32,539 --> 00:16:41,240
Ahora, ¿cómo se calcula? Vamos a hacer este límite tal como pone aquí. Se toma el término de la voluntad.

199
00:16:44,259 --> 00:16:55,460
A ver, simplemente, si quieres calcular este límite, solo vale si x tiende a infinito o a menos infinito.

200
00:16:57,690 --> 00:17:01,230
Pongo límite cuando x tiende a menos infinito.

201
00:17:01,529 --> 00:17:02,929
¿Cuál es el infinito mayor?

202
00:17:04,109 --> 00:17:06,589
¿Cuál es el infinito más grande de estos tres?

203
00:17:08,589 --> 00:17:12,869
Tomo el x de mayor grado, ¿no?

204
00:17:16,099 --> 00:17:18,099
Y es x al cuadrado, ¿no?

205
00:17:18,640 --> 00:17:23,299
Y ahora pienso, ¿cuánto es menos infinito elevado al cuadrado?

206
00:17:24,480 --> 00:17:27,940
Si multiplico infinito por infinito me sale infinito, ¿no?

207
00:17:27,940 --> 00:17:30,000
Como está elevado al cuadrado, sale presuntivo.

208
00:17:31,279 --> 00:17:43,670
A ver, por ejemplo, ¿cuánto valdría el límite cuando x tiende a infinito de menos x cuadrado más 20x más 14?

209
00:17:45,230 --> 00:17:45,910
¿Qué haríais?

210
00:17:50,660 --> 00:17:52,779
¿Cuál es el término de mayor grado?

211
00:17:54,099 --> 00:17:55,480
El cuadrado, ¿no?

212
00:17:56,079 --> 00:17:57,299
Menos x cuadrado.

213
00:17:59,539 --> 00:18:01,880
¿Para cuánto es menos infinito al cuadrado?

214
00:18:01,880 --> 00:18:25,640
Voy a ponerlo aquí. Ahora, ¿este infinito, este menos, está elevado al cuadrado? No, porque no hay paréntesis. Entonces, ¿cuánto valdría esto? Menos infinito. Entonces, esto que lo veáis, se coge el término de la de la grada y junta.

215
00:18:25,640 --> 00:18:38,339
Bueno, si os sale un ejercicio de estos, que sepáis que estos son, vamos, los facilísimos, teniendo en cuenta siempre, teniendo siempre mucho cuidado con el signo.

216
00:18:39,079 --> 00:18:49,960
Bueno, pues una vez hecho esto, vamos a hacer otro tipo de límites que es con funciones racionales. Funciones racionales es un polinomio dividido entre él.

217
00:18:50,759 --> 00:18:53,039
Bueno, aquí hay dos posibilidades.

218
00:18:53,299 --> 00:18:56,220
Hay gente que sigue esta regla, que yo la voy a poner arriba,

219
00:18:56,880 --> 00:18:58,859
pero a mí me gusta más que lo hagáis por lejos.

220
00:19:00,119 --> 00:19:02,859
Y a que si el infinito que está más arriba,

221
00:19:03,519 --> 00:19:08,599
el infinito que está en el numerador es más grande que el del denominador,

222
00:19:08,720 --> 00:19:10,339
el resultado va a ser infinito, ¿no?

223
00:19:11,160 --> 00:19:15,000
Pero si es más pequeño, y aquí quiero que penséis una cosa,

224
00:19:15,000 --> 00:19:35,940
¿Qué pasa si divido yo uno, un euro entre infinitas personas? ¿A cuánto toca cada persona? Algo muy cercano a cero, ¿no? Yo si reparto una tarta entre un millón de personas, pues tocamos a media mira cada uno, ¿no? Pues es lo mismo, ¿sí?

225
00:19:36,440 --> 00:19:40,799
Entonces, yo prefiero que lo hagáis tal como lo hemos hecho antes.

226
00:19:41,420 --> 00:19:43,500
Veréis que esta regla de arriba funciona.

227
00:19:44,599 --> 00:19:48,400
Insisto, creo que es mejor que lo hagáis así porque así lo aplazamos.

228
00:19:49,180 --> 00:19:55,599
Pero si queréis hacerlo con la regla que os he escrito ahí, que veáis que voy a hacerlo de la misma forma.

229
00:19:55,839 --> 00:19:57,380
A ver, vamos a ver.

230
00:19:58,039 --> 00:20:00,559
Tengo que calcular este límite cuando x tiene infinito.

231
00:20:03,069 --> 00:20:06,190
¿Cuál es el término de mayor grado en el numerador?

232
00:20:06,190 --> 00:20:29,940
2X. ¿Y en el denominador? 4X. ¿Qué puedo hacer con esta X y esta X? Simplificar, ¿no? ¿Qué me queda? 2 cuartos. Bueno, pues esto es un medio, o si queréis ponéis 0,5.

233
00:20:29,940 --> 00:20:57,220
Quiero que veáis que esto funciona porque en caso de duda esto es un recurso que obtenéis en los exámenes. Decidme un número muy grande. ¿Pongo 9999 otra vez? Vale, pues pongo aquí 2 por 9999 más 3 y en el denominador 4 por 9999 más 5.

234
00:20:57,220 --> 00:21:19,839
Le doy al igual y fijaos, me sale 0.50. Otros dos ceros. ¿Veis que sale muy parecido? Que sepáis que esto funciona. Siguiente caso. Recuerdo, x tiende a infinito. Si x tiende a un número, ya lo vimos el otro día.

235
00:21:19,839 --> 00:21:43,369
¿Cuál es el término de mayor grado arriba? X. ¿Y abajo? X al cuadrado. ¿Qué pasa si yo simplifico ahora? Esta X se me va con uno de estos, ¿no? Y me queda uno partido por X. ¿Y cuánto es uno partido por infinito?

236
00:21:43,369 --> 00:22:06,910
Pero, ahí estamos, ¿sí? Que no nos lo creemos. Hacemos la calculadora. Voy a hacerlo con otro tipo de calculadora que no tenga lo de las fracciones. A ver, si yo tengo 9, 9, 9, 9, 9, lo divido.

237
00:22:06,910 --> 00:22:09,230
acordaos que hay que poner un paréntesis

238
00:22:09,230 --> 00:22:11,130
y pongo 9, 9, 9, 9

239
00:22:11,130 --> 00:22:13,529
al cuadrado más 5

240
00:22:13,529 --> 00:22:13,849
¿sí?

241
00:22:15,009 --> 00:22:16,190
paréntesis y me queda

242
00:22:16,190 --> 00:22:18,890
esto, ¿sabéis que elevar a menos 4

243
00:22:18,890 --> 00:22:21,150
es mover la coma hacia la

244
00:22:21,150 --> 00:22:22,470
izquierda

245
00:22:22,470 --> 00:22:24,369
cuatro veces, ¿no?

246
00:22:24,690 --> 00:22:26,470
¿sabéis que 10 elevado a menos 4

247
00:22:26,470 --> 00:22:27,970
es una diez milésima?

248
00:22:28,849 --> 00:22:31,230
bueno, pues sale un número muy pequeño, muy cercano

249
00:22:31,230 --> 00:22:32,190
a cero, ¿sí?

250
00:22:32,730 --> 00:22:34,230
y ahora, último caso

251
00:22:34,230 --> 00:22:39,220
calculo este límite cuando x tiene infinito

252
00:22:39,220 --> 00:23:00,329
¿Qué tomo arriba? ¿Y abajo? Y ahora si simplifico, ¿qué me queda? X, ¿no? X partido por 1, que es X. Si la X vale infinito, pues esto es infinito.

253
00:23:00,329 --> 00:23:07,069
Y queréis, y no es malo que sepáis la norma, aunque yo prefiero que lo razonéis.

254
00:23:07,250 --> 00:23:16,970
Si el grado del numerador es más grande que el del denominador, el límite va a valer un infinito o menos infinito, dependiendo de los signos que estén.

255
00:23:18,210 --> 00:23:26,910
Si el grado del numerador es menor que el del denominador, estoy dividiendo una cosa más pequeña entre una cosa más grande.

256
00:23:26,910 --> 00:23:37,710
Se va a salir cero, ¿sí? Y si los dos grados son iguales, si os fijáis lo que me he quedado es el término de mayor grado, el coeficiente, y el término de mayor grado, el coeficiente.

257
00:23:38,730 --> 00:23:44,490
Eso es lo que os he puesto en el resumen del tema, que se puede hacer así, ¿vale?

258
00:23:45,190 --> 00:23:56,269
Entonces, estos límites, espero que os sean asequibles, ¿no? Y eso, ya a la hora de hacerlo en la práctica, pues pensad cómo os interesa más, ¿no?

259
00:23:56,269 --> 00:23:58,529
con esta norma que os he puesto aquí

260
00:23:58,529 --> 00:24:00,750
lo determino de mayor grado

261
00:24:00,750 --> 00:24:04,250
lo que pasa es que no os determina si es

262
00:24:04,250 --> 00:24:07,190
o ni más ni menos infinito, en el caso de que los grados

263
00:24:07,190 --> 00:24:10,109
el grado de P sea mayor que el grado de Q

264
00:24:10,109 --> 00:24:14,839
bueno, ahora, es posible

265
00:24:14,839 --> 00:24:18,019
que os quede un infinito menos infinito

266
00:24:18,019 --> 00:24:20,819
aquí hay problemas porque hay que

267
00:24:20,819 --> 00:24:22,480
deshacer la indeterminación

268
00:24:22,480 --> 00:24:26,059
esto es un problema, pero que veáis

269
00:24:26,059 --> 00:24:28,000
uy, en este me falta una raíz

270
00:24:28,000 --> 00:24:34,700
a ver cómo lo arreglo

271
00:24:34,700 --> 00:24:36,059
bueno, ahora lo arreglo

272
00:24:36,059 --> 00:24:37,660
a ver, a ver

273
00:24:37,660 --> 00:24:38,079
este

274
00:24:38,079 --> 00:24:40,960
rápidamente

275
00:24:40,960 --> 00:24:42,839
x tiende a infinito

276
00:24:42,839 --> 00:24:44,240
veis que aquí queda

277
00:24:44,240 --> 00:24:45,259
este término

278
00:24:45,259 --> 00:24:46,960
tiene mayor grado que este, ¿no?

279
00:24:47,279 --> 00:24:48,940
entonces esto va a salir infinito

280
00:24:48,940 --> 00:24:49,279
¿sí?

281
00:24:50,200 --> 00:24:51,279
pero esto ¿cómo?

282
00:24:51,440 --> 00:24:52,180
aquí va a salir

283
00:24:52,180 --> 00:24:54,259
menos infinito dividido entre dos

284
00:24:54,259 --> 00:24:56,240
¿cuánto es menos infinito dividido entre dos?

285
00:24:59,940 --> 00:25:01,299
menos infinito, ¿no?

286
00:25:01,759 --> 00:25:10,500
Si yo debo infinito dinero y me debí la deuda entre dos, sigo debiendo infinito dinero, ¿no?

287
00:25:10,960 --> 00:25:15,579
Bueno, pues esto tendréis que calibrar qué infinito es más grande.

288
00:25:16,200 --> 00:25:22,319
Y aquí lo que se supone es que tenéis que mezclarlo todo y pasarlo a común denominado.

289
00:25:22,920 --> 00:25:25,740
¿Cuál es el común denominado entre X y 2?

290
00:25:27,740 --> 00:25:28,700
2X, ¿no?

291
00:25:31,259 --> 00:25:32,539
El mínimo común múltiplo.

292
00:25:33,579 --> 00:25:35,799
Ahora, ¿cuánto es 2x dividido entre x?

293
00:25:38,519 --> 00:25:42,140
2x dividido entre x, 2.

294
00:25:42,660 --> 00:25:43,539
Sería 2, ¿no?

295
00:25:43,960 --> 00:25:46,259
La x se va con la x y queda 2.

296
00:25:46,759 --> 00:25:49,500
Lo multiplico por el numerador que es x cuadrado más 1.

297
00:25:50,759 --> 00:25:53,240
Por lo demás, ¿cuánto es 2x entre 2?

298
00:25:57,880 --> 00:25:58,779
X, ¿no?

299
00:25:59,619 --> 00:26:03,000
Efectivamente, x por 1 menos 2x.

300
00:26:03,000 --> 00:26:18,079
Entonces, todo esto lo opero, queda 2x cuadrado más 2, más x menos 2x cuadrado, y esto dividido entre 2x.

301
00:26:21,380 --> 00:26:34,400
¿Qué se puede hacer con esto? Se va a envergar y me queda límite, cuando x tiende a infinito, de 2 más x partido por 2x.

302
00:26:34,400 --> 00:26:36,940
¿Qué hago con esto?

303
00:26:40,380 --> 00:26:42,140
Tengo que tomar el término de

304
00:26:42,140 --> 00:26:44,160
mayor grado en el numerador

305
00:26:44,160 --> 00:26:44,700
que es

306
00:26:44,700 --> 00:26:48,259
¿Cuál es el término de mayor grado en el numerador?

307
00:26:49,099 --> 00:26:50,500
Y en el denominador

308
00:26:50,500 --> 00:26:52,359
2X

309
00:26:52,359 --> 00:26:53,559
¿Y qué tengo que hacer ahora?

310
00:26:56,319 --> 00:26:56,799
Simplificar

311
00:26:56,799 --> 00:26:58,220
¿Y si simplifico qué me queda?

312
00:26:59,839 --> 00:27:00,599
Un medio

313
00:27:00,599 --> 00:27:02,960
Quedan dos pero abajo

314
00:27:02,960 --> 00:27:03,160
¿No?

315
00:27:04,420 --> 00:27:06,799
Bueno, si queréis hacerlo con calculadora

316
00:27:06,799 --> 00:27:08,480
con 99999

317
00:27:08,480 --> 00:27:10,500
esto es lo que es un ejercicio

318
00:27:10,500 --> 00:27:13,119
si queréis lo podéis comprobar con la calculadora

319
00:27:13,119 --> 00:27:14,680
esto veréis que se acerca

320
00:27:14,680 --> 00:27:15,579
a 0,5

321
00:27:15,579 --> 00:27:21,740
en estos

322
00:27:21,740 --> 00:27:23,660
temas de análisis creo que estáis viendo

323
00:27:23,660 --> 00:27:25,720
que estáis practicando

324
00:27:25,720 --> 00:27:27,619
las cosas de la primera evaluación

325
00:27:27,619 --> 00:27:32,160
y a ver este

326
00:27:32,160 --> 00:27:36,180
bueno este es

327
00:27:36,180 --> 00:27:37,900
más raro pero es que

328
00:27:37,900 --> 00:27:39,900
también tenéis que ver que la primera

329
00:27:39,900 --> 00:27:42,059
de la evaluación no se hizo en balde, por la cual

330
00:27:42,059 --> 00:27:43,539
tenéis que tener un buen nivel.

331
00:27:44,140 --> 00:27:46,019
Si hay una raíz, lo que pasa es que no se

332
00:27:46,019 --> 00:27:46,599
veía bien.

333
00:27:48,220 --> 00:27:49,259
Esto es así, ¿no?

334
00:27:49,859 --> 00:27:51,940
Bueno, entonces, aquí vuelve

335
00:27:51,940 --> 00:27:53,920
a quedar infinito menos infinito.

336
00:27:54,880 --> 00:27:55,619
Con lo cual,

337
00:27:55,759 --> 00:27:57,319
¿qué pensáis que voy a hacer aquí?

338
00:28:04,589 --> 00:28:06,269
Multiplicar por el conjugado.

339
00:28:06,690 --> 00:28:07,950
Efectivamente, muy bien.

340
00:28:08,250 --> 00:28:10,089
Os vais acordando de cosas y esto

341
00:28:10,089 --> 00:28:12,450
que veáis, que las cosas de la primera evaluación

342
00:28:12,450 --> 00:28:14,150
aparecen en la

343
00:28:14,150 --> 00:28:15,269
segunda y en la tercera.

344
00:28:20,329 --> 00:28:24,990
Y aquí quedaría raíz de 2x menos 1 más x.

345
00:28:25,670 --> 00:28:38,230
Os recuerdo, suma por diferencia es igual a, efectivamente, al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

346
00:28:43,220 --> 00:28:44,940
A ver si esto lo estoy escribiendo bien.

347
00:28:44,940 --> 00:28:46,180
Lo estoy escribiendo bien.

348
00:28:47,980 --> 00:28:48,420
Sí, ¿verdad?

349
00:28:48,920 --> 00:28:49,940
Y aquí...

350
00:29:06,869 --> 00:29:11,130
Bueno, se podría haber razonado de otra forma.

351
00:29:11,269 --> 00:29:12,509
Y aquí queda más x, ¿no?

352
00:29:13,549 --> 00:29:15,369
Bueno, ¿qué es lo que ocurre aquí?

353
00:29:16,829 --> 00:29:18,569
¿Qué pasa con esto? Que se va, ¿no?

354
00:29:19,809 --> 00:29:22,930
Nos queda 2x menos 1 menos x cuadrado.

355
00:29:26,289 --> 00:29:31,029
No, no, no, no, porque tú multiplicas en el numerador y en el denominador por lo mismo.

356
00:29:32,210 --> 00:29:37,930
Aquí te queda suma por diferencia, que es diferencia de cuadrados, y aquí te queda una cosa, pues que no.

357
00:29:37,930 --> 00:29:56,269
A ver, esto no es exactamente racionalizar porque he quitado la raíz de arriba. Cuando racionaliza se va la raíz de arriba. La raíz de abajo. Pero ahora he hecho lo contrario y se va solo la raíz de arriba.

358
00:29:56,930 --> 00:30:02,880
Bueno, ahora, ¿cuál es el término de mayor grado en el numerador?

359
00:30:03,859 --> 00:30:05,480
Menos x cuadrado, ¿no?

360
00:30:05,779 --> 00:30:14,769
Y aquí, aquí tenéis que saber que la raíz es como elevar a un medio, ¿no?

361
00:30:15,970 --> 00:30:19,069
Raíz de 2x menos 1 es lo mismo que, ¿no?

362
00:30:19,210 --> 00:30:21,049
Entonces, efectivamente es x.

363
00:30:21,690 --> 00:30:22,869
Y ahora, ¿cuánto vale esto?

364
00:30:26,769 --> 00:30:28,269
¿Qué sale? ¿Más o menos?

365
00:30:30,210 --> 00:30:30,730
¿Menos?

366
00:30:32,190 --> 00:30:40,589
Y ahora, x cuadrado entre x, x nada más, ¿no?

367
00:30:41,150 --> 00:30:42,369
¿Y cuánto vale este límite?

368
00:30:43,869 --> 00:30:45,309
Menos infinito, ¿sí?

369
00:30:46,710 --> 00:30:50,509
Bueno, esto lo he hecho así porque en general hay que hacerlo así,

370
00:30:51,230 --> 00:30:54,829
pero que sepáis que yo ya sabía desde el principio que esto daba menos infinito.

371
00:30:55,029 --> 00:30:55,630
¿Sabéis por qué?

372
00:30:57,210 --> 00:31:01,549
Porque aquí la x está elevada a un medio.

373
00:31:01,549 --> 00:31:04,509
y entre x elevado a 1 medio

374
00:31:04,509 --> 00:31:06,549
el término de mayor grado es

375
00:31:06,549 --> 00:31:08,890
x y como tienen menos x

376
00:31:08,890 --> 00:31:10,009
delante pues ya está

377
00:31:10,009 --> 00:31:13,029
si queréis hacerlo con un cuadrado

378
00:31:13,029 --> 00:31:14,849
aquí tenéis que hacer toda esta

379
00:31:14,849 --> 00:31:17,009
o sea que hay veces

380
00:31:17,009 --> 00:31:18,210
que hay que hacer toda esta

381
00:31:18,210 --> 00:31:24,019
bueno, lo más

382
00:31:24,019 --> 00:31:24,920
importante

383
00:31:24,920 --> 00:31:27,660
lo más importante

384
00:31:27,660 --> 00:31:29,960
de la

385
00:31:29,960 --> 00:31:32,099
clase de hoy es lo que os voy

386
00:31:32,099 --> 00:31:33,539
a dar ahora y

387
00:31:33,539 --> 00:31:38,220
Y las cuentas son más fáciles de las que salen.

388
00:31:38,640 --> 00:31:41,660
Lo que pasa es que aquí tenéis que tener mucho cuidado.

389
00:31:42,660 --> 00:31:45,980
A ver, voy a hacer primero una representación gráfica.

390
00:31:46,920 --> 00:31:47,319
A ver.

391
00:32:00,539 --> 00:32:05,039
Bueno, ¿sabéis que una asíntota se acerca mucho?

392
00:32:06,420 --> 00:32:08,019
Perdón, una asíntota.

393
00:32:09,440 --> 00:32:11,480
Aquí, ¿esta asíntota qué sería?

394
00:32:11,619 --> 00:32:12,779
¿Dif frontal o vertical?

395
00:32:14,579 --> 00:32:15,400
Vertical, ¿no?

396
00:32:15,400 --> 00:32:16,819
¿Por qué? Porque es vertical.

397
00:32:18,339 --> 00:32:19,019
Vertical.

398
00:32:21,259 --> 00:32:23,660
Yo me acerco a A, ¿no?

399
00:32:23,819 --> 00:32:25,019
Pero no toco A.

400
00:32:25,839 --> 00:32:28,900
La ecuación de la recta es X igual a A.

401
00:32:30,619 --> 00:32:30,799
¿Sí?

402
00:32:31,700 --> 00:32:34,720
Ahora, si yo tomo esta asíntota,

403
00:32:38,369 --> 00:32:41,450
si tengo una función que va así,

404
00:32:42,029 --> 00:32:43,109
¿de qué tipo es la asíntota?

405
00:32:46,980 --> 00:32:47,240
¿Verdad?

406
00:32:48,240 --> 00:32:50,200
Asíntota horizontal.

407
00:32:51,200 --> 00:32:51,440
¿Sí?

408
00:32:52,539 --> 00:32:59,480
Pero ahora es el valor de la función, o sea que es I igual a B.

409
00:33:01,799 --> 00:33:04,980
¿Entendéis la diferencia entre asíntota horizontal y asíntota vertical?

410
00:33:05,539 --> 00:33:08,390
¿Qué es lo que ocurre aquí?

411
00:33:09,190 --> 00:33:16,849
Cuando yo me acerco a A, la función va a infinito.

412
00:33:16,849 --> 00:33:19,769
Podría ir a menos infinito. ¿Lo veis?

413
00:33:19,769 --> 00:33:23,369
en cambio aquí en una asíntota

414
00:33:23,369 --> 00:33:24,589
horizontal

415
00:33:24,589 --> 00:33:27,410
en una asíntota

416
00:33:27,410 --> 00:33:27,970
horizontal

417
00:33:27,970 --> 00:33:31,069
es que el límite cuando

418
00:33:31,069 --> 00:33:32,750
x tiende a infinito

419
00:33:32,750 --> 00:33:34,730
de f de x es b

420
00:33:34,730 --> 00:33:37,170
que si yo me voy

421
00:33:37,170 --> 00:33:39,049
muy muy a la derecha

422
00:33:39,049 --> 00:33:41,029
el valor de la y es b

423
00:33:41,029 --> 00:33:43,170
entonces yo esto

424
00:33:43,170 --> 00:33:45,150
os lo represento aquí para que lo veáis

425
00:33:45,150 --> 00:33:46,210
con calma en caso

426
00:33:46,210 --> 00:33:49,390
que esto no tiene nada que ver con esto

427
00:33:49,769 --> 00:34:06,950
Y imaginaos que yo tengo otra recta por aquí, ¿no? Y este es el valor c. Y la función va así. ¿Qué diríais aquí? ¿Que es una asíntota horizontal o vertical? Esta es horizontal.

428
00:34:06,950 --> 00:34:17,090
¿Y qué es lo que diríais? Que el límite cuando x tiende a menos infinito de la función es c.

429
00:34:19,789 --> 00:34:30,530
Y luego, si sale una asíntota oblicua, sabéis que cuando salga una asíntota oblicua, una recta que no es horizontal ni vertical va a ser igual a nx más n.

430
00:34:30,530 --> 00:34:44,469
Pues estas serán las oblicuas, que esas van aparte y es una genuina. Vamos, es un método muy concreto.

431
00:34:45,989 --> 00:34:54,690
Vale, entonces, bueno, para que sepáis que las funciones polinómicas directamente no tienen asíntotas.

432
00:34:54,690 --> 00:35:05,769
Si tienes una función polinómica, pues dicen, calcula las asíntotas y dices que las calcule otro porque no tienen, ¿no? No tienen. Las funciones polinómicas no tienen, ¿vale?

433
00:35:06,510 --> 00:35:21,690
Y ahora, vamos a ir una por una. ¿Os habéis fijado que en una asíntota vertical la A no está en la línea? Porque nunca, en el valor de la A nunca se llega a tocar, ¿lo veis?

434
00:35:22,670 --> 00:35:26,949
Bueno, pues en funciones racionales tenéis que buscar puntos que no sean del dominio.

435
00:35:28,170 --> 00:35:30,849
Y luego ver si es o no es así.

436
00:35:31,849 --> 00:35:32,730
Me explico.

437
00:35:33,510 --> 00:35:37,789
Esto, de nuevo, lo que se dije desde el primer día que vimos las funciones.

438
00:35:39,210 --> 00:35:42,269
Pedirle dominio a la función es como pedirle dominio.

439
00:35:43,510 --> 00:35:45,269
Bueno, no exactamente, pero parecido.

440
00:35:46,170 --> 00:35:47,750
¿Cuál es el dominio de esta función?

441
00:35:47,750 --> 00:35:56,820
Son todos los números reales menos los valores en los que el denominador es cero, ¿verdad?

442
00:35:59,239 --> 00:36:00,760
Porque no puedo dividir entre cero.

443
00:36:01,559 --> 00:36:03,780
¿Cuándo x cuadrado menos uno es cero?

444
00:36:09,289 --> 00:36:14,659
Cuando x cuadrado es igual a uno.

445
00:36:15,340 --> 00:36:16,820
Lo que está rozando pasa sumando.

446
00:36:17,039 --> 00:36:18,599
¿Y cuándo x cuadrado es uno?

447
00:36:28,400 --> 00:36:30,059
En uno y en menos uno.

448
00:36:30,320 --> 00:36:35,760
O sea que el dominio de esta función son todos los números reales excepto el menos uno y el uno.

449
00:36:36,360 --> 00:36:40,039
Acordaos que se ponen regladas para no confundirlo con el intervalo.

450
00:36:41,300 --> 00:36:44,800
Bueno, pues tengo que ver qué pasa en x igual a 1.

451
00:36:45,099 --> 00:36:46,579
¿Qué pasa en x igual a 1?

452
00:36:50,440 --> 00:36:56,960
Pues calculo el límite cuando x tiende a 1 de x menos 1 partido por x cuadrado.

453
00:36:59,590 --> 00:37:02,110
¿Os acordáis ya del otro día que se sustituía?

454
00:37:03,110 --> 00:37:07,269
¿Qué pasa si sustituyo 1 menos 1 partido por 1 al cuadrado menos 1?

455
00:37:07,269 --> 00:37:11,750
¿Arriba me sale? ¿Y abajo? ¿Qué se hace aquí?

456
00:37:14,590 --> 00:37:21,650
La indeterminación cero partido por cero que se resuelve simplificando por lo fin en el numerador y en el denominador.

457
00:37:22,909 --> 00:37:30,550
Todas estas cosas, estos son los básicos. Cuando os digo que son los básicos, que es un dominio, que se puede representar una parábola, una recta,

458
00:37:31,150 --> 00:37:34,809
que sepáis hacer esta indeterminación que ya nos salía el otro día.

459
00:37:34,809 --> 00:37:37,710
entonces, si estoy en el numerador

460
00:37:37,710 --> 00:37:38,630
hago Ruffini

461
00:37:38,630 --> 00:37:41,710
pues me queda 1, 1, 1

462
00:37:41,710 --> 00:37:43,510
aquí me queda 0 que es el resto

463
00:37:43,510 --> 00:37:45,309
o sea, ¿qué me queda en el numerador?

464
00:37:47,869 --> 00:37:48,389
1

465
00:37:48,389 --> 00:37:50,630
en el denominador

466
00:37:50,630 --> 00:37:52,809
acordaos que x cuadrado

467
00:37:52,809 --> 00:37:55,150
menos 1 es 1, 0, menos 1

468
00:37:55,150 --> 00:37:56,449
que hay un hueco ahí

469
00:37:56,449 --> 00:37:58,690
bajo el 1

470
00:37:58,690 --> 00:38:00,670
1, 1, 1, 0

471
00:38:00,670 --> 00:38:02,510
¿y qué polinomio es este?

472
00:38:05,150 --> 00:38:05,670
x

473
00:38:05,670 --> 00:38:07,610
más 1

474
00:38:07,610 --> 00:38:31,280
Y ahora, si sustituyo, ¿qué me queda? Uno partido por dos, ¿no? ¿Esto es infinito? ¿Un medio es infinito? Es cero, cinco, ¿no? Pues si el límite no es infinito, no hay asíntota vertical, ¿vale?

475
00:38:31,280 --> 00:38:36,139
Ahora, ¿qué pasa en el otro punto que no es del dominio?

476
00:38:36,199 --> 00:38:37,300
En x igual a menos 1.

477
00:38:41,119 --> 00:38:48,000
Límite cuando x tiende a menos 1 de x menos 1 partido por x cuadrado menos 1.

478
00:38:49,159 --> 00:38:50,760
¿Qué pasa si sustituyo?

479
00:38:51,019 --> 00:38:53,900
En el numerador me queda menos 2, ¿no?

480
00:38:54,679 --> 00:38:56,059
Y en el denominador, ¿qué me queda?

481
00:38:58,460 --> 00:38:59,019
Cero.

482
00:38:59,019 --> 00:39:02,699
¿os acordáis que cuando

483
00:39:02,699 --> 00:39:04,639
queda un número distinto de cero

484
00:39:04,639 --> 00:39:06,940
entre cero sale más o menos infinito?

485
00:39:08,420 --> 00:39:10,420
todo esto es lo que tenéis que relacionar ya

486
00:39:10,420 --> 00:39:12,519
de la sesión anterior con esta

487
00:39:12,519 --> 00:39:14,659
pues entonces aquí sí que

488
00:39:14,659 --> 00:39:16,780
hay una asíntota vertical

489
00:39:16,780 --> 00:39:20,139
y que pongo x o y

490
00:39:20,139 --> 00:39:24,820
en x igual a menos

491
00:39:24,820 --> 00:39:26,300
¿sí?

492
00:39:26,300 --> 00:39:30,360
y os piden las asíntotas hasta aquí.

493
00:39:31,460 --> 00:39:34,019
Es posible que os pidan que lo pintéis.

494
00:39:35,119 --> 00:39:37,219
Si os pide que lo pintéis, ¿no?

495
00:39:39,159 --> 00:39:44,920
Si queremos representarlo,

496
00:39:48,219 --> 00:39:48,780
representarlo,

497
00:39:49,099 --> 00:39:52,960
pues tendréis que hacer, ¿cuánto vale el límite

498
00:39:52,960 --> 00:39:57,960
cuando x tiende a menos uno menos de la función?

499
00:39:58,579 --> 00:39:59,719
¿Qué tenéis que hacer aquí?

500
00:40:00,079 --> 00:40:20,460
¿Cómo se calcula esto? Sustituyendo con un número más pequeño que menos 1. ¿Cuál cogerías? Yo cogería el menos 1,1 porque son bíblicos. Si coges el menos 2 y el menos 4, escorres el riesgo de equivocarte con el signo.

501
00:40:20,460 --> 00:40:26,679
Lo hacéis con la calculadora. Voy a hacerlo con la calculadora. Se puede hacer sin ella, como os expliqué el otro día.

502
00:40:27,579 --> 00:40:41,619
Menos 1, menos 1, perdón, menos 1,1. Menos 1,1, menos 1,1 dividido entre paréntesis.

503
00:40:41,880 --> 00:40:46,619
Acordaos que si el número es negativo hay que ponerlo entre paréntesis. A cuadrado, menos 1.

504
00:40:47,039 --> 00:40:52,000
Le doy al igual y me sale negativo. Pues va a ser menos infinito.

505
00:40:52,219 --> 00:41:02,719
menos infinito y bueno y si hacéis el límite por la derecha o sea cuando extiende a menos

506
00:41:02,719 --> 00:41:19,840
uno más qué valor le daría a la equis si extiende a menos uno más a uno a menos uno pero que sea

507
00:41:19,840 --> 00:41:21,380
mayor que menos 1.

508
00:41:24,880 --> 00:41:25,960
Pero el menos

509
00:41:25,960 --> 00:41:28,420
0,9.

510
00:41:29,079 --> 00:41:31,380
A lo mejor el menos 0,99

511
00:41:31,380 --> 00:41:33,659
pero voy a poner menos 0,9, menos 1

512
00:41:33,659 --> 00:41:34,980
y abajo.

513
00:41:37,679 --> 00:41:38,599
Creo que funciona.

514
00:41:38,880 --> 00:41:40,639
Vamos a comprobarlo.

515
00:41:41,059 --> 00:41:42,199
Se me ha equivocado.

516
00:41:42,199 --> 00:41:43,760
Se me ha equivocado. 0,9.

517
00:41:44,400 --> 00:41:46,340
Es que los americanos

518
00:41:46,340 --> 00:41:48,019
muchas veces cuando es 0, algo

519
00:41:48,019 --> 00:41:50,039
ponen la coma. A ver si funciona.

520
00:41:50,039 --> 00:42:18,650
Aquí me equivoco. A ver, es menos 0,9 menos 1, de abajo, paréntesis, es que no me había llegado al cuadrado, menos 0,9 al cuadrado, menos 1.

521
00:42:18,650 --> 00:42:24,010
A ver, efectivamente, da positivo. Aquí sale más infinito.

522
00:42:24,869 --> 00:42:26,789
¿Por qué quiero hacer esto?

523
00:42:27,190 --> 00:42:34,929
Porque si cuando estemos en el tema de gráficas, en menos uno, yo sé que hay una asíntota vertical.

524
00:42:37,820 --> 00:42:44,900
Y sé que por la izquierda vamos a ir a menos infinito y por la derecha vamos a ir a más infinito.

525
00:42:47,960 --> 00:42:52,739
Para el resto, que sepáis que vamos a volver con ello, que hay un tema de gráficas,

526
00:42:52,739 --> 00:43:04,500
pero que, bueno, que cuanto más práctica tengáis, ya, creo que eso estáis dando cuenta de las cosas más o menos que tenéis que repasar y practicar, ¿no?

527
00:43:04,500 --> 00:43:07,820
Todo esto, cuando os digo lo que hago es un básico, es un básico.

528
00:43:09,360 --> 00:43:15,739
Siguiente parte. Bueno, las asíntotas horizontales son más sencillas, que no cunda el pánico.

529
00:43:15,739 --> 00:43:23,179
Las asíntotas horizontales solo tenéis que hacer el límite cuando x tiende a infinito y el límite cuando x tiende a menos infinito.

530
00:43:23,739 --> 00:43:29,900
Pero en funciones racionales solo basta que lo hagáis o en infinito o en menos infinito.

531
00:43:30,900 --> 00:43:32,739
En funciones racionales.

532
00:43:34,219 --> 00:43:35,239
Como esta.

533
00:43:35,900 --> 00:43:39,920
Bueno, por ejemplo, os piden calcular las asíntotas horizontales de esta función.

534
00:43:40,860 --> 00:43:41,760
Pues directamente.

535
00:43:42,579 --> 00:43:43,840
Nos vamos aquí.

536
00:43:43,840 --> 00:43:46,739
asíntotas horizontales de esta función

537
00:43:46,739 --> 00:43:50,679
pues calculo directamente el límite

538
00:43:50,679 --> 00:43:52,320
cuando x tiende a infinito

539
00:43:52,320 --> 00:43:55,699
de x menos 1 partido por x cuadrado menos

540
00:43:55,699 --> 00:43:59,760
¿cómo se calcula esto?

541
00:44:01,139 --> 00:44:02,760
como hemos visto al principio de la clase

542
00:44:02,760 --> 00:44:05,400
¿qué tomo arriba?

543
00:44:06,739 --> 00:44:10,079
¿y abajo? x cuadrado

544
00:44:10,079 --> 00:44:12,000
¿cómo simplifico esto?

545
00:44:14,820 --> 00:44:15,739
¿y sale?

546
00:44:16,239 --> 00:44:23,980
1 en el numerador y en el denominador, x.

547
00:44:24,340 --> 00:44:26,179
¿Y cuánto es 1 partido por infinito?

548
00:44:27,019 --> 00:44:27,579
0.

549
00:44:28,059 --> 00:44:40,550
Pues conclusión asíntota horizontal por la derecha, por la derecha quiere decir que es el más infinito,

550
00:44:40,550 --> 00:44:43,670
que pongo ahora x o y.

551
00:44:44,489 --> 00:44:48,329
La horizontal que era y, y igual a 0.

552
00:44:49,949 --> 00:45:10,550
Si queréis hacer el cálculo, lo voy a hacer por curiosidad, si hacéis el límite cuando x tiende a menos infinito de x menos 1 partido por x cuadrado menos 1, os queda, tomo el término de mayor grado, ¿veis que sale lo mismo?

553
00:45:12,510 --> 00:45:20,510
¿Qué quedaría aquí? Límite cuando x tiende a infinito de 1 partido por x, ¿y cuánto es 1 partido por menos infinito?

554
00:45:22,610 --> 00:45:23,750
También es cero, ¿no?

555
00:45:24,289 --> 00:45:27,550
Vamos, diríamos menos cero, pero no es más cero que menos cero, ¿no?

556
00:45:27,989 --> 00:45:36,380
Pues también asíntota horizontal por la izquierda igual a cero.

557
00:45:37,880 --> 00:45:39,599
Gráficamente, ¿qué quiere decir esto?

558
00:45:43,920 --> 00:45:45,599
¿Cuál es la recta igual a cero?

559
00:45:46,420 --> 00:45:47,380
Es esta de aquí, ¿no?

560
00:45:47,380 --> 00:45:55,719
Pues que esta función se aproxima en infinito y en menos infinito a cero.

561
00:45:55,719 --> 00:45:58,539
lo que no sé

562
00:45:58,539 --> 00:46:00,719
todavía, que ya lo veremos

563
00:46:00,719 --> 00:46:02,780
es que también podría aproximarse

564
00:46:02,780 --> 00:46:03,440
por abajo

565
00:46:03,440 --> 00:46:10,349
yo eso os lo voy a dar con crecimiento y decrecimiento

566
00:46:10,349 --> 00:46:11,730
o sea que eso irá más adelante

567
00:46:11,730 --> 00:46:14,289
en el libro se explaya

568
00:46:14,289 --> 00:46:16,250
demasiado, no miréis

569
00:46:16,250 --> 00:46:18,110
esta parte que pone de

570
00:46:18,110 --> 00:46:19,829
posición

571
00:46:19,829 --> 00:46:22,590
de la síntota respecto de la curva

572
00:46:22,590 --> 00:46:23,530
porque

573
00:46:23,530 --> 00:46:25,530
para mí es un follón

574
00:46:25,530 --> 00:46:28,570
entonces yo de momento os pido esto

575
00:46:28,570 --> 00:46:31,550
No que sepáis si va por arriba o si va por debajo.

576
00:46:32,090 --> 00:46:34,010
Si alguien quiere mirarlo, que lo mire.

577
00:46:34,110 --> 00:46:38,309
Hay gente que lo mira y le gusta y también es muy respetable.

578
00:46:41,059 --> 00:46:45,019
Bueno, por último, asíntotas oblicuas.

579
00:46:46,239 --> 00:46:53,570
Bueno, para las asíntotas oblicuas es siempre,

580
00:46:53,570 --> 00:46:56,530
una asíntota oblicua tiene esta ecuación,

581
00:46:56,789 --> 00:46:58,429
igual a nx más n.

582
00:47:00,090 --> 00:47:01,789
Tenéis que dibujar esa rueda.

583
00:47:01,789 --> 00:47:18,170
Esto, generalmente, se hace utilizando estos límites. Si queréis hacer alguno, practicadlo, pero, vamos, yo en primero suelo preguntaros solo asíntotas oblicuas de funciones racionales.

584
00:47:18,170 --> 00:47:29,909
A ver, para que haya una asíntota oblicua en una función racional, el grado del numerador tiene que ser una unidad mayor que el denominador.

585
00:47:30,710 --> 00:47:37,610
Entonces, decidme, ¿esta función tiene asíntotas oblicuas? ¿Cuál es el grado del numerador?

586
00:47:37,929 --> 00:47:48,739
El grado, el grado. Segundo grado. ¿Y el grado del denominador? Uno. ¿El numerador gana en uno al denominador?

587
00:47:52,269 --> 00:48:01,679
A ver, estoy diciendo que hay asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que la de P.

588
00:48:04,079 --> 00:48:09,579
El grado de P, o sea, si esto es P partido por Q, ¿cuál es el grado de P?

589
00:48:13,980 --> 00:48:15,219
Habéis dicho que es 2, ¿no?

590
00:48:16,039 --> 00:48:17,840
¿Y cuál es el grado del denominador?

591
00:48:19,519 --> 00:48:19,960
1.

592
00:48:24,369 --> 00:48:26,630
O sea, que este es 1 más que este, ¿no?

593
00:48:27,230 --> 00:48:30,610
Pues yo sé que va a haber asíntota oblica.

594
00:48:31,590 --> 00:48:41,769
Bueno, lo otro miradlo, que no me va a dar tiempo a darlo, para otro tipo de funciones, pero si os pongo una función racional que es bastante habitual.

595
00:48:43,510 --> 00:48:47,829
A ver, yo sé que va a haber un asíntota oblicuo, pero ahora me diréis, ¿qué asíntota es esa?

596
00:48:49,929 --> 00:48:57,369
Atención, a mí me gusta dar este método porque volvemos a repasar la división de polinomios.

597
00:48:57,369 --> 00:49:18,659
¿Os acordáis que no se dividían polinomios? Tomo el término de mayor grado. X cuadrado dividido entre X. ¿Cuánto es? X. Y ahora hago X por X y paso restando. Muy bien. Y X por menos uno. Y al cambiar de signo, más X.

598
00:49:18,659 --> 00:49:28,940
O sea, como veis, estamos repasando la primera barra final. Me queda aquí 2x. ¿Y ahora cuánto es 2x entre x?

599
00:49:33,500 --> 00:49:45,800
2, ¿no? Más 2, ¿no? 2 por x y paso restando. 2 por menos 1, menos 2 y paso sumando.

600
00:49:45,800 --> 00:49:48,559
se tacha y a que 2 no puedo

601
00:49:48,559 --> 00:49:49,519
dividirla entre x

602
00:49:49,519 --> 00:49:52,440
bueno, pues ¿cuál es la asíntota oblicua?

603
00:49:56,000 --> 00:49:56,519
igual

604
00:49:56,519 --> 00:49:58,420
a x menos 2

605
00:49:58,420 --> 00:50:01,900
lo de la m y la n

606
00:50:01,900 --> 00:50:03,179
mirad algún ejemplo

607
00:50:03,179 --> 00:50:05,800
pero a mi me gusta poner más

608
00:50:05,800 --> 00:50:08,480
en primero me gusta más poner una racional

609
00:50:08,480 --> 00:50:10,219
porque damos un poco más

610
00:50:10,219 --> 00:50:12,500
como sobre seguro

611
00:50:12,500 --> 00:50:13,420
bueno

612
00:50:13,420 --> 00:50:19,170
gráficamente

613
00:50:19,170 --> 00:50:23,489
y como veis aquí tenéis que dominarlo todo

614
00:50:23,489 --> 00:50:25,969
a ver, yo quiero dibujar esa recta

615
00:50:25,969 --> 00:50:28,170
¿cómo dibujáis esa recta?

616
00:50:30,380 --> 00:50:31,420
podéis dar dos valores

617
00:50:31,420 --> 00:50:34,599
si la x vale 0, la y vale

618
00:50:34,599 --> 00:50:38,659
y si la x vale 1, la y vale

619
00:50:38,659 --> 00:50:41,280
3, ¿no?

620
00:50:42,000 --> 00:50:44,639
1 más 2 que es 3, o sea el 0, 2

621
00:50:44,639 --> 00:50:46,400
y el 1, 3, ¿no?

622
00:50:48,119 --> 00:50:50,579
Bueno, pues esta va a ser la asíntota oblicua.

623
00:50:53,360 --> 00:50:56,019
¿Y qué quiere decir que esto sea asíntota oblicua?

624
00:50:56,480 --> 00:51:00,920
Pues que la función va a acercarse a esa asíntota.

625
00:51:01,719 --> 00:51:04,440
Lo que yo nos voy a pedir de momento

626
00:51:04,440 --> 00:51:07,820
es que sepáis si se acerca por arriba o por abajo.

627
00:51:08,679 --> 00:51:10,679
Si alguien quiere estudiarlo, que se lo estudie,

628
00:51:10,679 --> 00:51:13,920
que es una cosa práctica, pero yo no os lo voy a pedir específicamente.

629
00:51:14,639 --> 00:51:24,199
Pero vamos, yo sé que por ahí, y bueno, como veis, si hay asíntota oblicua no hay horizontal, y si hay asíntota horizontal no hay asíntota oblicua.

630
00:51:27,760 --> 00:51:43,079
Bueno, entonces, a ver, más o menos he dado todo, pero vamos a hacer así, porque creo que os he dejado un ejercicio al final de que calculéis todas las...

631
00:51:43,079 --> 00:52:08,170
Ah, ¿no? ¿Queréis que eso había ahí? Sí, sí, sí. Bueno, aquí. Bueno, esta función dice calcula las asíntotas. Yo solo he hecho aquí la oblicua porque sabía que había oblicua. ¿Tiene asíntota horizontal? No, porque hay oblicua. ¿Y tiene asíntota vertical? Tiene una muy vertical muy clara. ¿Sabéis cuál es?

632
00:52:08,170 --> 00:52:40,900
Pues a ver qué os he dicho siempre que veáis cuando tenéis una función, que calculeis el dominio, ¿no? ¿Cuál es el dominio de f? Todos los números reales excepto cuando x menos 1 es igual a 0. Cuando x es 1. Pues todos los números reales, efectivamente.

633
00:52:40,900 --> 00:52:52,880
No tiene por qué serlo, Silvia, porque ahora tengo que comprobar cuánto vale el límite cuando x tiende a 1 de x cuadrado más x partido por x menos 1.

634
00:52:54,019 --> 00:52:55,559
¿Qué queda en el numerador?

635
00:52:57,880 --> 00:52:59,500
1 más 1 que es 2, ¿no?

636
00:53:00,199 --> 00:53:02,239
En el denominador 1 menos 1 que es 0.

637
00:53:02,420 --> 00:53:05,079
Aquí ya puedo decir que hay asíntota vertical.

638
00:53:06,739 --> 00:53:10,039
Asíntota vertical en x igual a 1.

639
00:53:10,039 --> 00:53:33,679
Entonces, fijaos lo que yo sé de esa función. Yo sé de esa función que tiene una asíntota vertical en x igual a 1, que tenía una asíntota oblicua, que era así, ¿os acordáis?

640
00:53:40,659 --> 00:53:48,800
Bueno, pues sé más cosas, sé más cosas de esas. Si yo calculo los límites laterales, si queréis sigo y si no, lo dejamos.

641
00:53:52,000 --> 00:54:07,360
límite cuando extiende a uno por la izquierda de esta función bueno no a ver esto os lo creéis por

642
00:54:07,360 --> 00:54:24,800
aquí sale menos infinito esto hacer y si hacéis el límite por la derecha de esa función sale más

643
00:54:24,800 --> 00:54:33,460
infinito me dice esto que por la izquierda de por la izquierda esto va a menos infinito

644
00:54:34,739 --> 00:54:40,260
y que por la derecha va más infinito pues yo sé que esta función va así

645
00:54:42,039 --> 00:54:52,059
y que esta función por este lado base y como os habéis quedado un poco asa os lo voy a demostrar

646
00:54:52,059 --> 00:55:23,519
Porque esto, quiero que utilicéis esta aplicación para que comprobéis los cálculos que hacéis. Creo que ya os lo he puesto en algún momento, el GeoGebra, ¿no? ¿Habéis copiado la función? A ver, creo que en el numerador era x cuadrado más x.

647
00:55:23,519 --> 00:55:26,940
más x

648
00:55:26,940 --> 00:55:28,920
ahora le doy a partido

649
00:55:28,920 --> 00:55:29,420
que es

650
00:55:29,420 --> 00:55:31,639
x más 1

651
00:55:31,639 --> 00:55:33,420
x menos 1

652
00:55:33,420 --> 00:55:36,719
¿la veis? ¿qué bonita?

653
00:55:38,239 --> 00:55:38,380
¿sí?

654
00:55:39,039 --> 00:55:40,800
bueno, pues para que quede más bonita

655
00:55:40,800 --> 00:55:43,199
voy a poner asíntotas

656
00:55:43,199 --> 00:55:44,199
de f

657
00:55:44,199 --> 00:55:51,150
¿sí? y como veis tiene

658
00:55:51,150 --> 00:55:53,170
el asíntota oblicua igual a x más 2

659
00:55:53,170 --> 00:55:55,010
y el asíntota oblicua es igual a 1

660
00:55:55,010 --> 00:55:57,409
el vertical es igual a x igual a 1

661
00:55:57,409 --> 00:55:57,650
¿no?

662
00:55:57,969 --> 00:56:04,809
Bueno, pues esto si queréis usarlo, pues os puede servir de utilidad para que entendáis cómo van saliendo las cosas.

663
00:56:04,809 --> 00:56:21,050
Bueno, la economía depende de coger el más infinito o el menos infinito, pero sí, es una buena metáfora.

664
00:56:21,050 --> 00:56:33,349
Bueno, pues eso es todo. Detengo esto, detengo la grabación y nada, cualquier cosa que necesitéis, pues ya sabéis.