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Bienvenidos. Hoy nos metemos de lleno en un concepto que trata sobre límites y posibilidades,

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las inequaciones, y vamos a ver que no son sólo un ejercicio de clase, sino una forma

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de describir las decisiones y restricciones que encontramos en el día a día.

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Vale, para entender esto bien, vamos a empezar no con una fórmula, sino con un problema,

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uno bien práctico. ¿Cómo podríamos describir todas las opciones posibles cuando nos enfrentamos

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a límites reales? Por ejemplo, el tamaño de una pared o la cantidad de material que

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tenemos disponible. Imaginemos que tenemos que diseñar una ventana para esta pared. Tenemos un

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límite, claro, el tamaño del muro, y también otro límite, el material para el marcó. Pues bien,

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las inequaciones son la herramienta matemática perfecta que nos permite encontrar todas las

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dimensiones posibles que funcionarían. Ese es, en esencia, el tipo de enigma que resuelven.

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Para resolver el tema de la ventana, lo primero es lo primero. Hay que aprender a hablar el idioma

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de las inequaciones. A ver, ¿qué es una inequación? Pues, en esencia, es una expresión

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algebraica donde los dos lados no están conectados por un signo de igual, sino por un símbolo

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de desigualdad. Y a diferencia de las ecuaciones, que suelen tener una o dos soluciones concretas,

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las inequaciones definen todo un abanico de posibilidades. Y justo ahí está el quid

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de la cuestión. No se busca un único número, un resultado, sino un conjunto de números,

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toda una zona de solución. Veamos cómo se representa esto. Un intervalo abierto que se

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escribe con paréntesis incluye todos los números entre A y B, pero ojo, no incluye ni A ni B. Los

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circulitos abiertos en la recta numérica lo dejan muy claro. Los extremos se quedan fuera de la

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solución. Por el contrario, un intervalo cerrado, con corchetes, sí que incluye los extremos. Esto

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se ve con los círculos rellenos, que nos chivan que esos valores límite sí que forman parte del

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conjunto de soluciones. Y claro, para tenerlo todo cubierto existen los intervalos semiabiertos. Esto

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nos da una flexibilidad total para ser súper precisos y decidir si un límite concreto es

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00:01:59,680 --> 00:02:05,760
una solución válida o no. Muy bien, ya tenemos el lenguaje. Ahora vamos a ver las reglas del juego.

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Bueno, la buena noticia es que, en gran parte, resolver una inequación es casi igual que resolver

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una ecuación de las de toda la vida. Se puede sumar o restar lo mismo a ambos lados, o multiplicar y

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dividir por un número positivo y todo se mantiene igual. Pero aquí viene la regla de oro, la que

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hay que grabarse a fuego. Cuando multiplicamos o dividimos los dos lados por un número negativo,

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¡zas! El signo de la inequación se da la vuelta. Fijaos en el ejemplo, como al despejar la X,

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el signo menor que se convierte en mayor que. Esto lo cambia absolutamente todo.

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Vale, ya tenemos el vocabulario y las reglas. Ahora toca lo divertido. Vamos a ver cómo funciona

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esto en la práctica, resolviendo algunos problemas y sobre todo dibujando las soluciones. Para las

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inequaciones de primer grado el proceso es bastante directo, como seguir una receta. Se quitan

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denominadores, se agrupan términos. El objetivo final es siempre el mismo, dejar la x sola a un

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lado para encontrar ese intervalo solución. Venga, subimos un poco el nivel. Inecuaciones de segundo

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grado. Aquí la cosa cambia y la gráfica se convierte en nuestra mejor aliada. Lo que estamos

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viendo es una parábola, que es la forma que tiene una ecuación de segundo grado cuando la dibujamos.

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Entonces, si nos encontramos con la inequación menos x al cuadrado menos 2x más 3 mayor que 0,

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la pregunta que nos hacemos es literalmente esta. ¿En qué cachito del dibujo la curva está por

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encima del eje horizontal? Es una pregunta totalmente visual. Y la respuesta la tenemos

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ahí mismo, en el dibujo. La curva está por encima del eje, en la zona positiva, justo en el trozo

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que va desde el menos 3 hasta el 1. Así que esa es la solución, el conjunto de todos los números

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que están dentro de ese intervalo. Bien, pero ¿qué pasa si tenemos que cumplir más de una

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00:03:52,379 --> 00:03:57,340
condición a la vez? Volvemos un poco a nuestro problema de la ventana, donde no teníamos un

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solo límite, sino varios. Cuando tenemos un sistema con una sola variable, la solución es

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sencillamente la intersección, o sea, la región donde las soluciones de cada inequación se solapan,

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00:04:09,759 --> 00:04:15,580
buscamos los números que cumplen con todo a la vez. Ahora bien, si metemos dos variables,

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la cosa se dispara. Ya no estamos en una simple línea, saltamos a un plano entero. Y cada

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inequación ya no marca un trocito de línea, sino que parte todo el plano en dos. Como se ve en

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00:04:26,379 --> 00:04:31,480
estas imágenes, cada inequación es como una frontera que divide el mapa en dos zonas. Una

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zona de sí, donde se cumple la condición, y una zona de no. La línea marca justo el límite. Al

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juntar todas las condiciones, la zona donde todas las soluciones se cruzan, eso es lo que se llama

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la región factible. Esa área sombreada es el tesoro. Representa todas y cada una de las combinaciones

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de X y Y que resuelven el sistema. O sea, todas las medidas válidas para nuestra ventana que cumplen

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con todos los límites. Así que el punto clave es que esto va mucho más allá de un simple ejercicio

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de matemáticas. Aquí tenemos un pequeño resumen de todo este arsenal de herramientas que hemos

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visto, desde la inequación más básica hasta los sistemas complejos que nos permiten mapear

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regiones enteras de soluciones. Y es que este concepto es la piedra angular de algo súper

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potente llamado programación lineal. Es lo que usan empresas y economistas para tomar decisiones

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cruciales, como sacar el máximo beneficio, como reducir costes al mínimo, siempre claro,

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respetando una serie de limitaciones o restricciones. Y para terminar, un pequeño desafío. Un

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razonamiento que parece lógico. Parte de una verdad. x menos 4 al cuadrado es siempre mayor

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o igual que 0. Eso es cierto. Pero luego, manipulando la expresión, llega a la conclusión

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de que x es siempre mayor o igual que 4. Esa conclusión, claro, es totalmente falsa. No todos

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00:05:52,639 --> 00:05:58,699
los números son mayores o iguales que 4. Entonces, la pregunta es, ¿dónde se ha torcido la lógica?

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¿Cuál es el paso en falso?

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00:06:00,920 --> 00:06:06,220
Darle una vuelta a esto es la mejor manera de comprobar si se ha entendido bien la regla más importante de las inequaciones.