1
00:00:00,500 --> 00:00:05,299
Antes de empezar, como siempre, os pregunto si alguien tiene algún problema en que se grabe la clase.

2
00:00:07,259 --> 00:00:14,759
Dicho eso, vamos al grano que, como veis, la geometría tiene muchos problemas y por distinto.

3
00:00:15,560 --> 00:00:18,940
A ver, nos quedan, si no me equivoco, tres semanas, quincena y media.

4
00:00:20,339 --> 00:00:27,940
En esta semana pensaba terminar el tema y luego hacer un repaso de geometría en la siguiente.

5
00:00:27,940 --> 00:00:31,100
y luego en la última sesión

6
00:00:31,100 --> 00:00:32,399
hacer un recaso general

7
00:00:32,399 --> 00:00:34,079
esto es lo que

8
00:00:34,079 --> 00:00:36,780
nos queda de clases

9
00:00:36,780 --> 00:00:39,539
el último día

10
00:00:39,539 --> 00:00:41,439
pues quiero enseñaros, aunque ya lo podéis ver

11
00:00:41,439 --> 00:00:43,759
el formato del examen final del año pasado

12
00:00:43,759 --> 00:00:45,640
en el cual los que tienen

13
00:00:45,640 --> 00:00:47,759
que hacer una evaluación

14
00:00:47,759 --> 00:00:48,619
sería la tercera

15
00:00:48,619 --> 00:00:52,079
y una cierta

16
00:00:52,079 --> 00:00:53,479
optatividad

17
00:00:53,479 --> 00:00:54,539
de los ejercicios

18
00:00:54,539 --> 00:00:56,960
si tenéis dos hay otra distinta

19
00:00:56,960 --> 00:00:58,140
y si tenéis tres, otra vez.

20
00:00:59,579 --> 00:01:02,100
De acuerdo, pues si queréis ir echándole un vistazo.

21
00:01:02,420 --> 00:01:06,659
Me gustaría también si me dijerais si la grabación de clase estáis accediendo,

22
00:01:06,799 --> 00:01:11,500
porque hay algunas listas de otras asignaturas, de otros niveles de matemáticas

23
00:01:11,500 --> 00:01:15,439
que me están diciendo que no están pudiendo acceder y lo estoy arreglando poco a poco.

24
00:01:16,420 --> 00:01:21,819
Porque no sé muy bien qué problema hay en la configuración de las listas de la mediateca.

25
00:01:22,519 --> 00:01:38,439
Bueno, dicho eso, pues nos vamos a los distintos problemas métricos. El otro día vimos todos los ángulos, vimos algunas distancias y vamos a seguir con ellos.

26
00:01:38,439 --> 00:01:53,239
A ver, hoy vamos a calcular la distancia entre un plano y una recta. En estos ejercicios, generalmente, es conveniente que previamente se estudie la posición relativa.

27
00:01:53,700 --> 00:02:08,780
¿Sabéis que un plano y una recta pueden ser o paralelos, como en este caso, o secantes, con lo cual se cortan en un punto, o que la recta esté contenida en el plano?

28
00:02:10,599 --> 00:02:16,240
Entonces, por ejemplo, la distancia entre un plano y una recta solo vamos a estudiarla cuando sean paralelos.

29
00:02:16,240 --> 00:02:21,699
paralelos. ¿Por qué? ¿Qué pasa si no son paralelos? Pues si se contan en un punto,

30
00:02:22,099 --> 00:02:27,259
la distancia entre ese punto y ese punto es cero, ¿no? La distancia es cero. Y si la

31
00:02:27,259 --> 00:02:33,780
recta está contenida en el plano, también la distancia es cero. Bueno, entonces, aquí

32
00:02:33,780 --> 00:02:47,580
como se ve, tengo una recta paralela a un plano y la distancia de cualquier punto a

33
00:02:47,580 --> 00:02:51,580
ese plano es la misma. Para el helicóptero que lo veis, si tenéis aquí un punto Q,

34
00:02:51,979 --> 00:02:54,840
su distancia a ese plano va a ser exactamente la misma.

35
00:02:56,020 --> 00:02:59,500
Se suele definir la distancia como

36
00:02:59,500 --> 00:03:03,020
la mínima de las distancias. Por ejemplo, de este punto

37
00:03:03,020 --> 00:03:04,939
a este punto la distancia es mínima.

38
00:03:06,240 --> 00:03:10,060
Vamos al ejemplo.

39
00:03:10,060 --> 00:03:14,060
¿Cómo se calcula la distancia de un punto

40
00:03:14,060 --> 00:03:24,439
a una recta, perdón, de una recta a un plano, ¿no? Entonces, primera parte, como hemos

41
00:03:24,439 --> 00:03:42,639
dicho, la estrategia. Primera parte, la posición relativa. Esto se supone que tenéis una hoja

42
00:03:42,639 --> 00:03:52,289
resumen, ¿no? Supongo que sabéis que para que el plano, no sé si lo recordáis, en

43
00:03:52,289 --> 00:03:56,789
estas cosas las tenéis que tener muy claras. Para que un plano y una recta sean paralelas,

44
00:03:56,789 --> 00:04:23,089
el vector perpendicular, r y pi, son paralelas, sí y solamente sí, el vector v y el vector n son perpendiculares.

45
00:04:23,089 --> 00:04:39,899
Y que la condición de perpendicularidad es que el producto escalar de esos dos vectores sea cero.

46
00:04:43,379 --> 00:04:46,220
¿Cómo calculo el vector director de esta recta?

47
00:04:46,839 --> 00:04:48,379
Pues como hacíamos el otro día.

48
00:04:51,160 --> 00:04:55,439
A ver, este sistema está escalonado. Yo de aquí puedo despejar la zeta.

49
00:04:55,439 --> 00:04:58,319
la Z es

50
00:04:58,319 --> 00:05:03,540
2Y menos 4 es igual a Z

51
00:05:03,540 --> 00:05:06,939
y de la primera ecuación

52
00:05:06,939 --> 00:05:08,339
sustituyendo me queda

53
00:05:08,339 --> 00:05:11,259
X menos Y

54
00:05:11,259 --> 00:05:15,339
más 2 por Z

55
00:05:15,339 --> 00:05:17,519
que es 2Y menos 4

56
00:05:17,519 --> 00:05:20,750
igual a Z

57
00:05:20,750 --> 00:05:25,600
o sea que me queda

58
00:05:25,600 --> 00:05:29,740
X menos Y más 4Y

59
00:05:29,740 --> 00:05:32,980
menos 8 igual a 0.

60
00:05:33,620 --> 00:05:35,259
Entonces, de aquí saco que

61
00:05:35,259 --> 00:05:41,199
z es igual a menos 4 más 2y

62
00:05:41,199 --> 00:05:44,759
y de aquí saco que la x es igual a

63
00:05:44,759 --> 00:05:53,449
de aquí saco que la x es igual a

64
00:05:53,449 --> 00:05:56,069
menos 3 a 8

65
00:05:56,069 --> 00:05:58,110
menos 3y

66
00:05:58,110 --> 00:06:01,110
y que la y puede tomar cualquier parte.

67
00:06:01,110 --> 00:06:05,899
De tal forma que un vector director

68
00:06:05,899 --> 00:06:32,089
de esta recta V es el menos 3, 1, 2. Por otra parte, si tomo el plano X, Y, Z, X más Y más Z menos 2 igual a 0,

69
00:06:32,089 --> 00:06:37,730
el vector perpendicular normal es el 1, 1, 1.

70
00:06:39,949 --> 00:06:45,050
Entonces, con estos dos vectores hago el producto escalar,

71
00:06:45,910 --> 00:06:53,829
menos 3, 1, 2, producto escalar, 1, 1, 1,

72
00:06:55,110 --> 00:06:59,750
y me sale menos 3 más 2 más 1 que es 0.

73
00:06:59,750 --> 00:07:06,029
Entonces, r y pi son paralelos.

74
00:07:06,029 --> 00:07:33,350
Una vez que son paralelos, me voy a la segunda parte, que es decir que la distancia de aquí a aquí, del punto al plano, es la distancia entre la recta y el plano, es la distancia de cualquier punto de la recta al plano.

75
00:07:33,350 --> 00:07:44,470
De aquí puedo sacar que un punto de la recta es el 8, 0, menos 4.

76
00:07:47,860 --> 00:07:51,259
Recordad que para la distancia de un punto amplano es muy sencilla.

77
00:07:51,779 --> 00:08:02,360
Abajo se pone el módulo de un vector normal y aquí se pone el valor absoluto de sustituir el punto en la recta.

78
00:08:02,360 --> 00:08:12,139
La X vale 8, más la Y que vale 0, más la Z que vale menos 4, menos 2, en valor absoluto.

79
00:08:12,800 --> 00:08:19,680
Esto sale 2, valor absoluto de 2, 2, 2 partido por la Y de 3, unidades de valor absoluto.

80
00:08:20,800 --> 00:08:21,399
¿Vale?

81
00:08:22,860 --> 00:08:29,019
Entonces, que veáis que aquí lo más largo es sacar de una recta el punto y el vector.

82
00:08:29,019 --> 00:08:44,100
Las demás cuentas son muy sencillitas, porque un producto escalar es cero y calcular la distancia de un punto a un plano son cuentas sencillitas. Esas son cosas que tenéis muy claras, ¿no? Cómo se van haciendo las cuentas de cada eje.

83
00:08:48,519 --> 00:09:01,659
Continuamos. Distancia entre dos rectas paralelas. Mucho cuidado con esto porque aquí sí tenemos que tener en cuenta la casuística.

84
00:09:01,659 --> 00:09:25,120
Bueno, aquí hay varias formas de hacerlo. La más sencilla es, como sabemos calcular la distancia de un punto a la recta y las rectas son paralelas, pues la distancia de ese punto a la recta entre las dos rectas es la misma que la distancia entre cualquier punto y la segunda recta.

85
00:09:25,120 --> 00:09:36,700
¿Sí? Entonces, esa es la estrategia que vamos a seguir. Aunque ya os digo que hay otras que son un poquito más largas, que son menos operativas.

86
00:09:39,250 --> 00:10:03,539
Entonces, primera cosa. Primero tengo que ver si son paralelas. Tengo esas dos rectas. Entonces, primera parte. ¿Son paralelas? Pues tengo que calcular la posición relativa.

87
00:10:03,539 --> 00:10:22,580
A ver, yo de estas paramétricas puedo sacar que el vector director, bueno, voy a sacarle directamente un punto de esta recta, que es el 0, 0, 0, y un vector director que es el 1, 3, menos 1.

88
00:10:23,799 --> 00:10:27,399
Esto tenéis que saber muy bien de dónde sacar los datos, dadas las instancias.

89
00:10:28,120 --> 00:10:30,059
Esto para la recta R.

90
00:10:31,539 --> 00:10:33,500
Tiene ese punto y ese vector director.

91
00:10:33,500 --> 00:10:46,480
Y la recta S está en ecuación principal. Entonces, yo sé que un punto de esta recta es el 2 y menos 0 y zeta menos 1.

92
00:10:46,879 --> 00:10:53,720
Sabéis que estos se cambian de signo y que el vector director es el 1, 3, menos 1.

93
00:10:55,000 --> 00:11:01,419
Bueno, pues aquí no hace falta hacer más para ver que las dos rectas son paralelas.

94
00:11:01,419 --> 00:11:16,950
Bueno, a ver, tienen la misma dirección. En realidad podrían ser o paralelas o coincidentes.

95
00:11:25,190 --> 00:11:26,509
¿Puedo hacer el cálculo ya?

96
00:11:26,509 --> 00:11:50,289
Sí, porque si son paralelas, si son paralelas, este paralelismo un poco relativo, esta distancia de aquí a aquí, y si son coincidentes, me va a salir que la distancia entre P y la recta S, la distancia es cero.

97
00:11:50,610 --> 00:11:57,350
O sea, que aunque no sepamos si son paralelas o coincidentes, al calcular la distancia, lo vamos a averiguar.

98
00:11:57,350 --> 00:12:13,769
Vale, entonces os recuerdo que la segunda parte, la distancia entre R y S es la misma que la distancia entre el punto P y la recta S.

99
00:12:13,769 --> 00:12:40,440
Y esto, os recuerdo que es, si os acordáis, se hacía un paralelogramo, calculo el área del paralelogramo con u y el producto vectorial por pq y aquí divido entre el módulo de u.

100
00:12:40,440 --> 00:13:02,460
Esto os lo tenéis que saber. Os voy a recordar aquí un momento esto, que para hacer la distancia de un punto P a una recta que tienen esto y esto,

101
00:13:02,460 --> 00:13:05,440
hacemos el área del paralelogramo

102
00:13:05,440 --> 00:13:06,620
que forma

103
00:13:06,620 --> 00:13:08,340
u y el vector pq

104
00:13:08,340 --> 00:13:11,950
y se divide por la base

105
00:13:11,950 --> 00:13:13,370
que es el módulo de u

106
00:13:13,370 --> 00:13:16,029
bueno, entonces sabéis que

107
00:13:16,029 --> 00:13:17,509
para hacer el producto vectorial

108
00:13:17,509 --> 00:13:19,509
tendría que hacer aquí el vector pq

109
00:13:19,509 --> 00:13:21,429
el vector pq

110
00:13:21,429 --> 00:13:24,409
son coordenadas de extremo menos origen

111
00:13:24,409 --> 00:13:25,490
2 menos 0, 2

112
00:13:25,490 --> 00:13:27,549
0 menos 0, 0

113
00:13:27,549 --> 00:13:29,350
1 menos 0, 1

114
00:13:29,350 --> 00:13:32,529
entonces aquí tengo que hacer

115
00:13:32,529 --> 00:13:35,629
el producto vectorial

116
00:13:35,629 --> 00:13:39,590
de u, que es

117
00:13:39,590 --> 00:13:41,509
i, j, k

118
00:13:41,509 --> 00:13:45,190
1, 3, menos 1

119
00:13:45,190 --> 00:13:46,870
y el vector 2, 0.

120
00:13:48,269 --> 00:13:49,929
Calculo esto, sale 3i

121
00:13:49,929 --> 00:13:50,909
menos 2j

122
00:13:50,909 --> 00:13:55,610
3i menos 2j

123
00:13:55,610 --> 00:13:57,230
menos 6k

124
00:13:57,230 --> 00:14:00,399
menos j.

125
00:14:01,779 --> 00:14:03,200
O sea que nos sale

126
00:14:03,200 --> 00:14:07,500
3 menos 3

127
00:14:07,500 --> 00:14:11,679
menos 6. Menos 2J menos J

128
00:14:11,679 --> 00:14:15,759
menos 3J. Entonces aquí sería el módulo

129
00:14:15,759 --> 00:14:20,019
de ese vector, que es la raíz de 3 al cuadrado

130
00:14:20,019 --> 00:14:24,200
menos 3 al cuadrado más menos 6 al cuadrado

131
00:14:24,200 --> 00:14:27,620
y abajo tengo que poner el módulo de U

132
00:14:27,620 --> 00:14:32,320
y el módulo de U es la raíz de 1 al cuadrado

133
00:14:32,320 --> 00:14:36,799
más 3 al cuadrado, más menos 1 al cuadrado.

134
00:14:38,080 --> 00:14:54,940
Bueno, esto lo hago, sale 36, no me equivoco, sale 54, raíz, y aquí 9 más 2, 11, raíz, van a ser radicales, no se puede simplificar,

135
00:14:54,940 --> 00:14:58,139
se queda así, y estos son unidades de longitud.

136
00:14:58,139 --> 00:15:01,179
entonces, lo repito

137
00:15:01,179 --> 00:15:04,200
para calcular la distancia entre dos rectas

138
00:15:04,200 --> 00:15:06,820
estudiamos primero la posición relativa

139
00:15:06,820 --> 00:15:09,980
si son paralelas, la distancia

140
00:15:09,980 --> 00:15:13,279
entre las dos rectas es lo mismo

141
00:15:13,279 --> 00:15:16,000
que la distancia de un punto de una recta

142
00:15:16,000 --> 00:15:17,659
a la otra recta

143
00:15:17,659 --> 00:15:20,019
cuando en realidad el P

144
00:15:20,019 --> 00:15:24,950
es de la recta S

145
00:15:24,950 --> 00:15:30,990
bueno, pues

146
00:15:30,990 --> 00:16:01,090
Entonces, como veis, la casuística es grande. Continuamos. Vale. Y vamos ahora a la distancia entre dos rectas. ¿Qué sé yo? Bueno, sabéis que si dos rectas se cortan, no sé si lo tengo puesto en algún sitio, si dos rectas se cortan, su distancia es cero.

147
00:16:01,090 --> 00:16:21,480
Bueno, entonces, a ver, para ver esto, creo que va a ser mejor que no haga el dibujo, porque aquí se ve mucho mejor.

148
00:16:22,379 --> 00:16:24,100
Yo tengo dos rectas que se cruzan.

149
00:16:25,100 --> 00:16:32,100
Como veis, el rango de los vectores del vector director de S, el de R,

150
00:16:32,100 --> 00:16:39,120
y el vector que une un punto de la recta R con otro de la B, ese rango es 3.

151
00:16:39,120 --> 00:16:48,559
¿Por qué lo sé? Porque v y w forman un plano, bajando este vector aquí, y este vector se escapa de ese plano.

152
00:16:48,919 --> 00:16:52,840
Entonces, como veis, salen tres vectores linealmente independientes.

153
00:16:53,200 --> 00:16:58,940
Si salen tres vectores linealmente independientes, yo puedo dibujar este parálete.

154
00:17:00,220 --> 00:17:02,679
Con paralelas me sale esto.

155
00:17:03,200 --> 00:17:06,900
Y esto tiene un volumen, lo calculo.

156
00:17:06,900 --> 00:17:14,619
Sabéis que el volumen de un paralelepípedo es el área de la base por la altura.

157
00:17:14,960 --> 00:17:19,140
Y la altura no es este vector inclinado, sino el que está recto.

158
00:17:19,420 --> 00:17:22,799
Es como las torres de Kío de la Plaza de Castilla.

159
00:17:23,359 --> 00:17:24,640
Esta es la altura de la reta.

160
00:17:26,039 --> 00:17:32,019
Entonces, si el volumen es el área de la base por la altura,

161
00:17:32,779 --> 00:17:36,140
la altura será el volumen dividido entre el área de la base.

162
00:17:36,900 --> 00:17:45,259
El volumen del paralelepípedo, lo vimos en el primer tema de vectores, se calcula con el producto mixto.

163
00:17:45,299 --> 00:17:54,500
Y el producto mixto es el determinante de los tres vectores que forman el paralelepípedo, que generan el paralelepípedo.

164
00:17:54,819 --> 00:18:02,480
Y el área de la base es lo que acabamos de ver ahora. El área de la base es el módulo del producto vectorial de los dos vectores que forman la base.

165
00:18:02,480 --> 00:18:05,559
esto hay gente que se lo aprende

166
00:18:05,559 --> 00:18:06,839
hay gente que no razona

167
00:18:06,839 --> 00:18:09,299
vamos siempre mejor razonarlo

168
00:18:09,299 --> 00:18:11,000
saber de donde vienen las cosas

169
00:18:11,000 --> 00:18:13,619
pero esto es otro ejemplo

170
00:18:13,619 --> 00:18:15,680
clásico

171
00:18:15,680 --> 00:18:16,720
de

172
00:18:16,720 --> 00:18:19,920
de problema de geometría

173
00:18:19,920 --> 00:18:21,440
entonces

174
00:18:21,440 --> 00:18:23,019
¿qué hacemos con esto?

175
00:18:23,019 --> 00:18:23,940
pues lo mismo

176
00:18:23,940 --> 00:18:26,900
como veis las cuentas se repiten bastante

177
00:18:26,900 --> 00:18:29,160
primero tengo que estudiar

178
00:18:29,160 --> 00:18:30,440
la posición relativa

179
00:18:30,440 --> 00:18:42,809
para eso necesito

180
00:18:42,809 --> 00:18:46,089
un punto y un vector de cada recta.

181
00:18:46,089 --> 00:18:50,170
En R, vamos a ver, si yo tengo estas ecuaciones,

182
00:18:51,450 --> 00:18:55,630
en R, tengo que

183
00:18:55,630 --> 00:19:00,029
X es igual a

184
00:19:00,029 --> 00:19:03,170
menos 1 más 2Z.

185
00:19:04,170 --> 00:19:07,650
Y si sustituyo abajo, arriba,

186
00:19:07,750 --> 00:19:11,529
perdón, me queda X más Y, perdón,

187
00:19:11,529 --> 00:19:23,369
Me queda que x, que es menos 1 más 2z, más y menos z es igual a 1.

188
00:19:23,930 --> 00:19:40,289
Si yo despejo de aquí, me sale que y es igual a, este menos pasa con más, 2, y aquí tengo 2z menos z, que es z, que al pasar aquí restan 2, sale z.

189
00:19:40,289 --> 00:19:52,130
Aquí me sale x igual a menos 1 más 2z y es 2 menos z y z puede tomar cualquiera.

190
00:19:55,089 --> 00:20:04,309
O sea que tengo como punto menos 1, 2, 0 y como vector director 2 menos 1.

191
00:20:04,309 --> 00:20:12,619
esto respecto a la recta R

192
00:20:12,619 --> 00:20:16,720
y por otra parte la recta S es mucho más fácil de trabajar

193
00:20:16,720 --> 00:20:22,180
un punto Q es X menos 0

194
00:20:22,180 --> 00:20:24,920
Y menos menos 2

195
00:20:24,920 --> 00:20:26,720
acordaos que se cambia de signo

196
00:20:26,720 --> 00:20:27,700
y Z menos 1

197
00:20:27,700 --> 00:20:31,759
y vector director que llamo V

198
00:20:31,759 --> 00:20:33,839
aquí es como si hubiera un 1

199
00:20:33,839 --> 00:20:38,490
1 menos 1, 2

200
00:20:38,490 --> 00:21:02,509
¿Sí? Entonces, bueno, posición relativa. Primera parte. El rango de U y V es 2 porque no son proporcionales.

201
00:21:02,509 --> 00:21:15,799
Entonces, si el rango es 2, pueden ser o secantes o se cruzan.

202
00:21:17,579 --> 00:21:20,339
Porque no tienen la misma dirección.

203
00:21:21,819 --> 00:21:25,180
No tienen la misma dirección.

204
00:21:28,430 --> 00:21:31,529
Esto es repasar las posiciones relativas.

205
00:21:31,529 --> 00:21:50,549
Entonces, para saber si se cruzan o no, tengo que ver qué pasa con el rango de los vectores UV y el vector P.

206
00:21:50,549 --> 00:22:00,119
Para hacer ese rango, lo más fácil es calcular el determinante.

207
00:22:00,779 --> 00:22:02,720
¿El determinante de qué?

208
00:22:04,720 --> 00:22:09,440
El determinante formado por los tres vectores.

209
00:22:09,440 --> 00:22:12,779
2, menos 1, 1. 1, menos 1, 2.

210
00:22:13,299 --> 00:22:20,519
Y el vector PQ, lo voy a hacer aquí, es 0, menos menos 1, que es 1.

211
00:22:21,500 --> 00:22:24,079
Menos 2, menos 2, que es menos 4.

212
00:22:24,420 --> 00:22:54,970
Y 1 menos 0 que es 1. O sea, 1 menos 4. Calculo este determinante y me sale menos 2, menos 2, menos 4, más 1, más 16 y más 1.

213
00:22:54,970 --> 00:23:13,500
Vamos a repasar las cuentas. Menos dos, menos cuatro, menos ocho, siete, siete, nueve y uno diez. Esto vale diez, ¿no? Distinto de cero.

214
00:23:13,500 --> 00:23:34,230
Pues, acordaos que como este rango, esto me indica, como es distinto de 0, que el rango de esos tres vectores es 3.

215
00:23:34,490 --> 00:23:36,910
Y si es 3, la recta se cruza.

216
00:23:37,849 --> 00:23:44,130
Como habéis visto antes en el dibujo, forman un paralelepípedo estos tres vectores que he puesto aquí.

217
00:23:44,130 --> 00:23:51,049
Y esto va a ser el volumen del paralelepípedo. Esto es una cuenta que ya tengo hecha.

218
00:23:51,369 --> 00:24:20,460
Y ahora, segunda parte. Tengo que calcular la distancia entre R y S. Y he dicho que es igual al valor absoluto del producto mixto, que lo acabo de calcular, partido por el módulo de U por V.

219
00:24:20,460 --> 00:24:47,549
Esto lo acabo de calcular, vale 10. Y lo del denominador, pues lo voy a hacer ahora. Producto mixto, pues haréis IJK, el vector U es 2, menos 1, 1, el vector V es 1, menos 1, 2.

220
00:24:47,549 --> 00:25:07,480
Entonces sale menos 2i, más j, menos 2k, más k, más i, más, no, menos, menos 4j.

221
00:25:07,480 --> 00:25:38,720
Aquí esto saldría, menos 2 más 1 menos 1, j, ah no, 1 menos 4 menos 3, y menos 2 más 1 menos 1, pues esto será la raíz cuadrada de, menos 1 al cuadrado más menos 3 al cuadrado más menos 1 al cuadrado.

222
00:25:38,720 --> 00:25:46,940
Y como veis esto sale 10 partido por raíz de 11 unidades de longitud.

223
00:25:47,539 --> 00:25:54,680
Si alguien quiere racionalizarlo, esto es 10 raíz de 11 partido por 11.

224
00:25:55,059 --> 00:25:58,599
O sea, si alguien quiere racionalizarlo, pero el resultado va hasta con dejarlo así.

225
00:26:01,779 --> 00:26:03,259
Repasando un poco el problema.

226
00:26:04,160 --> 00:26:05,319
Revisando el problema.

227
00:26:05,859 --> 00:26:08,480
Quiero calcular la distancia entre dos rectas.

228
00:26:08,720 --> 00:26:10,480
Estudio la posición relativa.

229
00:26:12,359 --> 00:26:14,339
Saco punto y vector de cada recta.

230
00:26:16,220 --> 00:26:17,660
Primero miro los vectores.

231
00:26:17,799 --> 00:26:24,099
Como los vectores no son proporcionales, las rectas no tienen la misma dirección, no pueden ser ni paralelas ni coincidentes.

232
00:26:24,259 --> 00:26:26,000
Tienen que ser o secantes o secantes.

233
00:26:26,900 --> 00:26:30,900
Si son secantes, son coplanarias, están en un mismo plano.

234
00:26:31,619 --> 00:26:37,200
Con lo cual, los vectores u, v y el pq tendrían que tener rango 2.

235
00:26:37,200 --> 00:26:39,420
El determinante que forman sería cero.

236
00:26:40,619 --> 00:26:47,180
Si este determinante sale distinto de cero, quiere decir que los tres vectores son linealmente independientes,

237
00:26:47,299 --> 00:26:50,119
no están en el mismo plano, que forman un paralelepípedo.

238
00:26:50,759 --> 00:26:55,319
Y precisamente el volumen de ese paralelepípedo es este número que he calculado.

239
00:26:56,140 --> 00:27:01,940
Si yo lo divido por el área de la base de ese paralelepípedo, que es el módulo del producto vectorial de O con V,

240
00:27:02,440 --> 00:27:04,299
me sale la altura.

241
00:27:04,299 --> 00:27:16,900
La idea es esa. Y creo que es bueno de vez en cuando, al terminar el ejercicio, que los preseis con palabras para luego meteros en la vorágine de los cálculos.

242
00:27:23,759 --> 00:27:33,240
¿Me podéis confirmar que funciona el micrófono? Porque estoy un poco paranoico porque últimamente ha habido clases que no he podido grabar.

243
00:27:33,240 --> 00:27:45,119
y bueno entonces hemos visto un montón de posibles cálculos de distancias y nos queda

244
00:27:45,119 --> 00:27:50,579
cálculo de áreas y volúmenes hay algunas cosas que ya hemos visto con vectores pero

245
00:27:50,579 --> 00:27:57,079
el tratamiento que vamos a hacerlo es cuando tenemos puntos concretos a ver si tenemos

246
00:27:57,079 --> 00:28:02,900
tiempo y de hacer el área de un triángulo el área del volumen de un tetraedro son ejercicios

247
00:28:02,900 --> 00:28:11,680
son unos muy típicos de EBAU y luego, a ver si nos da tiempo a explicar este también,

248
00:28:11,920 --> 00:28:16,519
que es un poco más complicado, aunque os he dejado el tutorial y como veis aquí tenéis

249
00:28:16,519 --> 00:28:28,160
prácticamente todas las posibilidades que se me han ocurrido, que son prácticamente

250
00:28:28,160 --> 00:28:30,279
a marcar casi todo el repertorio.

251
00:28:30,420 --> 00:28:31,960
¿Veis que en el juego hay ejercicios

252
00:28:31,960 --> 00:28:33,059
que os ponen a veces

253
00:28:33,059 --> 00:28:36,519
con ejemplos del mundo físico?

254
00:28:37,119 --> 00:28:37,319
Bueno.

255
00:28:38,960 --> 00:28:40,039
Pues vamos a seguir

256
00:28:40,039 --> 00:28:41,960
con el cálculo del área

257
00:28:41,960 --> 00:28:42,920
de un triángulo.

258
00:28:46,099 --> 00:28:50,490
A ver, dice, calcule el área

259
00:28:50,490 --> 00:28:52,390
del triángulo a cuyos vírtices son

260
00:28:52,390 --> 00:28:54,410
los puntos de intersección de un plano

261
00:28:54,410 --> 00:28:56,450
con los ejes de coordenadas.

262
00:28:57,329 --> 00:28:58,490
Bueno, aquí cada uno lo pinta

263
00:28:58,490 --> 00:29:00,490
como quiere. Para mí este es el eje

264
00:29:00,490 --> 00:29:10,750
o x este es el eje hoy y el que mide la altura es el eje o z en el eje o x es una recta es

265
00:29:10,750 --> 00:29:20,769
intersección de los planos y es intersección de los planos y igual a 0 z igual a 0 la x es la

266
00:29:20,769 --> 00:29:29,650
única que se mueve este es el punto 0 0 0 y 1 0 0 2 0 0 3 0 0 la ecuación del plano hoy de

267
00:29:29,650 --> 00:29:37,069
El eje Y es X igual a cero, Z igual a cero.

268
00:29:37,490 --> 00:29:39,009
La Y es la única que se mueve.

269
00:29:39,769 --> 00:29:44,589
Y la ecuación del eje Z es X igual a cero, Y igual a cero.

270
00:29:45,589 --> 00:29:59,420
Entonces, yo tengo un plano y ese plano, si es oblicuo, corta a los ejes a cada uno en un punto.

271
00:29:59,420 --> 00:30:01,799
De tal forma que se forma un triángulo.

272
00:30:01,799 --> 00:30:07,440
por cierto, por si os sale en algún momento

273
00:30:07,440 --> 00:30:09,240
la ecuación de este plano

274
00:30:09,240 --> 00:30:11,259
que está formado por

275
00:30:11,259 --> 00:30:15,880
este plano se llama el OXZ

276
00:30:15,880 --> 00:30:18,720
que es precisamente igual a cero

277
00:30:18,720 --> 00:30:21,519
la variable que no uso

278
00:30:21,519 --> 00:30:24,180
este plano que es el OXZ

279
00:30:24,180 --> 00:30:27,240
su ecuación es z igual a cero

280
00:30:27,240 --> 00:30:29,380
y este plano

281
00:30:29,380 --> 00:30:32,619
Sí, su ecuación es z igual a cero.

282
00:30:32,920 --> 00:30:38,539
Y la ecuación del plano O y z es x igual a cero, por si en algún caso os sale.

283
00:30:39,119 --> 00:30:47,200
Bueno, entonces, el área de un triángulo, el área del triángulo ABC,

284
00:30:48,980 --> 00:30:54,240
sabéis que es el módulo del producto vectorial.

285
00:30:54,380 --> 00:30:56,680
Por ejemplo, de AB con AC.

286
00:30:56,680 --> 00:30:58,940
también podría hacer

287
00:30:58,940 --> 00:31:01,339
de B a con

288
00:31:01,339 --> 00:31:03,359
B C

289
00:31:03,359 --> 00:31:05,339
o de C a con C B

290
00:31:05,339 --> 00:31:05,519
¿no?

291
00:31:06,880 --> 00:31:09,819
entonces para eso necesito calcular A, B y C

292
00:31:09,819 --> 00:31:11,779
¿cómo calculo

293
00:31:11,779 --> 00:31:13,240
cómo calculo B?

294
00:31:13,839 --> 00:31:15,460
pues si este es el plano X y

295
00:31:15,460 --> 00:31:20,839
perdón, si ese es el X y

296
00:31:20,839 --> 00:31:22,539
y quiero hacer el punto de corte

297
00:31:22,539 --> 00:31:24,740
con el plano, pues aquí me sale

298
00:31:24,740 --> 00:31:25,759
que

299
00:31:25,759 --> 00:31:29,750
X es igual a 0

300
00:31:29,750 --> 00:31:31,450
igual a 0

301
00:31:31,450 --> 00:31:33,009
y si sustituyo aquí me queda

302
00:31:33,009 --> 00:31:35,329
2Y menos 6

303
00:31:35,329 --> 00:31:37,450
igual a 0, con lo cual

304
00:31:37,450 --> 00:31:39,089
Y es igual a 3

305
00:31:39,089 --> 00:31:41,230
bueno, pues este punto de corte

306
00:31:41,230 --> 00:31:43,029
es el 0

307
00:31:43,029 --> 00:31:44,509
3

308
00:31:44,509 --> 00:31:47,880
¿cómo hago el punto A?

309
00:31:50,160 --> 00:31:50,720
pues

310
00:31:50,720 --> 00:31:51,980
vuelvo a coger el plano

311
00:31:51,980 --> 00:31:54,839
2X más 2Y

312
00:31:54,839 --> 00:31:56,700
más 3C

313
00:31:56,700 --> 00:31:58,720
perdón, a ver que esto

314
00:31:58,720 --> 00:32:00,339
no se ve, espero que me haya influido

315
00:32:00,339 --> 00:32:33,319
Ahora, esto sí. Esto es y y esto es 6. Ahora, 2x más y más 3z menos 6 igual a 0. Pues si la y y la z valen 0, me queda 2x menos 6 igual a 0, con lo cual x es igual a 3.

316
00:32:33,319 --> 00:32:56,279
Pues este es el punto 3, 0, 0. Y por último, si tengo aquí el plano 2x más y más 3z menos 6 igual a 0, me queda que 3z menos 6 es igual a 0, con lo cual z es igual a 2.

317
00:32:56,279 --> 00:32:59,599
Con lo cual, este es el punto 0, 0, 2.

318
00:33:01,960 --> 00:33:05,000
Entonces, ¿cómo calculo esto?

319
00:33:07,150 --> 00:33:15,890
Pues el vector AB, sus coordenadas son las coordenadas de B menos las de A.

320
00:33:16,950 --> 00:33:20,130
Pues será menos 3, 6, 0.

321
00:33:22,799 --> 00:33:27,740
Y el vector AC, sus coordenadas serán las de C menos las de A.

322
00:33:27,740 --> 00:33:34,059
Menos 3, 0, menos 0, 0 y 2, menos 0, 2.

323
00:33:35,480 --> 00:33:39,480
Entonces, calculo el producto vectorial.

324
00:33:41,220 --> 00:33:48,279
Como veis, las cuentas empiezan ya a repetir bastante, pero tenéis que saber en cada momento qué cuenta se hace.

325
00:33:49,079 --> 00:33:51,420
El producto vectorial se hace así.

326
00:33:51,420 --> 00:33:55,079
menos 3, 6, 0

327
00:33:55,079 --> 00:33:57,940
menos 3, 0, 2

328
00:33:57,940 --> 00:34:01,799
y sale, a ver, 12I

329
00:34:01,799 --> 00:34:03,039
0, 0

330
00:34:03,039 --> 00:34:04,519
más

331
00:34:04,519 --> 00:34:06,460
12I

332
00:34:06,460 --> 00:34:09,400
más 18K

333
00:34:09,400 --> 00:34:13,199
más 6J

334
00:34:13,199 --> 00:34:16,219
y sale

335
00:34:16,219 --> 00:34:19,159
12, 6, 18

336
00:34:19,159 --> 00:34:22,489
pues me vuelvo aquí

337
00:34:22,489 --> 00:34:23,929
y

338
00:34:23,929 --> 00:34:34,090
Y lo de este vector es la raíz de 12 al cuadrado más 6 al cuadrado más 18 al cuadrado.

339
00:34:34,090 --> 00:34:57,690
Saco la calculadora. A ver, 144 más 36 más 324 sale 504.

340
00:34:58,670 --> 00:35:06,710
Pues será igual a la raíz de 504, como es una superficie, unidades de superficie.

341
00:35:07,829 --> 00:35:15,269
Y ya está. En este ejercicio lo que tenéis que saber es cuáles son las ecuaciones de los ejes OX, OY y OZ.

342
00:35:25,699 --> 00:35:39,719
Bueno, el siguiente, pues también lo he hecho con los ejes. Es que son ejercicios que he visto bastante en el BAO en distintos años.

343
00:35:40,059 --> 00:35:42,219
Vamos, es con los planos coordenados ahora.

344
00:35:43,079 --> 00:36:14,949
Ah, no, no, es con los ejes de coordenadas. O sea que puedo utilizar los anteriores. Entonces, dice, a ver, tenemos los mismos datos, tenemos un plano y queremos calcular el volumen del tetraedro.

345
00:36:14,949 --> 00:36:26,909
No sé si veis el tetraedro. El vértice podría ser O, este es el punto A que me salía antes, este es el punto B y este es el punto C.

346
00:36:28,289 --> 00:36:48,480
Entonces, el tetraedro es como una pirámide y el volumen de un tetraedro es, no sé si os acordáis de geometría,

347
00:36:48,480 --> 00:37:21,690
A ver, esto sería el área de su base, que pongamos que es el área de su base por su altura. El área de la base, como es un triángulo, entonces es la mitad del rectángulo.

348
00:37:21,690 --> 00:37:28,630
y no sé si sabéis

349
00:37:28,630 --> 00:37:30,570
que el volumen de un tetraedro

350
00:37:30,570 --> 00:37:33,190
es área de base por altura partido por 3

351
00:37:33,190 --> 00:37:34,530
si cogiste

352
00:37:34,530 --> 00:37:36,110
este tetraedro

353
00:37:36,110 --> 00:37:37,570
se divide entre 3

354
00:37:37,570 --> 00:37:40,409
entonces esto es la

355
00:37:40,409 --> 00:37:41,590
sexta parte

356
00:37:41,590 --> 00:37:44,230
porque el área de la base es la mitad

357
00:37:44,230 --> 00:37:45,030
de la de pie

358
00:37:45,030 --> 00:37:48,869
que el volumen

359
00:37:48,869 --> 00:37:50,590
del parámetro de pipe

360
00:37:50,590 --> 00:37:58,510
a ver, lo repito de nuevo

361
00:37:58,510 --> 00:38:05,630
Si queréis hacer, a ver, si yo tengo un paralelepípedo, voy a hacerlo recto porque es más fácil.

362
00:38:08,980 --> 00:38:24,260
Pensadlo. A ver, si yo cojo la mitad de la base y esto, me queda el área de este prisma, ¿no?

363
00:38:24,679 --> 00:38:29,539
Bueno, pues de este prisma puedo sacar tres pirámides que tienen la misma base y la misma altura.

364
00:38:29,539 --> 00:38:32,280
esto es de geometría de segundo, de tercero

365
00:38:32,280 --> 00:38:33,980
de eso, no sé si lo recordáis o no

366
00:38:33,980 --> 00:38:36,400
pero vamos, la justificación

367
00:38:36,400 --> 00:38:37,239
es esta

368
00:38:37,239 --> 00:38:40,300
vamos, lo que tenéis que llegar

369
00:38:40,300 --> 00:38:42,219
a saber es que el volumen del tetraedro es la

370
00:38:42,219 --> 00:38:44,420
sexta parte de la del parámetro del epípedo

371
00:38:44,420 --> 00:38:46,380
o sea, si yo hiciera un parámetro

372
00:38:46,380 --> 00:38:48,519
del epípedo con estos tres vectores

373
00:38:48,519 --> 00:38:50,340
saldría una figura

374
00:38:50,340 --> 00:38:50,699
que

375
00:38:50,699 --> 00:38:52,559
que

376
00:38:52,559 --> 00:38:56,380
que tiene un volumen seis veces

377
00:38:56,380 --> 00:38:57,340
el del tetraedro

378
00:38:57,340 --> 00:39:20,159
Bueno, pues una vez hecho eso, este ejercicio es evidente. El punto A, si no me equivoco, era el 6, 0, 0. El punto B era el punto 0, 3, 0. Y el punto C, esto lo hemos hecho antes, era el punto 0, 0, 2.

379
00:39:20,159 --> 00:39:41,590
Entonces, tengo estos tres vectores, estos tres vectores, vamos, el vector OA es el vector 6, 0, 0,

380
00:39:42,690 --> 00:39:50,289
porque tenéis que restarle las coordenadas del origen, que es el 0, 0, el vector OB es el vector posición, el 0, 3, 0,

381
00:39:50,829 --> 00:39:55,389
y el vector OC es el vector 0, 0, 2.

382
00:39:57,750 --> 00:40:24,000
Bueno, pues, ¿cómo calculáis el volumen del paralel epípedo? Hacéis el producto vectorial, 0, 3, 0, 0, 0, 2, y os sale 6 por 3, 18 por 2, 36, ¿no?

383
00:40:25,619 --> 00:40:36,639
Entonces, el volumen del paralel epípedo es el valor absoluto de 36, porque podría salir negativo, que es 36 unidades de volumen, ¿sí?

384
00:40:36,639 --> 00:40:46,599
Bueno, pues el volumen del tetrahedro, que es lo que pide la solución, es la sexta parte.

385
00:40:47,039 --> 00:40:49,599
Seis unidades de volumen.

386
00:40:49,699 --> 00:40:53,159
Hay gente que prefiere poner seis unidades cúbicas.

387
00:40:57,570 --> 00:41:01,949
Entonces, esto, como veis, estamos relacionando los tres temas.

388
00:41:02,110 --> 00:41:09,849
El primer tema que era de vectores, el segundo que era de geometría afín sin intersecciones,

389
00:41:09,849 --> 00:41:17,289
posiciones relativas y todas estas cosas y este tercero que es de calcular distancias entonces

390
00:41:17,289 --> 00:41:23,409
para eso muchas veces tenemos que estudiar la posición relativa y muchas veces tenemos que

391
00:41:23,409 --> 00:41:31,250
hacer los cálculos de los vectores no sé si tenéis algo que decir una cosa alguna cosa que nos quede

392
00:41:31,250 --> 00:41:55,210
Clara, que os recuerdo que hoy o el jueves tenemos tutoría, el viernes sabéis que empiezan las vacaciones y bueno, vamos a hacer un ejercicio que tiene una complicación, la complicación está en el apartado B, pero el apartado B nos va a servir para cerrar el apartado.

393
00:41:55,210 --> 00:42:29,489
A ver, primera cosa. Nos dan dos reglas. Entonces, nos dicen que comprobemos que se cruza. O sea, tienen distinta dirección. Ya tenemos que ver si se cruza.

394
00:42:29,489 --> 00:42:39,949
Esta primera parte ya deberíamos haberla. Necesitamos un punto y un vector de R. Esto

395
00:42:39,949 --> 00:43:04,150
para el apartado. Necesitamos un punto y un vector de Q. Q y U. Entonces, en R tengo el

396
00:43:04,150 --> 00:43:24,230
punto 4, 1, menos 2. Y vector director, 2, menos 1, 3. Por otra parte, en la recta S,

397
00:43:25,070 --> 00:43:38,730
tengo como punto Q, que es 1, menos 2, 8. Y como vector director, acordaos que aquí hay

398
00:43:38,730 --> 00:43:54,730
1, V tiene vector director 1 menos 2, 2. Vale. Entonces, comprueba que las rectas R y S se

399
00:43:54,730 --> 00:43:56,730
cruza. Primero tomo

400
00:43:56,730 --> 00:43:58,130
U y V

401
00:43:58,130 --> 00:44:02,550
el rango

402
00:44:02,550 --> 00:44:03,869
que forman

403
00:44:03,869 --> 00:44:06,670
la matriz formada por

404
00:44:06,670 --> 00:44:08,250
U y V es 2.

405
00:44:09,010 --> 00:44:09,530
¿Por qué?

406
00:44:10,469 --> 00:44:12,590
Porque no son proporcionantes.

407
00:44:17,039 --> 00:44:17,880
Entonces

408
00:44:17,880 --> 00:44:20,820
o se cortan

409
00:44:20,820 --> 00:44:24,619
o se cruzan.

410
00:44:28,900 --> 00:44:30,500
Se cortan, son secantes

411
00:44:30,500 --> 00:44:31,599
o se cruzan.

412
00:44:32,320 --> 00:44:44,969
Para ver si se corta o no se cruza, tengo que calcular el vector PQ.

413
00:44:46,150 --> 00:44:59,340
El vector PQ, sabéis que es 1 menos 4, menos 2 menos 1, y 8 menos menos 2.

414
00:44:59,340 --> 00:45:08,090
O sea, aquí me sale el vector menos 5 menos 3, 10.

415
00:45:09,389 --> 00:45:26,530
Entonces, tenemos que calcular ahora el rango que forman u, v y v2 y el vector v.

416
00:45:27,130 --> 00:45:38,980
Si el rango es 3, estos 3 vectores son linealmente independientes, con lo cual la recta se cruza.

417
00:45:38,980 --> 00:45:43,280
Y si no, las rectas son coplanarias y se cortan.

418
00:45:43,380 --> 00:45:47,619
Las rectas no paralelas que se están en el mismo plano se cortan en el mismo plano.

419
00:45:49,380 --> 00:45:51,940
Entonces, ¿cómo calculo el rango este?

420
00:45:51,940 --> 00:46:10,340
el vector u es 2 menos 1, 3, el vector v es 1 menos 2, 2, y el vector pq es menos 5 menos 3, 10.

421
00:46:10,340 --> 00:46:31,650
Esto sale, menos 40, más 10, menos 9, menos 30, más 12 y más 10.

422
00:46:33,130 --> 00:46:39,949
Bueno, entonces, a ver, positivos 32, voy a hacer la mano.

423
00:46:41,849 --> 00:46:55,539
Y ahora, a ver, esto es menos 30, menos 39, menos 79, ¿no?

424
00:46:58,030 --> 00:47:07,909
Y esto sale menos 47, ¿no?

425
00:47:08,269 --> 00:47:15,130
Bueno, acordaos que este 47 en valor absoluto es el volumen del parámetro, pero que suave.

426
00:47:15,690 --> 00:47:17,030
Pero no me interesa esto.

427
00:47:17,030 --> 00:47:21,110
A mí lo que me interesa saber es que como esto es distinto de cero, ¿no?

428
00:47:21,110 --> 00:47:25,090
R y S se cruzan.

429
00:47:31,440 --> 00:47:32,960
Bueno, pues ya he hecho la primera parte.

430
00:47:34,099 --> 00:47:43,159
La tercera parte, lo lógico es hacerlo con la fórmula de distancia entre ambas.

431
00:47:43,159 --> 00:47:48,739
¿Por qué? Porque ya la parte del numerador, que es el determinante, ya está calculado.

432
00:47:48,880 --> 00:47:51,179
Es 47 tomando valor absoluto.

433
00:47:51,480 --> 00:47:55,780
Y solo tendría que dividir entre el módulo del producto vectorial de U con V.

434
00:47:56,519 --> 00:48:06,909
Pero en este ejercicio os piden que calculeis la perpendicular con.

435
00:48:11,119 --> 00:48:11,460
Vale.

436
00:48:13,179 --> 00:48:16,239
Bueno, determina la ecuación de la perpendicular con.

437
00:48:17,280 --> 00:48:19,340
Voy a tronar de nuevo los datos.

438
00:48:29,960 --> 00:48:43,449
Entonces, yo tengo una recta R, una recta S, y quiero calcular la perpendicular con.

439
00:48:43,869 --> 00:48:45,030
¿Cómo voy a hacerla?

440
00:48:45,030 --> 00:48:47,170
voy a coger un plano

441
00:48:47,170 --> 00:48:49,030
que sea

442
00:48:49,030 --> 00:48:51,570
perpendicular a las dos

443
00:48:51,570 --> 00:48:52,210
rectas.

444
00:48:53,429 --> 00:48:54,610
Ahora voy a ir con...

445
00:48:54,610 --> 00:48:57,610
Vamos, que...

446
00:48:58,550 --> 00:49:01,230
Bueno, sí, este sería

447
00:49:01,230 --> 00:49:07,320
perpendicular a...

448
00:49:07,320 --> 00:49:09,239
A ver, perpendicular a esta recta.

449
00:49:11,039 --> 00:49:11,920
Este de aquí.

450
00:49:13,619 --> 00:49:15,219
Ahora os digo cómo se define

451
00:49:15,219 --> 00:49:15,780
este plano.

452
00:49:16,659 --> 00:49:18,260
Este plano lo voy a llamar pi.

453
00:49:18,900 --> 00:49:34,000
Esta es r y esta es s. Este es el vector n, pero n es perpendicular a r y a s.

454
00:49:34,000 --> 00:49:51,679
Entonces tomo el plano pi, que es el plano que contiene a r y a ese vector normal.

455
00:49:53,380 --> 00:50:02,139
Y por otra parte, tomo el plano que contiene a ese y que contiene también a ese vector normal.

456
00:50:02,719 --> 00:50:04,760
Este lo llamo, pues, B', por ejemplo.

457
00:50:08,170 --> 00:50:13,469
Entonces, yo no sé si lo veis, que si cortáis esos dos planos,

458
00:50:13,929 --> 00:50:16,190
sabéis que una recta es intersección de dos planos,

459
00:50:17,909 --> 00:50:20,690
entonces nos sale la recta perpendicular.

460
00:50:27,420 --> 00:50:31,880
Bueno, esto es una pena, lo tenéis explicado en el tutorial, por eso os he dejado, por si no daba tiempo.

461
00:50:31,880 --> 00:50:43,780
Entonces, n es la estrategia. Primero, cálculo n. n es el producto vectorial de u por u.

462
00:50:44,579 --> 00:50:51,860
Porque, recordad, porque es perpendicular a los dos.

463
00:50:54,099 --> 00:51:03,280
Ahora, segunda parte. Calculo el plano pi. El plano pi contiene al punto p, al vector de r.

464
00:51:03,280 --> 00:51:08,039
Estos son el punto de R, el vector de R y este vector normal.

465
00:51:09,480 --> 00:51:20,199
Y el plano pi prima contiene al punto Q, al vector V, o sea, contiene a S y al vector normal.

466
00:51:20,880 --> 00:51:29,289
Entonces, si juntamos las dos ecuaciones, las de los dos planos, esta es la de pi y esta es la de pi prima,

467
00:51:29,289 --> 00:51:32,389
nos queda la ecuación de la recta perpendicular.

468
00:51:32,389 --> 00:51:42,389
Sí, bueno, perfecto. Adelante. Bueno, perfecto. Os cuento el esquema del ejercicio. Las cuentas están puestas todas en el tutorial.

469
00:51:42,389 --> 00:51:59,510
Bueno, pues como siempre, ya sabéis que esta clase la repito el jueves y que tenemos, nos quedan dos tutorías para vacaciones y yo volveré luego el día 2 para unas clases que nos quedaría una quincena.

470
00:51:59,510 --> 00:52:18,449
Una sería como de repaso de simetría y una clase de repaso de simetría y la otra clase sería de repaso un poco del curso y contaros cómo va a ser el esquema del examen final.

471
00:52:18,449 --> 00:52:20,050
una última cosa

472
00:52:20,050 --> 00:52:22,590
la distancia entre las dos rectas

473
00:52:22,590 --> 00:52:24,369
esto que queda aquí podéis hacerlo

474
00:52:24,369 --> 00:52:26,949
como vemos en el plan, pues con las rectas que se cruzan

475
00:52:26,949 --> 00:52:28,489
o

476
00:52:28,489 --> 00:52:30,510
calculando los puntos de corte

477
00:52:30,510 --> 00:52:32,230
pero bueno, es mucho más largo

478
00:52:32,230 --> 00:52:33,889
no sé cómo lo cuenta en el tutorial

479
00:52:33,889 --> 00:52:36,110
lo óptimo es que lo hagáis siempre con la

480
00:52:36,110 --> 00:52:38,329
con la forma, ¿de acuerdo?

481
00:52:39,690 --> 00:52:40,849
Bueno, que tengáis

482
00:52:40,849 --> 00:52:41,789
una buena semana

483
00:52:41,789 --> 00:52:44,389
y cualquier duda, pues me escribís

484
00:52:44,389 --> 00:52:45,929
me llamáis o venís por aquí

485
00:52:45,929 --> 00:52:47,929
¿de acuerdo?

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00:52:48,449 --> 00:52:52,039
Gracias.