1
00:00:00,270 --> 00:00:03,950
Buenos días, estimados alumnos de 1º de bachillerato.

2
00:00:04,830 --> 00:00:07,990
Estoy grabando este videotutorial para explicaros,

3
00:00:08,410 --> 00:00:11,089
para que comprendáis un poquito mejor lo que hemos visto en clase

4
00:00:11,089 --> 00:00:16,550
de la composición de dos funciones y de la función inversa de una función,

5
00:00:16,789 --> 00:00:19,230
cómo encontrar su expresión algebraica o analítica.

6
00:00:20,089 --> 00:00:22,250
Bien, para eso tengo abierta el aula virtual.

7
00:00:23,269 --> 00:00:27,690
Como os he mostrado en clase, os he puesto varios enlaces.

8
00:00:27,690 --> 00:00:42,789
Me voy directamente a ellos, aquí, el de cálculo de la expresión algebraica y la gráfica de la función inversa de Javier Cayetano, lo tengo ya aquí abierto, que está aquí, ahora lo usaré.

9
00:00:43,670 --> 00:00:56,189
También tenéis el cálculo del otro applet de Matemática Aula de la expresión algebraica, calcular la expresión algebraica y gráfica de la función inversa, que está aquí.

10
00:00:56,189 --> 00:01:13,409
Voy a hacer ahora mismo este ejemplo con vosotros y tengo también, os he puesto este, de identificar expresiones algebraicas de una función inversa, de una función dada de esta persona, de Mauricio Rodríguez Sánchez, que está aquí. Ahora os enseño cómo utilizar esto para que podáis hacer mucha práctica.

11
00:01:13,409 --> 00:01:22,569
Bien, y también tengo este archivo abierto que os lo he enviado por Aula Virtual para que lo tengáis

12
00:01:22,569 --> 00:01:25,170
Y ahora lo podemos modificar para que veáis que ya está hecho

13
00:01:25,170 --> 00:01:28,450
Y repaso un poquito cómo funciona GeoGebra para que podáis autocorregir

14
00:01:28,450 --> 00:01:32,209
Bien, entonces empiezo de la siguiente manera

15
00:01:32,209 --> 00:01:39,670
Por ejemplo, usando el applet de Matemática Aula de composición de funciones y función inversa

16
00:01:39,670 --> 00:01:40,769
Vamos a ver este ejemplo

17
00:01:40,769 --> 00:01:44,390
tenéis la función f de x que es 3 por x al cuadrado

18
00:01:44,390 --> 00:01:47,230
y la función g de x que es x más 4

19
00:01:47,230 --> 00:01:53,069
vale, entonces si nos piden calcular la expresión de la composición

20
00:01:53,069 --> 00:01:55,290
pues la voy a hacer aquí en la pantalla

21
00:01:55,290 --> 00:02:00,530
lo primero que tendríamos es la función

22
00:02:00,530 --> 00:02:04,230
si me piden calcular g

23
00:02:04,230 --> 00:02:06,849
recordad que se lee de derecha a izquierda

24
00:02:06,849 --> 00:02:08,449
g compuesto con f

25
00:02:08,449 --> 00:02:21,389
g compuesto con f de x, esto es, por definición, primero actúa la g sobre el argumento y luego

26
00:02:21,389 --> 00:02:30,490
actúa f. Entonces, para eso tenemos que tener la escritura clara de la función f y de g.

27
00:02:30,490 --> 00:02:40,189
La función f, ¿quién es? Es aquella función que te relaciona, dado un valor x, te devuelve 3x al cuadrado.

28
00:02:41,330 --> 00:02:49,689
Y la función y es aquella que tiene, por expresión algebraica o analítica, una línea x más 4.

29
00:02:49,689 --> 00:03:14,229
Vale, entonces se nos pide en calcular G compuesto con F, G compuesto con F, G compuesto con F, se define de esta manera, para calcular la expresión algebraica, y vamos calculando, primero calculamos G, lo que está más cerca del argumento, G de X, pues cambio, luego en el de G de X ponemos X más 4.

30
00:03:14,229 --> 00:03:22,229
Y ahora, f de un nuevo argumento se calcula usando la definición.

31
00:03:23,490 --> 00:03:29,409
La f dice, dame un número x y lo hago cuadrado y lo que queda lo multiplico por 3.

32
00:03:30,330 --> 00:03:31,050
Pues vamos a hacerlo.

33
00:03:31,990 --> 00:03:36,430
El triple de el argumento x más 4 elevado a 2.

34
00:03:39,020 --> 00:03:44,080
Con esto ya tendría la expresión algebraica de la función composición g compuesto con f.

35
00:03:44,080 --> 00:03:45,580
¿Se puede operar? Sí.

36
00:03:45,800 --> 00:03:49,639
Entonces, primero, respetando la primera operación, es x más 4 al cuadrado,

37
00:03:50,020 --> 00:03:53,180
el cuadrado de una suma, o x más 4 por x más 4 al cuadrado del primero,

38
00:03:53,639 --> 00:03:58,120
más el doble producto del primero por el segundo sumando, más el cuadrado del segundo.

39
00:03:58,840 --> 00:04:07,240
Y esto operando, 3 por x al cuadrado, 2 por x por 4, 2, 8x, más 4 por x, 16.

40
00:04:07,240 --> 00:04:13,020
La propia distributiva de la multiplicación, para quitar paréntesis, 3x al cuadrado,

41
00:04:13,020 --> 00:04:15,219
más 8 por 3 es 24x

42
00:04:15,219 --> 00:04:16,819
más

43
00:04:16,819 --> 00:04:19,180
48

44
00:04:19,180 --> 00:04:21,740
pues esta sería la función

45
00:04:21,740 --> 00:04:23,680
composición g compuesto con f

46
00:04:23,680 --> 00:04:28,920
que se calcula

47
00:04:28,920 --> 00:04:31,019
ahora vamos a poner el algebra

48
00:04:31,019 --> 00:04:32,339
de esta manera

49
00:04:32,339 --> 00:04:33,660
g compuesto con f

50
00:04:33,660 --> 00:04:37,060
y tiene las composiciones de las funciones

51
00:04:37,060 --> 00:04:38,740
es un polinomio de segundo grado

52
00:04:38,740 --> 00:04:41,060
esta de aquí

53
00:04:41,060 --> 00:04:42,399
¿vale?

54
00:04:42,399 --> 00:04:57,899
Ahora, si queremos hacer la composición al revés, es decir, primero actúa f compuesto con g, vamos a ver que es diferente.

55
00:04:57,899 --> 00:05:08,720
Para eso, por definición, primero actúa la f de x y luego actúa g sobre f de x.

56
00:05:08,720 --> 00:05:13,779
¿Quién es f? f de x era 3 por x al cuadrado

57
00:05:13,779 --> 00:05:20,279
Ahora, tú bajé sobre este nuevo argumento, 3x al cuadrado

58
00:05:20,279 --> 00:05:25,360
Como la g era x más 4, pues cambio en lugar de x, pongo 3x más 4

59
00:05:25,360 --> 00:05:27,879
El argumento sumable 4

60
00:05:27,879 --> 00:05:32,160
Bien, pues ya tenéis esta función nueva que es un polinomio de segundo grado

61
00:05:32,160 --> 00:05:35,339
Como veis, son distintos las dos composiciones

62
00:05:35,339 --> 00:05:40,019
f compuesto con g de x

63
00:05:40,019 --> 00:05:40,839
es

64
00:05:40,839 --> 00:05:43,540
f

65
00:05:43,540 --> 00:05:45,399
g de f de x

66
00:05:45,399 --> 00:05:47,040
se le también, luego cuando lo tengáis así

67
00:05:47,040 --> 00:05:48,279
de izquierda a derecha

68
00:05:48,279 --> 00:05:51,720
g de f de x

69
00:05:51,720 --> 00:05:52,899
y

70
00:05:52,899 --> 00:05:55,019
esto al final

71
00:05:55,019 --> 00:05:56,680
la expresión algebraica o analítica que tiene

72
00:05:56,680 --> 00:05:58,319
es 3x cuadrado más 4

73
00:05:58,319 --> 00:06:00,279
vale

74
00:06:00,279 --> 00:06:02,740
bueno, pues teniendo estas dos funciones

75
00:06:02,740 --> 00:06:04,519
polinómicas

76
00:06:04,519 --> 00:06:07,480
vamos a verlo como podéis utilizar

77
00:06:07,480 --> 00:06:09,319
el programa GeoGebra

78
00:06:09,319 --> 00:06:10,959
este applet de GeoGebra

79
00:06:10,959 --> 00:06:13,300
voy a minimizar un poquito aquí

80
00:06:13,300 --> 00:06:16,000
para que lo tengáis

81
00:06:16,000 --> 00:06:17,519
entonces aquí, ¿qué es lo que te pone?

82
00:06:17,860 --> 00:06:19,779
f de x, 3x cuadrado

83
00:06:19,779 --> 00:06:21,800
a la izquierda, entonces le vais moviendo a pasos

84
00:06:21,800 --> 00:06:23,680
y te va cambiando

85
00:06:23,680 --> 00:06:24,839
como os he puesto aquí

86
00:06:24,839 --> 00:06:27,300
f de x más 4

87
00:06:27,300 --> 00:06:32,199
después, seguimos avanzando la bolita

88
00:06:32,199 --> 00:06:33,639
y te queda 3 más x más 4

89
00:06:33,639 --> 00:06:35,279
3 por x más 4 al cuadrado

90
00:06:35,279 --> 00:06:37,560
si hacemos ahora la función al revés

91
00:06:37,560 --> 00:06:38,740
f compuesto con g

92
00:06:38,740 --> 00:06:42,360
voy dando la bolita y vuelve a aparecer lo mismo de ahora

93
00:06:42,360 --> 00:06:46,240
y es la función f compuesto con g

94
00:06:46,240 --> 00:06:47,519
esta es x al cuadrado más 4

95
00:06:47,519 --> 00:06:50,079
entonces aquí si le dais a ver otra

96
00:06:50,079 --> 00:06:51,199
ver otra, ver otra

97
00:06:51,199 --> 00:06:52,660
podéis hacer lo mismo

98
00:06:52,660 --> 00:06:55,319
vamos a ver ahora

99
00:06:55,319 --> 00:06:57,680
la composición

100
00:06:57,680 --> 00:06:59,139
la función inversa

101
00:06:59,139 --> 00:07:01,759
como hemos visto la función inversa de una función f

102
00:07:01,759 --> 00:07:03,120
es otra función

103
00:07:03,120 --> 00:07:05,399
siempre que se pueda calcular y exista

104
00:07:05,399 --> 00:07:07,720
que no siempre existe función inversa

105
00:07:07,720 --> 00:07:08,879
de una dada

106
00:07:08,879 --> 00:07:11,339
se llama función inversa de f a otra función

107
00:07:11,339 --> 00:07:12,660
f a la menos uno que cumple

108
00:07:12,660 --> 00:07:15,180
que al componer f a la menos uno con f

109
00:07:15,180 --> 00:07:16,680
te da la función identidad

110
00:07:16,680 --> 00:07:19,199
y al componer f compuesto con f a la menos uno

111
00:07:19,199 --> 00:07:20,639
te da la identidad también

112
00:07:20,639 --> 00:07:21,439
¿si?

113
00:07:22,220 --> 00:07:23,920
bueno, le voy a dar a ver otra

114
00:07:23,920 --> 00:07:25,379
y aquí tenéis muchos ejemplos

115
00:07:25,379 --> 00:07:26,879
vamos a hacer alguno en concreto

116
00:07:26,879 --> 00:07:28,279
por ejemplo

117
00:07:28,279 --> 00:07:32,720
a ver con cual me quedo

118
00:07:32,720 --> 00:07:37,439
sale a torio

119
00:07:37,439 --> 00:07:38,699
las expresiones

120
00:07:38,699 --> 00:07:42,560
a ver si sale una que me quede

121
00:07:42,560 --> 00:07:44,639
para hacer todos los pasos

122
00:07:44,639 --> 00:07:46,040
y veáis como

123
00:07:46,040 --> 00:07:48,459
encontrar

124
00:07:48,459 --> 00:07:51,399
a ver

125
00:07:51,399 --> 00:07:53,980
vamos a coger esta

126
00:07:53,980 --> 00:07:56,579
por ejemplo

127
00:07:56,579 --> 00:07:57,959
entonces, vuelvo otra vez

128
00:07:57,959 --> 00:07:58,860
aquí

129
00:07:58,860 --> 00:08:00,680
y

130
00:08:00,680 --> 00:08:06,279
Y vamos a hacer ahora la función inversa. ¿Cómo calculamos la función inversa?

131
00:08:06,279 --> 00:08:18,579
Si me dan una función f de x, que es 4x al cuadrado más 4, para calcular la función inversa, hacemos lo siguiente.

132
00:08:18,579 --> 00:08:33,779
Esta función, si la intentamos pintar, es para x igual a 0, es 4, es la parábola, así.

133
00:08:34,639 --> 00:08:35,700
Esta sería esta gráfica.

134
00:08:35,700 --> 00:08:47,580
Bien, esta gráfica, aquí está el eje x, el eje y, esta gráfica, esta función no tendría inversa.

135
00:08:47,580 --> 00:09:07,080
En todo su dominio. El dominio de esta función f son todos los reales, el dominio son todos los reales y el recorrido de esta función son, o las imágenes, son todos los números reales de 4 hacia arriba, de 4 positivo hacia arriba.

136
00:09:07,080 --> 00:09:14,340
Con esto recuerdo que el dominio de definición se mira siempre en el eje X

137
00:09:14,340 --> 00:09:17,500
Son los valores de X para los que se puede calcular f de X

138
00:09:17,500 --> 00:09:22,059
Y el recuadro y la imagen son todas las alturas

139
00:09:22,059 --> 00:09:29,500
Todas las alturas por las que se alcanza la gráfica

140
00:09:30,500 --> 00:09:34,899
Bien, entonces si lo pongo así

141
00:09:34,899 --> 00:09:39,100
Estos puntos son del dominio

142
00:09:39,100 --> 00:09:40,399
Estas X del dominio

143
00:09:40,399 --> 00:09:44,960
Y los puntos rojos serían las recorridos

144
00:09:44,960 --> 00:09:47,600
Entonces la función F lo que te hace es

145
00:09:47,600 --> 00:09:48,620
Te da un número X

146
00:09:48,620 --> 00:09:52,799
Y te devuelve, como una máquina, el valor de Y

147
00:09:52,799 --> 00:09:59,600
Que es 4X al cuadrado más 4

148
00:09:59,600 --> 00:10:07,000
Bien, entonces, en principio esta función va de todos los reales en los reales

149
00:10:07,000 --> 00:10:14,700
Pero su dominio es una parte, en este caso es todos los reales

150
00:10:14,700 --> 00:10:18,179
El dominio de definición es todos los reales

151
00:10:18,179 --> 00:10:28,759
Y la imagen o recorrido de la función f es solo el intervalo en la semirrecta cerrada de 4 a más infinito

152
00:10:28,759 --> 00:10:32,480
que está contenido en los reales

153
00:10:32,480 --> 00:10:35,279
quito esto de aquí

154
00:10:35,279 --> 00:10:36,360
para que

155
00:10:36,360 --> 00:10:42,610
bien, entonces propiamente dicho

156
00:10:42,610 --> 00:10:44,450
sería esta función

157
00:10:44,450 --> 00:10:46,509
vale, entonces, ¿quién sería la función inversa?

158
00:10:46,629 --> 00:10:47,990
la función inversa de f

159
00:10:47,990 --> 00:10:51,129
es otra función que va al revés

160
00:10:51,129 --> 00:10:52,509
yo te voy a dar

161
00:10:52,509 --> 00:10:53,909
el valor de y

162
00:10:53,909 --> 00:10:55,250
por ejemplo este

163
00:10:55,250 --> 00:10:57,389
este punto de aquí

164
00:10:57,389 --> 00:10:59,690
y quiero que me calcules

165
00:10:59,690 --> 00:11:05,090
el valor de x del que procede.

166
00:11:05,330 --> 00:11:07,929
Esta será f a la menos uno de y.

167
00:11:10,009 --> 00:11:12,950
Entonces, para poder definir la función,

168
00:11:13,470 --> 00:11:18,149
esta y tiene que estar en la imagen de la función f.

169
00:11:19,190 --> 00:11:23,909
Y esta x tiene que estar en el dominio de la función f.

170
00:11:24,789 --> 00:11:27,610
Entonces, para que se pueda calcular la función inversa,

171
00:11:27,610 --> 00:11:30,029
hay que elegir qué rama queremos

172
00:11:30,029 --> 00:11:33,450
porque me tengo que quedar con un trozo del dominio en este caso

173
00:11:33,450 --> 00:11:36,549
si yo me quedo con la semidecta positiva del eje X

174
00:11:36,549 --> 00:11:39,570
sí que la gráfica de la función F

175
00:11:39,570 --> 00:11:42,090
es todo el rato creciente o decreciente

176
00:11:42,090 --> 00:11:43,730
es lo que se llama monótona

177
00:11:43,730 --> 00:11:46,649
monótona siempre hacia arriba o siempre hacia abajo

178
00:11:46,649 --> 00:11:49,830
entonces esta rama de la parábola, de la gráfica

179
00:11:49,830 --> 00:11:51,110
sí que tiene una inversa

180
00:11:51,110 --> 00:11:52,549
y es la que vamos a calcular ahora

181
00:11:52,549 --> 00:11:54,549
venga, que no es de tiempo

182
00:11:54,549 --> 00:11:56,669
porque tengo solo 4 minutos para acabar con la screencast

183
00:11:56,669 --> 00:12:00,769
Entonces, ¿cuál sería la inversa de esta función?

184
00:12:01,169 --> 00:12:05,990
Los pasos para calcular la inversa de esta función f es lo siguiente.

185
00:12:06,509 --> 00:12:11,029
Cogemos la expresión de la función 4x al cuadrado más 4.

186
00:12:13,190 --> 00:12:16,429
Y ahora lo que vamos a hacer es, me olvido de la...

187
00:12:16,429 --> 00:12:20,210
Recordad que la y es la altura, es la función f de x, lo pongo así.

188
00:12:20,210 --> 00:12:28,049
Y ahora lo que tenemos que hacer es despejar la X.

189
00:12:28,309 --> 00:12:35,370
Para despejar la X, usando ecuaciones, el 4 que está sumando pasa restando, el resto de 4 va a dos lados.

190
00:12:35,909 --> 00:12:38,490
Ahora, la X hay que dejarla sola. ¿Cómo la dejamos sola?

191
00:12:39,629 --> 00:12:42,649
El 4 que está multiplicando pasa dividiendo.

192
00:12:42,649 --> 00:12:58,649
Y ahora, para quitar el cuadrado, hay dos opciones, la raíz cuadrada positiva y la raíz cuadrada negativa.

193
00:13:02,190 --> 00:13:13,320
Habría dos opciones. Como la zona naranja que he cogido es para x positivo y las y son de mayores o iguales que 4,

194
00:13:13,320 --> 00:13:15,940
nos vamos a quedar con esta de aquí

195
00:13:15,940 --> 00:13:18,759
y esta sería la función inversa

196
00:13:18,759 --> 00:13:20,179
claro, pero nosotros tenemos

197
00:13:20,179 --> 00:13:22,299
que la función inversa la hemos leído

198
00:13:22,299 --> 00:13:25,059
de derecha

199
00:13:25,059 --> 00:13:26,419
a izquierda

200
00:13:26,419 --> 00:13:27,860
por eso

201
00:13:27,860 --> 00:13:29,860
la función inversa

202
00:13:29,860 --> 00:13:31,399
es esta de aquí

203
00:13:31,399 --> 00:13:34,480
f a la menos uno de y

204
00:13:34,480 --> 00:13:36,019
yo te doy el valor de y

205
00:13:36,019 --> 00:13:38,700
este naranja

206
00:13:38,700 --> 00:13:42,039
este naranja a esta altura

207
00:13:42,039 --> 00:13:49,500
y quiero que me devuelvas el valor de X, que es este de aquí.

208
00:13:52,100 --> 00:13:56,120
Y esto a través de la gráfica.

209
00:13:56,759 --> 00:13:58,860
Por tanto, ¿quién es la función inversa?

210
00:13:58,899 --> 00:14:03,480
Y el último paso que se suele hacer es que, como normalmente pintamos las gráficas de las funciones,

211
00:14:03,940 --> 00:14:06,720
damos la X en el eje horizontal y la Y en el eje vertical,

212
00:14:07,200 --> 00:14:11,980
pues ahora lo que hacemos es intercambiar la X con la Y.

213
00:14:12,039 --> 00:14:16,220
Es decir, donde pone x ponemos y, y donde pone y ponemos x.

214
00:14:18,659 --> 00:14:28,120
Y esta sería ahora la nueva expresión f de menos 1 de x, la función inversa de la función f.

215
00:14:28,679 --> 00:14:33,460
Entonces, si miráis el hable de GeoGebra que tenéis aquí, es lo que ha hecho.

216
00:14:33,840 --> 00:14:40,080
Si f de x es esto, f de menos 1 de x es raíz cuadrada de x menos 4 partido por 4.

217
00:14:40,080 --> 00:14:43,039
ya os digo que nos hemos quedado

218
00:14:43,039 --> 00:14:44,139
con la rama positiva

219
00:14:44,139 --> 00:14:47,179
con la rama de X hacia la derecha

220
00:14:47,179 --> 00:14:48,480
positiva

221
00:14:48,480 --> 00:14:50,759
a ver cuánto me queda de tiempo

222
00:14:50,759 --> 00:14:54,679
pues voy a cortarlo aquí

223
00:14:54,679 --> 00:14:56,379
y haré otro vídeo para continuar

224
00:14:56,379 --> 00:14:57,500
porque se va a cortar enseguida

225
00:14:57,500 --> 00:15:00,299
si avanzo podemos comprobar la conclusión de la identidad