1
00:00:01,199 --> 00:00:06,559
En este tutorial vamos a empezar corrigiendo los ejercicios pendientes y vamos a avanzar en un epígrafe más.

2
00:00:07,339 --> 00:00:09,560
Ejercicio 6 de la página 131.

3
00:00:10,099 --> 00:00:18,539
En un aparcamiento se cobra un fijo de 2 euros y a partir de la primera hora 50 céntimos más por cada media hora de uso.

4
00:00:18,940 --> 00:00:23,620
Encuentra la expresión de la función que da el coste en función del tiempo de aparcamiento y represéntala.

5
00:00:24,839 --> 00:00:29,239
Bueno, pues X va a ser el tiempo e Y van a ser los euros.

6
00:00:29,460 --> 00:00:39,679
Pero dado que el enunciado está puesto en medias horas, vamos a considerar que X es el número de medias horas y Y es el número de euros.

7
00:00:44,060 --> 00:00:49,560
Luego, cuando yo estoy cero medias horas, me cobran dos euros.

8
00:00:49,979 --> 00:00:53,820
Cuando yo estoy una media hora, me cobran dos euros.

9
00:00:54,340 --> 00:00:59,399
Pero cuando ya estoy dos medias horas, me cobran dos más cero cinco.

10
00:00:59,399 --> 00:01:05,239
Cuando estoy 3 medias horas me cobran 2 más 2 veces 0,5

11
00:01:05,239 --> 00:01:12,099
Y cuando estoy 4 medias horas me cobran 2 más 3 veces 0,5

12
00:01:12,099 --> 00:01:19,120
Con lo que me doy cuenta que es una función que se comporta de manera diferente

13
00:01:19,120 --> 00:01:27,140
Desde 0 hasta 2 medias horas y de 2 medias horas en adelante

14
00:01:27,140 --> 00:01:31,920
es importante señalar que si arriba no pongo el 2

15
00:01:31,920 --> 00:01:36,120
lo tengo que poner abajo, tiene que estar definida por el número entero de medias horas

16
00:01:36,120 --> 00:01:40,459
bien, entre 0 y 2 mi función siempre vale 2

17
00:01:40,459 --> 00:01:46,480
y de 2 en adelante va a ser 2 más tantas veces 0,5

18
00:01:46,480 --> 00:01:49,400
cuando estoy 2 medias horas sumo un 0,5

19
00:01:49,400 --> 00:01:52,000
cuando estoy 3 sumo 2, 0,5

20
00:01:52,000 --> 00:01:53,859
cuando estoy 4 sumo 3

21
00:01:53,859 --> 00:01:58,659
Es decir, siempre sumo un número menos de medias horas.

22
00:01:59,480 --> 00:02:17,669
Si yo represento esta expresión en una gráfica, tengo que el eje X serán el número de medias horas y el eje Y son los euros.

23
00:02:18,669 --> 00:02:18,889
Bien.

24
00:02:21,069 --> 00:02:28,289
Si yo tengo desde 0 hasta 2, mi función siempre vale 2.

25
00:02:28,289 --> 00:02:52,280
Pero aquí es abiertos. De 2 medias horas a 3 medias horas, mi función vale 2,5. De 3 medias horas a 4 medias horas, vale 2 más 2 veces, 2,5.

26
00:02:52,280 --> 00:03:04,659
de 4 a 5, añadimos el siguiente escalón, porque a este tipo de funciones se le llama escalonadas.

27
00:03:05,580 --> 00:03:13,860
Bueno, pues esta es la expresión que tiene, y da igual que yo esté 57 minutos, que 30, me van a cobrar lo mismo.

28
00:03:14,860 --> 00:03:18,240
Es importante señalar que si el enunciado me habla de medias horas,

29
00:03:18,240 --> 00:03:21,020
pues me es más cómodo hablar de la expresión

30
00:03:21,020 --> 00:03:22,780
en función de las medias horas

31
00:03:22,780 --> 00:03:25,280
luego el ejercicio lo estamos haciendo

32
00:03:25,280 --> 00:03:29,879
en función de medias horas

33
00:03:29,879 --> 00:03:32,139
que quede bien claro

34
00:03:32,139 --> 00:03:35,819
pasemos al siguiente ejercicio

35
00:03:35,819 --> 00:03:38,039
ejercicio 7

36
00:03:38,039 --> 00:03:45,680
disculpa que no me deja hacer un círculo

37
00:03:45,680 --> 00:03:50,539
para las siguientes funciones

38
00:03:50,539 --> 00:03:55,620
calcula f en 2, f en menos 1, f en 0, f en 1 y f en 2

39
00:03:55,620 --> 00:04:16,769
Y determina su dominio. La primera expresión es x, x cuadrado y x. Si la x es menor estrictamente que menos 1, si estoy entre menos 1 y 1 incluidos, y si es mayor de 1.

40
00:04:16,769 --> 00:04:28,790
Bien, si me piden la función en el menos 2, que es un valor anterior a menos 1, esto es menos 2.

41
00:04:29,329 --> 00:04:41,129
Si me piden la función en el menos 1, que es justo la rama del centro, sería menos 1 al cuadrado, que vale 1, y no vale mirar la rama anterior.

42
00:04:41,750 --> 00:04:49,449
Si me piden la función en el 0, el 0 está entre menos 1 y 1 y es 0 al cuadrado, que es 0.

43
00:04:50,269 --> 00:05:06,600
Si me piden la función en el 1, el 1 también sigue siendo la función del medio, aunque el 2 ya es la última rama.

44
00:05:07,420 --> 00:05:11,600
Tener en cuenta la diferencia que hay entre el menor estricto y el mayor estricto.

45
00:05:12,699 --> 00:05:14,939
¿Qué dominio tiene esta función?

46
00:05:15,100 --> 00:05:19,519
Bueno, pues yo me fijo en la primera rama

47
00:05:19,519 --> 00:05:25,959
Para todos los valores de menos 1 existe el valor x

48
00:05:25,959 --> 00:05:31,279
Para todos los valores entre menos 1 y 1 existe su cuadrado

49
00:05:31,279 --> 00:05:36,259
Y para todos los valores mayores de 1 existe el valor x

50
00:05:36,259 --> 00:05:40,259
Luego el dominio de esta función son todos los números reales

51
00:05:40,259 --> 00:05:45,560
Vamos con el siguiente apartado

52
00:05:45,560 --> 00:06:02,439
Bueno, esta vez la función es x cuadrado más 2 entre x menos 2 y x más 1 entre x menos 1.

53
00:06:03,319 --> 00:06:08,339
Si la x es menor o igual que 0 y si la x es mayor que 0.

54
00:06:08,339 --> 00:06:41,660
Si vamos a calcular estos valores, pues me planteo y digo, a ver, f en menos 2, menos 2 es un valor menor o igual que 0, luego es menos 2 al cuadrado más 2 entre menos 2 menos 2, 4 y 2, 6 entre menos 4 menos 3 medios.

55
00:06:41,660 --> 00:06:57,360
Luego el valor menos 1, menos 1 al cuadrado más 2, entre menos 1, menos 2, y esto sale 1 y 2, 3, entre menos 3 sale menos 1.

56
00:06:58,259 --> 00:07:03,620
El valor 0 sale 2 entre menos 2, que sale menos 1.

57
00:07:04,480 --> 00:07:07,939
El valor 1 no existe.

58
00:07:10,689 --> 00:07:11,949
¿Por qué no existe?

59
00:07:11,949 --> 00:07:18,329
porque el menos uno es un valor mayor que cero

60
00:07:18,329 --> 00:07:23,189
y sin embargo no podemos dividir por el valor cero.

61
00:07:24,629 --> 00:07:28,490
Bien, y el valor dos no es problemático

62
00:07:28,490 --> 00:07:34,850
porque es dos más uno entre dos menos uno

63
00:07:34,850 --> 00:07:37,189
que sale tres.

64
00:07:41,790 --> 00:07:49,410
Bien, lo suyo siempre es empezar por el dominio y luego calcular las cosas, pero yo estoy siguiendo el orden.

65
00:07:49,990 --> 00:07:57,029
¿Cómo voy a estudiar yo el dominio de esta función? Me fijo en la rama de arriba, los menores de 0.

66
00:07:57,509 --> 00:08:03,829
¿Para los menores de 0 siempre los puedo elevar al cuadrado, sumarle 2 y dividirles entre x menos 2?

67
00:08:04,009 --> 00:08:10,490
Sí, porque el único problema que habría sería el 2 abajo, pero el 2 no es un valor menor que 0.

68
00:08:10,870 --> 00:08:17,410
Y para los valores mayores que 0, ¿les puedo sumar 1 y en el denominador les puedo restar 1?

69
00:08:17,589 --> 00:08:20,949
No, tengo un problema en el 1.

70
00:08:22,930 --> 00:08:28,410
Luego el dominio de esta función son todos los números reales menos en el 1.

71
00:08:29,370 --> 00:08:35,549
En el 2 aquí habría problema, pero como no vale pensar en el 2, no hay problema.

72
00:08:39,580 --> 00:08:40,720
Siguiente ejercicio.

73
00:08:40,720 --> 00:08:53,039
expresa el valor absoluto como una función por ramas

74
00:08:53,039 --> 00:09:02,159
x más 5 menos x

75
00:09:02,159 --> 00:09:06,480
bueno, el valor absoluto cambia antes y después del 0

76
00:09:06,480 --> 00:09:09,580
¿y cuando x más 5 es 0?

77
00:09:10,500 --> 00:09:13,440
cuando la x es menos 5

78
00:09:13,440 --> 00:09:19,139
luego esta función va a ser para los menores de menos 5

79
00:09:19,139 --> 00:09:21,879
y para los mayores de menos 5

80
00:09:21,879 --> 00:09:26,860
si yo me cojo un valor anterior a menos 5

81
00:09:26,860 --> 00:09:29,279
por ejemplo, el menos 6

82
00:09:29,279 --> 00:09:31,899
menos 6 más 5 menos 1

83
00:09:31,899 --> 00:09:33,620
tendría que cambiarle el signo

84
00:09:33,620 --> 00:09:34,600
bueno, pues lo pongo

85
00:09:34,600 --> 00:09:38,200
menos x más 5 menos x

86
00:09:38,200 --> 00:09:41,240
y si cojo un valor mayor que menos 5 al 0

87
00:09:41,240 --> 00:09:42,559
0 más 5 es 5

88
00:09:42,559 --> 00:09:43,659
y no habría que hacerle nada

89
00:09:43,659 --> 00:09:47,240
luego sería x más 5 menos x

90
00:09:47,240 --> 00:09:50,019
si operamos un poquito esta expresión

91
00:09:50,019 --> 00:10:03,419
lo que tenemos es menos 2x menos 5 y 5, para la x menor que 5 y para la x mayor de menos 5.

92
00:10:04,919 --> 00:10:08,899
Bien, pues esto sería la expresión del valor absoluto.

93
00:10:11,720 --> 00:10:18,519
Vamos a pasar al siguiente apartado que se llama operaciones con funciones.

94
00:10:18,519 --> 00:10:40,769
Ya sabéis que en matemáticas, cuando trabajamos con una herramienta, en este caso las funciones, lo que nos gusta es darle una estructura, ¿vale?

95
00:10:42,250 --> 00:10:54,230
Entonces esa estructura es un conjunto, que en este caso van a ser las funciones, y les vamos a dar una serie de operaciones de forma que sigan saliendo funciones.

96
00:10:55,230 --> 00:11:01,570
Bueno, ¿qué operaciones van a salir nuevas funciones?

97
00:11:02,629 --> 00:11:06,429
Bueno, pues la suma, la resta, la multiplicación y la división.

98
00:11:08,330 --> 00:11:12,629
Entonces, lo único que hay que tener en cuenta es que estas nuevas funciones

99
00:11:12,629 --> 00:11:18,990
tienen que tener un dominio, vamos, tienen que existir en algunos valores

100
00:11:18,990 --> 00:11:22,070
que dependerá de los dominios anteriores.

101
00:11:22,070 --> 00:11:50,940
Por ejemplo, sean f y g dos funciones con dominios, vamos a llamarle a al dominio de f y b al dominio de g.

102
00:11:50,940 --> 00:11:59,759
Bueno, podemos construir una nueva función que se llame f más g de x

103
00:11:59,759 --> 00:12:05,159
¿Cómo la definimos? Que sea f de x más g de x

104
00:12:05,159 --> 00:12:08,519
¿Y cómo tiene que ser la x?

105
00:12:09,299 --> 00:12:16,419
Pues tiene que pertenecer a la vez al dominio de a y al dominio de b

106
00:12:16,419 --> 00:12:22,759
si en vez de la suma hubiéramos pensado en la resta

107
00:12:22,759 --> 00:12:27,100
f de x menos g de x

108
00:12:27,100 --> 00:12:34,179
y también la x tiene que estar en los dos dominios a la vez

109
00:12:34,179 --> 00:12:38,179
si pensamos en la multiplicación

110
00:12:38,179 --> 00:12:44,809
pues sería por definición el producto

111
00:12:44,809 --> 00:12:47,049
y veis que una y otra vez

112
00:12:47,049 --> 00:12:50,309
tienen que estar en el dominio de las dos funciones.

113
00:12:51,289 --> 00:13:00,250
Y por último, si pensamos en la división, que sería una función dividida entre la otra,

114
00:13:01,529 --> 00:13:09,370
la x tiene que estar en el dominio de las dos funciones menos cuando la g sea cero.

115
00:13:09,370 --> 00:13:38,620
Bueno, pues, por ejemplo, vamos a hacer un ejemplo entre dos funciones, que la f de x sea x y la g de x sea 1 partido por x.

116
00:13:38,620 --> 00:13:52,370
Entonces, bueno, el dominio de f son todos los reales y el dominio de g son todos los reales menos el cero.

117
00:13:53,950 --> 00:14:16,480
Es obvio que la suma de f más g tiene dominio todos los reales menos el cero, porque es el conjunto que tienen en común todos los reales menos el cero.

118
00:14:16,480 --> 00:14:24,840
La resta le va a ocurrir lo mismo

119
00:14:24,840 --> 00:14:38,460
El producto sale x partido por x y sale siempre 1

120
00:14:38,460 --> 00:14:42,539
Y alguno habría por decir, oye, pues el dominio son todos los reales

121
00:14:42,539 --> 00:14:47,940
No, el dominio vuelven a ser todos los reales menos el 0

122
00:14:47,940 --> 00:14:52,200
Porque aunque la función constantemente 1 existe siempre

123
00:14:52,200 --> 00:14:54,940
esta es la función producto f por g

124
00:14:54,940 --> 00:14:56,820
que no existe cuando la x es 0

125
00:14:56,820 --> 00:14:59,019
y por último

126
00:14:59,019 --> 00:15:01,279
si yo hago f entre g de x

127
00:15:01,279 --> 00:15:02,940
que es x

128
00:15:02,940 --> 00:15:04,659
entre 1 partido por x

129
00:15:04,659 --> 00:15:06,500
me queda x cuadrado

130
00:15:06,500 --> 00:15:09,299
diríamos, oye, esa función existe siempre

131
00:15:09,299 --> 00:15:11,340
pues no, no existe siempre

132
00:15:11,340 --> 00:15:13,000
esta función

133
00:15:13,000 --> 00:15:14,500
existe de nuevo

134
00:15:14,500 --> 00:15:16,559
en

135
00:15:16,559 --> 00:15:18,639
los valores que no anulen

136
00:15:18,639 --> 00:15:21,139
en el conjunto

137
00:15:21,139 --> 00:15:41,519
en común, y como no tiene denominador, no hay problemas. Bien, pues hay una operación que es la función composición, que es también muy interesante, que consiste en combinar una función con otra.

138
00:15:41,519 --> 00:15:54,480
se lee siempre G compuesto con F

139
00:15:54,480 --> 00:15:58,500
es que primero hacemos G

140
00:15:58,500 --> 00:16:04,419
y a lo que salga le hacemos F

141
00:16:04,419 --> 00:16:16,700
Por ejemplo, pensemos que mi función F es sumar 1

142
00:16:16,700 --> 00:16:20,539
y mi función G es elevar al cuadrado

143
00:16:20,539 --> 00:16:24,799
si estudiamos la función g compuesto con f

144
00:16:24,799 --> 00:16:28,529
primero hay que hacer g

145
00:16:28,529 --> 00:16:30,570
que es elevar al cuadrado

146
00:16:30,570 --> 00:16:32,929
y que hace mi función

147
00:16:32,929 --> 00:16:36,950
mi función f suma 1

148
00:16:36,950 --> 00:16:39,350
pues a x cuadrado le suma 1

149
00:16:39,350 --> 00:16:42,190
se me ha olvidado señalar

150
00:16:42,190 --> 00:16:45,289
que el dominio de ambas funciones era r

151
00:16:45,289 --> 00:16:50,740
luego el dominio de la composición también es r

152
00:16:50,740 --> 00:16:59,090
pero si hubiéramos hecho F compuesto con G

153
00:16:59,090 --> 00:17:06,200
primero a un número le sumaríamos el siguiente

154
00:17:06,200 --> 00:17:10,539
y luego la función F lo que hace es lo que tú me des

155
00:17:10,539 --> 00:17:11,900
lo eleva al cuadrado

156
00:17:11,900 --> 00:17:19,529
luego esto lo primero que dice es que no es lo mismo hacer G compuesto con F

157
00:17:19,529 --> 00:17:21,049
que F compuesto con G

158
00:17:21,049 --> 00:17:24,410
en matemáticas decimos que no es conmutativa

159
00:17:24,410 --> 00:17:31,680
para que un número pertenezca al dominio de las dos

160
00:17:31,680 --> 00:17:37,519
se tiene que cumplir que exista la imagen de la primera función

161
00:17:37,519 --> 00:17:40,660
y que el dominio de esta caiga dentro

162
00:17:40,660 --> 00:17:47,680
es decir, yo quiero

163
00:17:47,680 --> 00:17:54,049
que el dominio

164
00:17:54,049 --> 00:17:57,809
de G caiga dentro de F

165
00:17:57,809 --> 00:17:59,869
en el caso 1

166
00:17:59,869 --> 00:18:10,349
y quiero que el dominio de f caiga dentro del dominio de g, en el caso 2.

167
00:18:13,029 --> 00:18:25,269
Vamos a hacer una composición de funciones que sea un poco más enrevesado, que de problemas.

168
00:18:28,250 --> 00:18:36,950
Bueno, pues por ejemplo, la función f sea hacer la raíz cuadrada de un número

169
00:18:36,950 --> 00:18:41,789
y la función g sea restarle 3.

170
00:18:42,890 --> 00:18:47,170
El dominio de esta función es de 0 en adelante

171
00:18:47,170 --> 00:18:52,029
y vamos a crear problemas.

172
00:18:52,029 --> 00:19:06,769
En lugar de esta, vamos a pensar 1 partido de x menos 3, que son todos los reales menos el 3.

173
00:19:08,089 --> 00:19:22,170
Si yo hago f compuesto con g, primero hago la f, que es toma raíz cuadrada, y luego la g le da la vuelta y le resta 3.

174
00:19:22,170 --> 00:19:26,210
¿esto qué problemas añade?

175
00:19:26,490 --> 00:19:31,190
bueno, primero tiene que existir

176
00:19:31,190 --> 00:19:33,930
la imagen de F

177
00:19:33,930 --> 00:19:35,809
tiene que estar en el dominio de G

178
00:19:35,809 --> 00:19:38,990
¿y cuándo tiene un problema G?

179
00:19:39,410 --> 00:19:43,509
pues cuando la raíz de algo es 3

180
00:19:43,509 --> 00:19:44,390
¿vale?

181
00:19:45,390 --> 00:19:57,500
entonces, pues en el valor 9

182
00:19:57,500 --> 00:20:00,319
no existiría esta función

183
00:20:00,319 --> 00:20:03,619
el dominio

184
00:20:03,619 --> 00:20:06,799
de f compuesto con g

185
00:20:06,799 --> 00:20:09,519
son todos los reales menos el 9

186
00:20:09,519 --> 00:20:13,420
que alguno me diréis, oye la propia expresión ya lo dice

187
00:20:13,420 --> 00:20:15,299
si, si en la práctica muchas veces

188
00:20:15,299 --> 00:20:17,420
miramos la expresión final

189
00:20:17,420 --> 00:20:19,480
pero no hay que olvidarse

190
00:20:19,480 --> 00:20:23,299
de que hay veces que la expresión final

191
00:20:23,299 --> 00:20:25,940
es extremadamente bonita

192
00:20:25,940 --> 00:20:29,779
cuando realmente hay que señalar

193
00:20:29,779 --> 00:20:32,559
que tiene problemas iniciales

194
00:20:32,559 --> 00:20:47,170
si hubiéramos hecho G compuesto con F

195
00:20:47,170 --> 00:20:51,000
primero hay que hacer G

196
00:20:51,000 --> 00:20:52,920
que es dar la vuelta a un número

197
00:20:52,920 --> 00:20:55,000
y restarle 3

198
00:20:55,000 --> 00:20:57,720
y a lo que nos salga

199
00:20:57,720 --> 00:21:01,440
le aplicamos la raíz cuadrada

200
00:21:01,440 --> 00:21:06,619
bueno, pues si le damos la vuelta a un número

201
00:21:06,619 --> 00:21:07,740
y le restamos 3

202
00:21:07,740 --> 00:21:13,680
tenemos que hacer tenemos que cerciorarnos de que ese número no sea

203
00:21:13,680 --> 00:21:20,859
negativo vale luego el número tiene que ser de 3 en adelante

204
00:21:20,859 --> 00:21:27,220
y si el número es de 3 en adelante esta resta por 3

205
00:21:27,220 --> 00:21:32,500
va a poderse hacer la raíz cuadrada o el dominio

206
00:21:32,500 --> 00:21:37,099
G compuesto con F es de 3 en adelante.

207
00:21:40,150 --> 00:21:43,869
Entonces, dice, bueno, Pablo, pues yo voy a mirar siempre la expresión final,

208
00:21:44,009 --> 00:21:45,049
que es la que me da respuesta.

209
00:21:45,230 --> 00:21:47,589
No, tienes que pararte a mirar entre medias,

210
00:21:48,470 --> 00:21:54,430
porque no vaya a ser que los problemas que a priori aparecen,

211
00:21:54,869 --> 00:21:57,529
desaparezcan como en los casos anteriores,

212
00:21:58,130 --> 00:22:02,490
que nos ocurría con la multiplicación, que se convertían constantemente en 1.

213
00:22:03,269 --> 00:22:03,549
¿Vale?

214
00:22:03,549 --> 00:22:06,869
bueno, pues ya con esto es suficiente

215
00:22:06,869 --> 00:22:08,549
para mañana

216
00:22:08,549 --> 00:22:09,890
me hacéis

217
00:22:09,890 --> 00:22:14,619
el 11, 12, 13

218
00:22:14,619 --> 00:22:16,759
para casa, 11

219
00:22:16,759 --> 00:22:19,259
12

220
00:22:19,259 --> 00:22:22,200
y 13

221
00:22:22,200 --> 00:22:25,259
vale, de la página

222
00:22:25,259 --> 00:22:29,119
133

223
00:22:29,119 --> 00:22:30,960
un saludo