1
00:00:13,230 --> 00:00:25,789
Vamos a hacer una construcción geogebra para enseñar a nuestros alumnos el concepto de derivada como pendiente de la recta tangente en el punto.

2
00:00:25,789 --> 00:00:46,649
Vamos a elegir la función x cuadrado partido por 4, vamos a elegir el punto 2,1 y el punto 6,9, vamos a cambiar algunas propiedades,

3
00:00:46,649 --> 00:00:54,750
vamos a poner la función en azul

4
00:00:54,750 --> 00:00:58,070
y vamos a poner

5
00:00:58,070 --> 00:01:01,350
ahora vamos a hacer una recta

6
00:01:01,350 --> 00:01:05,510
que pase por los dos puntos

7
00:01:05,510 --> 00:01:09,269
y esa recta la vamos a poner en rojo

8
00:01:09,269 --> 00:01:11,269
¿de acuerdo?

9
00:01:12,030 --> 00:01:15,269
bueno, pues ahora ya sabéis

10
00:01:15,269 --> 00:01:23,069
que el tema es que cuando yo vaya acercando el punto B al A, la recta secante se convierte en tangente

11
00:01:23,069 --> 00:01:30,189
y eso es a lo que pasamos a llamar derivada de la función en el punto A.

12
00:01:31,609 --> 00:01:38,510
Si nosotros cogiéramos la herramienta pendiente sobre la recta, pues ahí la tendríamos,

13
00:01:38,510 --> 00:01:45,250
pero no es eso lo que vamos a querer pintar

14
00:01:45,250 --> 00:01:46,790
así que la vamos a ocultar

15
00:01:46,790 --> 00:01:51,290
y ahora vamos a coger la herramienta recta paralela

16
00:01:51,290 --> 00:01:58,230
y vamos a trazar una paralela por A al eje X

17
00:01:58,230 --> 00:02:01,569
y una paralela por B al eje Y

18
00:02:01,569 --> 00:02:03,170
marcamos el punto C

19
00:02:03,170 --> 00:02:06,310
sabéis que no hace falta elegir interseca

20
00:02:06,310 --> 00:02:10,250
porque GeoGebra ha evolucionado en ese sentido mucho

21
00:02:10,250 --> 00:02:24,069
Y ahora, pues elegiríamos la herramienta segmento, marcaríamos de A hasta C, desde B hasta C, y ya tenemos las que queríamos.

22
00:02:24,069 --> 00:02:54,539
Bueno, podemos ocultar las dos rectas, el punto C, lo podríamos hacer con J y K a la vez, pero lo voy a hacer primero con una, de acuerdo, le voy a quitar que se vea la etiqueta, y ahora que ya, digamos, tengo hecho la línea que quería, pues voy a coger la herramienta copiar estilo visual para tenerlo en el otro lado.

23
00:02:54,539 --> 00:03:21,800
Bueno, pues ya tenemos esto, ahora vamos a escribir tres textos, el primero pues va a ser incremento de i igual y aquí vamos a jugar con idb,

24
00:03:21,800 --> 00:03:25,379
de acuerdo

25
00:03:25,379 --> 00:03:28,360
le vamos a restar IDA

26
00:03:28,360 --> 00:03:33,340
otra vez, casilla vacía

27
00:03:33,340 --> 00:03:34,879
pincho dentro

28
00:03:34,879 --> 00:03:37,740
IDA

29
00:03:37,740 --> 00:03:40,800
igual

30
00:03:40,800 --> 00:03:42,879
y ahora otra vez casilla vacía

31
00:03:42,879 --> 00:03:44,539
pero ahora dentro vamos a poner

32
00:03:44,539 --> 00:03:46,259
que nos haga ya la operación

33
00:03:46,259 --> 00:03:47,379
IDB

34
00:03:47,379 --> 00:03:49,580
menos IDA

35
00:03:49,580 --> 00:03:53,699
bueno, pues esto parece que ya está

36
00:03:53,699 --> 00:03:57,960
lo vamos a poner aquí

37
00:03:57,960 --> 00:04:00,080
lo elegimos

38
00:04:00,080 --> 00:04:02,960
vamos a ver sus propiedades

39
00:04:02,960 --> 00:04:06,259
vamos a hacerlo un poquito más grande

40
00:04:06,259 --> 00:04:09,400
hay que dar ok para que vuelva a hacerlo

41
00:04:09,400 --> 00:04:12,979
si os gusta más le podéis dar fórmula látex

42
00:04:12,979 --> 00:04:16,980
que queda yo creo que bastante mejor

43
00:04:16,980 --> 00:04:19,360
ponen sans serif y eso

44
00:04:19,360 --> 00:04:22,579
el color le vamos a elegir rojo

45
00:04:22,579 --> 00:04:35,240
Y en posición, pues vamos a poner simplemente B más C partido por 2, para que lo tenga siempre en el punto medio de B y C.

46
00:04:35,500 --> 00:04:40,500
Lo podemos alejar un poquito, ¿de acuerdo? Y ya está.

47
00:04:41,279 --> 00:04:51,139
Ahora vamos a repetir lo mismo con la X, así que podéis así ensayarlo.

48
00:04:51,139 --> 00:05:11,629
ensayarlo, casilla vacía, dentro x de b, menos casilla vacía, dentro x de a, muy bien,

49
00:05:11,629 --> 00:05:20,689
Igual, casilla vacía, x de b menos x de a.

50
00:05:21,329 --> 00:05:32,139
Bueno, perfecto, porque ahora yo le cojo el estilo visual, se lo copio, lo pincho,

51
00:05:32,139 --> 00:05:35,720
en posición ahora va a ser

52
00:05:35,720 --> 00:05:38,019
A más C partido por 2

53
00:05:38,019 --> 00:05:43,620
y en texto

54
00:05:43,620 --> 00:05:47,220
lo vamos a poner también como fórmula látex

55
00:05:47,220 --> 00:05:50,519
y lo vamos a poner

56
00:05:50,519 --> 00:05:51,920
ahí

57
00:05:51,920 --> 00:05:56,910
bueno, ya tenemos

58
00:05:56,910 --> 00:06:00,269
entonces incremento de Y

59
00:06:00,269 --> 00:06:03,629
incremento de X, me voy a permitir poner dos textos más

60
00:06:03,629 --> 00:06:08,129
uno va a ser la pendiente de la recta

61
00:06:08,129 --> 00:06:12,129
aquí si no sabéis látex de memoria

62
00:06:12,129 --> 00:06:13,850
pues siempre se puede elegir ahí

63
00:06:13,850 --> 00:06:17,889
vamos a elegir incremento de y

64
00:06:17,889 --> 00:06:24,160
partido por incremento de x

65
00:06:24,160 --> 00:06:28,939
vemos como queda en vista previa

66
00:06:28,939 --> 00:06:33,259
igual y ahora vamos a poner el valor m

67
00:06:33,259 --> 00:06:35,500
que es lo que vale

68
00:06:35,500 --> 00:07:01,339
Esto es. Vamos a escribir otro texto, ahora lo cambiaremos. Vamos a escribir otro texto donde antes de escribirlo vamos a definir la derivada de f, lo vamos a ocultar para que después utilizarla en el paso este.

69
00:07:01,339 --> 00:07:34,079
Aquí vamos a poner la definición de derivada, f' de x, vamos a poner fórmula látex, igual, vamos a elegir límite, aquí vamos a poner delante el incremento, cuando incremento de x tiende a 0, y vamos a ir viendo como queda, muy bien, perfecto.

70
00:07:34,079 --> 00:07:57,550
Aquí puedo, como ya me lo he aprendido, poner frac, incremento de y partido por incremento de x, muy bien, ahí lo tenéis, y ahí vamos a escribir ya la derivada, ¿de acuerdo?

71
00:07:57,550 --> 00:08:11,029
Entonces vamos a poner casilla vacía y dentro vamos a escribir f' de x de a, ¿de acuerdo?

72
00:08:11,269 --> 00:08:14,889
Y aquí vemos que nos queda 1.

73
00:08:16,149 --> 00:08:23,589
Vamos a copiar el estilo visual, ¿de acuerdo?

74
00:08:23,589 --> 00:08:47,230
Si vemos que se nos ha ido el látex, se supone que aquí en propiedades deberíamos poderlo volver a poner, aquí estamos, muy bien, y este, pues lo mismo, vale, está perfecto.

75
00:08:47,230 --> 00:09:08,389
M lo vamos a poner aquí, por ejemplo, y esto que se nos ha ido lo vamos a poner más abajo, pero vamos a hacer que se muestre solo, y así aprendemos a utilizarlo.

76
00:09:08,389 --> 00:09:27,389
Cuando x de b menos x de a sea menor que 0.01, es decir, ya estemos muy cerca, como vemos ha desaparecido porque todavía estamos lejos.

77
00:09:27,389 --> 00:09:55,379
Bueno, lo vamos a mover un poquito para la izquierda y lo vamos a bajar un poquito más, porque ahora vamos a hacer que se vea la vista 2, aquí la tenemos, y vamos a hacer que se vea lo más parecido posible.

78
00:09:55,379 --> 00:10:16,860
Aquí está la cuadrícula, coincide. Muy bien, pues ahora seleccionamos la función, los puntos, la recta, y lo que vamos a hacer es, podemos también seleccionar los segmentos,

79
00:10:16,860 --> 00:10:19,639
en propiedades

80
00:10:19,639 --> 00:10:23,519
vamos a hacer nada menos que

81
00:10:23,519 --> 00:10:29,340
se vean en la vista gráfica 2

82
00:10:29,340 --> 00:10:32,879
¿vale? así que ahí

83
00:10:32,879 --> 00:10:35,600
digamos que lo tenemos como duplicado

84
00:10:35,600 --> 00:10:39,200
¿de acuerdo? lo que pasa es que ahora vamos a hacer que la derecha

85
00:10:39,200 --> 00:10:41,600
sea un zoom

86
00:10:41,600 --> 00:10:43,240
para eso

87
00:10:43,240 --> 00:10:46,059
pues se me ha ocurrido

88
00:10:46,059 --> 00:10:57,940
Lo primero de todo es en la vista gráfica ver la relación que hay entre la X y la Y.

89
00:10:57,940 --> 00:11:23,860
Entonces, con una calculadora, voy a dividir la I máxima, serían 18, 19, 34 entre 15, 44.

90
00:11:23,860 --> 00:11:35,419
Bueno, esto es por acertar un poco más, vemos 1,253 para después ponerlo, ¿vale?

91
00:11:36,120 --> 00:11:45,379
Bien, pues este 1,253 me va a servir para una pequeña formulita que se me ha ocurrido

92
00:11:45,379 --> 00:11:51,679
Aquí, bueno, primero vamos a ver que estemos en la 2, efectivamente

93
00:11:51,679 --> 00:12:19,509
Bueno, aquí vamos a poner X de A menos X de B, que es nuestro ancho, menos X de A por 0.05, porque si pusiéramos solamente X de A quedaría demasiado pegado.

94
00:12:19,509 --> 00:12:47,120
¿Veis lo que ha hecho? Bueno, aquí vamos a poner x de b más x de b menos x de a por 0.

95
00:12:47,120 --> 00:12:47,759
punto

96
00:12:47,759 --> 00:12:51,360
pues vamos a poner

97
00:12:51,360 --> 00:12:53,080
35

98
00:12:53,080 --> 00:12:56,440
o 45

99
00:12:56,440 --> 00:12:58,740
vale

100
00:12:58,740 --> 00:13:00,860
muy bien

101
00:13:00,860 --> 00:13:01,980
aquí

102
00:13:01,980 --> 00:13:04,080
en la i vamos a poner

103
00:13:04,080 --> 00:13:04,840
idA

104
00:13:04,840 --> 00:13:08,340
menos también

105
00:13:08,340 --> 00:13:10,539
idB

106
00:13:10,539 --> 00:13:12,480
menos idA

107
00:13:12,480 --> 00:13:13,879
esto es lo único que estoy haciendo

108
00:13:13,879 --> 00:13:16,159
me lo podía haber saltado con vosotros

109
00:13:16,159 --> 00:13:17,220
y haberlo explicado

110
00:13:17,220 --> 00:13:32,350
es hacer que funcione después cuando me aleje o cuando me acerque la gráfica.

111
00:13:32,350 --> 00:13:45,490
Y en I máxima, que de momento vamos a dejar 11,58, porque aquí voy a escribir otra, la fórmula de, si os acordáis del 1,253,

112
00:13:45,490 --> 00:14:14,120
Pues vamos a definir una K que va a ser igual a 1.5 por 1.253 menos 1.05M y dividido por todo, vale.

113
00:14:14,120 --> 00:14:17,960
Vamos a ponerlo todo entre paréntesis

114
00:14:17,960 --> 00:14:24,590
Borramos esta

115
00:14:24,590 --> 00:14:25,490
Ahora

116
00:14:25,490 --> 00:14:28,649
Partido por M

117
00:14:28,649 --> 00:14:32,370
Y esa va a ser una K

118
00:14:32,370 --> 00:14:35,169
De acuerdo

119
00:14:35,169 --> 00:14:37,590
Aquí está

120
00:14:37,590 --> 00:14:39,629
Que voy a utilizar en la I

121
00:14:39,629 --> 00:14:41,789
En la I voy a poner IDB

122
00:14:41,789 --> 00:14:46,009
Más

123
00:14:46,009 --> 00:14:48,090
IDB

124
00:14:48,090 --> 00:14:50,129
Menos IDA

125
00:14:50,129 --> 00:14:56,389
repito que lo único que he hecho es poner los números para que me salga un rectángulo

126
00:14:56,389 --> 00:14:58,990
donde las unidades sean cuadradas

127
00:14:58,990 --> 00:15:06,179
y aquí es donde voy a poner K

128
00:15:06,179 --> 00:15:10,799
si lo he hecho bien, pues ahora cuando cierre

129
00:15:10,799 --> 00:15:16,840
pues se ve que deberíamos tener el punto

130
00:15:16,840 --> 00:15:19,899
pasa una cosa curiosa, que es que la función

131
00:15:19,899 --> 00:15:25,299
todo lo que habíamos generado que se viera en A y en B

132
00:15:25,299 --> 00:15:30,250
pues resulta

133
00:15:30,250 --> 00:15:38,870
que ha pasado a verse de otra manera

134
00:15:38,870 --> 00:15:42,570
bueno, lo que ha pasado es que

135
00:15:42,570 --> 00:15:46,309
he llamado K, he renombrado K y K era un segmento

136
00:15:46,309 --> 00:15:49,429
entonces lo que voy a hacer es, me voy a poner en K

137
00:15:49,429 --> 00:15:52,070
a ver si puedo

138
00:15:52,070 --> 00:15:55,470
voy a copiar la definición de K

139
00:15:55,470 --> 00:15:57,470
con control X

140
00:15:57,470 --> 00:16:04,279
y voy a ir echando para atrás

141
00:16:04,279 --> 00:16:06,559
así vemos la función deshacer

142
00:16:06,559 --> 00:16:07,860
a ver que tal funciona

143
00:16:07,860 --> 00:16:11,700
hasta que K sea el segmento

144
00:16:12,480 --> 00:16:13,159
muy bien

145
00:16:13,159 --> 00:16:16,399
lo que voy a llamar va a ser L

146
00:16:16,399 --> 00:16:20,620
voy a ver si funciona el control V

147
00:16:20,620 --> 00:16:22,279
perfecto

148
00:16:22,279 --> 00:16:23,820
muy bien

149
00:16:23,820 --> 00:16:32,720
Voy a ver aquí si está puesto lo que tenía que tener

150
00:16:32,720 --> 00:16:34,860
Voy a poner L

151
00:16:34,860 --> 00:16:37,299
Se nos ha ido todo

152
00:16:37,299 --> 00:16:41,899
Así que lo siento, pero hay que modificarlo todo

153
00:16:41,899 --> 00:16:45,240
Bueno, pues lo he rehecho con los datos que os he dicho

154
00:16:45,240 --> 00:16:47,879
Y aquí lo tenemos

155
00:16:47,879 --> 00:16:50,679
Ya prácticamente hemos terminado

156
00:16:50,679 --> 00:17:08,720
Porque ahora ya lo único que queremos es ver que al acercar B, vamos a ver que se ve aquí, al principio no se ve, pero ahora va a aparecer ahí B, la pendiente va disminuyendo, la diferencia entre la secante y la tangente va disminuyendo.

157
00:17:08,720 --> 00:17:18,079
Ahora en la izquierda ya hasta parece igual la tangente que la secante, pero aquí se ve todavía diferencia.

158
00:17:18,619 --> 00:17:28,740
Si yo ahora empiezo a acercar B, de acuerdo, como veis, cada vez el eje, o sea, la lupa va haciéndose cada vez más grande,

159
00:17:28,740 --> 00:17:42,000
eso se ve a partir de los ejes y simplemente pues ahora cuando lleguemos a estar a una distancia menor que 0,01

160
00:17:42,000 --> 00:17:51,619
nos aparece la derivada y como veis ni siquiera con este nivel de amplitud o de ampliación

161
00:17:51,619 --> 00:17:57,339
se puede ver diferencia entre la tangente y la secante.

162
00:17:57,339 --> 00:18:15,720
Hay un momento en que ya GeoGebra, en la izquierda, nos dice que la variación de Y y la variación de X es 0, la pendiente, sin embargo, el cociente no es indeterminación porque no da 0 partido por 0, todavía GeoGebra lo va calculando bien.

163
00:18:15,720 --> 00:18:28,039
Y aquí podría seguir, fijaros ya por qué orden voy, 1,0002, y en ese momento la pendiente y la derivada son iguales.

164
00:18:28,039 --> 00:18:38,160
Podemos volver atrás, y bueno, pues así es una construcción utilizando la lupa.