1
00:00:00,000 --> 00:00:07,379
Vamos con el ejercicio 31, que me piden calcular el área de la región limitada por estas dos curvas, ¿vale?

2
00:00:07,879 --> 00:00:11,640
A ver, ¿qué es lo que podemos, o qué es lo que nos tienen que decir primero estas dos curvas?

3
00:00:11,640 --> 00:00:17,219
La primera, la y igual a x cuadrado partido por 2, está claro que es una parábola, es la parábola básica,

4
00:00:17,640 --> 00:00:19,699
dividida entre dos, ¿vale?

5
00:00:20,260 --> 00:00:26,579
Simplemente nos va a dar la amplitud que va a ser menos abierta de lo que es la x cuadrado.

6
00:00:26,579 --> 00:00:44,420
De la segunda función, la 1 partido por x cuadrado más 1, lo que podemos, así a simple vista, tendríamos que darnos cuenta de que va a tener asíntotas horizontales en el más y en el menos infinito, porque si yo calculo el límite del más menos infinito, eso se va a cero.

7
00:00:44,420 --> 00:00:55,719
Eso es algo que así a ojo tendríamos también que verlo, y además es una función par, luego va a ser simétrica con respecto del eje y, ¿vale?

8
00:00:55,899 --> 00:01:00,780
Porque al ser la x al cuadrado y lo demás no cambia, va a ser el mismo tipo de función.

9
00:01:01,420 --> 00:01:10,500
Por lo tanto, el dibujo aproximado, y digo aproximado porque ya sabéis que yo simplemente hago esbozos, no lo calculo nada bien,

10
00:01:10,500 --> 00:01:28,400
La primera es la x cuadrado partido por 2, bueno, voy a poner algunos, o bueno, no sabía si poner algunos valores o no, da igual, mejor no los voy a poner, porque lo voy a hacer directamente a ojo.

11
00:01:28,400 --> 00:01:55,120
La primera función, la x cuadrado partido por 2, vamos a poner que es una parábola sonriente, como no sabemos los valores, y la otra función, esta la voy a poner moradito, lo que os he dicho es que yo sé que va a tener una asíntota horizontal en el menos y en el más, además son funciones continuas porque no se anula en ningún punto,

12
00:01:55,120 --> 00:02:02,599
ya que x cuadrado más 1 no se anula en los números reales, y en el 0 esto va a valer 1.

13
00:02:03,140 --> 00:02:08,900
Por lo tanto, de alguna manera, no sé cómo va a ser, pero esto va a tener que ser algo parecido a así.

14
00:02:09,699 --> 00:02:11,580
Bueno, me ha quedado bastante horrible.

15
00:02:13,300 --> 00:02:19,879
A ver si consigo... Si esto viene, por ejemplo, hasta aquí, luego va a tener que ser igual, por acá.

16
00:02:19,879 --> 00:02:25,780
Es decir, que el área que me están pidiendo calcular es justamente este trocito

17
00:02:25,780 --> 00:02:28,180
Por hacernos una idea de cómo va a quedar

18
00:02:28,180 --> 00:02:32,080
Luego lo que necesito calcular es este punto y este punto

19
00:02:32,080 --> 00:02:40,659
Que por simetrías tendrían que ser el mismo pero los valores opuestos

20
00:02:40,659 --> 00:02:43,780
Para calcular esos valores, ¿qué es lo que vamos a hacer?

21
00:02:44,000 --> 00:02:48,699
Igualamos o resolvemos el sistema

22
00:02:48,699 --> 00:02:57,060
vale, y igual a x cuadrado partido por 2, la otra es y igual a 1 partido por x cuadrado más 1,

23
00:02:58,439 --> 00:03:05,819
resolvemos el sistema y esto es x cuadrado partido por 2, igual a 1 partido por x cuadrado más 1.

24
00:03:06,520 --> 00:03:11,259
A ver, fijaos, lo que os he hecho del dibujo del esbozo, eso lo sabéis hacer vosotros,

25
00:03:11,659 --> 00:03:15,719
es algo que tenemos que ir pensando, o sea, porque nos tenemos que dar cuenta de esas cosas,

26
00:03:15,719 --> 00:03:22,460
de las asíntotas, lo que siempre os digo de que os tienen que hablar, pues los números y las funciones os hablan, ¿vale?

27
00:03:23,060 --> 00:03:29,379
Venga, resolvemos esta ecuación, multiplicamos en cruz y me queda el x cuadrado que multiplica x cuadrado más 1,

28
00:03:29,479 --> 00:03:42,939
es decir, x cuarta más x cuadrado igual a 2, o lo que es lo mismo, x cuarta más x cuadrado menos 2 igual a 0.

29
00:03:42,939 --> 00:03:51,979
Hacemos el cambio de variable y esto me quedaría t cuadrado más t menos 2 igual a 0

30
00:03:51,979 --> 00:04:03,000
Y aquí tenemos dos posibles soluciones que son la t igual menos 2 y t igual 1

31
00:04:03,000 --> 00:04:07,599
Porque el producto de los dos números tiene que ser menos 2 y la suma tiene que ser menos 1

32
00:04:07,599 --> 00:04:25,579
Y ahora deshacemos el cambio y me queda que la x es, por un lado, más menos la raíz de menos 2, que no existe en los reales, y por otro lado, más menos la raíz de 1, que como os decía es el mismo número, o sea, el número y su opuesto, el más menos 1.

33
00:04:25,579 --> 00:04:32,779
luego ya sabemos que de alguna manera este punto es el menos 1 y este otro punto es el 1

34
00:04:32,779 --> 00:04:39,459
por lo tanto el área que me piden es la integral entre menos 1 y 1

35
00:04:39,459 --> 00:04:43,699
¿de quién? de la diferencia de las funciones

36
00:04:43,699 --> 00:04:49,839
¿cuál voy a coger primero? voy a coger primero la moradita

37
00:04:49,839 --> 00:04:54,939
ya que sabemos que la parábola es convexa y por lo tanto es la que tiene sentido que esté abajo

38
00:04:54,939 --> 00:04:58,240
Si no me he equivocado yo mucho con el dibujo

39
00:04:58,240 --> 00:05:02,259
Y esto sería 1 partido por x cuadrado más 1

40
00:05:02,259 --> 00:05:07,680
Menos x cuadrado partido por 2 diferencial de x

41
00:05:07,680 --> 00:05:10,040
De todas maneras, recordad lo que siempre digo

42
00:05:10,040 --> 00:05:12,160
Me he podido equivocar con el dibujo

43
00:05:12,160 --> 00:05:13,379
Bueno, no pasa nada

44
00:05:13,379 --> 00:05:15,399
Yo le meto unos valores absolutos

45
00:05:15,399 --> 00:05:18,300
Y ya tengo el resultado positivo

46
00:05:18,300 --> 00:05:21,000
Venga, estas integrales son inmediatas

47
00:05:21,000 --> 00:05:23,800
1 partido por x cuadrado más 1 es un arco tangente

48
00:05:23,800 --> 00:05:38,040
Ya sé que los arcotangentes nos gustan mucho, pero es el arcotangente de x menos x cubo partido del 2 y partido del 3, es decir, partido de 6.

49
00:05:38,540 --> 00:05:43,680
Y esto lo tengo que evaluar entre menos 1 y 1, ¿vale?

50
00:05:45,680 --> 00:05:53,439
Bueno, como llevamos poquitos ejercicios hechos de este estilo, más adelante también veremos que cuando las funciones son simétricas,

51
00:05:53,439 --> 00:06:01,579
Como tiene toda la pinta de ser esta, podríamos haber calculado solamente la mitad de la integral entre 0 y 1 o entre menos 1 y 0.

52
00:06:02,139 --> 00:06:05,199
Y luego el resultado del área lo hubiéramos multiplicado por 2.

53
00:06:06,279 --> 00:06:11,300
Es también otra posibilidad de hacerlo de esa forma.

54
00:06:12,220 --> 00:06:15,420
Venga, que no he puesto los valores absolutos.

55
00:06:15,420 --> 00:06:32,379
Venga, sustituimos y esto es el arco cuya tangente vale 1 menos un sexto menos el arco cuya tangente vale menos 1.

56
00:06:32,379 --> 00:06:57,879
Y aquí sería más un sexto, a ver que me he vuelto a comer lo del menos, esto sería menos este, evaluado en el menos uno y ahora sería menos uno al cubo, que es menos uno con el menos sería más, vale, sí, más un sexto.

57
00:06:57,879 --> 00:07:01,800
¿Vale? No pone el paréntesis, me había liado un poco

58
00:07:01,800 --> 00:07:04,680
Y ahora lo que tenemos que hacer es tirar de calculadora

59
00:07:04,680 --> 00:07:08,040
Para ver quién es el ángulo cuya tangente vale 1

60
00:07:08,040 --> 00:07:13,600
¿Vale? Aunque yo creo que eso más o menos lo deberíais saber, ¿no?

61
00:07:13,600 --> 00:07:19,360
Cuando la tangente es 1, cuando el seno y el coseno valen lo mismo

62
00:07:19,360 --> 00:07:23,600
Es decir, a ver, os dejo que lo penséis

63
00:07:23,600 --> 00:07:27,660
Ya lo habéis pensado, 45 grados, ¿verdad?

64
00:07:27,879 --> 00:07:35,040
es el ángulo cuando el seno y el coseno valen lo mismo, es decir, normalmente en estos casos se trabaja con radianes.

65
00:07:35,040 --> 00:07:48,180
Voy a poner aquí que me he puesto los valores absolutos y por lo tanto lo que vamos a hacer es ponerlo pi cuartos a 45 grados, serían pi cuartos.

66
00:07:48,180 --> 00:08:14,319
Entonces esto sería igual, valor absoluto de pi cuartos menos un sexto, que se me va, y aquí sería menos el arco cuya tangente es menos uno, vale, menos, y aquí, a ver, no nos han especificado de cuántas vueltas lo podríamos hacer.

67
00:08:14,319 --> 00:08:28,420
Por eso digo que muchas veces estos ejercicios lo que hacemos es calcularlo directamente como, ay que no me sale, como en una única, o sea como en la mitad y luego multiplicarlo por 2, ¿vale?

68
00:08:28,899 --> 00:08:38,840
Porque el arco cuya tangente vale menos 1 sería el simétrico de 45, ¿vale? ¿Entendéis lo que quiero decir?

69
00:08:39,519 --> 00:08:44,720
Por tanto, lo podríamos coger como que fueran 135, lo que es lo mismo, pi medios más pi cuartos,

70
00:08:45,159 --> 00:08:47,799
pi medios más pi cuartos, que son 3 pi cuartos.

71
00:08:47,919 --> 00:08:49,519
Tengo que esperar, que tengo que escribirlo.

72
00:08:51,080 --> 00:08:57,360
Sí, son menos 3 pi cuartos, 3 pi cuartos, si lo tomamos de esta manera,

73
00:08:58,039 --> 00:09:00,279
y luego es el menos un sexto también.

74
00:09:03,440 --> 00:09:09,639
Y esto sería pi cuartos menos 3 pi cuartos, sería pi medios, ¿no?

75
00:09:09,639 --> 00:09:17,409
Si no, si uno le quito serían dos pi cuartos que serían pi medios

76
00:09:17,409 --> 00:09:20,590
Pi medios pero en negativo

77
00:09:20,590 --> 00:09:24,789
Menos dos sextos

78
00:09:24,789 --> 00:09:27,950
Dos sextos que es lo mismo que un tercio

79
00:09:27,950 --> 00:09:31,950
Menos un tercio

80
00:09:31,950 --> 00:09:36,190
¿Vale? Lo que no sé es por qué me sale en negativo

81
00:09:36,190 --> 00:09:42,460
Bueno, a lo mejor me he equivocado con el dibujo, no lo sé

82
00:09:43,100 --> 00:09:45,379
Venga, ¿y esto cuánto sería?

83
00:09:45,379 --> 00:09:47,659
Lo mismo me he dibujado, me he equivocado con el dibujo, ¿vale?

84
00:09:48,720 --> 00:10:02,230
Y esto me quedaría, si lo multiplicamos con los mismos denominadores, sería menos 3pi, menos 3pi, menos 2, partido por 6, ¿vale?

85
00:10:02,570 --> 00:10:14,669
Es que hay un signo aquí que no veo bien, algo he puesto mal con un signo, pero no sé muy bien dónde, porque me resulta rara esta solución.

86
00:10:16,690 --> 00:10:28,340
S-3pi, o sea, S-pi medios, no sé, donde hay algo extraño, ¿vale?

87
00:10:28,679 --> 00:10:34,240
Este signo aquí, este menos, me chirría. Voy a pausar un momentito.

88
00:10:35,320 --> 00:10:39,700
Vale, ya sé dónde está el problema, que lo he calculado un poco de cabeza y si tiramos la calculadora,

89
00:10:40,279 --> 00:10:44,840
lo que me va a decir es que el arco tangente de menos 1 es menos 45, ¿vale?

90
00:10:44,840 --> 00:10:55,139
Entonces, voy a borrar toda esta parte, y vas a ver, es que justamente, no sé, es que me chirriaba, hay un poco ese valor, ¿vale? Hasta aquí.

91
00:10:58,419 --> 00:11:09,659
Porque es lo que os decía, es decir, en el fondo, si nosotros pensamos en la circunferencia, para que sea la tangente, para que sea menos uno, puede estar en diferentes sitios, ¿vale?

92
00:11:09,659 --> 00:11:16,519
colocado con el ángulo y yo estaba pensando en cuadrantes, pero no, vamos a tirar lo que

93
00:11:16,519 --> 00:11:21,659
me pasa por no tener una calculadora. Venga, pues entonces habíamos sustituido en el,

94
00:11:22,240 --> 00:11:26,460
o sea, estábamos operando la tangente de 1 pi cuartos menos el 1 sexto y ahora aquí

95
00:11:26,460 --> 00:11:31,539
teníamos menos el arco tangente de menos 1, que si lo miráis en la calculadora os

96
00:11:31,539 --> 00:11:37,779
voy a decir que es menos pi cuartos, por tanto esto sería más pi cuartos y me va a quedar

97
00:11:37,779 --> 00:11:46,620
aquí menos 1 sexto, ¿vale? Y esto me va a quedar 2 pi cuartos, que es pi medios, menos

98
00:11:46,620 --> 00:11:51,820
2 sextos, que es 1 tercio, ¿vale? Y ahí ya tengo el signo positivo, es que no me cuadraba

99
00:11:51,820 --> 00:11:59,539
lo otro. Y ahora esto sí que es 3 pi menos 2 partido de 6, que esto es positivo, ¿vale?

100
00:11:59,539 --> 00:12:06,360
El dibujo sí que estaba bien hecho, unidades al cuadrado, ¿vale? Disculpad por el error

101
00:12:06,360 --> 00:12:09,039
por haber puesto la ley 135 que también correspondería

102
00:12:09,039 --> 00:12:12,019
pero no lo vamos a poner también como si fuera menos pi cuartos