1
00:00:01,330 --> 00:00:08,130
Bueno, estamos en este ejercicio, en el tercero de este examen, que en este caso es un ejercicio del teorema de Rolle.

2
00:00:08,570 --> 00:00:16,910
Es ahí, nos hablan del teorema de Rolle y nos están diciendo que hay que calcular el valor del parámetro A, este parámetro, para que se verifique el teorema de Rolle.

3
00:00:17,550 --> 00:00:24,429
Después vamos, para ese valor de A, cuidado, si no calculamos A no vamos a poder hacer este apartado segundo.

4
00:00:24,429 --> 00:00:36,329
tenemos que calcular el valor de c que está dentro de ese intervalo para el que la derivada se hace cero, es decir, el valor de c cuya existencia asegura el teorema de error.

5
00:00:36,969 --> 00:00:46,090
Y en el apartado c de este ejercicio nos piden calcular máximos y mínimos absolutos de esta función en el intervalo menos pi medios 1.

6
00:00:46,090 --> 00:01:16,989
Bueno, pues vamos con ello. Entonces, empezamos por recordar cómo se, o cuáles eran las condiciones, las hipótesis del teorema de error, que decían que f tiene que ser continua en un intervalo cerrado, en un intervalo cerrado, y en este caso el intervalo cerrado, cuando nos dan es menos pi medios, que no nos asuste el pi, el pi es como un número, no nos asuste, estamos en radianes, por supuesto.

7
00:01:17,849 --> 00:01:23,420
Luego nos piden que f sea derivable en el abierto.

8
00:01:25,159 --> 00:01:28,319
Tenemos que exigirle eso a la función porque si no no se va a poder aplicar rol.

9
00:01:28,319 --> 00:01:35,060
Y luego tiene que verificarse que f de menos pi medios es igual a f de 1.

10
00:01:35,299 --> 00:01:39,319
Vamos a comprobar que todas se verifican o si alguna falla.

11
00:01:40,099 --> 00:01:42,540
Vamos con la última, si queréis empezamos por la última.

12
00:01:42,840 --> 00:01:48,280
f de menos pi medios, menos pi medios es menos 90 grados.

13
00:01:49,540 --> 00:02:04,340
Les recuerdo que menos pi medios va a estar por aquí, este es menos pi medios y su coseno, coseno de menos pi medios, no hace falta que lo calculemos con la calculadora, tenemos que manejarnos con los radianes, ¿verdad?

14
00:02:04,340 --> 00:02:14,919
menos pi medios es menos 90 grados y el coseno de menos 90 grados es 0. Y bueno, pues eso sería f de, entonces tenemos que ver que eso es 1 menos 0,

15
00:02:15,620 --> 00:02:28,020
ese sería el valor de f en el menos pi medios, 1 menos 0 que es 1, y el valor de 1, el valor en el 1 sería 1 más a por 1.

16
00:02:28,020 --> 00:02:48,979
Bueno, pues de aquí deducimos que 1 tiene que ser igual a a más 1, con lo cual la a tiene que ser 0, sino el teorema de Rohn no se va a poder aplicar, porque el valor de la función en los extremos no coincidiría.

17
00:02:49,900 --> 00:02:56,919
Y bueno, pues vamos a ver si para ese valor se verifican las otras dos cosas, porque si no, no hay, no se cumpliría.

18
00:02:56,919 --> 00:03:18,379
Vamos a verlo. Es decir que vamos a tener que tener necesariamente esta función f de x igual a 1 menos coseno de x y x cuadrado donde en la primera parte vale para valores negativos o cero y en la segunda parte si la x es positiva.

19
00:03:18,379 --> 00:03:36,580
Pues veamos si la función es continua en f, es continua en el 0, vamos a verlo, límite cuando la x tiende a 0 por la izquierda, tiene que ser igual al límite cuando la x tiende a 0 por la derecha.

20
00:03:36,580 --> 00:03:57,960
¿Por qué estoy viendo que la función sea continua en el cero? Porque es uno de los requisitos, das cuenta que estamos trabajando, queremos aplicar rol a este intervalo cerrado y el cero está aquí dentro, es justo a valores negativos y valores positivos, con lo cual estamos tomando valores a ambos lados, así que en el cero tiene que ser continua para que sea continua en el todo en el intervalo cerrado.

21
00:03:57,960 --> 00:04:09,400
Bien, vamos con ello. Entonces, sustituyendo 1 coseno de 0, sabéis que es 1, esto valdría 1 menos 1, 0, y a la derecha tendríamos 0 al cuadrado, 0.

22
00:04:09,860 --> 00:04:19,879
Luego, esto sí se verifica. La función es continua en el 0, y como la función es continua en el 0, f es continua en todo r.

23
00:04:19,879 --> 00:04:26,420
porque las funciones 1 menos coseno de x y x cuadrado son continuas fuera del 0

24
00:04:26,420 --> 00:04:38,089
y como en el 0 también es continua, pues es continua

25
00:04:38,089 --> 00:04:41,790
y por lo tanto f es continua en el intervalo cerrado que es lo que queremos

26
00:04:41,790 --> 00:04:50,629
bien, vamos con la derivabilidad

27
00:04:50,629 --> 00:04:52,769
para ello la derivabilidad sabemos que fuera del 0

28
00:04:52,769 --> 00:04:54,470
la derivada se calcula bien

29
00:04:54,470 --> 00:04:58,649
la derivada fuera del 0 valdrá 1 menos menos seno

30
00:04:58,649 --> 00:05:02,029
es más seno

31
00:05:02,029 --> 00:05:20,850
Seno de x y 2x. Si la x es positivo, si la x es negativo. Con lo que f' es derivable en todo r, salvo quizá en el 0.

32
00:05:20,850 --> 00:05:31,730
Y lo que tenemos que ver es f es derivable en x igual a 0. Para ello, esta función tiene que tender al mismo valor que esta.

33
00:05:32,029 --> 00:05:41,670
Es decir, el límite de la derivada cuando la x tiende a 0 por la izquierda debe ser igual al límite de la derivada cuando x tiende a 0 por la derecha.

34
00:05:42,410 --> 00:05:46,990
En ese caso la función será derivable en el 0.

35
00:05:46,990 --> 00:05:58,910
Vamos a poner aquí trabajo que nos cabe y bueno pues sustituimos seno de, aquí sería 2 por 0 que vale 0 a la izquierda y a la derecha seno de 0 que vale 0.

36
00:05:58,910 --> 00:06:15,079
correcto, con lo cual la función sí es derivable, es decir, f es derivable en todo r y por tanto f es derivable también en el intervalo cerrado

37
00:06:15,079 --> 00:06:35,459
que era lo que queríamos y perdón, esto es abierto. Muy bien, hemos terminado porque no bastaba con calcular que la a tuviese que ser 0

38
00:06:35,459 --> 00:06:47,459
sino que tenemos que verificar las tres condiciones. Hemos verificado que es continuo en el cerrado, derivable en el abierto y que además verifica que mi imagen en los extremos coincide.

39
00:06:48,040 --> 00:06:55,060
Bien, eso sería el primer apartado que es un punto y medio. Vamos con el segundo que es calcular justo para qué valor la derivada se hace cero.

40
00:06:55,699 --> 00:07:02,720
Tenemos ya la derivada calculada así que ya casi lo tenemos. En realidad tenemos que igualar a cero esta función y ver cuando eso se hace cero.

41
00:07:03,660 --> 00:07:19,500
Para ello, pues vamos a hacerlo, estamos en la portada b, sabemos que tiene que haber un valor, sabemos que existe un valor dentro del intervalo abierto tal que la derivada es 0.

42
00:07:19,500 --> 00:07:34,769
Y esto lo sabemos por el teorema de error. Con lo cual vamos a calcular este valor, como mínimo 1, puede haber más.

43
00:07:34,769 --> 00:07:41,149
Igualamos a 0, seno de x es 0 o bien 2x es 0

44
00:07:41,149 --> 00:07:47,069
La primera de ellas, pues, implicaría que la x es 0

45
00:07:47,069 --> 00:07:53,350
Pero la x es 0, no me vale, bueno, si es uno de los valores en el 0

46
00:07:53,350 --> 00:07:56,129
La derivada se hace 0, bien, pues, de acuerdo

47
00:07:56,129 --> 00:08:00,149
Pero vamos a ver si es este el que nos está pidiendo o no

48
00:08:00,149 --> 00:08:03,529
Si, este nos valdría, fijaos que la derivada en el 0 vale 0

49
00:08:03,529 --> 00:08:16,470
Pues con ese tendríamos resuelto. Vamos, de todas formas hemos visto, fijaos que la derivada en el 0 es 0, tanto por la izquierda como por la derecha, con lo que en el 0 es 0.

50
00:08:16,470 --> 00:08:32,169
Pero vamos a ver si hay algún que otro valor más. Seno de x es 0 si la x es o bien 0 o bien pi, es decir, 0 más k por pi.

51
00:08:32,169 --> 00:08:43,610
Teniendo en cuenta que los valores de la x tienen que ser positivos, pues los únicos valores de la k tienen que ser positiva y entera, es decir, natural.

52
00:08:47,639 --> 00:08:56,440
Pero estos valores están fuera del intervalo que nos piden. Así que esos valores no nos valen, con lo que el valor c buscado es el 0.

53
00:08:56,740 --> 00:09:04,039
Fijaos que de aquí el primer valor que tendríamos distinto del 0 sería pi, pero pi ya no pertenece a este intervalo que estamos estudiando.

54
00:09:04,039 --> 00:09:12,679
Así que c igual a 0 es nuestro valor, el valor buscado cuya derivada es 0.

55
00:09:13,659 --> 00:09:21,679
Vamos con el último ejercicio que es para a igual a 1 calcular los máximos y mínimos absolutos de la función en menos pi medios 1.

56
00:09:22,159 --> 00:09:26,580
Pues para ello vamos a escribir la función y vamos a calcular máximos y mínimos absolutos.

57
00:09:26,580 --> 00:09:54,009
Venga, vamos con ello. La función es 1 menos coseno de x si la x es mayor que 0 y x cuadrado más a por x, que ahora la a vale 1, creo, a por x, es decir, x si la x es, creo que lo he puesto mal, mayor o igual que 0 aquí y aquí menor que 0.

58
00:09:54,009 --> 00:09:58,710
Vamos a comprobar, porque cuando cambiamos de página, vamos a liarla, es muy fácil equivocarse.

59
00:10:01,370 --> 00:10:08,100
A ver, menor o igual que cero y mayor que cero, ¿no te digo?

60
00:10:14,159 --> 00:10:20,000
Menor o igual que cero, aquí un menor o igual que cero y aquí un mayor estricto.

61
00:10:24,330 --> 00:10:36,909
Bueno, y nos están pidiendo máximos, o sea, extremos relativos, en qué intervalo vaya a marear, menos pi media suma, en nuestro intervalo menos pi media suma.

62
00:10:36,909 --> 00:10:52,149
Entonces, daos cuenta de que la función ahora no es continua, pero estas dos funciones son continuas en el intervalo cerrado, luego cada una de ellas va a tener extremos absolutos,

63
00:10:52,149 --> 00:11:06,750
entonces podemos deducir que el extremo absoluto de la función va a existir, es decir, como x cuadrado más x y la función 1 menos coseno de x son continuas,

64
00:11:06,909 --> 00:11:42,100
en el intervalo cerrado, entonces alcanzan un máximo y mínimo absoluto, ¿verdad? Ese es el término de Bayes-Strauss. Por lo tanto, la función definida de trozos a partir de ella también.

65
00:11:59,309 --> 00:12:10,070
Es verdad que ahora la función, cuando sustituyamos en el 0, aquí me va a quedar 0, bueno, va a ser continua, no derivable, pero sí continua, así que bueno, pues no pasa nada.

66
00:12:10,070 --> 00:12:25,389
En realidad, no tendría que haber distinguido que las funciones fuesen continuas, porque como f también es continua, pues f de x es continua, si lo comprobáis, luego por eso también alcanza un máximo y un mínimo absoluto.

67
00:12:25,389 --> 00:12:50,490
Bueno, pues como toda función continua, para ver los máximos y mínimos absolutos tendremos que estudiar primero el valor de la función en los extremos relativos, en x igual a 1 y en x igual a menos pi medios, y luego tendremos que estudiar los valores para los que la derivada es 0, y de aquí sacar los máximos y mínimos relativos.

68
00:12:50,490 --> 00:13:01,970
Y dentro de estos tres grupos de valores, o bien este, o bien este, o bien este, pues van a ser los extremos absolutos, ¿de acuerdo?

69
00:13:02,230 --> 00:13:10,129
Así que, porque los extremos absolutos pueden ser un extremo relativo o no, pueden estar en los extremos del intervalo.

70
00:13:10,710 --> 00:13:20,789
Bueno, pues vamos a ir calculando. El valor de la función en el menos pi medios es, recuerdo que coseno de menos pi medios es coseno de 90 grados es 0, así que eso vale 1.

71
00:13:20,789 --> 00:13:42,789
Sí, 1. Luego tenemos que f de 1 vale 2. Luego vamos a calcular la derivada. La derivada vale 0 de x y abajo vale 2x más 1. Y tenemos que ver cuándo eso es 0. Eso es si x es menos que 0 y eso es si la x es...

72
00:13:42,789 --> 00:14:04,049
Entonces, igualando a cero la derivada, pues la x tiene que ser cero más k por pi, y aquí tenemos que la x tiene que ser negativa,

73
00:14:04,370 --> 00:14:12,690
pero dentro del intervalo menos pi medios pi medios aquí no hay soluciones, así que no existe en el intervalo pedido.

74
00:14:15,070 --> 00:14:17,429
El intervalo menos pi medios cero porque esto llega hasta cero.

75
00:14:18,070 --> 00:14:29,669
La otra, vamos a ver si tiene soluciones dentro de los valores que van a partir del 0 y son menos que 1, porque estamos hasta el 1, ¿verdad? En el intervalo menos pi medios 1 estamos, así que hasta el 1.

76
00:14:30,669 --> 00:14:40,570
Vamos con ello. 2x más 1, si lo resolvemos igual a 0, pues x será menos 1 partido por 2, que no pertenece al intervalo 0,1.

77
00:14:41,409 --> 00:14:51,850
Es decir, no cumple esta condición, que x sea mayor que 0, luego no es un extremo relativo de f.

78
00:14:52,549 --> 00:15:03,710
Con lo cual, como aquí no va a haber extremos relativos ni de un lado ni de otro, pues ya tenemos los valores máximos y mínimos absolutos de la función.

79
00:15:06,509 --> 00:15:14,230
Salvo quizá en el 0. Vamos a comprobar en el 0, cuidado, porque aquí en el 0 no es derivable, así que la función puede fallar.

80
00:15:14,230 --> 00:15:31,269
cuidado, ojo, entonces nos estamos comiendo el 0 en x igual a 0, f no es derivable, como no es derivable la tenemos que añadir aquí, este punto se nos había olvidado

81
00:15:31,269 --> 00:15:37,450
¿por qué? ahora voy a hacer un dibujo para que lo veamos, para que lo entendamos bien, bien, bien, bien, que puede estar pasando

82
00:15:37,450 --> 00:15:41,450
Vamos a calcular primero el valor de la función en el 0

83
00:15:41,450 --> 00:15:44,129
Ups, vamos a cambiar de color, ¿no?

84
00:15:47,320 --> 00:15:49,899
El valor de la función no de la derivada, sino de la función

85
00:15:49,899 --> 00:15:54,700
El valor de la función en el 0, coseno 0, vale 0

86
00:15:54,700 --> 00:15:56,360
Vale 0

87
00:15:56,360 --> 00:15:58,100
Entonces, ¿qué está ocurriendo?

88
00:15:58,179 --> 00:16:00,500
Vamos a hacer un dibujín para aclararnos

89
00:16:00,500 --> 00:16:06,220
Desde el menos pi medios, que la función en el menos pi medios vale 1

90
00:16:06,220 --> 00:16:11,620
hasta el 0 la función

91
00:16:11,620 --> 00:16:15,399
pues baja. Luego

92
00:16:15,399 --> 00:16:19,720
a partir de ahí y hasta el 1, la función en el 1

93
00:16:19,720 --> 00:16:24,820
vale 2, empieza a subir. Es algo así, bueno

94
00:16:24,820 --> 00:16:28,600
empieza a subir como una parábola, parecida a una parábola, x cuadrado más x

95
00:16:28,600 --> 00:16:31,259
esa función es positiva, tiene derivada positiva

96
00:16:31,259 --> 00:16:36,759
desde el 0 en adelante, o sea que es algo así. Entonces, ¿qué está

97
00:16:36,759 --> 00:16:40,399
ocurriendo que esto es un mínimo pero es un pico, hay una función no es derivable

98
00:16:40,399 --> 00:16:44,379
y no lo íbamos a detectar con la derivada. Es decir, aquí

99
00:16:44,379 --> 00:16:48,799
la función no es derivable pero sin embargo

100
00:16:48,799 --> 00:16:55,100
es un máximo absoluto, un mínimo absoluto quiero decir. Bueno, pues deducimos

101
00:16:55,100 --> 00:16:58,240
que el mínimo absoluto

102
00:16:58,240 --> 00:17:11,869
es 0 y se alcanza en el 0 y el

103
00:17:11,869 --> 00:17:19,380
máximo absoluto es el 2 y

104
00:17:19,380 --> 00:17:20,680
Y se alcanza en el 1.

105
00:17:28,380 --> 00:17:29,420
Muy bien, y esto es todo.

106
00:17:30,319 --> 00:17:33,660
Hemos resuelto este ejercicio que tenía 3 apartados, que era bastante completo.

107
00:17:34,359 --> 00:17:35,619
Pues vamos a por el siguiente.

108
00:17:35,839 --> 00:17:37,880
Estamos acabando ya el examen.

109
00:17:38,359 --> 00:17:41,039
El siguiente es el cuarto ejercicio y último de este examen.

110
00:17:41,259 --> 00:17:41,779
Vamos a por él.

111
00:17:41,940 --> 00:17:42,319
Hasta luego.