1
00:00:00,000 --> 00:00:05,000
Vamos a estudiar la continuidad de una función en un punto.

2
00:00:05,000 --> 00:00:15,000
Una función f de x es continua en el punto x igual a a si se verifica que el límite cuando x tiende a f de x es igual a f de a.

3
00:00:15,000 --> 00:00:23,000
Esto equivale a decir que una función f de x es continua en el punto x igual a a si cumple las tres condiciones siguientes.

4
00:00:23,000 --> 00:00:27,000
Primera condición. Existe la imagen de f de a.

5
00:00:27,000 --> 00:00:32,000
Segunda condición. Existe el límite cuando x tiende a f de x.

6
00:00:32,000 --> 00:00:37,000
Para ello lo que haremos es comprobar que los límites laterales en ese punto son iguales.

7
00:00:37,000 --> 00:00:45,000
Y tercera condición. El valor de f de a y el valor del límite cuando x tiende a f de x deben coincidir.

8
00:00:45,000 --> 00:00:47,000
Propiedades de funciones continuas.

9
00:00:47,000 --> 00:00:54,000
Las funciones polinómicas, radicales, racionales, exponenciales y logarítmicas son continuas en su dominio.

10
00:00:54,000 --> 00:01:01,000
Operaciones con funciones continuas. La suma, resta y producto de dos funciones continuas siempre son funciones continuas.

11
00:01:01,000 --> 00:01:07,000
El cociente de dos funciones continuas será una función continua excepto los valores que hacen cero el denominador.

12
00:01:07,000 --> 00:01:13,000
Si una función no es continua se dirá que la función presenta una discontinuidad.

13
00:01:13,000 --> 00:01:18,000
Existen dos tipos de discontinuidades. Las evitables y las no evitables.

14
00:01:18,000 --> 00:01:22,000
¿Cuándo ocurre que una función presenta una discontinuidad evitable?

15
00:01:22,000 --> 00:01:29,000
Cuando el límite de la función en ese punto existe pero no se cumple la condición 1 o la condición 3.

16
00:01:29,000 --> 00:01:38,000
Es decir, que o no existe en la imagen de f de a o los valores de f de a y el límite cuando x tiende a f de x no son iguales.

17
00:01:38,000 --> 00:01:42,000
Solo cumpliría el punto 2.

18
00:01:42,000 --> 00:01:44,000
Vamos a verlo con dos ejemplos.

19
00:01:44,000 --> 00:01:46,000
Tenemos aquí una primera gráfica.

20
00:01:46,000 --> 00:01:48,000
Tenemos aquí la función.

21
00:01:48,000 --> 00:02:01,000
Lo que vemos es que el límite a la izquierda y a la derecha coinciden pero el valor de ese límite con el valor de f de 2 no es el mismo.

22
00:02:01,000 --> 00:02:08,000
El límite cuando x tiende a 2 de la función vale 4 y el valor de f de 2 vale 1.

23
00:02:08,000 --> 00:02:10,000
Por lo tanto son distintos.

24
00:02:10,000 --> 00:02:19,000
Como son distintos estamos en este caso en el que se cumple el punto 1, existe la imagen, el punto 2, existe el límite, pero el punto 3 no se cumple.

25
00:02:19,000 --> 00:02:26,000
Pues no es lo mismo el valor de f de 2 que el límite cuando x tiende a 2 de la función en ese punto.

26
00:02:26,000 --> 00:02:28,000
Vamos con la siguiente gráfica.

27
00:02:28,000 --> 00:02:34,000
Aquí lo que ocurre es que el límite existe, tanto a la izquierda como a la derecha vale 0, pero no existe f de 0.

28
00:02:35,000 --> 00:02:46,000
Es decir, en nuestro caso sería que se cumple el punto 2, existe el límite cuando x tiende a 2 de f de x, pero no existe la imagen de f de 0.

29
00:02:46,000 --> 00:02:50,000
A la izquierda y a la derecha coinciden pero no existe f de 0.

30
00:02:50,000 --> 00:02:52,000
No está dentro de lo que sería el dominio.

31
00:02:54,000 --> 00:02:56,000
Discontinuidad no evitable.

32
00:02:56,000 --> 00:02:58,000
Aquí lo que ocurre es que no se cumple el punto 2.

33
00:02:58,000 --> 00:03:03,000
Es decir, no existe el límite cuando x tiende al punto de f de x.

34
00:03:03,000 --> 00:03:05,000
No coincidirán los límites laterales.

35
00:03:07,000 --> 00:03:14,000
Si esos límites laterales no coinciden pero son números reales, diremos que es una discontinuidad no evitable de salto finito.

36
00:03:14,000 --> 00:03:22,000
Si lo que ocurre es que alguno de los límites laterales en ese punto es más o menos infinito, diremos que es una discontinuidad no evitable de salto infinito.

37
00:03:22,000 --> 00:03:30,000
La primera gráfica lo que corresponde es a una de salto finito y la segunda gráfica corresponde a una de salto infinito.

38
00:03:31,000 --> 00:03:33,000
Vamos a hacer un ejemplo particular.

39
00:03:33,000 --> 00:03:35,000
Estudie la continuidad de la siguiente función.

40
00:03:35,000 --> 00:03:40,000
Tenemos una rama que es 1 partido de x más 2 si la x es más pequeño que menos 1.

41
00:03:40,000 --> 00:03:45,000
La segunda rama es una función polinómica, una función cuadrática, gráfica parábola.

42
00:03:45,000 --> 00:03:51,000
x cuadrado menos x si los valores de x están entre menos 1 y 2.

43
00:03:51,000 --> 00:03:55,000
Y la función constante 2 si x es mayor o igual que 2.

44
00:03:56,000 --> 00:04:05,000
Las tres ramas, la primera sería una función racional y esta estaría definida para todos los valores excepto para x igual a menos 2

45
00:04:05,000 --> 00:04:07,000
que es el número que anula el denominador.

46
00:04:07,000 --> 00:04:17,000
Como pertenece a la semirrecta x menor que menos 1, diremos que la función f de x es discontinua en x igual a menos 2.

47
00:04:17,000 --> 00:04:29,000
En la segunda rama, como es una función polinómica y la tercera igual, ambas su dominio es todo R y son funciones que son continuas.

48
00:04:29,000 --> 00:04:35,000
Lo único que tendríamos que estudiar son los puntos de ruptura, es decir, donde se enganchan las funciones.

49
00:04:35,000 --> 00:04:38,000
Es decir, en el menos 1 y en el 2.

50
00:04:38,000 --> 00:04:42,000
Vamos a estudiar en x igual a menos 1.

51
00:04:43,000 --> 00:04:47,000
Si en x igual a menos 1, el f de menos 1 existe.

52
00:04:47,000 --> 00:04:51,000
Por lo tanto, cumpliría el punto 1.

53
00:04:51,000 --> 00:04:54,000
Existe la imagen de f de menos 1.

54
00:04:54,000 --> 00:04:57,000
Vamos a estudiar ahora el límite.

55
00:04:57,000 --> 00:05:03,000
Cuando x tiende a menos 1, a la izquierda y el límite cuando x tiende a menos 1, a la derecha.

56
00:05:03,000 --> 00:05:10,000
El límite cuando x tiende a menos 1 de esta función es sustituir 1 partido menos 1 más 2, calculamos el límite y me sale 1.

57
00:05:10,000 --> 00:05:14,000
El límite cuando x tiende a menos 1 de esta función me sale 2.

58
00:05:14,000 --> 00:05:18,000
Por lo tanto, no son igual los límites laterales.

59
00:05:18,000 --> 00:05:21,000
Por lo tanto, no existe límite.

60
00:05:21,000 --> 00:05:26,000
Si no existe límite, lo que hemos dicho, es decir, no cumple el punto 2.

61
00:05:26,000 --> 00:05:29,000
Existe una discontinuidad no evitable.

62
00:05:29,000 --> 00:05:35,000
Como son números reables, diremos que es una discontinuidad no evitable de salto finito.

63
00:05:36,000 --> 00:05:39,000
Vamos con x igual a 2.

64
00:05:39,000 --> 00:05:44,000
Primera condición, tengo que ver si existe la imagen de f de 2.

65
00:05:44,000 --> 00:05:47,000
f de 2 tiene la imagen y vale 2.

66
00:05:47,000 --> 00:05:53,000
Vamos a estudiar ahora el límite cuando x tiende a 2 a la izquierda y el límite cuando x tiende a 2 a la derecha.

67
00:05:53,000 --> 00:06:00,000
Voy a mi función y 2 a la izquierda es calcular el límite de esta función de x cuadrado menos x,

68
00:06:00,000 --> 00:06:04,000
el límite cuando x tiende a 2 a la izquierda.

69
00:06:04,000 --> 00:06:07,000
Ese valor de ese límite vale 2.

70
00:06:07,000 --> 00:06:13,000
En cambio, cuando el límite cuando x tiende a 2 a la derecha, la función 2 vale también 2.

71
00:06:13,000 --> 00:06:17,000
Por lo tanto, los límites laterales coinciden y coinciden con la imagen.

72
00:06:17,000 --> 00:06:21,000
¿Qué significa eso? Que la función f de x es continua.

73
00:06:21,000 --> 00:06:23,000
Cumple los tres pasos.

74
00:06:23,000 --> 00:06:30,000
Cumple que existe la imagen, cumple que existe el límite y cumple que coinciden los valores.

75
00:06:30,000 --> 00:06:42,000
En resumen, lo que tendríamos es que esta función es continua en todo R excepto en el punto x igual a menos 2 y en x igual a menos 1.