1
00:00:00,110 --> 00:00:04,129
Vamos a hacer la actividad 21 de las herramientas básicas, ¿vale?

2
00:00:04,629 --> 00:00:14,720
Dice, determinar pendiente del vector v de coordenadas v igual a menos 2, 3

3
00:00:14,720 --> 00:00:23,839
determinar las coordenadas de un vector w que sea perpendicular a v, a este

4
00:00:23,839 --> 00:00:28,620
y la pendiente de v. ¿Qué relación hay entre las dos pendientes?

5
00:00:28,620 --> 00:00:38,520
Muy bien, vamos a ver, tenemos por un lado el vector v de coordenadas menos 2, 3

6
00:00:38,520 --> 00:00:44,759
¿Vale? Aquí debería de aparecer una flechita siempre encima cuando hablemos de un vector, ¿vale?

7
00:00:44,759 --> 00:00:50,859
Pero bueno, la pendiente, me piden determinar la pendiente

8
00:00:50,859 --> 00:00:57,380
Pues bien, la pendiente que escribiremos así, m sub v, ¿a qué es igual?

9
00:00:57,380 --> 00:01:01,640
menos 3 entre menos 2

10
00:01:01,640 --> 00:01:03,359
en general

11
00:01:03,359 --> 00:01:04,799
en general

12
00:01:04,799 --> 00:01:07,760
si tengo un vector v de coordenadas

13
00:01:07,760 --> 00:01:09,079
v1, v2

14
00:01:09,079 --> 00:01:13,120
perdón, es positivo

15
00:01:13,120 --> 00:01:14,780
positivo, en general

16
00:01:14,780 --> 00:01:15,980
v2 pues sería

17
00:01:15,980 --> 00:01:18,700
v2 entre v1

18
00:01:18,700 --> 00:01:19,659
¿si o no?

19
00:01:20,799 --> 00:01:23,079
es decir, en general si tengo un vector

20
00:01:23,079 --> 00:01:24,340
con las coordenadas

21
00:01:24,340 --> 00:01:26,140
en x y en y

22
00:01:26,140 --> 00:01:29,120
lo que hacemos es dividir la coordenada

23
00:01:29,120 --> 00:01:38,709
en y entre la de en x y me da la pendiente. ¿Por qué es esto? Mirad, en realidad, en

24
00:01:38,709 --> 00:02:01,849
realidad, la pendiente de la recta, mirad, la pendiente de la recta, la pendiente de

25
00:02:01,849 --> 00:02:12,979
la recta sería una recta, por ejemplo, esta, ¿no? Pues la pendiente de la recta, en realidad,

26
00:02:13,159 --> 00:02:22,319
del vector v, perdón, la pendiente del vector v, imaginemos que es este el vector, pues

27
00:02:22,319 --> 00:02:26,180
Sabemos que la pendiente es la tangente del ángulo que forma con el eje horizontal, ¿sí o no?

28
00:02:26,800 --> 00:02:29,280
La tangente de este ángulo, ¿sí o no?

29
00:02:29,719 --> 00:02:36,520
O, este es el caso de las rectas, pero en el caso de un vector, pues es lo mismo,

30
00:02:36,520 --> 00:02:40,039
pero es que este ángulo de aquí es el mismo que este, ¿verdad?

31
00:02:41,120 --> 00:02:41,599
¿Sí o no?

32
00:02:42,580 --> 00:02:54,240
Bien, pues la tangente de alfa es el cateto opuesto partido del cateto contiguo.

33
00:02:55,039 --> 00:03:00,860
Este de aquí es V2 y este es V1, así que es igual a V2 entre V1.

34
00:03:01,400 --> 00:03:02,120
¿Se entiende o no?

35
00:03:02,740 --> 00:03:08,699
Que también es lo mismo que lo que crece la Y, lo que aumenta la Y cuando la X aumenta una unidad.

36
00:03:09,919 --> 00:03:11,099
¿Es clara la idea o no?

37
00:03:11,099 --> 00:03:18,819
O sea, la pendiente M es, por un lado, dos definiciones voy a dar, ¿vale?

38
00:03:18,819 --> 00:03:39,340
lo que aumenta la Y cuando la X aumenta una unidad, ¿sí o no?

39
00:03:39,960 --> 00:03:48,819
Por eso dividimos V2 entre VI, entre V1, porque es justamente, imagínate, vamos a ver un ejemplo.

40
00:03:48,819 --> 00:03:55,849
En el ejemplo este, bueno, este no es precisamente...

41
00:03:55,849 --> 00:04:05,009
Mirad, imaginemos este ejemplo. Este vector de coordenadas que esto mide, por ejemplo, 6 y esto 2.

42
00:04:05,909 --> 00:04:14,430
Mirad aquí. Si este fuera el vector, pues la pendiente es 2 sextos, que es un tercio.

43
00:04:15,150 --> 00:04:21,589
En realidad yo pregunto... Perdonad, voy a cambiar el ejemplo. Disculpadme, algo más intuitivo, perdón.

44
00:04:21,589 --> 00:04:28,689
Voy a cambiarlo. Imaginaos que esto es 2 y esto es 6.

45
00:04:30,829 --> 00:04:36,329
La pendiente, ¿qué sería? Lo que aumenta la Y mientras la X aumenta una unidad.

46
00:04:37,269 --> 00:04:41,550
Cuando la X ha aumentado, ¿cuántas unidades? Dos unidades.

47
00:04:42,569 --> 00:04:48,589
¿La Y cuánto ha aumentado? Cuando la X ha aumentado dos unidades, la Y ha aumentado 6.

48
00:04:48,589 --> 00:05:12,870
6. Por lo tanto, si la X aumenta en una unidad, ¿cuánto aumenta la Y? En realidad es 6 entre 2. ¿Sí o no? 6 entre 2, que es V2 entre V1. Son las coordenadas del vector V. ¿Se entiende o no? ¿Seguro? Bien.

49
00:05:12,870 --> 00:05:36,430
Así que, en general, la pendiente es lo que aumenta la Y cuando el X aumenta una unidad que coincide con, en el caso de trabajar con vectores, V2 entre V1. Y si fuera una recta, te coges un punto, otro, mides esto, mides esto, mides esto y divides. ¿Entendéis o no?

50
00:05:36,430 --> 00:05:42,839
Bien, esa es la pendiente del vector o la pendiente de la recta

51
00:05:42,839 --> 00:05:46,720
¿De acuerdo hasta aquí? Pues bien, en este caso sería 3

52
00:05:46,720 --> 00:05:51,459
Pero bueno, en mi ejemplo es 3 entre menos 2

53
00:05:51,459 --> 00:05:58,060
Pero fijaos, es que 6 entre 2 en este caso también es la tangente de este ángulo

54
00:05:58,060 --> 00:05:59,560
Alfa

55
00:05:59,560 --> 00:06:01,199
¿Sí o no?

56
00:06:01,939 --> 00:06:05,839
Por lo tanto, por esa razón también se puede definir la pendiente

57
00:06:05,839 --> 00:06:09,560
como la tangente del ángulo que forma

58
00:06:09,560 --> 00:06:10,819
con el eje horizontal

59
00:06:10,819 --> 00:06:12,740
¿se entiende o no?

60
00:06:13,000 --> 00:06:14,620
aquí he borrado esto malamente

61
00:06:14,620 --> 00:06:20,180
lo que aumenta la X

62
00:06:20,180 --> 00:06:22,600
cuando la Y, perdón

63
00:06:22,600 --> 00:06:25,360
cuando la X aumenta una unidad

64
00:06:25,360 --> 00:06:29,319
y otra definición de la pendiente sería

65
00:06:29,319 --> 00:06:37,620
tangente del ángulo

66
00:06:37,620 --> 00:06:53,110
que forma la recta, podemos poner entre paréntesis o el vector, ¿entendéis que estamos hablando

67
00:06:53,110 --> 00:07:11,629
de lo mismo? O el vector director, ¿vale? Con el eje horizontal, OX se llama, ¿vale?

68
00:07:12,370 --> 00:07:18,449
¿De acuerdo o no? OX porque aquí está O, este es el eje OX y este sería el eje OI,

69
00:07:18,449 --> 00:07:42,439
¿De acuerdo? ¿De acuerdo o no? ¿Es clara la idea de la pendiente? Bien, dicho esto, mi vector v tiene pendiente 3 entre menos 2. Seguimos. La siguiente pregunta nos piden que determinemos las coordenadas de un vector v que sea perpendicular a v.

70
00:07:42,439 --> 00:07:44,379
¿W qué es perpendicular a V?

71
00:07:45,139 --> 00:07:47,620
¿W es perpendicular a V?

72
00:07:48,000 --> 00:07:49,660
Pues nada, esto ya lo sabemos.

73
00:07:50,439 --> 00:07:55,500
En general, dado un vector V de coordenadas V1, V2,

74
00:07:56,800 --> 00:08:01,199
entonces un vector perpendicular generalmente lo llamamos así,

75
00:08:02,360 --> 00:08:04,019
normal de V, ¿sí o no?

76
00:08:05,120 --> 00:08:09,959
Sería menos V2, V1, el de coordenadas menos V2, V1.

77
00:08:09,959 --> 00:08:11,180
¿Es claro o no?

78
00:08:12,439 --> 00:08:32,279
Bien, entonces, en este caso, vector perpendicular a menos 2, 3, el vector W, que es el que nosotros llamamos, como tiene que ser perpendicular, lo vamos a llamar N, el normal a V, sería el de coordenadas menos 3, menos 2.

79
00:08:32,279 --> 00:08:34,360
¿Sí o no?

80
00:08:34,860 --> 00:08:37,320
¿Hay otro vector perpendicular a V?

81
00:08:38,139 --> 00:08:39,419
Hay infinitos

82
00:08:39,419 --> 00:08:41,360
Todos los proporcionales a este

83
00:08:41,360 --> 00:08:42,419
¿Sí o no?

84
00:08:43,139 --> 00:08:45,860
También valdría el de coordenadas 3, 2

85
00:08:45,860 --> 00:08:47,820
¿Sí o no?

86
00:08:48,879 --> 00:08:49,659
¿Sí o no?

87
00:08:49,860 --> 00:08:51,539
Pues claro, en realidad V es este

88
00:08:51,539 --> 00:08:55,179
Si W es este

89
00:08:55,179 --> 00:08:57,299
También este

90
00:08:57,299 --> 00:08:58,600
¿Sí o no?

91
00:08:58,600 --> 00:09:00,379
Pero también cualquier paralelo

92
00:09:00,379 --> 00:09:01,519
Proporcional

93
00:09:01,519 --> 00:09:18,710
¿Se ve la idea o no? Normal. La palabra normal quiere decir perpendicular, ¿vale? Por eso escribimos normal, ¿vale? Bien, y luego dice, ¿y la pendiente de W? ¿Cuál es la pendiente de W?

94
00:09:18,710 --> 00:09:40,700
La pendiente, la escribo así, M sub W sería menos 2 entre menos 3, que es igual a 2 tercios. ¿De acuerdo? Y la pregunta es, ¿qué relación hay entre las pendientes de un vector y el otro perpendicular?

95
00:09:41,659 --> 00:10:00,879
Mirad, esto ya está visto en clase, ¿no? Pero fijaros. Pues, ¿qué relación hay? Pues mirad, mv, observemos, ¿eh? Es menos tres medios. Voy a poner el signo arriba, ¿de acuerdo? Sirve igual, ¿no?

96
00:10:00,879 --> 00:10:15,200
Y MW es dos tercios. Fijaros, si hemos cambiado el numerador por el denominador y hemos cambiado de signo a la pendiente.

97
00:10:15,200 --> 00:10:35,639
Este es que a m sub v, a la pendiente de v, la invertimos y la ponemos el opuesto y obtenemos la pendiente de w, la perpendicular. ¿Se entiende o no? En general, esto se escribirá así.

98
00:10:35,639 --> 00:10:39,980
Lo redacto, ¿vale?

99
00:10:41,019 --> 00:10:41,440
Si

100
00:10:41,440 --> 00:10:43,500
Mirad

101
00:10:43,500 --> 00:10:47,000
Esta es la cuestión que quiero que aprendáis

102
00:10:47,000 --> 00:10:49,759
Si R y S

103
00:10:49,759 --> 00:10:50,419
Son

104
00:10:50,419 --> 00:10:53,279
Perpendiculares

105
00:10:53,279 --> 00:10:59,480
Dos vectores perpendiculares

106
00:10:59,480 --> 00:11:01,539
O dos rectas perpendiculares

107
00:11:01,539 --> 00:11:02,360
¿Os vale o no?

108
00:11:02,919 --> 00:11:03,919
¿Es lo mismo? ¿Vale?

109
00:11:05,720 --> 00:11:06,519
¿De acuerdo?

110
00:11:06,519 --> 00:11:26,539
Digo, repito, son vectores perpendiculares o rectas perpendiculares. Pues la pendiente de R es igual a menos 1 entre la pendiente de S. ¿Se entiende?

111
00:11:26,539 --> 00:11:45,519
Claro, en realidad, ¿por qué se le cambia el numerador por el denominador? Porque aquí aparece 1 partido de ms. ¿Se ve o no? Mirad, hago la demostración. Bueno, lo dejo sin demostrar.

112
00:11:45,519 --> 00:12:18,970
Esta es, aquí hay un vector S, ¿vale? Esto es lo que quiero con lo que os quedéis. Y, ojo, lo mismo se puede decir de dos rectas perpendiculares. ¿Es claro?