1 00:00:00,000 --> 00:00:04,480 ¡Hola! Bienvenidos a esta nueva entrega. Hoy nos vamos a meter de lleno en el lenguaje 2 00:00:04,480 --> 00:00:08,519 secreto que utilizan las matemáticas para manejar números que son o bien gigantestos 3 00:00:08,519 --> 00:00:12,539 o increíblemente pequeños. Haremos un viaje que empieza en las potencias y acaba en los 4 00:00:12,539 --> 00:00:13,679 logaritmos. ¡Vamos al lío! 5 00:00:14,259 --> 00:00:18,539 A ver, ¿alguna vez nos hemos parado a pensar en esto? ¿Cómo se las apañan los científicos 6 00:00:18,539 --> 00:00:22,539 para hablar del número de estrellas en una galaxia o del tamaño de un átomo sin tener 7 00:00:22,539 --> 00:00:26,679 que escribir páginas y páginas llenas de ceros? Bueno, pues la respuesta está en una 8 00:00:26,679 --> 00:00:32,060 forma muy ingeniosa de abreviar las cosas, las potencias. Esta va a ser nuestra hoja de ruta. 9 00:00:32,619 --> 00:00:37,740 Primero veremos por qué las potencias son una abreviatura genial. Después nos haremos con un 10 00:00:37,740 --> 00:00:42,399 kit de herramientas para manejarlas, luego le daremos la vuelta a la tortilla y al final veremos 11 00:00:42,399 --> 00:00:48,140 cómo todo encaja. Muy bien, pues primera parada, antes de ponernos a correr hay que aprender a 12 00:00:48,140 --> 00:00:54,880 andar. Así que la pregunta es simple, ¿qué es exactamente una potencia? Pues mirad, es bastante 13 00:00:54,880 --> 00:00:59,460 más fácil de lo que parece. Una potencia, en el fondo no es más que una abreviatura, es como una 14 00:00:59,460 --> 00:01:04,599 taquigrafía para los números. En vez de escribir 7 por 7 por 7, que es un poco largo, simplemente 15 00:01:04,599 --> 00:01:10,239 ponemos un 7 con un 3 pequeñito arriba. La base es el número que multiplicamos, el 7, y el exponente, 16 00:01:10,400 --> 00:01:16,640 el 3, nos chiva cuántas veces hay que multiplicarlo. Simple y súper eficaz. Y lo bueno es que esta 17 00:01:16,640 --> 00:01:21,739 abreviatura viene con sus propias reglas del juego para que operar sea más fácil. Por ejemplo, como 18 00:01:21,739 --> 00:01:25,700 se ve en esta hoja de ejercicios, si queremos multiplicar potencias que tienen la misma base, 19 00:01:26,019 --> 00:01:32,000 como 2 elevado a 12 por 2 elevado a 35, no hace falta calcularlo todo. Simplemente sumamos los 20 00:01:32,000 --> 00:01:37,900 exponentes. ¡Es un atajo increíble! Y ojo, como en todo buen sistema hay algunos casos especiales 21 00:01:37,900 --> 00:01:42,819 que hay que tener en el radar. Primero, cualquier número, me da igual cuál sea, si lo elevas a 0, 22 00:01:42,980 --> 00:01:49,060 el resultado es siempre 1. Siempre. Segundo, un exponente negativo es como una orden para darle 23 00:01:49,060 --> 00:01:53,879 la vuelta al número. Y tercero, si la base es negativa, el signo del resultado final 24 00:01:53,879 --> 00:01:58,540 depende de si el exponente es par o impar. Son reglas sencillas pero que abren un montón 25 00:01:58,540 --> 00:02:01,659 de puertas. Vale, ya tenemos los cimientos. Ahora vamos 26 00:02:01,659 --> 00:02:06,500 a construir nuestro kit de herramientas. Estas son las propiedades que nos van a permitir 27 00:02:06,500 --> 00:02:10,000 enfrentarnos a expresiones que, de primeras, pueden asustar un poco. 28 00:02:10,500 --> 00:02:15,099 Y aquí está la clave de todo, en serio. Esta tabla es básicamente nuestro manual 29 00:02:15,099 --> 00:02:20,800 de instrucciones. Si las bases son iguales, jugamos con los exponentes. Si los que son iguales son los 30 00:02:20,800 --> 00:02:26,400 exponentes, entonces jugamos con las bases. Y si tenemos una potencia elevada a otra, pues más 31 00:02:26,400 --> 00:02:31,699 fácil todavía, se multiplican los exponentes. Tres reglas de oro. Con esto se puede hacer casi de 32 00:02:31,699 --> 00:02:37,580 todo. Y aquí es donde ocurre la magia. Al combinar estas reglas, podemos coger una expresión que 33 00:02:37,580 --> 00:02:43,560 parece un auténtico lío, como esta fracción llena de potencias, y poco a poco, paso a paso, la vamos 34 00:02:43,560 --> 00:02:48,539 desmontando hasta llegar a algo mucho más sencillo. Cada regla es una herramienta que 35 00:02:48,539 --> 00:02:53,139 sacamos en el momento justo. Muy bien, ya controlamos las reglas del juego. Pero la 36 00:02:53,139 --> 00:02:58,439 pregunta del millón es ¿y esto para qué sirve en la vida real? ¿Dónde aplicamos este nuevo kit 37 00:02:58,439 --> 00:03:04,560 de herramientas? Pues, para esto, la anotación científica. Es la aplicación estrella de las 38 00:03:04,560 --> 00:03:10,180 potencias, sin duda. Nos permite escribir números gigantescos o súper pequeños de una forma muy 39 00:03:10,180 --> 00:03:15,939 compacta. Solo necesitamos un número decimal y una potencia de 10. El exponente nos dice lo 40 00:03:15,939 --> 00:03:21,800 grande o pequeño que es el número. Es como su DNI. Es que mirad la diferencia. Un número larguísimo 41 00:03:21,800 --> 00:03:30,020 como 2 billones 580 mil millones se convierte en un simple 2,58 por 10 elevado a 12. Pasamos de 42 00:03:30,020 --> 00:03:36,000 algo casi imposible de leer a una expresión limpia, elegante y, sobre todo, mucho más fácil 43 00:03:36,000 --> 00:03:41,680 de manejar. Bien, hasta ahora siempre hemos ido en una dirección. Tenemos la base, tenemos el 44 00:03:41,680 --> 00:03:46,960 exponente y calculamos el resultado. Pero en matemáticas siempre es muy interesante preguntarse 45 00:03:46,960 --> 00:03:52,060 ¿qué pasa si le damos la vuelta a la tortilla? La pregunta normal es esta, ¿verdad? ¿Cuánto es 3 46 00:03:52,060 --> 00:04:00,259 elevado a 4? Pues calculamos y 81. Fácil. Pero, ¿y si lo planteamos al revés? ¿Qué número si lo 47 00:04:00,259 --> 00:04:06,979 elevo a 4, me da 81. Ah, ahora la cosa cambia. Ahora la incógnita es la base. Pues para responder 48 00:04:06,979 --> 00:04:12,919 a esa pregunta necesitamos una nueva herramienta en nuestro kit y esa es la raíz. La raíz es la 49 00:04:12,919 --> 00:04:17,899 operación inversa que nos permite encontrar esa base que se nos había perdido. El numerito de la 50 00:04:17,899 --> 00:04:24,740 raíz, el índice, es el exponente que ya conocíamos. De acuerdo, ya sabemos encontrar la base, pero ¿y si 51 00:04:24,740 --> 00:04:30,259 falta otra pieza. Pensemos en esto. ¿Qué pasa si conocemos la base, que es 3, y el resultado, 52 00:04:30,480 --> 00:04:37,740 que es 81, pero lo que nos falta es el exponente? 3 elevado a ¿qué nos da 81? Y aquí es donde entra 53 00:04:37,740 --> 00:04:43,040 en escena el protagonista de la segunda parte de nuestra historia, el logaritmo. Decir logaritmo 54 00:04:43,040 --> 00:04:48,379 en base 2 de 8 suena muy técnico, pero en realidad es solo una forma un poco elegante de hacer una 55 00:04:48,379 --> 00:04:53,639 pregunta. ¿A qué número tengo que elevar el 2 para que me dé 8? Y la respuesta, claro, es 3. 56 00:04:54,279 --> 00:04:56,079 Vamos a verlo con este ejemplo práctico. 57 00:04:56,579 --> 00:04:58,579 Logaritmo en base 2 de 1024. 58 00:04:59,139 --> 00:05:00,560 Venga, ¿cuál es la pregunta que nos hacemos? 59 00:05:00,920 --> 00:05:05,759 Exacto, ¿cuántas veces tenemos que multiplicar 2 por sí mismo para llegar a 1024? 60 00:05:06,199 --> 00:05:10,579 Si descomponemos el número, vemos que 1024 es lo mismo que 2 elevado a 10. 61 00:05:11,060 --> 00:05:12,540 Así que el logaritmo es 10. 62 00:05:12,980 --> 00:05:14,220 Y con esto llegamos al final. 63 00:05:14,579 --> 00:05:18,879 Ahora es el momento de que todas las piezas del puzle encajen y veamos la foto completa. 64 00:05:19,639 --> 00:05:22,899 ¡Atención! Porque esta es la idea clave de todo lo que hemos visto hoy. 65 00:05:22,899 --> 00:05:27,439 Las potencias, las raíces y los logaritmos no son tres temas separados, no 66 00:05:27,439 --> 00:05:30,639 Son tres maneras distintas de mirar la misma ecuación 67 00:05:30,639 --> 00:05:33,420 Todo depende de qué pieza del puzzle nos falte 68 00:05:33,420 --> 00:05:34,779 Vamos a desglosarlo 69 00:05:34,779 --> 00:05:39,779 Si se conoce la base y el exponente y se quiere saber el resultado, se usa una potencia 70 00:05:39,779 --> 00:05:41,060 Es el camino de ida 71 00:05:41,060 --> 00:05:45,740 Ahora, si lo que falta es la base, pero se conocen el exponente y el resultado 72 00:05:45,740 --> 00:05:48,720 La herramienta para encontrarla es la raíz 73 00:05:48,720 --> 00:05:51,060 Y finalmente, el gran misterio 74 00:05:51,060 --> 00:05:55,759 Si lo que se busca es el exponente, esa pieza que conecta la base con el resultado, ahí es 75 00:05:55,759 --> 00:06:03,019 donde brilla el logaritmo. Y ya está, el círculo se cierra. Así que ahí lo tenemos, un viaje completo 76 00:06:03,019 --> 00:06:08,180 desde una simple abreviatura hasta el poder interconectado de potencias, raíces y logaritmos. 77 00:06:08,540 --> 00:06:13,139 Con este kit de herramientas completo se abren las puertas para entender de todo, desde cómo creció 78 00:06:13,139 --> 00:06:17,579 una inversión en el banco hasta cómo se mide la escala de los terremotos. La pregunta que queda 79 00:06:17,579 --> 00:06:21,540 en el aire es ¿Qué problemas del mundo real se pueden empezar a desentrañar ahora?