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00:00:12,269 --> 00:00:17,530
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,530 --> 00:00:22,070
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,070 --> 00:00:26,129
de la unidad AE3 dedicada a las inequaciones y los sistemas de inequación.

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00:00:27,910 --> 00:00:35,000
En la videoclase de hoy estudiaremos las inequaciones racionales.

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00:00:36,000 --> 00:00:52,000
En esta videoclase vamos a estudiar la resolución de inequaciones racionales, que como veis

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00:00:52,000 --> 00:00:56,579
son aquellas que van a poder reducirse a la comparación con cero de una fracción racional.

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00:00:56,719 --> 00:01:00,899
Y aquí tengo fracción mayor que cero, menor que cero, son desigualdades estrictas,

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00:01:01,359 --> 00:01:04,439
mayor o igual que cero, menor o igual que cero, desigualdades no estrictas.

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00:01:05,239 --> 00:01:08,180
Hay un método algorítmico, que es el que voy a describir en esta videoclase,

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00:01:08,299 --> 00:01:15,439
que es muy similar al que ya he descrito al hablar de las inequaciones polinómicas de grado superior a 1.

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00:01:15,439 --> 00:01:18,980
Es terriblemente similar. Vais a ver inmediatamente cuánto de ello.

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00:01:19,599 --> 00:01:25,019
Lo que voy a hacer es, en primer lugar, una vez que he conseguido expresar mi inequación de esta manera,

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00:01:25,120 --> 00:01:30,780
la comparación con cero de una fracción racional, voy a tomar el numerador, voy a tomar el denominador

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00:01:30,780 --> 00:01:35,620
y voy a buscar sus ceros, resolviendo la ecuación p de x igual a cero, q de x igual a cero.

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00:01:36,420 --> 00:01:42,140
Voy a llamar s sub p al conjunto de los ceros de p, voy a llamar s sub q al conjunto de los ceros de q.

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00:01:42,140 --> 00:01:53,420
Y lo que voy a hacer es no quedarme con S sub P, no quedarme con S sub Q, sino formar el conjunto S, que es la unión de S sub P y S sub Q.

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00:01:53,719 --> 00:01:57,959
El conjunto de todos los ceros del numerador y del denominador.

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00:01:58,540 --> 00:02:04,019
Fijaos que si, por ejemplo, P de X fuera un polinomio de grado 5, yo espero encontrarme aquí con 5 ceros.

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00:02:04,180 --> 00:02:05,900
P1, P2, P3, P4, P5.

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00:02:05,900 --> 00:02:14,000
Si q de x fuera un polinomio de grado 3, esperaría encontrarme con tres ceros de q, y aquí tendría un conjunto con tres ceros, q1, q2, q3.

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00:02:15,060 --> 00:02:27,860
Cinco ceros y tres ceros, eso no quiere decir necesariamente que ese sea un conjunto con ocho elementos, y aquí tuviera ordenados, puesto que a efectos del algoritmo me va a convener tenerlos así, no voy a tener ordenados.

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00:02:27,860 --> 00:02:37,080
Los 5 más 3 igual a 8 ceros del numerador y del denominador. Tened cuidado, porque pudiera ser que alguno de estos elementos estuviera repetido.

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00:02:37,479 --> 00:02:41,000
Pudiera ser que el numerador y el denominador tuvieran algún cero en común.

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00:02:41,520 --> 00:02:45,439
De tal forma que ese tendrá a lo sumo 8 elementos, puede ser que tuviera menos.

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00:02:46,240 --> 00:02:51,020
Puesto que en las uniones los elementos repetidos no deben aparecer repetidos.

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00:02:51,020 --> 00:03:02,259
¿De acuerdo? Supongamos que aquí tenemos n elementos, en el caso en el que estaba pensando, supongamos que no tuviera ceros comunes el numerador y el denominador y tuviera 8 elementos, S1, S2 hasta S8.

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00:03:02,819 --> 00:03:12,319
Bien, pues esos n elementos, 8, van a dividir la recta real en n más 1 intervalos y semirrectas, igual que habíamos discutido en la videoclase anterior.

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00:03:12,800 --> 00:03:18,300
Si tengo todos estos elementos ordenados, va a ser muy útil, pues voy a tener desde menos infinito hasta S1,

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00:03:18,460 --> 00:03:20,860
de S1 a S2, de S2 a S3, etc.

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00:03:21,300 --> 00:03:27,639
Si pienso que tengo 8 elementos, pues el último será desde S8 hasta más infinito una semirrecta.

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00:03:27,879 --> 00:03:30,699
Y tendré 9 entre intervalos y semirrectas.

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00:03:31,979 --> 00:03:35,280
¿Por qué hago esta distinción? ¿Por qué genero estos intervalos?

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00:03:35,280 --> 00:03:40,900
Porque dentro de cada uno de ellos, el signo de la fracción racional va a estar bien definido y no va a variar.

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00:03:40,900 --> 00:03:52,240
Esto es, para todos los valores de x entre menos infinito y s1, esta fracción racional va a estar bien definida, el valor numérico se va a poder calcular y en todos los casos el signo va a ser el mismo.

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00:03:52,300 --> 00:03:56,020
Lo mismo para el intervalo de s1 a s2 y así sucesivamente.

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00:03:56,840 --> 00:03:58,500
¿Qué es lo que entonces vamos a hacer?

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00:03:58,879 --> 00:04:07,219
Bueno, pues una vez que hayamos buscado los ceros de b, los ceros de q, hayamos generado este conjunto con la unión de los ceros de p y de q,

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00:04:07,879 --> 00:04:12,479
hayamos dividido la recta real en estos n más 1 intervalos utilizando estos ceros,

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00:04:12,620 --> 00:04:15,080
insisto, es muy conveniente de los ordenados,

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00:04:15,759 --> 00:04:19,019
lo que vamos a hacer es dentro de cada uno de estos intervalos o semirrectas

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00:04:19,019 --> 00:04:21,379
seleccionar un representante x.

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00:04:21,379 --> 00:04:27,459
Aquí tomaremos un x0 entre menos infinito y s1, un x1 entre s1 y s2,

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00:04:27,860 --> 00:04:33,459
así sucesivamente hasta un xn en esta semirrecta de sn hasta más infinito,

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00:04:34,079 --> 00:04:35,199
como hemos descrito aquí.

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00:04:35,199 --> 00:04:47,019
Cogeremos cada uno de estos representantes, sustituiremos en la fracción racional y vamos a determinar el valor numérico que va a estar bien definido y vamos a fijarnos en el signo de este valor numérico.

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00:04:47,319 --> 00:05:00,480
De tal forma que si verifica la desigualdad, el intervalo en el que se encuentra el representante formará parte de la solución y en caso contrario, cuando no verifique la desigualdad, no formará parte de la solución.

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00:05:01,399 --> 00:05:13,699
Así pues, cuando hayamos verificado en todos y en cada uno de estos intervalos con un representante el valor numérico de la fracción racional y comprobado si se cumple o no se cumple la desigualdad,

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00:05:14,120 --> 00:05:19,759
lo que tendremos al final es la unión de distintos intervalos, todos ellos abiertos por construcción.

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00:05:20,139 --> 00:05:28,480
En el caso en el que tuviéramos una desigualdad estricta, mayor estricto o menor estricto, la solución va a ser esa unión de intervalos abiertos.

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00:05:28,480 --> 00:05:35,519
Y en el caso en el que no hubiera ningún intervalo que formara parte de la solución, la solución existe y sería el conjunto vacío.

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00:05:36,300 --> 00:05:43,459
En el caso en el cual tuviéramos una desigualdad no estricta, una desigualdad de mayor o igual que cero, menor o igual que cero,

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00:05:44,120 --> 00:05:50,819
lo que hemos de hacer es a ese conjunto que hemos definido de esta manera, como la unión de intervalos abiertos,

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00:05:50,819 --> 00:05:58,699
Vamos a añadirle los ceros del numerador que no sean al mismo tiempo ceros del denominador.

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00:05:59,019 --> 00:06:03,319
Lo que aquí menciono de añadir sp menos sq.

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00:06:03,680 --> 00:06:04,819
Fijaos en lo que estoy diciendo.

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00:06:05,980 --> 00:06:15,139
sp son los ceros del numerador y de ellos excluyo, porque estoy restando, los que al mismo tiempo sean ceros del denominador.

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00:06:16,060 --> 00:06:19,160
Esto se debe a que tengo una desigualdad no estricta.

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00:06:19,160 --> 00:06:28,680
Así pues, admito como parte de la solución los valores de x que hacen que esta fracción racional tome el valor 0, idénticamente 0.

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00:06:29,040 --> 00:06:37,839
Y esos son los ceros del numerador, siempre y cuando no lo sean también del denominador, puesto que 0 entre 0 no está definido, no podemos dividir entre 0.

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00:06:37,839 --> 00:06:48,959
Los ceros del denominador deben excluirse, por supuesto, de la solución de esta desigualdad, puesto que la fracción racional del número de izquierda no está definido, no se puede dividir entre 0.

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00:06:49,160 --> 00:06:56,819
Para que la fracción racional valga cero, el numerador debe ser cero, pero no puede ser que el denominador también lo sea.

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00:06:56,980 --> 00:07:03,019
Por eso añadimos los ceros del numerador que no sean también ceros del denominador.

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00:07:04,000 --> 00:07:08,019
Como había mencionado en la videoclase anterior, esto lo puedo pensar de dos maneras.

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00:07:08,740 --> 00:07:17,079
Cuando tengo construida la unión de intervalos abiertos, cierro los extremos que sean ceros del numerador y que no sean ceros del denominador.

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00:07:17,079 --> 00:07:22,480
o bien pienso en que añado esos ceros del numerador que no sean también ceros del denominador

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00:07:22,480 --> 00:07:28,180
y eso me va a cerrar alguno de los intervalos y posiblemente me añada valores discretos.

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00:07:28,459 --> 00:07:31,660
Me encuentro con la misma situación que había descrito en la videoclase anterior.

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00:07:32,240 --> 00:07:39,079
Si de estos intervalos estoy excluyendo, porque no verifican la desigualdad, dos consecutivos,

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00:07:40,000 --> 00:07:44,439
pongamos por caso que fuera este de menos infinito a S1 y de S1 a S2

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00:07:44,439 --> 00:07:49,639
y pongamos por caso que este S1 fuera un cero del numerador que no fuera cero del denominador,

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00:07:50,379 --> 00:07:54,360
si sencillamente cierro los intervalos que sí veo que tengo dentro de la solución,

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00:07:54,899 --> 00:08:01,120
nunca jamás voy a darme cuenta de que S1, que es un cero por hipótesis del numerador que no lo es del denominador,

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00:08:01,500 --> 00:08:03,240
debe encontrarse dentro de la solución.

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00:08:03,639 --> 00:08:06,579
Así pues, puedo en general pensarlo de esta manera.

75
00:08:06,959 --> 00:08:10,620
Cuando tengo los intervalos ahora cierro algunos extremos,

76
00:08:10,620 --> 00:08:17,019
pero tened cuidado porque si estoy eliminando intervalos consecutivos es posible que este elemento frontera haya que añadirlo.

77
00:08:17,480 --> 00:08:20,339
No siempre será así, es posible, hay que tener cuidado con ello únicamente.

78
00:08:21,199 --> 00:08:28,339
Con esto que acabo de mencionar ya se puede resolver este ejercicio donde nos encontramos con distintas inequaciones

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00:08:28,339 --> 00:08:35,259
que en primer lugar, como podéis ver, no son fracción racional mayor o igual, menor o igual que cero,

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00:08:35,259 --> 00:08:43,340
sino que sencillamente son comparaciones en descripciones algebraicas, tendré que convertirlas en esa forma canónica que he mencionado anteriormente.

81
00:08:43,480 --> 00:08:47,960
Este ejercicio lo resolveremos en clase y posiblemente lo resolveremos en alguna videoclase posterior.

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00:08:50,700 --> 00:08:56,259
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:08:57,000 --> 00:09:01,100
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:09:01,840 --> 00:09:06,659
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:09:06,659 --> 00:09:08,639
Un saludo y hasta pronto.