1
00:00:00,000 --> 00:00:08,800
Vamos a resolver hoy el problema de álgebra correspondiente al modelo del año 2019, opción B.

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00:00:09,580 --> 00:00:15,019
Como veis se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas dependiente de un parámetro, en este caso de la m.

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00:00:15,619 --> 00:00:18,539
Y nos piden que lo discutamos en función de los valores de este parámetro.

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00:00:18,719 --> 00:00:21,640
Bien, lo que vamos a hacer es resolverlo por el método de Gauss.

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00:00:21,640 --> 00:00:41,299
Vamos a convertir la matriz ampliada de los coeficientes en una matriz triangular para poder ver claramente las distintas opciones que hay con los rangos de esas matrices, de la matriz de los coeficientes y la de los coeficientes ampliada.

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00:00:41,299 --> 00:01:03,320
¿De acuerdo? Bien, la matriz de los coeficientes ampliada correspondería a coger en esta matriz los coeficientes de la primera, sería 1 menos m menos 1 y lo ampliamos con el término independiente, en este caso sería el 0.

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00:01:03,320 --> 00:01:19,140
En la segunda ecuación nos quedaría m, menos 4, 6, menos 2m, menos 8m, ¿vale? Y en la tercera ecuación sería menos 1, 2, 1, 6, ¿de acuerdo?

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00:01:19,140 --> 00:01:33,560
Bien, usamos método de Gauss que consiste en ir definiendo los pivotes y logrando que sean cero los números de abajo del pivote mediante combinación de las filas, ¿no?

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00:01:33,560 --> 00:01:47,599
Entonces lo que vamos a hacer aquí para conseguir un 0 debajo del 1 sería transformar la fila 2 haciendo la siguiente combinación, restándole m por la fila 1, que es la fila del pivote.

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00:01:47,599 --> 00:01:55,599
Y la fila 3, lo que vamos a hacer es coger la fila 3 y sumarle directamente la fila 1 del pivote y conseguimos el 0.

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00:01:55,760 --> 00:02:03,739
De manera que esta matriz se nos transforma en 1 menos m menos 1, 0 es la primera fila.

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00:02:04,180 --> 00:02:11,580
Segunda fila nos quedaría 0 y 0. Esto quedaría m cuadrado menos 4 si la operáis.

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00:02:11,580 --> 00:02:17,139
Esto queda 6 menos m y esto quedaría menos 8m.

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00:02:17,599 --> 00:02:26,759
Y la fila de abajo nos quedaría 2 menos m, en este caso 0 y 6.

15
00:02:27,560 --> 00:02:28,599
¿De acuerdo? Bien.

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00:02:29,319 --> 00:02:35,939
Ahora debemos coger el siguiente pivote que tenemos para elegir este o este.

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00:02:36,039 --> 00:02:42,539
Yo lo que voy a hacer es intercambiar las filas porque creo que el 2 menos m usado como pivote es más cómodo.

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00:02:42,539 --> 00:03:05,620
Entonces, vamos a reescribirlo y haremos 1, menos m, menos 1, 0, la primera fila, luego 0, este 2 menos m, fijaos, lo voy a escribir como menos m menos 2, ¿vale?

19
00:03:05,620 --> 00:03:17,840
Ahora veréis por qué, 0, 6, y dejo la tercera fila, m cuadrado menos 4, 6 menos m, menos 8m, ¿de acuerdo?

20
00:03:18,319 --> 00:03:23,060
De forma que este pivote, como decía, es más cómodo que el de abajo.

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00:03:23,219 --> 00:03:32,199
Fijaos que el de abajo es una diferencia de cuadrados, porque es m más 4, m, perdón, m más 2, m menos 2, ¿no?

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00:03:32,199 --> 00:03:35,439
así que m más 2

23
00:03:35,439 --> 00:03:37,580
m menos 2

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00:03:37,580 --> 00:03:39,400
lo veis que la de arriba

25
00:03:39,400 --> 00:03:41,979
el pivote es justo el m menos 2

26
00:03:41,979 --> 00:03:43,259
pero con signo negativo

27
00:03:43,259 --> 00:03:46,180
eso nos permite ya plantear una combinación

28
00:03:46,180 --> 00:03:49,180
para lograr que este m cuadrado menos 4 sea 0

29
00:03:49,180 --> 00:03:51,900
lo único que debemos hacer es decir que

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00:03:51,900 --> 00:03:56,879
la fila 3 es igual a la fila 3

31
00:03:56,879 --> 00:04:01,500
y sumarle m más 2 por la fila 1

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00:04:01,500 --> 00:04:06,639
lo que es lo que le falta para ser diferencia de cuadrados, y con el menos de fuera se nos va a anular,

33
00:04:06,639 --> 00:04:18,939
de manera que nos va a quedar la matriz, pues 1 menos m menos 1, 0, 0, el pivote queda igual,

34
00:04:18,939 --> 00:04:24,379
m menos 2, 0 y 6

35
00:04:24,379 --> 00:04:27,120
y la tercera fila nos quedaría 0, 0

36
00:04:27,120 --> 00:04:30,980
este término de aquí

37
00:04:30,980 --> 00:04:37,879
si lo operamos nos va a quedar 6 menos m

38
00:04:37,879 --> 00:04:42,279
¿vale? y el término independiente sería 2, 6

39
00:04:42,279 --> 00:04:46,199
menos m ¿vale? y con esto ya

40
00:04:46,199 --> 00:04:50,319
podemos saber el rango que tiene cada una de estas opciones porque fijaos

41
00:04:50,319 --> 00:04:58,259
que si resulta que m vale 6, toda la fila de abajo se hace 0.

42
00:04:59,180 --> 00:04:59,860
¿Lo veis?

43
00:05:00,980 --> 00:05:06,920
Y si m vale 2 en la matriz pequeña, en la de solo los coeficientes,

44
00:05:07,699 --> 00:05:09,379
toda esta fila sería 0 también.

45
00:05:09,560 --> 00:05:11,540
Y eso ya nos permite saber los rangos.

46
00:05:11,540 --> 00:05:26,100
De manera que podemos plantear que si M es distinto de 6 y M es distinto de 2, pues los rangos de la normalidad y de la ampliada van a ser iguales.

47
00:05:26,100 --> 00:05:42,279
el rango de la matriz A sin ampliar va a ser 3, digo 3 y escribo 6, va a ser 3 y es igual que el rango de la matriz A ampliada que también va a ser 3.

48
00:05:42,279 --> 00:05:52,220
Cuando esto ocurre decimos que el sistema es compatible determinado, o sea que solo hay una solución.

49
00:05:52,220 --> 00:06:10,060
Bien, como veis que si m es igual a 2, entonces ¿qué ocurre? Si m es igual a 2, el rango de la matriz pequeña, la que no tiene los coeficientes, va a ser 2, ¿vale?

50
00:06:10,060 --> 00:06:32,439
Y sin embargo no es lo mismo que el rango de la matriz ampliada, porque la matriz ampliada tiene rango 3 cuando m vale 2, ¿vale? Porque esta última fila no es ningún 0, ¿de acuerdo? Entonces cuando esto ocurre decimos que el sistema es incompatible, ¿de acuerdo?

51
00:06:32,439 --> 00:06:49,800
Y nos queda por último si m es igual a 6. En este caso, si m vale 6, toda la fila de abajo es 0 y por lo tanto resulta que el rango de a va a ser 2 y también va a ser 2 el rango de la ampliada.

52
00:06:49,800 --> 00:07:08,589
Con lo cual tenemos un sistema compatible indeterminado, ¿vale? Compatible indeterminado, que es justo el que nos están pidiendo que resolvamos, ¿vale? Compatible de indeterminado.

53
00:07:08,589 --> 00:07:17,079
bien, pues bien, vamos a resolverlo para m igual a 6 que es lo que nos pedían

54
00:07:17,079 --> 00:07:21,660
entonces lo que haremos será cogernos ya esta matriz de aquí

55
00:07:21,660 --> 00:07:27,339
para resolverlo cogemos esta matriz, hacemos que m sea igual a 6

56
00:07:27,339 --> 00:07:32,439
y resolvemos, vale, pues venga, para ello