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00:00:12,269 --> 00:00:17,530
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,530 --> 00:00:21,929
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,929 --> 00:00:26,829
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal.

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00:00:27,510 --> 00:00:34,960
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 1.

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00:00:47,579 --> 00:00:56,460
En este ejercicio se nos pide que comprobemos que esta función definida por trozos, en

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00:00:56,460 --> 00:01:02,500
este ejercicio se nos pide que consideremos esta función f minúscula de x definida por trozos. Es

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00:01:02,500 --> 00:01:08,879
idénticamente nula si x es menor que 0 o bien si x es mayor que 0 y la imagen se calcula x partido

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00:01:08,879 --> 00:01:14,140
por 2 si x está comprendida entre 0 y 2 ambos inclusive. Se nos pide en primer lugar que

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00:01:14,140 --> 00:01:19,239
representemos gráficamente la función y eso es lo que tenemos aquí debajo. La función toma valores

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00:01:19,239 --> 00:01:25,180
idénticamente nulos, desde menos infinito hasta 0, aquí deberá haber un punto abierto,

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00:01:25,859 --> 00:01:31,939
y desde 2 hasta más infinito, aquí deberá haber un punto abierto, y toma los valores

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00:01:31,939 --> 00:01:38,219
x partido por 2, entre 0 y 2, se trata de este segmento de recta que vemos aquí, comenzando

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00:01:38,219 --> 00:01:42,439
en 0,0, este punto estará relleno, por cierto, rellenando el punto abierto que nos dejaba

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00:01:42,439 --> 00:01:48,400
el primer tramo, y alcanzando el punto 2,1, este punto debe estar relleno, insisto, el

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00:01:48,400 --> 00:01:53,920
punto que esté inmediatamente debajo, el 2,0 está vacío. Una vez que hemos representado gráficamente

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00:01:53,920 --> 00:01:58,840
la función se nos pide que comprobemos que cumple con las propiedades para ser una función de

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00:01:58,840 --> 00:02:03,040
densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua y sin más que ver gráficamente la

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00:02:03,040 --> 00:02:08,800
función podemos deducir que efectivamente se cumple. La primera propiedad es que esta función

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00:02:08,800 --> 00:02:15,659
debe ser definida no negativa. Tomo valores 0 entre menos infinito y 0 entre 2 y más infinito

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00:02:15,659 --> 00:02:19,840
y valores no negativos, positivos, entre 0 y 2.

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00:02:20,080 --> 00:02:26,479
Consecuentemente, efectivamente, cumple con ser una función definida no negativa.

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00:02:26,659 --> 00:02:29,500
No tomaba valores negativos, que era lo que quería decir anteriormente.

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00:02:30,840 --> 00:02:34,780
También se nos pide que comprobemos que cumple con la siguiente propiedad.

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00:02:34,900 --> 00:02:39,479
La integral entre menos infinito y más infinito en toda la recta real de esta función

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00:02:39,479 --> 00:02:41,159
debe ser igual a la unidad.

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00:02:42,000 --> 00:02:44,759
Eso quiere decir que el área subtendida por la gráfica de la función,

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00:02:44,759 --> 00:02:50,520
la limitada por la función y el eje de las x, debe ser igual a la unidad. Vamos a obviar el

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00:02:50,520 --> 00:02:55,639
tramo desde menos infinito a 0 y desde 2 hasta más infinito, donde la función es idénticamente nula

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00:02:55,639 --> 00:03:02,439
y entonces no contribuye a ese área. Y fijaos, deberíamos calcular el área subtendida limitada

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00:03:02,439 --> 00:03:09,120
por la función y el eje de las x entre 0 y 2. Dado que este segmento es recto, se trata del área de

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00:03:09,120 --> 00:03:16,819
este triángulo que estoy marcando con el cursor, cuya base es este segmento de 0 a 2 que mide 2 unidades

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00:03:16,819 --> 00:03:20,379
y cuya altura es este segmento que mide 1 unidad.

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00:03:21,060 --> 00:03:25,620
El área de ese triángulo, longitud de la base por longitud de la altura entre 2, es 2 por 1 entre 2,

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00:03:25,620 --> 00:03:30,120
es igual a 1. Luego efectivamente cumple con esa segunda propiedad.

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00:03:30,120 --> 00:03:46,960
En cuanto a la tercera propiedad, se trataría de comprobar que la integral entre x1 y x2, x1 menor que x2, para cualquier valor de x1 y x2, corresponde con la probabilidad de que la variable aleatoria subyacente,

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00:03:47,139 --> 00:03:59,560
puesto que se nos pide que comprobemos que se trata de una función de densidad de probabilidad de una cierta variable aleatoria continua, coincide con la probabilidad de que esta variable aleatoria tome valores comprendidos en el intervalo x1 y x2.

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00:03:59,560 --> 00:04:05,659
pero eso es algo que no podemos hacer, puesto que no tenemos más información acerca de cuál es la variable aleatoria.

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00:04:05,960 --> 00:04:13,500
Así que, con la información de la que disponemos, esta comprobación se limita a la función es definida no negativa, lo es,

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00:04:14,319 --> 00:04:18,959
la integral de menos infinito más infinito de la función es igual a 1, y efectivamente, lo es.

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00:04:22,759 --> 00:04:26,899
Esto que hemos indicado que se podría realizar observando la gráfica de la función,

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00:04:26,899 --> 00:04:31,600
es lo que he transcrito en esta parte de la resolución del ejercicio,

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00:04:31,600 --> 00:04:35,319
donde he calculado expresamente el área de ese triángulo.

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00:04:35,980 --> 00:04:38,500
Podríamos también haber realizado la integral directamente

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00:04:38,500 --> 00:04:43,420
y haber calculado ese área igual a la integral de menos infinito a infinito

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00:04:43,420 --> 00:04:47,139
de esa presunta, de momento, función de densidad de probabilidad.

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00:04:47,680 --> 00:04:50,899
El intervalo de integración se va a dividir en tres partes

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00:04:50,899 --> 00:04:54,120
atendiendo a la definición de los tres trozos de esa función

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00:04:54,120 --> 00:04:57,759
de menos infinito a cero, de cero a dos y de dos a infinito.

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00:04:58,579 --> 00:05:06,279
La función, el integrando, será en este primer trozo idénticamente nula, igual que en el tercero, y en el segundo, x partido por 2.

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00:05:07,319 --> 00:05:16,540
Independientemente de los límites de integración, al integrar una función idénticamente nula obtenemos el valor 0, que son estos dos que tenemos aquí, correspondientes al primero y al tercer trozo.

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00:05:17,180 --> 00:05:26,519
En cuanto al segundo trozo, si extraemos de la integral el coeficiente 1 medio, tenemos la integral de x, una primitiva suya sería x al cuadrado partido por 2.

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00:05:27,199 --> 00:05:32,500
Así pues, hemos de calcular con límites entre 0 y 2 un medio de x al cuadrado partido por 2.

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00:05:32,879 --> 00:05:43,279
Un medio de, sustituyendo el límite superior 2 al cuadrado partido por 2, sustituyendo el límite inferior 0 al cuadrado partido por 2, un medio de 2 menos 0 que es igual a 1.

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00:05:43,779 --> 00:05:46,600
Luego, de una u otra manera hemos llegado al mismo resultado.

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00:05:46,839 --> 00:05:54,000
Efectivamente, esta función f de x puede corresponderse con la función de densidad de probabilidad de una cierta variable aleatoria continua.

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00:05:54,000 --> 00:06:02,569
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:03,310 --> 00:06:07,410
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:08,230 --> 00:06:12,970
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:13,529 --> 00:06:14,930
Un saludo y hasta pronto.