1
00:00:02,540 --> 00:00:13,019
Desde el punto de vista de la física, un vector es un segmento orientado.

2
00:00:13,519 --> 00:00:18,480
Sirve para representar una magnitud vectorial, por ejemplo, la fuerza aplicada sobre un punto.

3
00:00:19,780 --> 00:00:22,660
Computacionalmente, un vector representa una lista de números.

4
00:00:23,280 --> 00:00:25,640
Se puede escribir, por ejemplo, mediante una matriz fila.

5
00:00:26,379 --> 00:00:31,320
En este vídeo vamos a profundizar la conexión entre ambas formas de ver los vectores.

6
00:00:32,799 --> 00:00:38,140
Recordemos que de un vector nos va a interesar su dirección, esto es, la recta sobre la que se apoya,

7
00:00:38,719 --> 00:00:43,979
que toda dirección define dos sentidos distintos y que módulo del vector es la longitud del mismo.

8
00:00:44,719 --> 00:00:48,500
Para entender la relación que existe entre las dos formas de interpretar un vector,

9
00:00:49,100 --> 00:00:54,100
es crucial entender las dos operaciones básicas entre vectores suma y producto por escalares.

10
00:00:54,859 --> 00:00:55,939
Vamos con la suma.

11
00:00:55,939 --> 00:01:02,619
Para sumar un vector u con otro vector v, basta con hacer coincidir el extremo final de u con el inicial de v.

12
00:01:03,119 --> 00:01:09,180
Entonces, el vector suma u más v tiene su origen en el de u y extremo en el extremo de v.

13
00:01:09,760 --> 00:01:13,159
El resultado es la diagonal de un paralogramo de lados u y v.

14
00:01:13,840 --> 00:01:23,060
Observa que si una mosca realizase un movimiento según el vector u y luego se desplazase según v, el resultado sería el de un movimiento según el vector u más v.

15
00:01:23,060 --> 00:01:26,500
Vamos ahora con el producto por escalares

16
00:01:26,500 --> 00:01:29,540
Si multiplicamos un vector por un número real lambda

17
00:01:29,540 --> 00:01:32,280
el resultado es otro vector de la misma dirección

18
00:01:32,280 --> 00:01:36,959
mismo sentido si lambda es positivo, sentido contrario si es negativo

19
00:01:36,959 --> 00:01:39,939
y cuyo módulo queda multiplicado por el escalar lambda

20
00:01:39,939 --> 00:01:47,219
Observa que el nombre escalar hace referencia a que lo que estamos haciendo con el vector es un cambio de escala

21
00:01:47,219 --> 00:01:51,099
esto es, lo estamos estirando o encogiendo según el valor del escalar

22
00:01:51,099 --> 00:01:59,739
Si mezclamos las dos operaciones, suma y producto por escalares, estamos realizando una combinación lineal de los vectores.

23
00:02:00,620 --> 00:02:06,099
Vamos a interpretar geométricamente la combinación lineal de dos vectores mediante el siguiente ejemplo.

24
00:02:06,799 --> 00:02:15,780
Primero tenemos que calcular 3u y 2,5v. Finalmente calcularemos la suma como la diagonal del paralelogramo resultante.

25
00:02:15,780 --> 00:02:22,580
La clave es que el vector obtenido pertenece al plano que determinan u y v.

26
00:02:23,680 --> 00:02:30,500
Surge ahora una pregunta natural. ¿Cualquier vector de este plano podrá escribirse como combinación lineal de u y v?

27
00:02:31,479 --> 00:02:40,680
Dado un vector w, el problema geométricamente es encontrar el paralelogramo cuyos lados se apoyen en u y v y cuya diagonal coincida con w.

28
00:02:40,680 --> 00:02:43,639
Primero trazamos los ejes sobre las direcciones de u y v

29
00:02:43,639 --> 00:02:48,060
Después dibujamos paralelas a estos ejes por el extremo final de w

30
00:02:48,060 --> 00:02:51,539
Por último, determinamos los escalares lambda y nu

31
00:02:51,539 --> 00:02:56,599
que hacen coincidir lambda por u y nu por v con los lados del paralogramo

32
00:02:56,599 --> 00:03:00,919
Concluimos que w puede describirse como combinación lineal de u y v

33
00:03:00,919 --> 00:03:04,240
Pero es que este problema lo sabemos resolver de otra forma

34
00:03:04,240 --> 00:03:06,479
mediante un sistema de ecuaciones

35
00:03:06,479 --> 00:03:10,460
Los datos son los tres vectores u, v y w

36
00:03:10,460 --> 00:03:15,520
y las incógnitas son lambda y nu. Al igualar la combinación lineal de u y v con el vector

37
00:03:15,520 --> 00:03:20,780
w obtenemos un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y para resolverlo podemos

38
00:03:20,780 --> 00:03:25,879
utilizar el teorema de Rouchet-Frobenius. Los coeficientes de u y v forman por columnas

39
00:03:25,879 --> 00:03:30,939
la matriz de coeficientes del sistema y al añadir el vector w obtendremos la matriz

40
00:03:30,939 --> 00:03:36,340
ampliada. El sistema podrá resolverse si ambos rangos valen 2. En ese caso el vector

41
00:03:36,340 --> 00:03:41,919
w pertenecerá al plano determinado por u y v. Sin embargo, si el rango de la matriz

42
00:03:41,919 --> 00:03:46,800
que forman los vectores u, v y w vale 3, como el rango de la matriz de coeficientes es 2,

43
00:03:46,979 --> 00:03:51,719
el sistema será incompatible y el vector w no pertenecerá al plano generado por u y

44
00:03:51,719 --> 00:03:55,479
v. Llegados a este punto, estamos preparados

45
00:03:55,479 --> 00:03:59,400
para considerar combinaciones lineales de tres vectores y trabajar plenamente en el

46
00:03:59,400 --> 00:04:05,319
espacio tridimensional. Para calcular la combinación lineal de u, v y w, primero multiplicamos

47
00:04:05,319 --> 00:04:11,400
por los escalares y luego sumamos. La combinación lineal obtenida será la diagonal del paralelepípedo

48
00:04:11,400 --> 00:04:17,180
que se apoya sobre los vectores lambda por u, mu por v y gamma por w. Deducimos que todo

49
00:04:17,180 --> 00:04:21,279
vector del espacio podrá escribirse como combinación lineal de estos tres vectores

50
00:04:21,279 --> 00:04:26,959
u, v y w. ¿Pero esto va a ocurrir siempre? Pues no. Depende de la disposición de los

51
00:04:26,959 --> 00:04:32,500
vectores elegidos. En primer lugar, si w ya se puede escribir como combinación lineal

52
00:04:32,500 --> 00:04:38,160
de u y v, entonces entre los tres vectores sólo generarán un plano. Los vectores se

53
00:04:38,160 --> 00:04:43,360
llaman linealmente dependientes. Para que todo funcione correctamente necesitamos que

54
00:04:43,360 --> 00:04:49,759
u, v y w sean linealmente independientes, esto es, que ninguno pueda escribirse como

55
00:04:49,759 --> 00:04:55,120
combinación lineal del resto. De esa forma nos aseguramos que los tres vectores generarán

56
00:04:55,120 --> 00:05:00,220
todo el espacio. Estos conjuntos de vectores que generan el espacio y que son linealmente

57
00:05:00,220 --> 00:05:06,420
independientes, se dicen que forman una base. Y son justo las bases la conexión entre el vector

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00:05:06,420 --> 00:05:11,879
como segmento orientado y el vector como lista de números. Veamos cómo. Si asociamos a los

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00:05:11,879 --> 00:05:18,899
vectores u, v y w respectivamente las coordenadas 1, 0, 0, 0, 1, 0 y 0, 0, 1, cualquier otro vector

60
00:05:18,899 --> 00:05:24,399
x tendrá asociadas unas coordenadas que serán únicas pues quedan determinadas por la proyección

61
00:05:24,399 --> 00:05:29,259
del vector sobre los ejes. De hecho, estas coordenadas pueden calcularse dividiendo las

62
00:05:29,259 --> 00:05:36,959
longitudes de los lados del paralelepípedo entre los módulos de v y w. En resumen, para comprobar

63
00:05:36,959 --> 00:05:42,839
si tres vectores son base, basta con que la matriz formada por sus coordenadas tenga como rango 3.

64
00:05:43,500 --> 00:05:48,500
Una vez fijada una base, cualquier otro vector tiene unas coordenadas únicas con las que escribirse

65
00:05:48,500 --> 00:05:54,600
como combinación lineal respecto de los elementos de esa base. Por supuesto, si cambiáramos de base,

66
00:05:54,600 --> 00:05:56,199
estas coordenadas cambiarían

67
00:05:56,199 --> 00:05:58,060
pero bueno, eso ya es otra historia

68
00:05:58,060 --> 00:05:59,699
que bien merecería otro vídeo