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00:00:00,000 --> 00:00:07,000
Introducimos en este vídeo el sistema de medida circular.

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00:00:07,000 --> 00:00:11,000
La unidad en este sistema de medida es el radian.

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00:00:11,000 --> 00:00:14,000
La medida en radianes es la más natural.

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00:00:14,000 --> 00:00:17,000
Sin embargo, es la que más cuesta entender.

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00:00:17,000 --> 00:00:20,000
Para explicar lo que queremos decir con esto,

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00:00:20,000 --> 00:00:25,000
vamos a reflexionar sobre el sistema sesagesimal y el sistema centesimal.

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00:00:26,000 --> 00:00:30,000
En el sistema sesagesimal dividimos el ángulo completo en 360 grados

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00:00:30,000 --> 00:00:33,000
y en el centesimal lo dividimos en 400 grados.

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00:00:33,000 --> 00:00:36,000
Estos dos números, sin embargo, son arbitrarios

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00:00:36,000 --> 00:00:39,000
y podríamos haber cogido otra cantidad distinta.

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00:00:42,000 --> 00:00:47,000
Nosotros estamos acostumbrados a trabajar diariamente con el sistema sesagesimal

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00:00:47,000 --> 00:00:49,000
puesto que lo usamos en la hora.

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00:00:49,000 --> 00:00:54,000
Esto nos hace que medir ángulos en grados minutos segundos

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00:00:54,000 --> 00:01:00,000
sea para nosotros algo fácil o algo sencillo de entender.

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00:01:02,000 --> 00:01:07,000
El radian es una medida que está directamente relacionada con el número pi

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00:01:07,000 --> 00:01:11,000
y el número pi aparece de forma espontánea en la circunferencia.

17
00:01:11,000 --> 00:01:17,000
Es por eso que decimos que medir en radianes es la forma más natural de medir ángulos.

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00:01:18,000 --> 00:01:22,000
Además, es la única manera de progresar

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00:01:22,000 --> 00:01:25,000
en el entendimiento de las funciones trigonométricas

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00:01:25,000 --> 00:01:28,000
y en otras cuestiones importantes en matemáticas.

21
00:01:29,000 --> 00:01:35,000
De manera que, a pesar de que quizás sea un poco más difícil de entender,

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00:01:35,000 --> 00:01:40,000
vamos a sacarle mucho partido a esta medida.

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00:01:41,000 --> 00:01:47,000
Para explicar lo que es un radian, veamos primero lo que es un ángulo central.

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00:01:48,000 --> 00:01:54,000
Un ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia

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00:01:54,000 --> 00:01:58,000
y los lados son dos radios de ella.

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00:01:59,000 --> 00:02:01,000
Vemos esto sobre un dibujo.

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00:02:01,000 --> 00:02:05,000
Aquí tendríamos el centro de la circunferencia, aquí estaría la circunferencia,

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00:02:05,000 --> 00:02:08,000
que vamos a trazar con radio 1, por ejemplo, un metro.

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00:02:11,000 --> 00:02:17,000
Si nosotros tenemos un radio y otro radio, pues el ángulo,

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00:02:17,000 --> 00:02:21,000
es decir, la porción de plano comprendida entre estos dos radios,

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00:02:21,000 --> 00:02:24,000
sería un ángulo central.

32
00:02:25,000 --> 00:02:31,000
A cada ángulo central le corresponde un segmento, un trozo de la circunferencia,

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00:02:31,000 --> 00:02:34,000
aquí estaría el que le corresponde a este ángulo central,

34
00:02:34,000 --> 00:02:36,000
que se llama arco.

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00:02:36,000 --> 00:02:39,000
Es decir, a cada ángulo central le corresponde un arco.

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00:02:39,000 --> 00:02:41,000
Vamos a ver otro ejemplo.

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00:02:41,000 --> 00:02:50,000
Un radio, otro radio, el ángulo central y el arco correspondiente al ángulo central.

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00:02:52,000 --> 00:02:55,000
Una vez que hemos visto lo que es un ángulo central,

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00:02:56,000 --> 00:03:04,000
definimos radian como el ángulo central cuyo arco correspondiente es igual al radio.

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00:03:04,000 --> 00:03:09,000
Es decir, cualquier ángulo central no es un radian,

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00:03:09,000 --> 00:03:15,000
sino que para tener un radian el ángulo central tiene que estar construido de una manera determinada.

42
00:03:16,000 --> 00:03:21,000
Vamos a ver sobre nuestro dibujo qué sería un radian.

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00:03:22,000 --> 00:03:27,000
Aquí tenemos el radio de la circunferencia, nosotros trazamos un radio,

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00:03:28,000 --> 00:03:33,000
y ahora, para poder tener un radian, el segundo radio no lo podemos poner en cualquier sitio,

45
00:03:33,000 --> 00:03:39,000
sino que lo primero que tenemos que hacer es medir sobre la circunferencia un arco,

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00:03:39,000 --> 00:03:43,000
un trozo de circunferencia de longitud 1.

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00:03:44,000 --> 00:03:48,000
Es decir, si el radio es 1, pues tenemos que medir un arco de longitud 1.

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00:03:49,000 --> 00:03:54,000
Si media 1 metro, pues tenemos que medir un arco de longitud 1 metro.

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00:03:55,000 --> 00:03:57,000
Esto podemos hacerlo, por ejemplo, con un hilo.

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00:03:57,000 --> 00:04:02,000
Si tenemos una circunferencia, cogemos un hilo que mida 1 y lo llevamos sobre la circunferencia.

51
00:04:03,000 --> 00:04:08,000
Una vez que hemos medido 1 sobre la circunferencia, trazamos ahí ahora ese otro radio,

52
00:04:08,000 --> 00:04:13,000
y entonces sí, este ángulo central que tenemos aquí es un radian.

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00:04:15,000 --> 00:04:17,000
Si lo hemos entendido, podemos volver a repetirlo.

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00:04:18,000 --> 00:04:24,000
Volvemos a medir con ese mismo hilo, por ejemplo, pues medimos otra vez una longitud de 1 metro,

55
00:04:26,000 --> 00:04:29,000
colocamos otro radio y, por lo tanto, pues otro radian.

56
00:04:29,000 --> 00:04:36,000
Podemos seguir haciendo esto varias veces, puesto que en una circunferencia hay más de un radian.

57
00:04:37,000 --> 00:04:46,000
Ahí ya tenemos 3, volvemos a hacer lo mismo, medimos un arco de longitud 1, otro radio y otro radian,

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00:04:46,000 --> 00:04:52,000
otra vez igual, añadimos otro radian y otro radian más.

59
00:04:52,000 --> 00:04:54,000
Hemos llegado hasta 6 radianes.

60
00:04:55,000 --> 00:05:06,000
Nos falta un poco y el trozo que queda, el trozo de circunferencia, mide 0,28 metros.

61
00:05:07,000 --> 00:05:15,000
Es por tanto que entonces tendríamos 6,28 radianes en esta circunferencia que es de radio 1.

62
00:05:15,000 --> 00:05:22,000
Nosotros vamos a ver que esto ocurre siempre, sea el radio 1 o sea el radio que sea.

63
00:05:24,000 --> 00:05:29,000
Para poder explicarlo recurrimos a la fórmula que nos da la longitud de la circunferencia.

64
00:05:29,000 --> 00:05:35,000
La longitud de una circunferencia de radio R general es 2 pi R.

65
00:05:36,000 --> 00:05:43,000
Si nosotros queremos saber cuántas veces en una circunferencia de radio R, ya no de radio 1 sino de radio cualquiera,

66
00:05:43,000 --> 00:05:51,000
cuántas veces podríamos llevar el radio una de B detrás de otra sobre la circunferencia igual que acabamos de hacer ahora,

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00:05:51,000 --> 00:05:53,000
pues lo que tendríamos que hacer es dividir.

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00:05:53,000 --> 00:05:58,000
Tendríamos que dividir la longitud total de la circunferencia entre el radio

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00:05:58,000 --> 00:06:05,000
para saber cuántas veces está contenido el radio en la circunferencia.

70
00:06:05,000 --> 00:06:08,000
Hacemos entonces esta división.

71
00:06:08,000 --> 00:06:12,000
Es una división muy sencilla porque la R está multiplicando arriba y dividiendo abajo,

72
00:06:12,000 --> 00:06:17,000
por lo tanto se simplifica y esto nos daría 2 pi.

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00:06:17,000 --> 00:06:22,000
2 pi, pues aproximadamente podemos tomar como 628.

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00:06:22,000 --> 00:06:26,000
¿Qué ocurre entonces? Pues resulta que en general, valga lo que valga el radio,

75
00:06:26,000 --> 00:06:31,000
siempre podemos llevar este radio sobre la circunferencia 628 veces.

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00:06:31,000 --> 00:06:40,000
Por lo tanto, el ángulo completo va a equivaler a 2 pi radianes.

77
00:06:40,000 --> 00:06:46,000
Siempre, en cualquier circunferencia, el ángulo completo equivale a 2 pi radianes.

78
00:06:46,000 --> 00:06:52,000
Como hemos visto, pues realmente es una medida natural puesto que, en su definición,

79
00:06:52,000 --> 00:06:59,000
solamente interviene la propia longitud de la circunferencia

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00:06:59,000 --> 00:07:08,000
y el número pi, que es un número que nos aparece de una forma espontánea en la circunferencia.

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00:07:08,000 --> 00:07:14,000
Como lo que acabamos de hacer nos dice que esto no depende del radio de la circunferencia,

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00:07:14,000 --> 00:07:16,000
que esto nos sirve para siempre.

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00:07:16,000 --> 00:07:20,000
Si ahora en el dibujo escribimos lo que acabamos de ver ahora,

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00:07:20,000 --> 00:07:25,000
hemos quitado todos los iguales a 1 y así nos quedaría.

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00:07:25,000 --> 00:07:28,000
Es decir, en general, valga lo que valga el radio de la circunferencia,

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00:07:28,000 --> 00:07:35,000
vamos a poder llevar este radio sobre la circunferencia 6,28 veces.

87
00:07:35,000 --> 00:07:44,000
Y, en cualquier circunferencia, el ángulo completo equivale siempre a 2 pi radianes.